Folien zum Seminar Logik III: Wahrscheinlichkeit

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Aufbau-SE Logik III: Wahrscheinlichkeit (G. Schurz, Ws 2016-17, Mi 10:3012:00, 23.31, U1.46)
Zeitplan:
19.10. : 1. Objektive (statistische) vs. subjektive (epistemische) Wahrscheinlichkeit
26.10. : 2. Mathematische Gesetze der Wahrscheinlichkeit
02.11. entfällt (Konferenzreise)
09.11. 3. Probabilistische Rechtfertigung von Schlussarten
16.11. 4. Probleme der objektiv-statistischen Wahrscheinlichkeit
4.1 Rechtfertigung statistischer W.keit
23.11. 4.2 Definition/Explikation statistischer W.keit
30.11. 4.3 Objektive Zufälligkeit, Determinismus und Indeterminismus
7.12. 5. Probleme der subjektiv-epistemischen Wahrscheinlichkeit: Kohärente faire
Wettquotienten
14.12. 6. Verbindungen von statistischer und subjektiver Wahrscheinlichkeit: das
statistische Koordinationsprinzip (StK)
21.12. 7. Von Ausgangswahrscheinlichkeiten zu aktualen Glaubensgraden
11.01. 8. StK, Vertauschbarkeit und induktives Lernen aus Erfahrung
18.01. 9. Überprüfungsverfahren für statistische Hypothesen
10. Bayesianismus, 10. 1 Bayes-Statistik: Die Likelihood-Intuition
25.01. 10.2 Objektiver Bayesianismus und Induktives Schließen I
10.3 Subjektiver Bayesianismus und Induktives Schließen II
01.02. Zeitpuffer / Wiederholung
08.02. Klausur/BN
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Literatur: Das Aufbau-Seminar stützt sich auf mein Buch:
Gerhard Schurz: Wahrscheinlichkeit, De Gruyter, Berlin/Boston 2015
(25 Euro). Siehe:
https://www.amazon.de/Wahrscheinlichkeit-Grundthemen-Philosophie-GerhardSchurz/dp/3110425505)
Weitere Literatur:
Adams, E.W. (1998): A Primer of Probability Logic, CSLI Publications, Stanford.
Bortz, J. (1985): Lehrbuch der Statistik, 2. Aufl., Springer, Berlin (Neuaufl. als
Statistik für Human- u. Sozialwissenschaflter, 6. überarb. Aufl. 2005).
Carnap, R. (1959): Induktive Logik und Wahrscheinlichkeit. Bearbeitet von W.
Stegmüller, Springer, Wien.
Carnap, R. und Jeffrey, R. (1971): Studies in Inductive Logic and Probability, Univ.
of California Press, Berkeley.
Gillies, D. (2000): Philosophical Theories of Probability, Routledge, London.
Earman, J. (1992): Bayes or Bust?, MIT Press, Cambridge/Mass
Howson, C. und Urbach, P. (1996): Scientific Reasoning: The Bayesian Approach,
Open Court, Chicago (2. Aufl.).
Stegmüller, W. (1973b), Probleme und Resultate der Wissenschaftstheorie und
Analytischen Philosophie. Band IV: Personelle und Statistische Wahrscheinlichkeit,
Springer, Berlin.
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1. Objektive (statistische) vs. subjektive (epistemische) Wahrscheinlichkeit
Geschichte: Theorie der Wahrscheinlichkeit entstand im 16. und 17. Jahrhundert, im
Kontext von Glücksspielen: Galilei, 1654 Briefwechsel Pascal-Fermat, 1657 Huygens, 1713 Bernoulli (Binomialverteilung, Gesetz der großen Zahlen), 1763 Theorem
von Bayes, 1814 Laplace, 1933 axiomatische Fundierung durch Kolmogorov.
Intuitive Begriff der Wahrscheinlichkeit involviert etwas Objektives („wahr-“) und
etwas Subjektives („-scheinlich“).
Erst im 20. Jahrhundert wurde die unterschiedliche Natur der beiden Wahrscheinlichkeitsbegriffe herausgearbeitet.
Frühen Begründer hatten dies nur unzureichend bemerkt.
Laplace (1814) unterschied das subjektive „Gleichverteilungsprinzip“ nicht von der
objektiven Gleichwahrscheinlichkeit der Wurfresultate eines regulären Würfels; erst
von Mises (1928, 69) machte den Unterschied deutlich.
Gegenwärtige Wahrscheinlichkeitstheorie durch eine anhaltende Lagertrennung
gekennzeichnet (vgl. auch Gillies 2000):
 in den empirischen Wissenschaften objektiv-statistische Wahrscheinlichkeit
(Begründer von Mises 1964, Reichenbach 1935, 1949, und Fisher 1956; Einführungsliteratur Bortz 1985; Spezialvariante "objektive Einzelfallwahrscheinlichkeit").

in
Philosophie
und
kognitiver
Wissenschaft
subjektiv-epistemische
Wahrscheinlichkeit im Sinn von rationalen Glaubensgraden (Begründer Ramsey
1926 und de Finetti 1934/70; Einführungsliteratur Earman 1992, Howson/Urbach
1996); Spezialvarianten "objektiver Bayesianismus", "logische Wahrscheinlichkeit"
Carnap 1959).
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 in Mathematik wird Interpretationskonflikt systematisch ignoriert.
Objektive Wahrscheinlichkeit  drückt eine subjektunabhängige Eigenschaft der
Realität aus.
Subjektive Wahrscheinlichkeit  drückt
Glaubensgrad eines (aktualen oder
hypothetischen) rationalen Subjekts aus.
Wenn es sich dabei um intersubjektive Glaubensgrade handelt, spricht man auch von
„epistemischer“ Wahrscheinlichkeit.
Zur Unterscheidung beider verwenden wir die prädikatenlogische Schreibweise:
"Fx" für "x ist ein F" und „Fa“ für "a ist ein F".
"F" ist ein Prädikat, das wiederholbares (binäres) Merkmal / Ereignistyp F
bezeichnet,
z.B.
"rothaarig
zu
sein".
„x“
Individuenvariable
und
„a“
Individuenkonstante.
(In Mathematik unterscheidet man das nicht formal, schreibt für beides eine binäre
mathematische 'Zufallsvariable' Xï)
Die
statistische
(objektive)
Wahrscheinlichkeit
eines
Merkmals
oder
wiederholbaren Ereignistyps, z.B. Fx, ist die relative Häufigkeit seines Eintretens
bzw. der Grenzwert seiner relativen Häufigkeit auf lange Sicht.
Formal kleines p(): p(Fx) =
Häufigkeit bzw. Häufigkeitsgrenzwert, mit der
beliebige Individuen x eines gegebenen Bereichs die Eigenschaft F besitzen.
Beispiel: Die Häufigkeit von Sonnentagen in Düsseldorf.
Die epistemische (subjektive) Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses
bzw. Sachverhaltes, z.B. Fa, ist der rationale Glaubensgrad, in dem ein
(oder
mehrere gegebene) Subjekt(e) an das Eintreten des Ereignisses glauben.
Formal großes P(): P(Fa) = der subjektive Glaubensgrad dafür, dass das Individuum
a die Eigenschaft F besitzt.
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Beispiel: Unser Glaubensgrad, dass der morgige Tag in Düsseldorf ein Sonnentag
sein wird.
Für endlichen Individuenbereich (Population, Grundgesamtheit) D ist die statistische
Wahrscheinlichkeit gleich der relativen Häufigkeit eines Ereignistyps Fx in D:
h(Fx) = Anzahl aller Fs in D geteilt durch die Anzahl aller Individuen in D.
Problem: Endliche Häufigkeiten sind Zufallschwankungen unterworfen; sie geben
nicht direkt die Wahrscheinlichkeitsdispositionen wieder (Beispiel: Münzwurf)
Für unendlichen Individuenbereich D ist die relative Häufigkeit undefiniert.
Man bezieht sich auf eine zufällige Anordnung der Individuen in D in Form einer
(unendlichen) Zufallsfolge (a1,a2,), produziert durch ein "Zufallsexperiment".
Statistische Wahrscheinlichkeit p(Fx) =def limn hn(Fx) = Grenzwert der relativen
Häufigkeiten hn(Fx) von Fs in den n-gliedrigen Anfangsabschnitten einer
Zufallsfolge, für n gegen unendlich.
p(Fx) = 0,6 heißt per definitionen: für jedes noch so kleines >0 gibt es eine
Stellenzahl n, sodass für alle m  n die relative Häufigkeit hm(Fx) vom Grenzwert 0,6
um weniger als  abweicht
(je kleiner , desto größer n)
hn(Fx)
limnhn(Fx)=0,6
n
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6
Konvergenz der relativen Häufigkeiten eines Ereignisses mit Häufigkeitsgrenzwert
p(Fx) = 0.6 in zwei Zufallsfolgen (programmiert in Visual Basic).
 Häufigkeitsgrenzwerte sind theoretische Idealisierungen  p(Fx) = 0.6 bedeutet:
Zufallsexperiment hat gewisse Disposition, Ergebnis Fx mit einer auf lange Sicht
nach 0.6 konvergierenden Häufigkeit zu produzieren („generische Propensität“).
 Auch zufälliges Ziehen eines Individuums aus Individuenbereich D ist
Zufallsexperiment.
Zusammenhang: Statistischen Wahrscheinlichkeit, zufällig ein F-Individuum aus D
zu ziehen = endliche Häufigkeit von Fx in D gdw. jedes Individuum in D dieselbe
statistische Chance besitzt gezogen zu werden. (Ziehen mit Zurücklegen)
Zur Interpretation von Eins- und Nullwahrscheinlichkeiten:
Im epistemischen Fall bedeutet die Aussage P(A) = 1, dass sich Subjekt hinsichtlich
der Aussage A sicher ist.
Im statistischen Fall komplizierter:
Nur bei endlichem Individuenbereichs ist p(Fx) = 1 gleichbedeutend mit
ausnahmslosen Allsatz xFx (Alle Individuen sind F), bzw. p(Fx) = 0 mit xFx.
Bei unendlichem Individuenbereichs ist p(Fx) = 1 schwächer als xFx, bedeutet nur,
dass die Häufigkeiten hn(Fx) gegen eins konvergieren.
Beispiel: Sei Zufallsfolge (1, 2,3) und Fx das Prädikat „x ist eine ganzzahlige
Potenz von 2“. Dann gibt unter den natürlichen Zahlen unendlich viele ganzzahlige
2er-Potenzen; dennoch gilt limk p(Fx) = limk(k/2k) = 0.
Grundlegender Unterschied: Statistische Wahrscheinlichkeit p(Fx) bezieht sich
immer auf wiederholbaren Ereignistyp (Sachverhaltstyp) ausgedrückt durch Prädikat
bzw. offene Formel Fx; der Operator "p" bindet die freie Individuenvariable ("px").
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Subjektive Wahrscheinlichkeit p(Fa) bezieht sich auf bestimmtes Ereignis
(Sachverhalt) ausgedrückt in einem Satz bzw. einer geschlossenen Formel Fa.
Bekannteste
Prinzip,
um
statistische
Wahrscheinlichkeiten
auf
subjektive
Einzelfallwahrscheinlichkeiten zu übertragen (Reichenbach 1949, §72):
Prinzip der engsten Referenzklasse: Die subjektive Wahrscheinlichkeit P(Fa) eines
Einzelereignisses wird bestimmt als die (geschätzte)
bedingte statistische
Wahrscheinlichkeit p(Fx|Rx) des entsprechenden Ereignistyps Fx in der engsten
(relevanten, nomologischen) Bezugsklasse bzw. Referenzklasse R, von der das
zugrundeliegende Subjekt 'weiß' bzw. mit Sicherheit glaubt, dass a in ihr liegt (also
Ra gilt).
Anwendung in Alltag und Wissenschaft:
 Subjektive Wahrscheinlichkeit dafür, dass gegebene Person Autounfall hat
(Versicherungsstatistik): engste bekannte Referenzklasse, die nicht unter Datenschutz
fällt.
 Wahrscheinlichkeit dafür, dass es morgen in NRW regnet: engste Referenzklasse =
die vom Meteorologen berücksichtigte vorausgehende Wetterentwicklung.
Bezug zum induktiven Spezialisierungsschluss (Carnap 1950; "direct inference" nach
Levi 1977):
Generelle Prämisse 1: r % aller Fs sind Gs
Singuläre Prämisse 2: Dies ist ein F
===================== [mit r % Glaubenswahrscheinlichkeit]
Konklusion: Dies ist ein G
Prinzip der Gesamtevidenz: die singuläre Prämisse muss die gesamte für die
Konklusion relevante Evidenz enthalten.
 Mit Prinzip der engsten Referenzklasse kann nur subjektive Wahrscheinlichkeit
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von Singulärsätzen durch statistische Wahrscheinlichkeiten bestimmt werden, nicht
subjektive W.keit von generellen Hypothesen (Problem des Bayesianismus).
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2. Mathematische Gesetze der Wahrscheinlichkeit
Statistische und der epistemische Wahrscheinlichkeitsbegriff gehorchen denselben
Grundgesetzen (Kolmogorov 1933)
 Kolmogorov benutzt die mathematisch übliche mengenalgebraische Darstellung:
Möglichkeitsraum  = {e1,e2,.}
Elemente ei von  = {e1,e2,}: mögliche (maximal bestimmte) Ergebnisse eines
Zufallsexperimentes.
"Ereignisse" = Teilmengen von , als Disjunktionen aufgefaßt.
Beispiel Würfelwurf:
 = {1,2,3,4,5,6} Ergebnis z.B. "1" Ereignis z.B. "gerade Zahl" = {2,4,6}.
Anderes Beispiel: Ziehen eines Individuums aus dem Individuenbereich:  = D.

 Wir verwenden sprachliche Darstellung (zwecks Unterscheidung von p und P):
Im statistischen Fall:
 = Menge möglicher Ergebnistypen eines (wiederholten) Zufallsexperimentes,
dargestellt durch maximal starke offene Formeln der Sprache:
Ei(x)(binäre Zufallsvariable), oder f(x) = ei (mehrstufige Zufallsvariable)
Beliebige Ereignisse dargestellt durch offene Formel (entsprechen Disjunktionen
maximal starker Formeln, z.B. "Gerade(x)" = "x=2  x=4  x=6".
Im epistemischen Fall:

=
Menge
möglicher
Ergebnisse
eine
einzelnen
Durchführung
des
Zufallsexperimentes, dargestellt durch maximal starke geschlossene Formeln der
Sprache:
Ei(aj)(binäre Zufallsvariable) oder f(aj) = ei (mehrstufige Zufallsvariable).
Beliebige Ereignisse dargestellt durch geschlossene Formel.
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Axiome der Wahrscheinlichkeit:
Im folgenden bezeichnen A, B, (Ereignisse)
offene Formeln im statistischen Wahrscheinlichkeitsaufbau,
geschlossene Formeln im epistemischen Aufbau,
 -Teilmengen im mathematischen Aufbau.
Dass A und B disjunkt sind (können nicht gemeinsam auftreten) bedeutet
 dass die Extension von AB faktisch (im gegebenen Modell) leer ist ist, im
statistischen Aufbau.
 dass AB in allen (logisch, analytisch-epistemisch) möglichen Modellen der
Sprache unerfüllbar ist, im epistemischen Aufbau.
dass AB leer ist,im mathematischen Aufbau.
Zur Erinnerung:  entspricht ,  entspricht  , A entspricht A.
Grundaxiome der Wahrscheinlichkeit
Für alle A, B, , wobei statt „p“ auch „P“ stehen kann:
(A1) p(A)  0
(Nicht-Negativität)
In Worten: Wahrscheinlichkeiten sind immer größer-gleich null.
(A2) p(AA) = 1
(Normierung auf 1)
In Worten: die Wahrscheinlichkeit des gesamten Möglichkeitsraumes ist 1.
(A3) Wenn A, B disjunkt sind: p(AB) = p(A) + p(B)
(endliche Additivität)
In Worten: für disjunkte Ereignis(typen) addieren sich die Wahrscheinlichkeiten.
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Dass A exhaustiv (notwendig) ist bedeutet dass
 A von allen Individuen erfüllt wird, im statistischen Aufbau,
 A von allen möglichen Modellen wahr gemacht wird, im epistemischen Aufbau,
 A =  gilt, im mathematischen Aufbau.
Eine Partition von  ist eine Menge {A1,,An} vom wechselseitig disjunkten und
zusammen exhaustiven Ereignissen Ai.
Z.B. {gerade, ungerade}
Theoreme unbedingter Wahrscheinlichkeit
(T1) p(A) = 1p(A) (Komplementärwahrscheinlichkeit)
In Worten: Die Wahrscheinlichkeit der Negation eines Ereignisses ist 1 minus jener
des Ereignisses.
(T2) p(A)  1 (obere Schranke)
In Worten: Die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses ist kleiner-gleich 1.
(T3) p(AA) = 0 (Kontradiktion).
In Worten: Ein Widerspruch besitzt die Wahrscheinlichkeit Null.
(T4) Für jede Partition A1,,An: 1in p(Ai) = 1 und p(B) = 1in p(BAi).
In Worten: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse einerPartition
{A1,,An} von addiert sich zu 1, und die Ereignisse {AiB: 1in} bilden eine
Partition von B, deren Wahrscheinlichkeiten sich zu p(B) aufaddieren.
(T5) p(A1A2) = p(A1) + p(A2)  p(A1A2) (allgem. Additionsgesetz)
(T6) Wenn A1A2 =def A1A2 exhaustiv ist, dann gilt p(A1)  p(A2) (Monotonie)
In
Worten:
Wenn
A1
mit
Notwendigkeit
A2
impliziert,
Wahrscheinlichkeitn von A1 kleiner-gleich der von A2.
(T7) Ist A1A2 exhaustiv, dann gilt p(A1) = p(A2) (Äquivalenz)
dann
ist
die
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Die Wahrscheinlichkeit von A unter der Annahme, dass B vorliegt, nennt man die
bedingte Wahrscheinlichkeit von A gegeben B, p(A|B) bzw. P(A|B):
Bedingte Wahrscheinlichkeit: p(A|B) =def
p(A  B)
, sofern p(B) > 0.
p(B)
(Analog für „P“ anstelle von „p“.)
B = bedingende Ereignis oder Antecedens; A = bedingte Ereignis oder Konsequens.
Im endlich-statistischen Fall ist p(A|B) die relative Häufigkeit von A-Individuen in
der Menge B  siehe Abbildung. („x“ kann man weeglassen)
A
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p(Bx|Ax) = 12/20 = 3/5
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B
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p(Ax|Bx) = 12/16 = 3/4
|D| = 24, p(Ax) = 20/24 = 5/6
p(Bx) = 16/24 = 2/3
Im unendlich-statistischen Fall ist p(A|B) der Häufigkeitsgrenzwert von As in einer
(unendlichen) Zufallsfolge von B-Individuen.
Im subjektiv-epistemischen Fall ist P(A|B) der hypothetische Glaubensgrad an A
unter der hypothetischen Annahme, dass B sicher wäre.
Wird B tatsächlich mit Sicherheit geglaubt, gilt P(B) = 1 woraus P(A) = P(A|B) folgt.
 Subjektive Sicherheit bzgl. A impliziert nicht, dass A wahr ist: subjektiver Glaube
ist fallibel und Glaubensfunktion P ist unabhängig von Wahrheitswertfunktion v.
Hinweis: Gewöhnliche Definition von p(A|B) hat Nachteil, dass p(A|B) für ein 0wahrscheinliches Ereignis B undefiniert.
Carnap 1971, Popper 1935: direkte Axiomatisierung bedingter Wahrscheinlichkeit.
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Zwei (binäre) Ereignisse A, B heißen probabilistisch unabhängig voneinander,
abgekürzt AB, g.d.w. p(AB) = p(A)p(B).
Es gilt: AB g.d.w. p(A|B) = p(A) oderp(B) = 0
in Worten: g.d.w. die Annahme von B A's Wahrscheinlichkeit nicht ver
ändert, oder Null beträgt.
Ergo: Zwei nicht-nullwahrscheinliche Ereignisse sind probabilistisch abhängig g.d.w.
p(A|B)  p(A) gilt.
A und B sind
 positiv abhängig, wenn p(A|B) > p(A) (bzw. p(AB) > p(A)p(B))
 negativ abhängig, wenn p(A|B) < p(A) (bzw. p(AB) < p(A)p(B)) gilt.
Wichtig ist die Nichtmonotonie bedingter Wahrscheinlichkeiten:
ein hoher Wert von p(A|B) impliziert nicht einen hohen Wert von p(A|BC);
vielmehr kann zugleich p(A|BC) = 0 gelten.
Beispiel:
A
B
BC
C
p(A|B) ist hoch, aber p(A|BC) beträgt Null.
Beispiel: Die meisten Einwohner Deutschlands essen Schweinefleisch, aber nicht:
Die meisten islamischen Einwohner Deutschlands essen Schweinefleisch.
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Theoreme bedingter Wahrscheinlichkeit (sofern p(A|B) definiert):
(TB1): Für die auf B konditionalisierte Wahrscheinlichkeitsfunktion
pB(A) =def p(A|B) gelten alle Gesetze der unbedingten Wahrscheinlichkeit.
(TB2:) WennAB exhaustiv ist, dann gilt p(B|A) = 1. Die Umkehrung gilt nicht.
(TB3) p(AB) = p(A|B)p(B)
(TB4) Für jede Partition B1,,Bn giltp(A) = 1in p(ABi)  p(Bi)
(allg.
Multiplikationsprinzip). Speziell folgt: p(A) = p(A|B)p(B) + p(A|B)(1p(B))
(TB5) p(A|B) = p(B|A)  p(A) / p(B) (Bayes-Theorem, 1. Version)
(TB6) Für jede Partition A1,,An giltp(Ai|B) = p(B|Ai)p(Ai) / 1in p(BAi)p(Ai)
(Bayes-Theorem, 2. Version)
(TB7) Symmetrie der probabilistischen Abhängigkeit (sofern 1 > p(B), p(A) > 0):
p(A|B) > p(A) g.d.w. p(B|A) > p(B) g.d.w. p(A|B) > p(A|B) (analog für )
(TB7)  Symmetrie probabilistischer Abhängigkeiten
(TB5), (TB6)  Bedeutung bayesscher Theoreme liegt in Situationen, in denen man
an P(Ai|B) interessiert ist, aber nur inverse Wahrscheinlichkeit P(B|Ai) zugänglich ist.
Beispiel 1: Ai sind rivalisierende Hypothesen, B ein empirisches Resultat
Beispiel 2: Diagnoseprobleme, B Indikator für eine zu diagnostizierenden Zustand A.
Z.B.: B positiver Krebstestbefund, A Krebskrankheit.
Einfach messbar ist nur p(B|A).
("" für "unnegiert" oder "negiert")
p(B|A) die Sensitivität und p(B|A) die Spezifität des Indikators B für A.
p(A|B) Reliabilität des Indikators als Prognoseinstrument
Base rate fallacy: p(A|B) = p(B|A)p(A) / ( p(B|A)p(A) + p(B|A)p(A))
= 0,950,01 / ( 0,950,01 + 0,050,99) =
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= nur = 0,0095/0.059 = 0,16 = 16%.
Statistische Unabhängigkeit, Binomialverteilung und Gesetz der großen Zahl:
Unabhängige Wiederholungen desselben (identischen) Zufallsexperiments:
Beispiel: Ergebnisse von n Münzwürfen (x1,,xn), mit xi  {Zahl, Kopf}
Sprachlich dargestellt: Fx1Fxn
("F" für "Zahl", "F" für "Kopf")
Vereinbarung: i.te Variable der Formel, von links nach rechts angeordnet,
entspricht i.ter Durchführung des Zufallsexperimentes.
Unabhängigkeit bedeutet physikalisch, dass das Zufallsexperiment im Verlaufe
wiederholter Durchführungen seine Dispositionen nicht ändert (sonst: "MarkovKette").
Statistisches Unabhängigkeitsgesetz für Ereigniskombinationen:
Fx1Gx2, d.h. p(Fx1Gx2) = p(Fx)p(Gx)
(Produktgesetz)
In Worten: Statistische Wahrscheinlichkeit, in zwei Durchführungen einmal F und
dann G zu erzielen = Produkt der beiden Wahrscheinlichkeiten, in einmaliger
Durchführung F respektive G zu erzielen.
Mathematische Notation: p(F1,G2) = p(F1)p(G2)
Daraus folgt: p(Gx2|Fx1) = p(Gx2) und p(Fx1|Gx2) = p(Fx1).
Beispiel: Wahrscheinlichkeit, in zwei Würfen einmal eine Sechs und ein anderes Mal
eine gerade Zahl zu würfeln = (1/6)(1/2) = (1/12).
 Für subjektiven Wahrscheinlichkeiten kombinierter Ereignisse gilt das
Unabhängigkeitsgesetz im allgemeinen nicht.
Im Gegenteil: sobald das epistemische Wahrscheinlichkeitsmaß induktiv ist, wächst
unser Glaubensgrad dafür, dass das nächste Individuum ein F ist, mit der Häufigkeit
von bisher beobachteten F-Individuen an:
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Es gilt also P(Fa|Fb) > P(Fa) und somit P(FaFb) > P(Fa)P(Fb).
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Erklärung dieses Unterschieds:
 In subjektiver Wahrscheinlichkeitstheorie geht man davon aus, dass man
statistische Wahrscheinlichkeit nicht mit Sicherheit kennt.
Ist gegebenen Münze symmetrisch (p = 1/2) oder asymmetrische Münze mit Bias?
Dann induktiv sinnvoll, aus gehäuften Eintreten von Kopf zu schließen, dass die
Münze eher Kopf als Zahl ergibt.
 In der statistischen Wahrscheinlichkeitstheorie spricht man nicht über
Glaubensgrade, sondern über die statistische Wahrscheinlichkeit selbst und nimmt
diese als gegeben bzw. bekannt an.
Für diese gilt aufgrund physikalischen Unabhängigkeitsannahme das Produktgesetz.
D.h. wenn die Münze mit Häufigkeitsgrenzwert r auf Kopf landet, so tut sie dies
unabhängig von vorausliegenden Münzwürfen.
tiefliegender Unterschied zwischen obj. und subj. W.keit!
Aus statistischen Produktgesetz folgt Binomialgesetz (oder Bernoulli Gesetz) für nfache-Durchführung eines Zufallsexperimentes, bzw. Ziehen von n-elementigen
Zufallsstichproben:
Sei p(F) = p = Wahrscheinlichkeit von Merkmal F (schreibe kurz "p(F)" statt "p(Fx)")
hn(F) = relative Häufigkeit von Merkmal F in n-elementiger Zufallsstichprobe:
 
Binomialformel: p( hn(F) = kn ) =  nk   pk (1p)nk .
 
n
n!
 k  („n über k“) =
= Anzahl der Möglichkeiten, aus n Individuen k
(n
- k)!
k!

 
auszuwählen.
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18
18
p(hn) ( = Wahrscheinlichkeit einer Stichprobe mit F-Häufigkeit hn)
n = 1000
n = 100
n = 10
x
x
x
x
x
0
x
x
x
Drei Binomialverteilungen
Normalverteilungen).
x
p(hn=k/n)
hn= kn (Stichprobenhäufigkeit von F)
für
p=1/2
(approximiert
durch
Für zunehmende Stichprobengrößen n immer steilgipfeliger ( = p (1 - p)/n ) .
Daraus ergeben sich:
Gesetze der großen Zahlen:
Schwaches Gesetz der großen Zahlen: Für jede noch so kleine positive Zahl  strebt
die Wahrscheinlichkeit dafür, dass hn(F) von p(F) um weniger als  abweicht, für n
gegen unendlich gegen 1.
Starkes Gesetz der großen Zahlen: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der
Häufigkeitsgrenzwert
von
F
in
einer
unendlichen
Zufallsfolge
mit
der
Wahrscheinlichkeit von F übereinstimmt, beträgt 1. (Beweis benötigt -Addditivität)
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Intuition: Gesetze der großen Zahlen sei "Bestätigung" statistischer W.keitstheorie.
Doch nur formale Theoreme, die für W.keit in jeder Interpetation gelten.
Das erkennt man daran dass die Konvergenz der Häufigkeiten nur mit W.keit
behauptet wird  was je nachdem, wie „W.keit“ interpretiert wird, unterschiedliches
bedeutet.
Interpretiert man Wahrscheinlichkeiten subjektiv, so besagt starkes Gesetz:
Mit subjektiver Sicherheit (P = 1) wird geglaubt, dass Häufigkeitsgrenzwert in einer
unendlichen Folge von (subjektiv) gleichwahrscheinlichen und voneinander unabhängigen Ereignissen mit der Glaubenswahrscheinlichkeit der Ereignisse übereinstimmt.
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Sigma-Additivität (unendliche Additivität): P/p heißt -additiv g.d.w.:
die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von unendlich vielen paarweise disjunkten
Ereignissen = unendliche Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten.
 Problem: Unendliche Summe iN p({i}) kann nur dann Wert 1 (bzw. einen Wert
größer als Null und kleiner enendlich) annehmen, wenn die Folge der
Wahrscheinlichkeiten p({i}) hinreichend schnell gegen Null strebt (ohne nur aus
Nullen zu bestehen):
p=1
p=0
|N
-additive Wahrscheinlichkeitsmaße über |N.
Annahme zwingt jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung über einem abzählbar
unendlichen Möglichkeitsraumeinen Bias auf; ist daher nicht generall adäquates
Axiom.
Kelly (1996): -Additivität von subjektiven Wahrscheinlichkeiten impliziert
schwache induktive Annahme: Für universelle Hypothese xFx über unendlichen
Bereich D muss W.keit, dass das n.te Individuum die erste falsifizierende Instanz von
xA(x) ist, mit zunehmenden n schnell gegen Null gehen.
Humescher Induktionsskeptiker würde nicht zustimmen:
nach jeder noch so großen endlichen Anzahl bestätigender Beobachtungen Fa1,,Fan
verbleiben unendlich viele unbeobachtete Individuen, die Allyypothese falsifizieren
können, weshalb für Induktionsskeptiker W.keit nicht gesunken ist.
 Nicht--additive W.keitsmaße: Bhaskara Rao & Rao (1983), Schurz & Leitgeb
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(2008). Erfüllen schwächerer Gesetze, z.B. p(ip({i}))  iN p({i}).
3. Probabilistische Rechtfertigung von Schlussarten
Deduktive Schlüsse sind sicher; induktive bzw. nichtdeduktive Schlüsse sind
unsicher. Beispiel:
Deduktiver Schluss
Induktiver Schluss
Alle Fische sind Kiemenatmer.
Alle bisher beobachteten Fische (Nr. 1,
Dieses Tier ist ein Fisch.
(2,....,n) waren Kiemenatmer.
Also ist dieses Tier ein Kiemenatmer.
Also sind (wahrscheinlich) alle Fische
Kiemenatmer.
Sicher: Wahrheitsübertragung in allen
Unsicher: Wahrheitsübertragung nur in
möglichen Welten
genügend ,uniformen‘ möglichen Welten.
Einfache Schlussstrich indiziert Sicherheit, der Doppelstrich Unsicherheit.
Induktive Schlüsse (im engen "Humeschen" Sinn) übertragen beobachtete
Zusammenhänge auf neue nicht beobachtete Fälle  sind "gehaltserweiternd".
Weitere nicht-deduktive Schlussart:
Abduktion bzw. Schluss auf die beste Erklärung.
Geht auf C.S. Peirce zurück.
 Einfach gesagt: Schluss von beobachteter Wirkung auf unbeobachtete) Ursache.
Schlussschema der Abduktion (Niiniluoto 1999):
Prämisse 1: Ein erklärungsbedürftiges (singuläres oder generelles) Faktum E.
,Prämisse‘ 2: Ein Hintergrundwissen W, das für eine gewisse Hypothese H
impliziert:
H
ist
eine
plausible
und
unter
Erklärungskandidaten die beste Erklärung für E.
den
gegenwärtig
bekannten
21
22
22
Abduktive Vermutung: H ist wahr.
 Durch abduktive Schlüsse können neue theoretische Begriffe/Modelle eingeführt
werden: Newton schloss aus der Bewegung der Planeten um die Sonne abduktiv auf
die Existenz einer Gravitationskraft.
 Geltungsstatus einer abduktiv erschlossenen Hypothese sehr unsicher und
vorläufig: die abduzierte Hypothese muss durch Deduktion und Induktion weiter
getestet werden.
Probabilistische Rechtferigung von Schlussarten: Man fragt nach der Höhe der
bedingten epistemischen Wahrscheinlichkeit der Konklusion, gegeben die Prämissen.
 Soll möglichst hoch sein und von möglichst wenig subjektiven Annahmen
abhängen.
23
3.1 Deduktives Schließen
"||" für logische Folgebeziehung
Wahrscheinlichkeitstheorie und logische Folgerung:
Sei P die Menge aller möglichen epistemischen Wahrscheinlichkeitsfunktionen über
den Propositionen einer Sprache L. Es stehe U(A) =def 1P(A) für die sogenannte PUnsicherheit von Satz A. Dann gilt für alle Sätze A1,,An, B:
(1.)
(i) A1,,An B g.d.w.
(ii) PP: P(B|A1An) = 1 g.d.w.
(iii) PP: P(B)  P(A1An) g.d.w.
(iv) PP: wenn P(A1An) = 1dann P(B) = 1.
In Worten: (i) Eine Konklusion folgt aus einer Menge von Prämissen, g.d.w.
(ii) die bedingte Konklusionswahrscheinlichkeit gegeben die Prämissenkonjunktion
ist für alle Wahrscheinlichkeitsfunktionen 1, g.d.w.
(iii) die Konklusionswahrscheinlichkeit ist für alle Wahrscheinlichkeitsfunktionen
größer oder gleich der Wahrscheinlichkeit der Prämissenkonjunktion, g.d.w.
(iv)
die
Konklusionswahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeitsfunktionen
1,
für
die
beträgt
für
Wahrscheinlichkeit
alle
der
Prämissenkonjunktion 1 beträgt.
(2.) PP: U(A1An)  U(A1) +  + U(An).
In
Worten:
Die
Unsicherheit
einer
Satzkonjunktion
für
alle
Wahrscheinlichkeitsfunktionen kleiner oder gleich der Summe der Unsicherheiten
der Einzelsätze.
("Unsicherheitssummenregel", "uncertainty sum rule", Suppes 1966).
(3.) (folgt aus 1.+2.) A1,,An B g.d.w.
PP: U(B)  U(A1) +  + U(An).
23
24
24
In Worten: Eine Konklusion folgt aus einer Menge von Prämissen, g.d.w. die Summe
der Prämissenunsicherheiten für alle Wahrscheinlichkeitsfunktionen kleiner oder
gleich der Konklusionsunsicherheit ist.
 Zusammenhang zwischen logischer Folgerung und Wahrscheinlichkeit bezieht
sich auf das, was in allen Wahrscheinlichkeitsmodellen gilt.
ur Erfassung des Zusammenhangs muß man die Wahrscheinlichkeit der
Konjunktion aller Prämissen kennen.
Hinweis: Popper (1935/76, Anhänge II*, IV*) zeigt, dass sich die KomolgorovW.keit sogar ohne vorausgesetzten Folgerungsbegriff axiomatisieren lässt, woraus
man eine Definition von logischer Folgerung durch Wahrscheinlichkeit gewinnt.
25
3.1* Schließen aus unsicheren Konditionalen
Unsicheres Konditionale ausgedrückt durch Doppelpfeil A B:
Bedeutet: As sind normalerweise/meistens Bs; d.h. bedingte W.keit P(B|A) ist hoch.
Nicht dasselbe wie hohe unbedingte Wahrscheinlichkeit der materialen Implikation.
Es gilt nur P(AB) = P(AB)  P(B|A), aber trotz hohem P(AB) kann P(B|A)
klein sein.
Beispiel: P(BundeskanzlerZirkusclown) ist hoch, weil die meisten Personen keine
Bundeskanzler sind, aber P(Zirkusclown|Bundeskanzler) ist sehr gering.
Für  gelten schwächere Gesetze als für : Beispiel:

 erfüllt Transitivität: Alle Fs sind Gs, Alle Gs sind Hs Alle Fs sind Hs“.

 aber erfüllt Transitivität nicht. Z.B.:
"Die meisten Deutschen leben nicht in München"
"die meisten nicht in München lebenden Menschen sind keine Deutschen", aber nicht
"Die meisten Deutschen sind Nichtdeutsche".
25
26
26
Regeln der konditionalen Wahrscheinlichkeitslogik, System P (Adams 1975)
Vorsichtige Transitivität VT:
A  B, AB  C |P A  C
Vorsichtige Monotonie VM:
A  B, A  C |P AB  C
Vorsichtige Disjunktion VD:
A  C, B  C |P AB  C
Supraklassikalität SK:
Wenn A  B, dann |P A  B.
Einige abgeleitete Regeln:
Konjunktion K:
A  B, A  C |P A  BC
Linke Logische Äquivalenz LLÄ:
Wenn | A  B, dann A  C |P B  C
Rechte Abschwächung RA:
Wenn | B  C, dann A  B |P A  C
Vorsichtiger Konditionalbeweis VKP: AC  B |P A  (B C)
Theorem (Adams 1975): A1 ,,An  Bn |P C D
g.d.w. für alle
Wahrscheinlichkeitsfunktionen Pgilt: U(D|C)  U(B1|A1) +  + U(BnAn).

(Semantik dieses Schließens beschränkt sich auf Unsicherheitssummenregel)
Problem:
Bei
mehreren
unsicheren
Unsicherheitszuwachs: Konjunktionsproblem.
Prämissen
gibt
es
einen
27
3.2 Induktives Schließen
Die wichtigsten probabilistischen Formen induktiver Schlüsse:
Induktiver Generalisierungsschluss:
(a) Statistisch:
Informell: r% aller bisher beobachteten Indiviuduen waren Fs, also sind
wahrscheinlich zirka r% aller Individuen Fs.
Halbformal: (wobei "[r]"  symmetrisches 2-Intervall um r für kleines ):
Der Wert von
P(„p(Fx)  [ kn ]“ | hn(F) = kn ) ist so-und-so hoch (abhängig von  und n), und strebt
für n gegen 1.
(b) Strikt: (Spezialfall von (a)):
Alle bisher beobachtetenIndividuen waren Fs, also sind wahrscheinlich alle
Individuen Fs.
Der Wert von P(xFx | Fa1Fan) ist so-und-so hoch (abhängig von n), und strebt
für n gegen 1.
 Damit induktive Schlüsse probabilistisch gelten, muss zugrundeliegende W.keitsfunktion zusätzliche induktive Bedingungen erfüllen (z.B. Vertauschbarkeit,
Indifferenz)  genaues später. Erst dann kann man genaue W.keitswerte (rot)
präzisieren.
Vertauschbarkeit: P(F(a1)) = P(F(ai)) für beliebige Individuenkonstanten ai (schwach)
Indifferenz: P(F(a)) = P(F(a)) und P(Fa) = P(Ga) für beliebige Prädikate G; somit
P(F(a)) = 0.5 (stark!)
 Nicht-zirkuläre Rechtfertigung induktiver Wahrscheinlichkeitsschlüsse ist ohne
27
28
Annahme zusätzliche induktiver Axiome nicht möglich.
28
29
Induktiver Voraussageschluss:
(a) Statistisch:
r% aller beobachteten Individuen waren Fs, also wird mit einer r% nahekommenden
Wahrscheinlichkeit auch das nächste Individuum ein F sein.
Halbformal: P(Fan+1 | hn(F) = kn ) liegt -nahe bei kn ( abhängig von n) und strebt für
n gegen r.
(b) Strikt (Spezialfall von (a)):
Alle bisher beobachteten Indivuduen waren Fs, also ist mit hoher Wahrscheinlichkeit
auch das nächste Individuum ein F.
Halbformal: P(Fan+1 | Fa1Fan) = so-und-so hoch (abhängig von n), und strebt für
n gegen 1.
Induktiver Spezialisierungsschluss:
(a) Statistisch:
r % aller Fs sind Gs, dies ist ein F, also wird dies mit r% Wahrscheinlichkeit ein G
sein.
Formal: P(Ga| p(Gx|Fx) = r  Fa) = r.
(b) Strikt  dieser Schluss ist deduktiv gültig: x(FxGx), Fa / Ga.
Auch
statistischer
Spezialisierungsschluss
(a)
beruht
auf
induktiver
Uniformitätsannahme (Grundgesamtheit Einzelfall).
Macht nur Sinn, wenn "F" die Bedingung der engsten Referenzklasse erfüllt.
 Diese induktiven Schlussarten sind  obwohl unsicher  formale Schlussarten:
Gelten inhaltsungebunden. Ihre Korrektheit ist unter Ersetzung ihrer nichtlogischen
Symbole durch syntaktisch formgleiche Symbole abgeschlossen.
29
30
30
3.3 Abduktives Schließen (verallgemeinerter Bayesianismus)
Auch Rechtfertigung abduktiver Schlüsse bedarf zusätzlicher probabilistischer
Annahmen  aber:
diese sind im Regelfall nicht mehr durch zusätzliche formale Axiome begründbar,
sondern benötigen inhaltsspezifische Annahmen für P (sind auf inhaltlich bestimmte
Hypothesen bezogen; sind abhängig von relevantem Hintergrundwissen).
Konklusion abduktiver Schlüsse im einfachsten Fall:
P(H1|E) > P(H2|E)
H1 und H2 rivalisierende Hypothesen, die Erfahrungsdaten E implizieren oder wahrscheinlich machen.
Beispiel: Gegeben heutiger Beobachtungsstand ist Darwinsche Evolutuionstheorie
wahrscheinlicher als Linnésche Theorie unvergänglicher Arten.
Bayes-Theorem und abduktives Schließen:
P(H1|E) > P(H2|E) g.d.w. P(E|H1)P(H1) > P(E|H2)P(H2).
In Worten: Eine Evidenz macht eine Hypothese wahrscheinlicher als eine zweite,
genau dann wenn das Produkt aus Likelihood und Ausgangswahrscheinlichkeit der
ersten Hypothese größer ist als das der zweiten.
Welches Hi von am wahrscheinlichsten gemacht wird, hängt von zwei Faktoren ab:
(1) dem Likelihood von Hi, P(E|Hi), = inverse Wahrscheinlichkeit von E gegeben Hi,
mißt die Stärke der Implikationsbeziehung von Hi für E, sowie
(2) der Ausgangswahrscheinlichkeit P(Hi) der Hypothesen (Problem: Subjektivität)
 Beide Faktoren hängen – zumindest oft - von inhaltlichen Natur von E und Hi und
dem gegebenen Hintergrundwissen ab.
Rechtfertigung abduktiven Schließens als formale Schlussart so nicht möglich.
(Man müsste hierfür die formale Struktur von Hi und E spezifizieren.)
31
4. Probleme des objektiv-statistischen Wahrscheinlichkeitsbegriffs
Definitionsfragen: Was ist Wahrscheinlichkeit? Wie lässt sie sich explizieren?
Rechtfertigungsfragen: Wie lassen sich die Wahrscheinlichkeitsaxiome rechtfertigen?
Warum ist der so explizierte W.keitsbegriff wissenschaftlich/praktisch relevant?
 Die Probleme des statistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff sind vor alledem
Definitionsprobleme, die des subjektiven Wahrscheinlichkeitsbegriffs Rechtfertigungsprobleme.
4.1 Rechtfertigung statistischer Wahrscheinlichkeit

Geltung der Axiome: Man kann zeigen, dass sowohl Häufigkeiten wie
Häufigkeitsgrenzwerte die Basisaxiome erfüllen.
(Nur -Additivität ist nicht erfüllt. Ausserdem: Menge der Ereignisse, die
Häufigkeitsgrenzwert besitzen, nicht immer abgeschlosseen unter algebraischen
Operationen; lösbare Spezialprobleme: Schurz und Leitgeb 2008).
Relevanz der statist. W.keit:
Entscheidungstheorie (z.B. Raiffa 1973):
Erwartungswert (langfristiger Mittelwert) des Nutzen einer Handlungsweise hängt
von den statistischen W.keiten der möglichen Umstände ab, die für ihre
Auswirkungen relevant sind.
(Allerdings hat Kenntnis des "Häufigkeitsgrenzwertes" nur praktische Relevanz,
wenn es induktiven Zusammenhang zur "Häufigkeit auf kurze Sicht" gibt; s. später.)
31
32
32
Mögliche Handlungsweisen: h1,,hn
Mögliche Umstände: u1,,um
Erwartungsnutzen der Handlung hi: EN(hi) = 1im N(hi,uj)p(uj)
In Worten: Der EN einer Handlung ist die Summe ihrer Nutzwerte in allen möglichen
Umständen, jeweils multipliziert mit dem Wahrscheinlichkeitswert des Umstandes.
 Um den Durchschnittsnutzen zu maximieren, müssen die statistischen
Wahrscheinlichkeiten zumindest näherungsweise bekannt sind  darin liegt ihre
Relevanz.
Beispiel: Ich stehe vor der Entscheidung, ein Auto zu kaufen oder nicht.
Nutzenmatrix (relative Nutzwerte; mit Konstante multiplizierbar):
Mit dem Auto
Mit öffentlichen Verkehrsmitteln
Nutzen Stadtfahrten (Häufigkeit p)
1
2
Nutzen Landfahrten (Häufigkeit 1p)
3
2
EN(Auto) = 1p + 3(1p) = 3  2p
EN(Öffentlich) = p2 +(1p)2 = 2
Annahme p = 2/3: Dann EN(Auto) = 5/3 < EN(Öffentlich) = 2 liegt.
Gleichgewichtswahrscheinlichkeit: 32p = 2  p = 0.5.
33
4.2 Definition / Explikation statistischer Wahrscheinlichkeit
Begriff des Häufigkeitsgrenzwertes ist theoretische Idealisierung  definierbar nur
durch "kontrafaktische" Aussage:
p(Fx) = r bedeutet: wenn man das zugrundeliegende Zufallsexperiment (mit
möglichem Ergebnis F) unendlich oft wiederholen würde, würden die Häufigkeiten
von F gegen den Grenzwert r konvergieren.
 ist gesetzesartige Aussage über die Disposition des zugrundeliegenden
Zufallsexperimentes bzw. physikalischen Prozesstyps.
Problem 1: Kontrafaktische Aussagen lassen sich durch die Beobachtungen endlicher
Häufigkeiten niemals definitiv verifizieren/falsifizieren, sondern nur induktiv
bestätigen/schwächen.
 Nicht "schwerwiegend": auch strikte Gesetzesaussagen wie Zucker ist
wasserlöslich müssen durch kontrafaktische Konditionale expliziert werden: Zucker
ist auch dann wasserlöslich, wenn man ihn nie ins Wasser gegeben nicht.
Problem 2 (Kernproblem, spezifisch für statistische W.keiten): durch wiederholte
Durchführungen des Zufallsexperimentes können potentiell unendlich viele potentiell
unendlich anwachsende Ergebnisfolgen (e1,e2,)   produziert werden.
Beispiele:
 Gesamtfolge aller Würfe aller Personen (hypothetisch verlängert…)
 jede Person ihre eigene Folge
 jeder Würfel hat seine eigene Folge,
 Folge aller Würfelwürfe in Januarmonaten (usw. ...).
33
34
34
Warum sollten alle diese (idealisierten) Folgen denselben Häufigkeitsgrenzwert p(Fx)
besitzen. Warum sollten sie alle überhaupt einen Häufigkeitsgrenzwert besitzen?

 Problem: Häufigkeitsgrenzwerte sind abhängig von der Anordnung der Ereignisse
in einer gegebenen Folge.
Durch Permutationen (Umordnungen) oder Stellenauswahlen einer gegebenen
Ereignisfolge kann sich ihr Häufigkeitsgrenzwert drastisch ändern;
Beispiel:
Sei (1,0,0,1,1,0,1,0,) beliebige Zufallsfolge mit  vielen 1en und 0en und
beliebigen Häufigkeitsgrentzwert (z.B. p = 1/5).
Wir können daraus durch Umordnung Folgen mit beliebigem anderen Grenzwert
r = kn konstruieren (für k<n; k,n > 0):
Wir nehmen die ersten k 1en, die ersten n-k 0en, die nächsten k 1en, die nächsten
nk 0en, usw. [Zeichnung]
 1en und 0en gehen diese niemals aus
 jedes Element der Folge "kommt dran".
Man kann auch Folgen ohne Häufigkeitsgrenzwert konstruieren, z.B. eine Folge
deren Häufigkeiten ewig zwischen 2/3 oszillieren:
Nimm so viele Einsen wie nötig um hx(1) auf  2/3 hochzutreiben, dann soviele 0en
wie nötig, um die Häufigkeit hn(1) auf  1/3 zu senken, usw. [Zeichnung]
 Noch einfacher sind ,seltsamen‘ Folgen statt durch Umordnungen durch
Stellenauswahlen erzeugbar. [Zeichnung]
Von Mises beschränkt sich auf Stellenauswahlen.
35
Knackpunkt des Problems (von Mises):
Solche Konstruktionen sind ergebnisabhängig: Man muss das Ergebnis der Stelle n
kennen, um zu wissen, ob man sie auswählt (bzw. bei Umordnung vorzieht).
Solche Folgen sind keine Zufallsfolgen. Sie "zählen" daher nicht.
Einwand: Wäre es nicht möglich, dass häufigkeitsabweichende Ergebnisfolgen mit
einer regulären Münze durch extrem unwahrscheinlichen Zufall erzielt werden?
"Naiver" Lösungsvorschlag: Gesetz der großen Zahlen (GGZ) besagt ja nicht, dass in
allen Zufallsfolgen der Häufigkeitsgrenzwert von Fx mit p(Fx) übereinstimmt,
sondern lediglich, dass er dies mit Wahrscheinlichkeit 1 tut.
Einwand: Als Definition betrachtet ist GGZ zirkulär:
im Definiens kommt Ausdruck „mit Wahrscheinlichkeit 1“ vor.
 Vgl. Literatur: Skyrms (1980, 29f), Eagle (2004, 396f). Hájek (1999, 223),
Kutschera (1972, 104). Stegmüller (1973b, 37): „tödlicher Einwand“.
Inwiefern ist die zirkuläre Definition wertlos?
Weil sie Wahrscheinlichkeitsbegriff inhaltlich nicht bestimmt; nicht zwangsweise mit
Häufigkeiten verbindet  folgt schon daraus, dass GGZ aus Axiomen logisch folgt.
Fiktives Beispiel: Angenommen P bedeutet "rationaler Erwünschtheitsgrad":
Dann besagt GGZ, dass es in maximalem Grad erwünscht ist, dass die Häufigkeiten
mit Erwünschtheitsgrad übereinstimmt.
Versucht man Bedingung „p = 1“ erneut mit GGZ umzuformen, gerät man in
infiniten Regress (Spezialfall des Zirkularitätsproblems):
„p(Fx) = r“  „mit Wahrscheinlichkeit 1 ist in einerZufallsfolge vonZufallsfolgen
Häufigkeitsgrenzwert jener Folgen mit Häufigkeitsgrenzwert = p(Fx) gleich 1“.
 Bedingung „mit Wahrscheinlichkeit 1“ kann so nicht eliminiert werden.
35
36
36
Lösung(sversuch) des Zirkularitätsproblem durch von Mises (1928, 1964):
Annahme einer einzigen Grundfolge von Experimentrealisierungen
Z.B. "Folge aller Würfe mit Würfeln desselben physikalischen Typs"  hypothetisch
verlängert in die Zukunft: ein "statistisches Kollektiv".
Reale Einzelfolgen werden
durch
den
Begriff der
ergebnisunabhängigen
Stellenauswahl charakterisiert  wird gemäß Weiterführung durch Wald und Church
mittels Begriffs der berechenbaren Funktion erklärt:
Definition (von Mises 1928, Church 1940):
Eine zulässige Stellenauswahl s der Grundfolge g = (e1,e2,) ist eine berechenbare
Funktion, die angewandt auf eine beliebige Stelle n|N von g besagt, ob diese Stelle
ausgewählt werden soll (+) oder nicht () (s(n,Input)  {+,}).
Als zusätzlicher Input für s(n) fungieren die vorausliegenden Ergebnisse der
Grundfolge (e1,,en1), aber nicht aber das Ergebnisse en.
s(g) = die durch Stellenauswahl s aus g erzeugte Folge.
Eine Grundfolge g ist statistische Grundfolge g.d.w.t:
(a) (Konvergenzbedingung). Jedes mögliche (disjunktive) Ereignis E in der Algebra
AL über (abzählbarem)  besitzt in g einen Häufigkeitsgrenzwert p(E)
(b) (Zufälligkeitsbedingung): dieser Häufigkeitsgrenzwert ist insensitiv gegenüber
zulässigen Stellenauswahlen.
Zufallsfolgen = alle durch zulässige Stellenauswahlen gewonnene Teilfolgen von g.
37
Leistungen des von Mises Ansatz:
 Natürliche Definition von "Zufallsfolge"
 Ermöglicht Beweis statistischen Unabhängigkeitsgesetzes für Zufallsfolgen:
p(Fx1Gx2) = p(Fx)p(Gx)  d.h. bei von Mises:
Limes-h von Paaren (Fn,Gn+1) in g = (Limes-h von F-in-g)(Limes-h von G-in-g)
für endliche Häufigkeiten gilt Unabhängigkeit schon durch simple Kombinatorik)
 Beweis Binomialgesetz im von Mises Rahmen
 GGZ im von Mises Rahmen:
Grundfolge enthält unendliche Folge von überlappenden unendlichen Folgen:
Für Folgen von zulässig ausgewählten Teilfolgen gilt GGZ "per definitionem".
GGZ ist im von Mises Rahmen für noch größere Klasse beweisbar (Schurz 2015).
 Von Mises‘schen Ansatzes löst fast alle bekannten Einwände gegen
frequentistische Wahrscheinlichkeiten (Übersicht in Hájek 1999).
Nur ein Einwand verbleibt (Wiederholung):
 Einwand Schritt 1: W.keit als idealisierte Dispositionon ist nicht empirisch (nur
kontrafaktisch) definierbar.
 Antwort: ist positive Einsicht! Statistische W.keit ist theoretischer Begriff.
Bezieht sich auf mögliche Verlängerungen der bisher erzeugten Zufallsfolge.
 Einwand Schritt 2: Dann gibt es aber doch nicht nur eine, sondern unendliche
vielen Zufallsfolgen (auch ‚Grundfolgen‘) qua theoretisch (physikalisch) mögliche
Fortsetzungen realer (bisheriger) Zufallsfolgen (der Einwand kehrt wieder).
37
38
38
M.E. gibt es nur zwei sinnvollen Methoden, auf den Einwand zu reagieren:
Methode 1: Annahme dass strikt alle physikalisch mögliche (hypothetisch
fortgesetzte) Zufallsfolgen gegen denselben Grenzwert konvergieren.
Nullwahrscheinliche Zufallsfolgen werden als physikalisch unmöglich erachtet.
 Methode ist "im Geiste von Mises' (enthält nur "statistische" W.keit.)
Methode 2: Nullwahrscheinliche Zufallsfolgen sind physikalisch möglich.
Phrase „mit Wahrscheinlichkeit 1“wird  um der Zirkularität zu entgehen  als
epistemische (induktive) Wahrscheinlichkeitsaussage betrachtet (Kolmogorov 1933,
Cramér 1946: „praktischen Sicherheit“).
 Vorschlag führt zu dualistischen W.keitsbegriff.
Schurz 2015: Vorteil "statistischer Reinheit" von Methode 1 ist oberflächlich, denn:
 Sobald man die Frage des empirischen Gehaltes statistischer W.keitsaussagen
stellt,
ist
man
(auch
bei
Methode 1)
gezwungen, induktiv-epistemische
Wahrscheinlichkeitsannahmen zu machen.
Diese Aussagen bleiben dieselben, egal ob man Methode 1 oder 2 anwendet
(w.keitstheoretisch besteht zwischen "p=1" und "unmöglich" kein Unterschied.)
Schurz 2015: statistisch-dualistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff.
39
Empirischer Gehalt statistischer Wahrscheinlichkeitsaussagen:
Es gibt keine Beobachtungsaussage, die aus Aussage über Häufigkeitsgrenzwert
logisch folgt: limnhn(E) = r ist mit jedem hn(E) = q logisch verträglich.
[Zeichnung]
 Problem wurde weder von von Mises noch von Reichenbach befriedigend gelöst.
Konvergenzkriterium sagt uns nie, wie nahe wir "jetzt" schon am Grenzwert sind
(Lenz 1974).
Traditionelle Definition von "empirischer Gehalt" ist deduktiv.
Muß auf beobachtbare induktive-wahrscheinliche Konsequenzen erweitert werden.
Mithilfe des induktiven Spezialisierungsschlusses, der Häufigkeitsgrenzwert von
Stichprobenhäufigkeiten
(berechenbar
mittels
Binomialgesetz)
als
Glaubenswahrscheinlichkeit auf einzelne Stichproben überträgt (vorbehaltlich
"Prinzips der engsten Referenzklasse").
 Ist ein induktives Prinzip ("statistisch-induktives Koordinationsprinzip", Strevens
2004, s. später).
Beispiel: Glaubenswahrscheinlichkeit, in einem Münzwurfexperiment mit einer
regulären Münze in 10.000 Würfen zwischen 4900 und 5100 mal Kopf zu erzielen,
beträgt 95%.
Gehört zum induktiv-empirischen Gehalt der statistischen Hypothese p(Kopf) = 1/2.
Grundidee der statistischen Testtheorie: Statistische Hypothese "p(Fx)=r" nur
solange akzeptierbar, solange die beobachteten Stichprobenhäufigkeit hn(Fx) unter
Annahme von der Wahrheit von "p(Fx)=r" nicht zu unwahrscheinlich ist (s. später.)
39
40
40
4.3 Objektive Zufälligkeit, Determinismus und Indeterminismus
Ontologie: Statistische Wahrscheinlichkeitsbegriff ist Dispositionsbegriff.
Generische Propensität des zugrundeliegenden Zufallsexperimentes (Popper 1959).
 Statistische W.keit wird nicht identifiziert mit Häufigkeitsgrenzwert, sondern mit
Disposition, diesen Häufigkeitsgrenzwert tendenziell zu produzieren.
Ganz anders singuläre Propensitäten = objektive Wahrscheinlichkeiten von
Einzelereignissen  die von Popper (1990) einführte  um seinen Deduktivismus zu
verteidigen.
Singuläre Propensitäten, die nicht generischen Propensitäten beruhen, sind kognitiv
fragwürdig, weil völlig unüberprüfbar.
Beispiel: In diesem Münzwurf gelang es dem Mentalisten Uri Geller mithilfe seiner
Geisteskraft, die Münze auf Kopf landen zu lassen (allerdings gelingt ihm dies nur in
50% aller Fälle).
W.keit, eine 1 in diesem Münzwurf zu werfen, ist bestimmt durch statistische W.keit
in zugrundeliegenden Zufallsexperiment ...
... plus Reichenbachs Prinzip der engsten Referenzklasse: ich muß auf gesamte
relevante Information über Zufallsexperiment konditionalisieren.
 Führt uns zum Unterschied zwischen (folgen-)interner und objektiver Zufälligkeit.
Interne Zufälligkeit (von Mises' Definition): betrachtet nur Abhängigkeiten (der
Stellenauswahlen) von vorausliegenden Ereignissen innerhalb der Folge
Objektive (externe) Zufälligkeit: auch Abhängigkeiten von vorausliegenden externen
Ereignissen werden mit einbezogen (Reichenbach 1949, Salmon 1984).
41
Die Ergebnisse eines Zufallsexperimentes sind objektv zufällig, wenn sie intern
zufälig (im Sinne von von Mises) sind und der Häufigkeitsgrenzwert ihrer
Zufallsfolgen auch insensitiv gegenüber zulässigen externen Stellenasuwahlen ist
(Stellenauswahlen abhängig von externen Fakten in der Vergangenheit des
Zufallsereignisses)
Beispiel:
Prozess des Werfens eines Würfels erzeugt interne und objektive Zufallsfolge.
Prozess des willentlichen Legens eines Würfels kann ebenfalls intern zufällige
Ergebnisfolge generieren, die aber nicht objektiv zufällig ist, weil sich die Resultate
durch Willensentschluss der Person voraussagen lassen.
Frage: Setzt der Begriff der objektiven Zufälligkeit die Annahme eines
Indeterminismus der Naturgesetze voraus?
Traditionelle Ansicht: Ja. Z.B. Coffa (1974), Salmon (1989).
Moderne Ansicht: Nein. Z.B. Norton (2009), Strevens (2008).
Traditionelle Ansicht: Genuinen Zufall gibt
es nur in der Mikrophysik /
Quantenphysik, aber nicht in der klassischen Physik, denn die Gesetze der
klassischen Physik sind deterministisch.
Beispiel: Radiokative Zerfall ist objektiver Zufallsprozess.
Regulärer Münzwurf nur interner und epistemischer Zufallsprozess.
 W.keit dafür, dass dieses radioaktive Cäsium-137 Atom in nächsten 30 Jahren
zerfällt,
ist
1/2,
gegeben
vollständiges
physikalisches
Wissen
über
Anfangsbedingungen.
 W.keit dass Münze in diesem Münzwurf auf Kopf fällt, gegeben vollständiges
physikalisches Wissen, ist nicht 1/2, sondern 0 oder 1.
(?)
41
42
42
Problem der traditionellen Ansicht:
 Warum spielen scheinbar objektive Zufallsprozesse in Alltagswelt (Bereichen
der klassischen Physik) eine so große Rolle?
 Warum ist es noch niemandem gelungen, die Resultate eines Roulettespiels mit
signifikant überzufälligem Erfolg vorauszusagen?
 D.h.: wie erklären sich makrophysikalische Zufallsprozesse?
Eine moderne Ansicht: Es gibt auch in klassischer Physik objektive Zufallsprozesse.
Instabile Systeme sind trotz deterministischer Gesetze unvoraussagbar und objektiv
zufällig.
Erster Teil der Erklärung:
Lösungen von gewöhnlichen deterministischen Differentialgleichungen können
instabile Punkte (Bifurkationen) besitzen.
 Systeme in instabilen Zuständen sind hochgradig sensitiv gegenüber minimalen
Variationen der Anfangsbedingungen: für jede (unmeßbar) kleine Variation derselben
weichen die hervorgehenden Trajektorien schon bald maximal voneinander ab.
Beispiel: Ideale Kugel plaziert auf der Spitze einer idealen Halbkugel  auf welcher
Seite die Kugel herunterrollen wird, wird von unmessbar kleinen Fluktuationen
bestimmt und ist daher unmöglich voraussagbar.
Chaotische Systeme: Anhäufung instabiler Punkte
"deterministisches Chaos", Schuster 1994)
Determinismusfreundliche Philosophen wenden ein, dass es sich hier nur um
praktische und keine prinzipielle Unmöglichkeit handle.
 Irrtum, da Fluktuationen so gering sind, dass sie in quantenphysikalische
Dimensionen fallen, wo genauer Messbarkeit prinzipielle Grenzen gesetzt sind.
43
Zweiter Teil der Erklärung:
 Bisher wurde nur erklärt, warum Würfelwurf ein objektiv unvoraussagbarer
Zufallsprozess ist  weil minimale Schwankungen in Anfangsbedingungen (minimale
Luftbewegungen etc.) darüber entscheiden, welche Würfelseite oben liegen wird.
Frage: Warum führt dies (bei einem symmetrischen gebauten Würfel) zu einer
stabilen Gleichverteilung der Ergebnisse?
Nichts
garantiert,
dass
die
W.keitsverteilung
über
makrophysikalische
Anfangsbedingungen gleichverteilt ist:typischerweise werfen unterschiedliche
Personen anders; einige heftiger, anderen sanfter, usw.
 Warum produzieren verschiedenen Personen und Wurftechniken dennoch
dieselben Häufigkeitsgrenzwerte?
Erklärung der Gleichverteilung von Würfelwurfergebnissen trotz fast beliebiger
makrophysikalischer Anfangsverteilung
 Weil nicht alle, aber fast alle (99,99% aller)  Häufigkeitsverteilungen über
makrophysikalischen
Anfangsbedingungen
zu
Gleichverteilung
der
Ergebnishäufigkeiten des Würfelwurfes führen (Strevens 2008, Schurz 2015):
Wir
betrachten
die
Abhängigkeit
der
Würfelwurfresultate
(Y)
von
makrophysikalischen Anfangsbedingungen (X).
Einfacheres Beispiel Glücksrad: X umfaßt nur Anfangsgeschwindigkeit des Glücksrades; abhängige Variable Y diskret, umfasst Werte 0,,n.
Knackpunkt ist „Mikroperiodizität“ (Strevens):  Minimale Änderungen der XVariable bewirken Maximalveränderung und damit einen Periodenzyklus der YVariable.
43
44
44
Funktionsgraph von Y in Abhängigkeit von X ist extrem steil
Fast alle makrophysikalischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen haben viel flachere
Steigung.  Resultierenden Y-Verteilungen sind daher annäherend gleichverteilt.
Y (Würfelergebnis)
1
2
3
4
5
6
Hell:Y Dunkel: Häufigkeit von X
X
(a) Y hängt mikroperiodisch
(b) X in extrem gedehnter Darstellung
von X ab; Verteilung extrem steil.
Dunkel: eine Anfangsverteilung, die
ein bestimmtes Y-Ergebnis präferieren
würde  sie müsste noch steiler sein.
Hell: Y Dunkel: Häufigkeit von X
1
2
3
4
5
6
X
Hell: Y Dunkel: Häufigkeit von X
(c) Wie (a). Dunkel: makrophysikalische (d) X in extrem gedehnter Darstellung
Verteilungen über X. Sie führen alle zu
Dunkel: Häufigkeit der X-Werte ist über
Gleichverteilungen über Y: siehe (d).
extrem kleine X-Intervalle gleichverteilt.
 Führt zu Gleichverteilung über
Häufigkeit von Y-Werten.
45
5. Probleme der subjektiv-epistemischen Wahrscheinlichkeit
5.1 Definition
Kein Problem: Subjektive Wahrscheinlichkeiten sind definiert als die epistemischen
Glaubensgrade von Subjekten, die Kolmogorovschen Basisaxiome erfüllen.
5.2 Rechtfertigungsprobleme: Kohärente faire Wettquotienten
Hartnäckiger Befund der Kognitionspsychologie (z.B. Kahneman et al. 1982):
die realen Glaubensgrade von Versuchspersonen erfüllen Basisaxiome häufig nicht.
Vertretern des Baysianismus: Axiome seien Rationalitätsbedingungen.
Herausforderung:
 Warum müssen rationale Glaubensgrade die Axiome erfüllen?
 Warum sind solche Glaubensgrade wisenschaftlich/praktisch bedeutsam?
Bekannteste subjektive Rechtfertigung der Wahrscheinlichkeitsaxiome A1-3:
Subjektive Glaubensgrade werden aufgrund des Wettverhalten rationaler Personen als
faire Wettquotienten expliziert (Frank Ramsey 1926 und Bruno de Finetti 1937).
(vgl. Carnap 1971, Skyrms 1999, Howson/Urbach 1996, Gillies 2000)
45
46
46
Wette W auf eine Proposition A = abstrakt definiert als Tripel W = (A, g, v).
g  monetäre Gewinnbetrag, den Wettperson gewinnt und Wettgegner verliert, wenn
sich A als wahr herausstellt.
v  Verlustbetrag, den Wettperson verliert und Wettgegner gewinnt, wenn sich A als
falsch herausstellt.
(g, v nichtnegative reelle Zahlen)
e = g+v heißt ‚stake‘ (Erläuterung: e Wetteinsatz des Wettgegners = Ausschüttung, v
Kaufpreis der Wette), und
q = v/(g+v) Wettquotient (betting quotient).
Ergo: g = (1q)e
v = qe
Wc = (A, v, g) ist Gegenwette von W = (A, g, v); Wettgegner von W wettet auf Wc.
Wann ist es für die Wettperson rational, Wette W = (A, g, v) anzunehmen?
Bayesianismus: wenn subjektiver Erwartungswert E(W) des Wettgewinns  0 ist:
 E((A,g,v)) = gP(A)  vP(A)  0.
Wette W heißt fair, wenn E(W) = 0.
 Fairness meint, dass Wettperson und Wettgegner gleichen Gewinnchancen
besitzen, denn es gilt nachweislich E(W) = E(Wc). [Aufgabe]
D.h. meine Bereitschaft, Wette und Gegenwette einzugehen, ist gleich hoch.
Für eine faire Wette auf A gilt unter der Annahme P(A) = 1P(A):
P(A) = Wettquotient q = v/(g+v)
[Beweis: Aufgabe]
Idee der subjektiven Wahrscheinlichkeitstheorie (Ramsey, de Finetti):
Identifiziere subjektiven Glaubensgrade mit fairen Wettquotienten der Person
Warum sollten faire Wettquotienten Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie erfüllen?
Hauptresultat von Ramsey (1926) und de Finetti (1937):
47
Definition Kohärenz: Die durch fairer Wettquotienten explizierte Glaubensfunktion
qX:AL[0,1] einer Wettperson X heißt kohärent g.d.w. es kein endliches und aus
(bzgl. qX) fairen Einzelwetten bestehendes Wettsystem WS ={W1,,Wn} gibt, das in
jedem möglichen Weltzustand w für X zu einem Gesamtverlust < 0 führt.
Inkohärente Wettperson würde faires Wettsystem annehmen, bei der sie mit
Sicherheit verliert  damit könnte man Person ,übers Ohr hauen‘ = 'Dutch book'.
Beispiel eines Dutch Books: Sie wetten mit Wettquotient 1/2 darauf, dass es
morgen regnet, und zugleich mit Wettquotient 3/4 darauf, dass es morgen nicht
regnet.
Mit e als Wetteinsatz ist Gesamtgewinn dann
0,5e  0,75e = 0,25e wenn es morgen regnet und
0,5e+0,25e = 0,25e, wenn es nicht regnet.
Sie verlieren in jedem Fall ein Viertel des Wetteinsatzes.
Theorem Kohärenz: Eine durch faire Wettquotienten explizierte subjektive
Glaubensfunktion q genau dann die drei Wahrscheinlichkeitsaxiome (A1)-(A3, wenn
sie kohärent ist.
Definition
strikte
Kohärenz:
Eine
Glaubensfunktion
q
über
abzählbarem
Möglichkeitsraum heißt strikt kohärent g.d.w. es kein aus fairen Einzelwetten
bestehendes Wettsystem gibt, dass in keiner möglichen Welt einen Gewinn und in
mindestens einer möglichen Welt einen Verlust liefert.
Definition Regularität: Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion P über abzählbarem
Möglichkeitsraum heißt regulär g.d.w. q allen möglichen Propositionen einen
Glaubensgrad größer 0 zuordnet.
Theorem
strikte
Kohörenz:
Eine
durch
faire
Wettquotienten
explizierte
47
48
48
Glaubensfunktion ist strikt kohärent g.d.w. sie Axiome (A1-3) erfüllt und regulär ist.
Kritik der Rechtfertigung
subjektiven Wahrscheinlichkeit durch faire
Wettquotienten: (Earman 1992; Howson 1995; Gillies 2000).
Drei Einwände, auf die es passable Antworten gibt, auch wenn diese von starken
Idealisierungen Gebrauch machen:
(1.) Der Erwartungswert einer fairen Wette ist null. Weshalb sollten rationale
Nutzenmaximierer eine faire Wette überhaupt annehmen?
Antwort: Mag sein; wenn sie das nicht tun, stellt sich die Frage, wie kann ich dann
fairen Wettquotienten bestimmen?  Faire Wettquotienten einer Person werden
durch Befragung zu einer hypothetischen Situation ermittelt, in der die Wettperson
sagen soll, welche Wette sie vorziehen würde. Fairer Wettquotient (rationaler
Glaubensgrad) = Wettquotient bei Antwort „gleich“ ist.
(2.) Der Nutzen einer Wette hängt typischerweise nicht linear vom Wettgewinn ab
(was in der Bildung des Erwartungswertes angenommen wird).
Steigt für höhere Gewinne (in Geldeinheiten) schwächer als linear, sinkt für hohe
Wettverluste stärker als linear.
Antwort: Befragung zu hypothetischen Wettsituationen mit Wetteinsätzen, die
verglichen zum Vermögen der Person gering sind. (?: sind dann die Antworten
reliabel?)
(3.) Echte Wetten kann man nur auf empirisch verifizierbare Propositionen
abschließen. Gerade auf jene Propositionen, die für Anwendungen des Bayesianismus
am bedeutsamsten sind  nämlich unverifizierbare wissenschaftliche Hypothesen 
kann man nicht echt wetten.
Antwort: Man benutzt kontrafaktische Fragen folgender Form: Wie viele Euro
würden Sie darauf wetten, dass die Relativitätstheorie wahr ist, wenn es angenommen
einen perfekten Experten gäbe, der nach Abschluss der Wette eine mit Sicherheit
49
wahre Auskunft über diese Frage gibt?
(? seltsame Idealisierungen, die reale Personen überfordern können)
Drei schwerwiegende Einwände:
(4.) Sollten vernünftige Personen quantitative Glaubensgrade über alle Propositionen
besitzen?
Beispiel: Welche vernünftige Person besitzt Glaubensgrade zu Fragen wie ob es
einen Urknall oder mehrere gegeben hat, oder ob es Gott gibt?
Meisten Personen würden hier stattdessen mit qualitativen Urteilen aufwarten, wie
„für hinreichend erwiesen“, „für eher wahrscheinlich als sein Gegenteil“, oder „zu
unwahrscheinlich, um diese Möglichkeit in Betracht zu ziehen“.

Subjektive Glaubensgrade scheinen nur dann stabil zu sein, wenn sie sich auf
Erfahrungen von Häufigkeiten gründen (psychologischen Experimente)
(5.) Erster philosophischer Haupteinwand: Kohärente faire Wettquotienten sind noch
lange nicht rational im Sinne von objektiv wahrheitsorientiert.
Reale Erfolgshäufigkeit wird durch faire Wett-Rechtfertigung gar nicht berührt.
Beispiel: Ein Subjektivist wettet begeistert 1:1 darauf, dass er mit einem regulären
Würfel eine Sechs würfelt. Sein Wettquotient ist fair, d.h. er wäre bereit, die
Gegenwette 1:1 darauf anzunehmen, dass er keine Sechs würfelt.
Er bleibt auch dann noch kohärent, wenn er sein ganzes Vermögen verloren hat und
er wird keinen "logischen Fehler" in seinem Wettverhalten erblicken können. Wird
sich nur darüber wundern, dass ihm die nach seiner Ansicht nach ebenso fairen
Gegenwetten nie abgenommen wurden.
Kann sich nicht erklären, warum er sein Vermögen verlor, während andere abgesahnt
haben, solange er nicht objektiven Häufigkeitendes Ereignistyps in Betracht zieht.
49
50
50
 Einwand (5.) zeigt, dass die Axiome A1-3 nur eine Minimalbedingung für
rationale Glaubensgrade liefern, die viel zu schwach ist, um aus objektiver Sicht
irrationales Wettverhalten auszuschließen.
Howson (2000, 133)
Darüber hinaus folgt aus Einwand (5.), dass kohärente subjektive Glaubensgrade
unterschiedlicher Personen beliebig voneinander abweichen können.
(6.) Zweiter Haupteinwand (Ryder 1981): Sobald mehrere Personen zur selben
Proposition unterschiedliche Glaubensgrade besitzen, kann ein Dutch book gegen die
Gruppe von Personen konstruiert werden.
Es gibt dann ein System fairer Wetten, die für alle möglichen Weltzustände zu einem
Gesamtverlust für die Gruppe und zu einem Gesamtgewinn der gegen die Gruppe
wettenden Person führt.
Beispiel: Gruppe = {X,Y}. Person X wettet mit einem fairen Wettquotient von 1/2
darauf, dass es morgen regnet, und Person Y mit einem fairen Wettquotient von 3/4
dagegen.
Ich nehme beide Wetten als Wettgegner an und gewinne in jeder möglichen Welt ein
Viertel des Wetteinsatzes e, denn:
(i) wenn es morgen nicht regnet, erhalte ich von X die Hälfte von e und muss Y
ein Viertel von e auszahlen, und
(ii) wenn es morgen regnet, erhalte ich von Y drei Viertel von e und muss X die
Hälfte von e auszahlen.
 Somit verlieren X und Y zusammen auf jeden Fall ein Viertel von e, obwohl beide
Wettquotienten kohärent sind.
 Ryder (1981): eine Regel des Wettverhaltens, die wenn von mehreren Personen
befolgt zu einem notwendigen Verlust dieser Personen führen kann, kann nicht als
„rational“ bezeichnet werden.
51
Gillies (2000, 170ff): auf Kooperation ausgerichtete Personen sollten ein Interesse
daran haben, Übereinstimmung ihrer Glaubensgrade herzustellen.
 Es fragt sichwie kann eine solche intersubjektive Übereinstimmung in nichtwillkürlicher Weise hergestellt werden kann. Artifizielle Übereinstimmung der
Glaubensgrade durch Diktator löst nicht das Problem (5.) nicht.

 Nur intrinsischen Bezug zu statistischen Wahrscheinlichkeiten löst gleichzeitig
Problem (5.) und (6.).
Damit ergibt sich überlegener Weg, die Grundaxiome (A1-3) für subjektiven
Wahrscheinlichkeitsein zu rechtfertigen: weil sie intendieren, die objektiven
statistischen Wahrscheinlichkeiten widerzuspiegeln  können sie nur, wenn sie die
Grundaxiome (A1-3) erfüllen.
"häufigkeitsintendierte Rechtfertigung" von A1-3 (Carnap 1950, Earman 1992, 46).
 Das gelingt nur, wenn funktionsfähige Brückenbeziehungen zwischen subjektiven
und statistischen Wahrscheinlichkeiten hergestellt werden, wie z.B. Prinzip der
engsten Referenzklasse (nächstes Kapitel).
51
52
52
6. Verbindungen von statistischer und subjektiver Wahrscheinlichkeit: das
statistische Koordinationsprinzip (StK)
Zwei Versionen:
1. Das singuläre Koordinationsprinzip (Lewis 1980 "principal principle"): verbindet
subjektive W.keiten mit Einzelfallpropensitäten ('chances'). Einfacher als statistisches
Koordinationsprinzip, da sich Einzelfallpropensitäten so wie subjektive W.keiten auf
singuläre
Sätze
und
nicht
auf
offene
Formeln
beziehen.

Problem:
Einzelfallpropensitäten empirisch gehaltleer sind (daher führen wir dies nicht weiter
aus).
2. Das statistische Koordinationsprinzip StK (Kutschera 1972, Howson/Urbach 1996,
Strevens 2004, Williamson 2010).
StK für einstellige Prädikate (verallgemeinerbar auf mehrstellige Prädikate)
Fx (bzw. Fa) steht für eine möglicherweise komplexe Formel in genau einer
Individuenvariable x (bzw. Individuenkonstante a).
h(F|{a1,,an}) für die Häufigkeit von Fx in einer bestimmten n-elementigen
Stichprobe bestehend aus den Individuen a1,,an.
53
Definition Statistisches Koordinationsprinzip StK:
(a) Sei H statistische Hypothese, die p(Fx)=r wahrscheinlichkeitstheoretisch impliziert. Dann gilt: P(Fa | H  E(b1,,bn)) = r,
sofern die Zulässigkeitsbedingung „a  bj für alle j{1,,n}“ erfüllt ist.
Spezialfall: P(Fa | p(Fx)=r  E(b1,,bn)) = r.
In Worten: Der rationale Glaubensgrad dafür, dass ein bestimmtes Individuum a die
Eigenschaft F besitzt, unter der Annahme, dass die statistische Wahrscheinlichkeit
von Fs im gegebenen Individuenbereich den Wert r besitzt  wobei im Antecedens
sonst nichts über a, sondern höchstens über von a verschiedene Individuen b j oder
über weitere statistische Fakten angenommen wird)  ist identisch mit dem Wert r.
(b) Sei H eine statistische Hypothese, die p(Gx|Fx)=r wahrscheinlichkeitstheoretisch
impliziert. Dann gilt: P( Ga | H  Fa  E(b1,,bn) ) = r, wobei die
Zulässigkeitsbedingung wie in (a) erfüllt ist.
Spezialfall: P( Ga | p(Gx|Fx)=r  Fa  E(b1,,bn) ) = r.
In Worten: Der rationale Glaubensgrad dafür, dass ein bestimmtes Individuum a die
Eigenschaft G besitzt, unter der Annahme, dass die statistische Wahrscheinlichkeit
von Gs in der Klasse der Fs den Wert r besitzt und a die Eigenschaft F besitzt 
wobei  (Klammerbemerkung wie in (a)  ist identisch mit dem Wert r.
(c) StK für Zufallsstichproben:
P(h(Fx|{a1,,an}) = kn | p(Fx)=r  E(bj))=
n k
 k   r (1r)nk.
 
In Worten: Die rationale Glaubensgrad dafür, dass die Häufigkeit von Fs in einer
bestimmten Zufallsstichprobe von n Individuen k/n beträgt, unter der Annahme einer
statistischen F-Wahrscheinlichkeit vom Wert r, stimmt mit der durch die
Binomialformel berechneten Häufigkeit von k r-wahrscheinlichen Ergebnissen in
Wiederholungen eines binären Zufallsexperimentes.
53
54
54
(StK) ist Grundlage der Bayesianischen Statistik. Inverse W.keit P(E|H) der Evidenz
(Stichprobe) E gegeben Hypothese H heißt Likelihood von H.
 Wenn subjektives Likelihood mit statistischem Likelihood übereinstimmt,
konvergieren
subjektiven
Hypothesenw.keiten
P(H|E)
mit
zunehmendem
Stichprobenumfang gegen statistische W.keiten.
(b) folgt wahrscheinlichkeitstheoretisch aus (a).
Mögliche Verstärkung der statistische Hypothese in (a) und (b) wird zur Herleitung
des StK für unabhängige Kombinationen von Zufallsexperimenten benötigt.
Beispiel: P(FaGb | p(Fx)=r p(Gx)=q) Ec) = rq [= p(FxGy)]
Zulässigkeitsbedingung:
Konditionalisierung
auf
zusätzliche
(hypothetische)
Evidenzen E(b1,,bn) nur erlaubt, wenn diese nichts über jenes Individuum a
besagen, auf die das StK angewandt wird  daher bj  a (für 1jn).
 Ohne Zulässigkeitsbedingung könnte StK zu Inkohärenzen führen:
Beispiel: H = (p(Fx|Gx) = 0.5)  (p(Fx|Qx) = 0.8), dann erhielte man zugleich
P(Fa|GaQaH) = 0,5 und P(Fa|GaQaH) = 0,8 (Widerspruch).
Gemäß dem (StK) sind nur P(Fa|QaH) = 0,8 und P(Fa|GaH) = 0,5 korrekt.
(„All I know“ Interpretation; Pearl 1988)
Um StK auf kombinierte Evidenz GaQa anzuwenden, muss man (gemäss dem
Prinzip der engsten Referenzklasse" die statistische W.keit auf "GxQx"
konditionalisieren, sofern diese bekannt ist: P(Fa|GaQa  p(Fx|GxQx) = s) = s.
55
Durch das StK für Zufallsstichproben ergibt sich der induktive empirische Gehalt
statistischer Hypothesen  die Menge aller epistemischen Wahrscheinlichkeitssätze,
die aus StK und Akzeptanz der Hypothese mit P=1 folgen:
Beispiel: Induktiv-empirischer Gehalt einer statistischen Hypothese p(Fx) = r:
Alle W.keitssätze der Form „P(h(Fx |{a1,,an}) = kn ) = (nk ) rk(1r)nk“
für alle individuellen Stichproben{a1,,an}.
 Darauf beruhen die Überprüfungsverfahren für statistische Hypothesen (später).
Weitere Einschränkung des StK:
Bei
P
soll
es
sich
gemäß
Carnap
um
eine
erfahrungsunabhängige
Ausgangswahrscheinlichkeit handeln: "apriori W.keit"
Moderne Bayesianer:
Zumindest darf P von keiner Beobachtung über jene
Individuen (ai) abhängen, auf die das StK angewandt wird: Ausgangsw.keit, prior
probability
Sonst kann das StK ebenfalls zu Widersprüchen führen.
Beispiel: Wissen wir durch Beobachtung zum Zeitpunkt t, dass die eben geworfene
Münze (a) auf Kopf gelandet ist (Ga), dann gilt für aktuale Glaubensfunktion Pt
zum Zeitpunkt t: Pt(Ga) = 1  auch wenn wir wissen, dass statistische W.keit von
Kopf 1/2 beträgt.
Für aktuale Glaubensfunktion Pt gilt: Pt(Ga|p(Gx)=1/2) = 1  Widerspruch zum StK.
Auch wenn wir unserer Beobachtung von „Ga“ nicht sicher sind, sondern Pt(Ga) =
0,95 gilt, würde Konflikt zum StK entstehen.
Nur wenn wir Ausgang des Münzwurfes (Ga oder Ga) noch nicht beobachtet haben
und abgesehen von statistischen W.keit 1/2 nichts darüber wissen, macht es Sinn,
55
56
56
dem Ergebnis Ga den Glaubensgrad 1/2 zuzuschreiben.
7. Von Ausgangswahrscheinlichkeiten zu aktualen Glaubensgraden
Konditionalisierung auf Gesamtevidenz und Reichenbachs Prinzip der engsten
Referenzklasse (Carnap 1971, Earman 1992, Howson/Urbach 1996, 102f).
Pt : aktuale Glaubensfunktion des Subjekts zur Zeit t
P erfahrungsunabhängige Ausgangsw.keit
Konditionalisierung auf die Gesamtevidenz ("strikte Konditionalisierung"):
Sei P = P0 die Ausgangswahrscheinlichkeitsfunktion (eines gegebenen Subjekts) zu
Startzeitpunkt t0,
 sei Pt die aktuale Wahrscheinlichkeit zur Zeit t, und
 sei W0-t das gesamte singuläre und statistische Wissen (eine lange Konjunktion),
dass diese Person zwischen t0 und t erworben hat (Pt(W0-t) = 1).
Dann gilt für jede Proposition S: Pt(S) = P0(S | W0-t).
Aus StK und Konditionalisierungsregel folgt Reichenbachs Prinzip der engsten
Referenzklasse:
Denn:
Gemäß StK gilt, sofern H p(Gx|Rx)=r impliziert: P0(Ga | RaE(bj)H)= r.
Angenommen: W0-t = R(a)E(bj)H (d.h., das ist die Gesamtevidenz).
Dann ergibt die Konditionalisierungsregel Pt(Ga) = r ( = Prinzip der engsten
Referenzklasse).
57
Verbleibende Frage:
Warum sollte die ausgewählte Referenzklasse immer die engste Referenzklasse sein?
Beispiel:
P(KannFliegen(a)|Vogel(a)) = 0,95.
P(KannFliegen(a)| Vogel(a)  Lebt_in_Antarktis(a)) = 0,01.
Entscheidungstheoretisches Argument von Good (1966):
Betrachte
Erwartungsnutzen
(Durchschnittsnutzen)
EN(hi)
von
möglichen
alternativen Handlungen h1, ,hm unter möglichen alternativen Umständen u1,un.
(Möglichen Handlungen können auch Voraussagen und der Nutzen Voraussageerfolg
sein.)
Erwartungsnutzen der Handlung hk: EN(hk) = 1in P(ui)  N(hkui).
Rationale Entscheider wählt Handlung mit maximalem Erwartungsnutzen aus.
Good (1966) zeigt: Konditionalisierung von P auf neue Evidenzen E kann
Erwartungsnutzen der gewählten Handlung niemals senken, wohl aber erhöhen 
nämlich dann, wenn die Konditionalisierung von P (also der Austausch von P()
durch P(|E)) einen Unterschied für die gewählte nutzenmaximale Handlung
ausmacht.
Erwartungsnutzen von hk nach Durchführung des Experimentes (E,E):
EN(hk|(E,E)) = P(E)1inP(ui|E)N(hk,ui) + P(E)1inP(ui|E)N(hk.ui)
In Worten: E(hk|(E,E)) ist der Erwartungsnutzen von hk konditionalisiert auf E
multipliziert mit E‘s Wahrscheinlichkeit, plus dem Erwartungsnutzen von hk
konditionalisiert auf E multipliziert mit E‘s Wahrscheinlichkeit.
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58
58
EN(hk|(E,E)) und EN(hk) sind für jede Handlung hk nachweislich identisch.
D.h. Konditionalisierung auf (E,E) ändert Erwartungsnutzen der gewählten
Handlung nicht, wenn sich die Handlung mit maxuimalem Erwartungsnutzen durch
Konditionalisierung auf (E,E) nicht ändert.
Sobald sich die erwartungsnutzenmaximale Handlung unter einer möglichen
Evidenz ändert, sagen wir unter E von hk zu hr, wählt Nutzenmaximierer unter E hr
und unter E hk, wodurch der Erwartungsnutzen der 'konditionalen Handlung' h* =
"hr wenn E, hk wenn E" ansteigt:
EN(h*|(E,E)) = P(E)1inP(ui|E)N(hr,ui) + P(E)1inP(ui|E)N(hk,ui).
Wogegen: EN(hk) =
1in P(ui)N(hkui).
Aus
1inP(ui|E)N(hr,ui) > 1in P(ui)N(hkui)
folgt
EN(h*|(E,E)) > EN(hk|(E,E)).
59
8. StK, Vertauschbarkeit und induktives Lernen aus Erfahrung
 Dem StK kommt im eine fundamentale Rolle für die Ausbildung rationaler
Glaubensgrade zu.
Zwei Probleme verbleiben:
(1.) StK legt nur die Ausgangswahrscheinlichkeit für singuläre Sätze fest (deren I.k.'s
durch I.v.'s ersetzt werden können), aber nicht für generelle Hypothesen wie „alle Fs
sind Gs“ oder „90% aller Fs sind Gs“.
Subjektiver
Bayesianismus:
genereller
Hypothesen
Ausgangswahrscheinlichkeit
wird
als
'subjektiv
(„prior
gegeben'
probability“)
angenommen.
Endwahrscheinlichkeit („posterior probability“) von Hypothesen H, gegeben die
empirische Evidenz E, wird daraus mithilfe des Bayes-Theorems berechnet:
P(H|E) = P(E|H)P(H)/P(E), wobei P(E|H) = pH(E),
d.h. das Likelihood P(E|H) wird mithilfe des StK bestimmt.
(2.) StK legt epistemische Ausgangswahrscheinlichkeit für Singulärsätze nur
konditional zu statistischen Hypothesen fest, also P(Ga|FaH).
Die
unkonditionalisierte
Ausgangswahrscheinlichkeit
P(Ga|Fa)
eines
Singulärsatzeswird damit nur festgelegt, wenn die statistische Wahrscheinlichkeit der
zugeordneten Formel (Gx) gewußt wird:
Wenn P(H) = 1, dann P(Ga|Fa) = P(Ga|FaH).
Dieser Einschränkung kann durch Annahme einer subjektive Ausgangsw.keitsverteilung abgeholfen werden:
59
60
60
Stützungswahrscheinlichkeiten von Singulärsätzen als subjektive Erwartungswerte
statistischer Wahrscheinlichkeiten:
P(GaE(b)) = 1in P(Ga|HiE(b))P(Hi|E(b)) = 1in riP(Hi|E(b)) (gemäß dem StK).
Dabei ist Hi die Hypothese „p(Gx) = ri“,
und {H1,,Hn} einer Partition aller
möglichen Hypothesen dieser Form. E(b) ist zulässige Evidenz.
Für kontinuierliche Partitionen Integral statt Summe: r rD(r|E(b))dr.
Spezialfall: Hypothese Hk wird gewußt: P(Hk) = 1; P(Hi) = 0 für i≠k.
Hawthorne (2005): "support probabilities"; so weit als möglich statistisch gestützte
Glaubensgrade; aufgrund subjektiver Ausgangsverteilung dennoch subjektiv.
Die mithilfe des StK und Ausgangswahrscheinlichkeiten gebildeten rationalen
Glaubensgrade erfüllen das (Zusatz-)Axiom der Vertauschbarkeit (exchangeability)
nach de Finetti (1964) bzw. das (Zusatz-)Axiom der Symmetrie nach Carnap (1971):
Definition: Gegeben eine Sprache L mit einer abzählbaren Menge K = {a1,a2,} von
Individuenkonstanten.
Eine epistemische Wahrscheinlichkeitsfunktion P heißt vertauschbar (bzgl. der
abzählbaren Menge K) g.d.w. P invariant ist bzgl. beliebigen Permutationen von
Individuenkonstanten
 d.h. für alle Sätze A(a1an) und Permutationsfunktionen (bijektiven Funktionen)
K gilt P(A(a1,,an)) = P(A((a1),,(an)).
Vertauschbarkeit
ist
unmittelbare
Stützungswahrscheinlichkeiten.
Konsequenz
der
Definition
von
61
Hinweis 1: Vertauschbarkeitsannahme nur widerspruchsfrei, wenn alle definierten
Prädikate durch Grundprädikaten ersetzt werden (Goodman-Paradoxie).
Hinweis
2:
Vertauschbarkeit
von
P
ist
schwächer
als
probabilistische
Unabhängigkeit; erlaubt (impliziert sogar!) induktive Stützungsbeziehungen der Form
P(Fai|Faj) > P(Fai) > P(Fai|Faj)
(für alle ai  aj in K)
solange diese Stützungen individuenunabhängig sind.
Induktive Natur von P begründet sich dadurch, dass wahre statistische
Wahrscheinlichkeit als unbekannt angenommen wird.
Repräsentationstheorem (de Finetti 1931): Folgenden Aussagen sind äquivalent:
(1) P ist vertauschbar.
(2) Für singuläre Sätze (Fa) ist P darstellbar als Stützungswahrscheinlichkeit, d.h., als
P-Erwartungswert (gewichtetes Mittel) von statistischen W.keiten:
P(Fa) = HPartition pH(Fx) P(H).
(3) Mit subjektiver W.keit P = 1 besitzt jede Formel Fx einen Häufigkeitsgrenzwert
p(Fx), wobei P und p durch das StK verbunden sind.
Zusatz: Ist P in (1) sigma-addditiv, dann ist p in (2)+(3) statistisch unabhängig.
 Vertauschbarkeit bzw. das äquivalente StK sind schwache probabilistische
Induktionsannahmen (aber stärker induktiv als bloße sigma-Additivität). Es besagt:
 Individuen besitzen unabhängig von ihren besonderen Eigenschaften die gleichen
probabilistischen Tendenzen.
 Uniformität in Raum und Zeit: Probabilistischen Tendenzen von Ereignissen,
andere
Ereignisse
Raumzeitposition.

hervorzubringen,
sind
unabhängig
von
besonderer
61
62
62
 Vertauschbarkeit zusammen mit Regularität
impliziert uniformes induktives
Lernen aus Erfahrung. Regularität: P(S) ≠ 0, 1 für alle logisch kontingenten Sätze S.
Regularität heißt auch Nichtdogmatizität: Ist Voraussetzung induktiven Lernens, denn
ist P(H) 0 oder 1, kann dies durch keine neu eintreffende Erfahrung E mehr verändert
werden. D.h. P(H) = 0 bzw. 1 impliziert P(H|E) = 0 bzw. 1 für beliebige E.
Uniformes induktives Lernen („Instanzenrelevanz“): Ist P vertauschbar und regulär
über Singulärsätzen der Sprache, dann wächst induktive Bestätigung singulärer
Voraussagen mit der Zahl der sie stützenden Instanzen kontinuierlich an:
P(Fan+1|Fa1Fan) > P(Fan+1| Fa1Fank) (für alle k mit 0 < k < n und n|N).
Beweis basiert auf Cauchy-Schwartzscher Ungleichung. Humburg 1971, Kutschera
1972, Earman 1992, Gillies 2000.
63
9. Überprüfungsverfahren für statistische Hypothesen
Beispiel: p(K|A) = 80%
80% aller Bäume an Autobahnen sind geschädigt
9.1 Überprüfung auf Wahrheit: Akzeptanz- und Konfidenzintervalle
Nimm eine möglichst repräsentative A-Stichprobe (Zufallsstichprobe)
z.B. 100 A's -- darunter 75 K's.
 Wähle den Akzeptanzkoeffizient: z.B. 95%
Berechne aus Stichprobengröße (n=100) und Akzeptanzkoeffizient (95%) das:
 Akzeptanzintervall (in unserem Fall:) 72 - 88
Definition: Das Akzeptanzintervall ist jenes Intervall von Stichprobenhäufigkeiten,
(i) in dem Stichprobenhäufigkeit mit (statistischer) W.keit = Akzeptanzkoeffizient
(üblicherweise 95%) liegt, gegeben zu prüfende statistische Hypothese ist wahr, und
(ii) welches unter allen solchen Intervallen die höchste durchschnittliche W.keit
besitzt (höchstes Durchschnittslikelihood von H).
W.keit des Stichprobenresultates
gegeben p(K|A) = 0,8
0,1
Akzeptanzintervall (grau) = 95%
der Gesamtfläche unter der Kurve
0,05
Zurückweisungsintervall (weiß)
= 5% der Gesamtfläche
0,01
unter der Kurve
0
20
40
60
Absoluthäufigkeit von K in 100 A
Liegt die A-Stichprobenhäufigkeit
von K im Akzeptanzintervall?
70 80 90 100
72
88 (= Akzeptanzintervall)
Nein: Hypothese ist stark geschwächt
Ja: Hypothese ist schwach bestätigt
(In unserem Beispiel: ja)
63
64
64
Höhe des Akzeptanzkoeffizient von 95% ist pragmatisch, aber nicht willkürlich:
Wählt man Akzeptanzkoeffizient zu groß [bzw. zu klein] werden zu wenige [bzw. zu
viele] Hypothesen ausgeschieden.
Nähert
man
die
Binomialverteilung
durch
Normalverteilung
an
(bei
Stichprobengrößen > 30 legitim) berechnen sich Akzeptanzintervalle wie folgt
(Nachschlagen der Intervalle in z-Verteilung (=1,=0), multipliziert mit s):
s =
σ
die Streuung der Stichprobenhäufigkeiten
n
Streuung der Variable; für binäre Variablen p  (1 - p) , mit p = p(K|A).
Akzeptanzkoeff.:
Akzeptanzintervall
Beispiel für p=0,8, n=100:
99,5%:
p  2,8s
[0,69 , 0,91]
95%:
p  1,96s
[0,72 , 0,88]
70%:
p  1,03s
[0,76 , 0,84]
Für größere Stichprobenumfänge wird das Akzeptanzintervall immer enger und die
95%-wahrscheinlichen Prognosen schärfer. Zugleich gilt Gesetz des abnehmenden
Ertrags: Vervierfachung des Stichprobenumfangs bringt Halbierung des Akzeptanzintervalls.
Akzeptanzintervalle für p = 0,8 (Akzeptanzkoeff. = 0,95) für variierendes n:
n = 1: [0 , 1]
n =50: [0,69 , 0,91]
n = 1600:
[0,78 , 0,82]
n =10: [0,56 , 1]
n =100: [0,72 , 0,88]
n = 10.000: [0,79 , 0,81]
n = 20: [0,63 , 0,97]
n = 400: [0,76 , 0,84]
Beachte: Größe der Gesamtpopulation für Fragen von Stichprobenumfängen
unerheblich ist; vorausgesetzt wird nur, dass sie wesentlich (mindestens 100 mal)
größer ist als der Stichprobenumfang (Bortz 1985).
65
Grundannahmen der Teststatistik:
 man betrachtet statistisches Likelihood der Hypothese, pH(Stichprobenresultat), als
Indikator für Wahrscheinlichkeit von H. (Wird bezogen auf vorliegendes
Stichprobenresultat durch das StK; dieser Schritt bleibt implizit)
 Man verwirft H wenn zu unwahrscheinlich.
Annahme: Die zu testende Hypothese H hat wurde anderwärtig plausibel gemacht.
Im negativen Fall starke Zurückweisung, im positiven Fall nur schwache
(zusätzliche) Bestätigung.
Alle statistischen Alternativhypothesen, welche Wert von p(K|A) im Intervall 0,75
 0,8 behaupten, werden durch Stichprobenresultat "75 von 100 As waren Ks" ebenso
schwach bestätigt bzw. würden beibehalten, wenn sie zur Überprüfung anstünden.


Stark
durch
die
Stichprobe
bestätigt
ist
nur
die
(schwächere)
Konfidenzintervallhypothese, die man erhält, indem man das Akzeptanzintervall
symmetrisch um das Stichprobenresultat aufträgt:
67% ≤ p(K/A) ≤ 83%.
Zusammenhang von Akzeptanz- und Konfidenzintervall:
1 Wahrscheinlichkeit des Stichprobenresultates
gegeben p(K|A) = r
Konfidenzintervall r[0.67, 0.83]
r% = 67 75 83
Stichprobenresultat 75 von 100
0
0
Stichprobenresultat:
100 Absoluthäufigkeit von K in 100 A
Akzeptanzintervalle für r = 67 75 83
Methode der Akzeptanz- und Konfidenzintervalle geht auf Fisher und Neyman
zurück.
65
66
66
9.2 Überprüfung auf Relevanz (Abhängigkeit): signifikanten Unterschiede
Beispiel:
p(K/A) = 80%
80% aller Bäume an Autobahnen sind geschädigt
Gegegen A-Stichprobenhäufigkeit von K: 75 von 100
Nimm eine A-Kontrollstichprobe
z.B. 100 Non-A's -- darunter 50 K's.
 Wähle den Signifikanzkoeffizient: z.B. 5%
Berechne aus Stichprobengröße (n=100) und Signifikanzkoeffizient (5%) die:
 signifikante Differenz (in unserem Fall:) 13 von 100
Definition: Die signifikante Stichprobendifferenz ist jener Betrag, den die Differenz
zwischen der Häufigkeit von K in einer A-Stichprobe und einer A-Kontrollstichprobe
mit einer Wahrscheinlichkeit gleich dem Signifikanzkoeffizienten (üblicherweise
5%)
übersteigt,
gegeben
dass
in
der
Grundgesamtheit
kein
statistischer
Zusammenhang zwischen A und K besteht (die Differenz also rein zufällig zustande
kam).
Ist die tatsächliche Differenz zwischen der
Nein: Relevanz von A für K
A-Stichprobenhäufigkeit von K und der
ist (stark) geschwächt,
A-Kontrollstichprobenhäufigkeit von K
Irrelevanz = Nullhypothese
größer als die signifikante Differenz?
stark bestätigt
Ja: Relevanz von A für K
= Alternativhypothese ist
(stark) bestätigt: 
signifikante Korrelation
Positiv
In unserem Fall: 75-50 = 25 > 13
Negativ
 signifikante positive Korrelation
Dieselbe Grundidee: Likelihood der Nullhypothese [ = Wahrscheinlichkeit der KHäufigkeitsdifferenz
zwischen
Stichprobe
und
Kontrollstichprobe
gegeben
67
Nullhypothese]
wird als Indikator der Wahrscheinlichkeit der Nullhypothese
angenommen.
Wahrscheinlichkeitsverteilung von Stichprobendifferenzen
Stichprobendifferenz (approximiert durch Normalverteilung):
Wahrscheinlichkeit unter Annahme
der Nullhypothese p(K|A) = p(K|A)
und
signifikante
Akzeptanzintervall
der Nullhypothese (grau)
Signifikante Stichproben-
Akzeptanzintervall
differenz = 13
der Alternativhypothese (weiß)
-100
-40 -13 0 +13 40
Absolute Häufigkeitsdifferenz zwischen A- und
100 AStichprobe (n=100)
Wahl des Signifikanzkoeffizienten pragmatisch, aber nicht willkürlich.
Signifikant bei Signifikanzkoeffizienten von 1%: "hochsignifikant".
 man gibt Signifikanzkoeffizient an, bei dem vorgefundene Differenz gerade noch
signifikant ist
n unserem Beispiel: Differenz von 0,15 ist bei Koeffizient von 2,5% gerade noch
signifikant, was bedeutet: W.keit unter Voraussetzung der Nullhypothese
Stichprobendifferenz von größer-gleich 15 zu erhalten, beträgt 2,5%.
 Streuung der Stichprobenhäufigkeitsdifferenzen und signifikante Differenz nimmt
proportional zur Wurzel der Stichprobengröße (n) ab. diff =  n1  n1
1
2
(Damit Berechnung der 95%-Intervallgrenzen: nachsehen in z-Tabelle).
 Jede noch so kleine relative Stichprobendifferenz wird damit signifikant, wenn
Stichprobengröße hinreichend groß ist.
 bloße Behauptung, dass zwischen A und K hochsignifikante Korrelation vorliegt,
ist ohne eine Information über die Stichprobengröße schwache Behauptung: sagt nur,
dass mit hoher Wahrscheinlichkeit irgendeine evtl. sehr geringe Korrelation zwischen
67
68
68
A und K vorliegt; sagt aber nichts über Höhe dieser Korrelation. Über letztere
informiert Korrelationskoeffizient, oder Effektstärke: [p(K|A)  p(K|A)]/.
69
Anmerkung zu Korrelation und Kausalität:
Aus einer (echten) Korrelation kann man nicht unbedingt auf eine Kausalbeziehung
schließen  aus vorwiegend zwei Gründen:
1. Versteckte gemeinsame Ursachen
A
B
Scheinkausalität
"Scheinkorrelation"
C
(Direkte) Verursachung
Beispiel:
Korrelation
A = Das Fallen des Barometerstandes
B = Das Aufziehen eines Sturms
C = Druckabfall in der Atmosphäre
A = Positive/negative Einstellung des Beschäftigten zum Betrieb
B = Psychologischer Gesundheitszustand
C = Arbeitsplatzbelastung
(Lazarsfeld)
2. Frage der Kausalrichtung (stellt sich, auch wenn keine versteckte Variablen im
Spiel sind)
A
B
Korrelationen sind immer symmetrisch.
Beispiele  in welche Richtung geht hier Kausalität?
(1)
Höhe des IQ
(2)
Aggressive
Neigung
Sozialer Status
Sehen von aggressionsgeladenen Filmen
Kriterien zur Erkennung der Kausalrichtung:
a) Für Sukzessionsgesetze: Zeitrichtung
b) Für Koexistenzgesetze: Hintergrundwissen
69
70
70
10. Bayes-Statistik: Die Likelihood-Intuition
 Statistisch
definiert
sind
nur
Wahrscheinlichkeiten
unserer
Erfahrungen
(Stichprobenresultate) E unter Annahme einer statistischen Populationshypothese H,
 also statistische Wahrscheinlichkeit pH(E)
 wird auf vorliegendes Stichprobenresultat bezogen mithilfe StK: P(E|H).
 Wahrscheinlichkeit einer Hypothesen H gegeben Erfahrung E, P(H|E), ist
epistemischer Natur, da es keine wiederholbaren Zufallsexperimente mit "möglichen
Welten" gibt. Wir beziehen uns mit P(H|E) auf unsere mögliche Welt.
Grundintuition statistischer Überprüfungsverfahren  Likelihood-Intuition:
die inverse Wahrscheinlichkeit pH(E) ist Indikator für Wahrscheinlichkeit und
Bestätigungsgrad der Hypothese H bei gegebenem E und für die Auswahl einer
Hypothese unter mehreren Alternativhypothesen.
Zwei Varianten:
(i) Methode des Likelihood-Maximalwertes (Fisher 1956, Hacking 1965): Man
wählt unter konkurrierenden Hypothesen die mit dem höchsten Likelihood.
D.h.: man vermutet jene Hypothese, für die das Stichprobenresultatmit dem
Maximum (Modalwert) der von H vorausgesagten Stichprobenhäufigkeitsverteilung
zusammenfällt.  schwache Bestätigung
[Alternative: Mittelwert statt Modalwert; fällt bei symmetrischen Verteilungen
zusammen]
(ii) Methode der Konfidenzintervalls maximaler Likelihoods: Man das wählt
Konfidenzintervall
jener
Hypothesen,
für
die
das
Stichprobenresultat
im
Akzeptanzintervall der Stichprobenresultate mit maximalem Durchschnittslikelihood
liegt.
 starke Bestätigung
71
 Philosophisches Problem: Warum sollte die inverse Wahrscheinlichkeit pH(E) als
Maß der Wahrscheinlichkeit von H bei gegebener Evidenz E herangezogen werden?
Statistische W.keitstheorie besitzt keine Antwort auf die Frage.
Subjektive W.keitstheorie besitzt eine Antwort: Aufgrund dem StK, der Bayes-Regel
und aufgrund des Indifferenzprinzips, wonach konkurrierende statistische Hypothesen
dieselbe Ausgangswahrscheinlichkeit besitzen.
P(H|E)
= P(E|H)  P(H) / P(E)
(gemäß der Bayes-Regel I)
= pH(E)  P(H) / P(E)
(gemäß dem StK)
In Worten: Glaubensgrad von H, gegeben das Stichprobenresultat E, ist gleich dem
statistischen Likelihood von H gegeben E multipliziert mit Verhältnis von
Ausgangswahrscheinlichkeit von H und Ausgangswahrscheinlichkeit von E.
Daraus folgt für komparative Hypothesenbewertungen:
P(H1 | E)
P(E | H1) P(H1)
=

P(H2 | E)
P(E | H2) P(H2)
=
P(E | H1)
P(E | H2)
sofern P(H1) = P(H2).
Bayesianische Rechtfertigung der Likelihood-Intuition: Unter Voraussetzung des
Indifferenzprinzips ist die Höhe des Likelihoods von H gegeben E ein Indikator für
die epistemische Wahrscheinlichkeit von H gegeben E.
Für Hypothesenpartition {H1,,Hn} gilt P(E) =
n
 pHi(E)  P(Hi) . Daraus ergibt sich:
i 1
Numerisch berechnete Endwahrscheinlichkeitsverteilung:
Diskret:
n
P(Hq|E) = pHq(E)P(Hq) /  pHi(E)  P(Hi)
i 1
(1qn)
1
Kontinuierlich:
D(Hq|E) = pHq(E)D(Hq)
/ 0 pHr(E)  D(Hr) dr .
(q[0,1])
("D" für "Wahrscheinlichkeitsdichte")
71
72
72
11. Objektiver Bayesianismus und Induktives Schließen I
Objektive Bayesismus (Laplace, Keynes, H. Jefffrey, Williamson 2010) und logische
W.keitstheorie (Carnap) nehmen Indifferenzprinzip für statistische Hypothesen als
Kriterium für "objektiv-rationale" Ausgangswahrscheinlichkeiten an.
Damit gelangt man zu numerischen Werten für Endwahrscheinlichkeiten von H's.
Betrachte Hypothesen über statistischen W.keit eines binären Merkmals F
Hr =def "p(F)=r" (für r[0,1]).
Fa kn =def Fai1FikFaik+1Fain (1kn)
hn(F) = kn relative Stichprobenhäufigkeit = kn
"Zustandsbeschreibung ZB"
"statistische Beschreibung SB"
Indifferenzprinzip: (1) Alle SB's haben gleiche W.keit; und (2) alle ZB's, die zur
selben SB gehören, haben gleiche W.keit:
Konsequenzen dieses Indifferenzprinzips (+ StK) für ein binäres Merkmal F:
(a) P(hn(F) = kn ) =
1
n 1
(b)
P(Fa kn ) = n 1
(k )  (n  1)
(a) in Worten: Alle (n+1) möglichen Häufigkeiten von Fs unter n Individuen besitzen
dieselbe Ausgangswahrscheinlichkeit 1/n+1.
 (b) folgt daraus.
(c) P(Fan+1 | hn(F) = kn ) = P(Fan+1| Fa kn ) = nk  12 (Folgeregel von Laplace)
(c) in Worten: Mit einer Wahrscheinlichkeit von k+1/n+2 besitzt der nächste Fall die
Eigenschaft F, gegeben unter n bisher beobachteten Fällen befanden sich k Fs.
(d) D(p(Fx)=r | hn(F)= kn ) = (n+1) ( nk ) rk(1r)(nk).
73
Laplace-Regel (c) gilt für binäres Merkmal.
Ist X ein -fach gestuften Attribut (z.B. Farbraum mit  Farbschattierungen) und hat
der Attributwert Fdie logische Weite w, dann gilt stattdessen
Carnaps c*-Regel: P(Fan+1 |Fa kn ) = (k+w)/(n+).

 Dies führt uns zur Hauptkritik am Indifferenzprinzip:
Das Prinzip ist sprachabhängig (z.B. Keynes, Gillies 2000)
Beispiel: Uniforme Ausgangsverteilung über Frequenzwerte () einer Strahlung.
Wellenlänge () = Geschwindigkeit (c) geteilt durch Strahlungsfrequenz ()
Transformiert man Gleichverteilung über   [0,µmax] in Verteilung über , so erhält
man negativ-exponentiell abnehmende Verteilung:
Wahrscheinlichkeitsdichte D
D()
1
max
D(

 (=c/)
c
1
Eine uniforme Dichteverteilung über  (Frequenz) führt zu einer nicht-uniformen
Verteilung über  (Wellenlänge).

73
74
74
 
Weiterer Einwand: Gemäß Binomialformel gibt es  nk  Zustandsbeschreibungen Fa kn
 
mit F-Häufigkeit k/n. Es gibt viel mehr ZBs, wenn k/n nahe bei 0.5 als wenn k/n nahe
bei 1 oder 0 liegt.
Ergo: wenn statistische Beschreibungen gleichverteilt sind, sind ZBs mit nahe bei 1
oder 0 liegender Häufigkeit viel wahrscheinlicher ( induktive Annahme).
 Nimmt man Indifferenz nicht unter allen statistischen Beschreibungen, sondern
unter allen Zustandsbeschreibungen an, dann wird induktives Lernen durch
Erfahrung unmöglich und es ergibt sich das Resultat P(Fan+1|Fa kn ) = 1/2 für jede
mögliche Zustandsbeschreibung Fa kn einer n-elementigen Stichprobe (Carnap,
Howson/Urbach)  Grundlage des "no free lunch theorem" im Bereich machine
learning.
Konsequenz  Kritik des objektiven Bayesianismus:
Keine Ausgangsverteilung ist vorurteilsfrei bzw. informationslos, auch nicht die
Gleichverteilung, da sie sprachabhängig bzw. partitionsabhängig ist.
75
12. Subjektiver Bayesianismus und Induktives Schließen II
Subjektive Bayesianer verwerfen Indifferenzprinzip für statistischen Hypothesen und
lassen viele (doch nicht beliebig viele) Ausgangsw.keitsverteilung über möglichen
statistischen Hypothesen zu.
Versuchen zu zeigen: Unabhängig von der speziellen Form der Ausgangsverteilung
bewirkt deren Konditionalisierung auf beobachtete Stichprobenhäufigkeit eine
Verschiebung der Wahrscheinlichkeitsmasse in Richtung der Stichprobenhäufigkeit.
Dabei konzentriert sich Verteilung mit zunehmendem Stichprobenumfang über dem
Stichprobenresultat und erzeugt dort einen immer höher und steiler werdenden Gipfel
 "Auswaschen von priors"
(de Finetti 1974, Earman 1992, Howson und Urbach 1996, van Fraassen 1980 ).


Voraussetzung
der
Verteilungskonvergenz
(u.a.):
Ausgangsverteilung
undogmatisch in Bezug auf die wahre Populationshäufigkeit p(Fx) = r  d.h.
Wahrscheinlichkeitsdichte in endlichem Intervall um Stelle r herum positiv und
stetig.
Zwei Arten von Konvergenz: Kontinuierlich (aber beliebig langsam) und im Limes
Nur im Limes.
Voraussetzungen
für
kontinuierliche
Konvergenz:
Vertauschbarkeit.
Voraussetzungen für Limes-Konvergenz  siehe unten.
Undogmatizität
und
75
76
76
Kontinuierliche Konvergenz für induktive Voraussagen (dabei ist [r] die ganzzahlige
Rundung der reellen Zahl r):
(a) P(Fan+1| hn(F)=(k+1)/n) > P(Fan+1|hn(F) = k/n).
In Worten: Die Wahrscheinlichkeit, ein neues F zu finden, steigt für jede
Stichprobengröße n mit der relativen Häufigkeit der Fs in der Stichprobe
kontinuierlich an.
Voraussetzung: P ist vertauschbar und in Bezug auf keinen Wert r[0,1] dogmatisch.
(b) limn P(Fan+1| hn(F)=[rn]/n) = r.
In Worten: Die Wahrscheinlichkeit, ein neues F zu finden, konvergiert mit
wachsender Stichprobengröße gegen die Häufigkeit von F in der Stichprobe.
Voraussetzung: P ist vertauschbar und in Bezug auf r nicht dogmatisch.
Kontinuierliche Konvergenz für induktive Generalisierungen („Hr“ für „p(F) = r“):
D(Hr|hn(F) = [rn]/n) > D(Hr|hm(F) = [rm]/m) für n > m.
In Worten: Die Wahrscheinlichkeitsdichte der gemäß der Maximum-LikelihoodMethode
zu
bevorzugenden
Hypothese
H r,
gegeben
eine
bestimmte
Stichprobenhäufigkeit, nimmt mit zunehmendem n kontinuierlich zu.
Voraussetzug: P ist vertauschbar und in Bezug auf r nicht dogmatisch.
Die Schattenseite der "beliebigen Langsamkeit" der Konvergenz:
Endliche Unbelehrbarkeit vorurteilslastiger Ausgangswahrscheinlichkeiten:
Sei H eine wahre Hypothese über unendlichem Individuenbereich mit Standardnamen
{ai:i|N}, dann gibt es für jede beliebig lange Konjunktion von Erfahrungssätzen E
=def E1,,En, die zusammen H beliebig stark stützen (1  P(E|H) > P(E)) und mit dem
Gegenteil von H logisch konsistent sind, eine nichtdogmatische jedoch hinreichend
vorurteilslastige Ausgangsverteilung P (i.e. P(H)  {0,1}), sodass P(H|E) > P(H|E).
77
H(L) = Menge aller möglichen Hypothesen in einer Sprache, in der Arithmetik
ausdrückbar ist (mit Standardnamen für abzählbar-unendlichen Individuenbereich).
Sequenz (wAi:i|N) besteht aus allen Basissätzen, die in dem möglichen Modell
(Welt) w wahr sind.
Einfache Konvergenzresultate:
(a) Gaifman/Snir-Konvergenz: Für alle Hypothesen H in H(L) besitzt die Menge der
möglichen Welten w, in denen limnP(H|wA1wAn) mit Hs Wahrheitswert in
w überstimmt, die Wahrscheinlichkeit P = 1.
In Worten: Mit P-Sicherheit konvergiert die Endwahrscheinlichkeit von H in Welt
w gegen den Wahrheitswert von H in w, konditional zu einer unendlich
anwachsenden Datensequenz, die vollständige Information über w enthält.
Voraussetzung für (a)+(b): -Additivität von P.
(b) Spezialfall von (a): limnP(p(Fx)=r | hn(F) = [rn]/n) = 1.
In Worten: Die Wahrscheinlichkeit einer Hypothese der Form „p(Fx)=r“ mit
positiver Ausgangswahrscheinlichkeit konvergiert gegen 1, gegeben eine unendlich
anwachsende Stichprobe mit einer F-Häufigkeit von annähernd r (gerundet auf eine
durch n teilbare Zahl).
Voraussetzung für (b): Undogmatizität bzgl. r und -Additivität von P.
(c) Jeffrey-Konvergenz für strikte Voraussagen: limnP(Fan+1|Fa1Fan) = 1.
In Worten: Die Wahrscheinlichkeit, dass der nächste Fall ein F ist, geht gegen 1
angesichts von unendlich anwachsende bisherigen Fällen, die alle F waren.
Voraussetzung: P(xFx) > 0.
(d) Konvergenz für strikte Generalisierungen: limnP(xFx|Fa1Fan) = 1.
In Worten: Die Wahrscheinlichkeit, dass alle Individuen Fs sind, geht gegen 1
angesichts von unendlich anwachsenden bisherigen Fällen, die alle F waren.
Voraussetzung: P(xFx) > 0 und -Additivität von P.
77
78
78
79
Übungsaufgaben:
Zu Kap. 1:
 Was sind die wesentlichen Unterschiede zwischen statistischer und subjektiver
(epistemischer) Wahrscheinlichkeit?
 Bei welcher Aussage handelt es sich um eine statistische und bei welcher um eine
subjektive Wahrscheinlichkeit? (a) Morgen hat es 70% Regenwahrscheinlichkeit. (b)
In Salzburg hat es 60% Regenwahrscheinlichkeit. (c) Mein Freund ist 30% seiner
Zeit krank. (d) Dieser Münzwurf wird mit 50% W.keit auf Kopf landen, (e) Meine
Schwester wirft in 60% der Fälle mit ihrer Münze Kopf.
 Was besagt Reichenbachs Prinzip der engsten Referenzklasse?
 Analysieren Sie folgende Aussagen nach dem Prinzip der engsten Referenzklasse:
Wie wird die jeweilige Wahrscheinlichkeit plausiblerweise bestimmt? Was ist mit
engster Referenzklasse im allgemeinen gemeint? Und was ist dieselbe in den
folgenden Beispielen?
(a) So wenig, wie du geschlafen hast, wirst du morgen wahrscheinlich müde sein. (b)
Wahrscheinlich wirst du dich von ihm anstecken. (c) Unwahrscheinlich, dass morgen
die Berggipfel nebelfrei sind. (d) Das Plastikspielzeug deines Kindes geht sicher nach
spätestens drei Wochen kaputt.
 Ein Redaktionsmitglied eines Kirchenblattes schlägt vor, in das Blatt sollten auch
einige freizügige Fotos aufgenommen werden. Er argumentiert dabei wie folgt: es ist
statistisch bewiesen, dass Zeitungen mit freizügigen Fotos mehr Käufer finden.
Inwiefern verstößt seine Hoffnung, damit den Absatz des Kirchenblattes erhöhen zu
können, gegen das Prinzip der engsten Referenzklasse? Finden Sie ein ähnliches
Beispiele.
Zu Kap. 2:
 Die Häufigkeiten von unverheirateten (U) vs. verheirateten (V) Frauen (F) und
79
80
80
Männern (M) im Seminar sind so verteilt: UF 20%, UM 30%, VF 27%.
Visualisieren Sie dies durch Kreisdiagramme. Wie hoch sind die Häufigkeiten von:
(i) VM, (ii) V, (iii) U, (iv) M, (v) F, (vi) UM, (vii) VF, (viii) MF, (ix) VU?
Wie hoch sind folgende bedingten Häufigkeiten: V gegeben M, V gegeben F, M
gegeben U, F gegeben U, F gegeben (VM), (VM) gegeben M ?
 Beweisen Sie aus den Axiomen A1-A3 folgende Theoreme:
T1) p(A) =1p(A)
T2) p(A)  1
T3) p(A∧A) = 0
(T5) p(A1A2) = p(A1) + p(A2)  p(A1A2)
TB3) p(AB=p(A|B) p(B)
TB5) p(A|B)=p(B|A)p(A)/p(B)
TB7) Sofern 1 > p(B), p(A) > 0): p(A|B) > p(A) g.d.w. p(B|A) > p(B)
 Wie lautet das Binomialgesetz?
 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einer regulären Münze von 10 Würfen
mindestens 5 mal Kopf zu erzielen?
 Zeichnen Sie die Binomialverteilung für p(Fx) = 0.4 und n = 10, 100, 1000 und
10000 qualitativ auf. Erklären Sie damit anschaulich das Gesetz der großen Zahlen.
 Wie lautet die Formel für die Streuung der Stichprobenhäufigkeiten? Inwiefern gilt
hier ein "Gesetz des abnehmenden Ertrages"?
 Was besagt das schwache nund was das starke Gesetz der großen Zahlen?
 Was besagt das Prinzip der -Additivität? Inwiefern impliziert es eine schwache
induktive Annahme?
Zu Kap. 3:
 Um welche Schlussart handelt es sich bei folgenden Schlüssen  deduktiv, induktiv
oder abduktiv? Geben Sie im induktiven Fall weiteren Charakterisierungen der
Schlussart an.
(i) Die meisten Lichtschalter funktionieren. Ich drücke den Lichtschalter. Also geht
81
das Licht an. (ii) Alle Menschen sind sterblich. Aristoteles ist ein Mensch. Also ist
auch Aristoteles sterblich. (iii) Bisher hat mich meine Menschenkenntnis nie getäuscht. Also beruht meine Menschenkenntnis auf Wissen. (iv) Bisher hat mein Kühlschrank gut funktioniert. Also kann ich mich auch in Zukunft auf ihn verlassen. (v)
Immer wenn Gregor von seinem Bruder spricht, nimmt sein Gesicht gespannte Züge
an. Also nimmt Gregors Gesicht auch jetzt, wo er gerade von seinem Bruder spricht,
gespannte Züge an. (vi) Immer wenn Gregor von seinem Bruder spricht, nimmt sein
Gesicht gespannte Züge an. Also hat er ein Problem mit seinem Bruder.
 Wie lautet die Unsicherheitssummenregel für deduktive Schlüsse?
 Mit welcher Wahrscheinlichkeitsbedingung ist die Aussage "Aus A und B folgt
logisch C" äquivalent?
 Inwiefern ist das Bayes-Theorem für abduktives Schließen (bzw. für die
Wahrscheinlichkeitsbewertung abduktiv gewonnener Hypothesen) bedeutsam?
 Von welchen zwei Wahrscheinlichkeitsfaktoren hängt die Endwahrscheinlichkeit
einer Hypothese gemäß der Bayes-Regel ab?
Zu Kap. 4:
 Sie sind erst 16 und dürfen nur Fahrrad oder Moped fahren und für Sie ist der
Gesamtnutzen (=Nutzen minus Kosten) eines Fahrrades ist im Stadtverkehr 2.5 mal
so hoch wie der eines Mopeds, im Landverkehr 0.7 mal so hoch. Mit welcher
Häufigkeit müssen sie sich in der Stadt versus im Land zweirädrig fort bewegen,
damit ein Fahrrad für sie nützlicher ist als ein Moped?
 Wie lautet die Definition statistischer W.keit mithilfe des starken Gesetzes der
großen Zahlen? Warum ist diese Definition zirkulär? Weshalb sind zirkuläre
Definitionen zu kritisieren?
 Wie lautet die von Misessche Definition einer Zufallsfolge?
 Warum gibt keine Beobachtungsaussage, die aus einer Aussage über einen
Häufigkeitsgrenzwert (n) logisch folgt?
 Erläutern sie den Unterschied zwischen interner und objektiven Zufallsfolge.
81
82
82
 Warum führen fast alle Ausgangsverteilungen eines Münzwurfes zu einer
Gleichverteilung über den beiden Ergebnissen Kopf und Zahl?
Zu Kap. 5:
 Wie charakterisiert man eine Wette (auf eine Proposition A)? Wann ist die Wette
fair?
 Wie bestimmt man die Glaubenfunktion einer Person über ihren fairen
Wettquotienten?
 Wann ist eine als fairer Wettquotient bestimmte Glaubensfunktion kohärent?
Wann ist sie strikt kohärent?
 Eine faire Wettperson schließt folgende Wetten ab. Ist sie kohärent? Wenn nein, bei
welcher Menge von Wetten, die sie akzeptiert, erleidet sie einen sicheren
Gesamtverlust? (a) W1 = (p,2,3), W2 = (p,2,2), (b) W1 = (p,3,1), W2 = (q,2,1), W3 =
(pq,2,4), (c) W1 = (p,1,1), W2 = (q,2,1), W3 = (pq,3,1) ,(d) W1 = (p,0,1), W2 = (p,
1,1), (e) W1 = (p, 2,1), W2 = (q, 2,1), pq, 3,1), (f) W1 = (p, 2,1), W2 = (q, 2,1), pq,
1,2).
 Erläutern Sie Ryders Dutch book Argument gegen eine Gruppe von Personen mit
unterschiedlichen Glaubensfunktionen.
Zu Kap. 6;
 Erläutern Sie das statistische Koordinationsprinzip (StK) für unbedingte W.keiten?
 Erläutern Sie das statistische Koordinationsprinzip (StK) für Zufallsstichproben?
 Wie lautet der induktiv-empirische Gehalt einer statistischen Häufigkeitsaussage
p(Fx) = r?
 Wieso benötigt man beim StK die Zulässigkeitsbedingung? Erläutern Sie, wie das
StK bei verletzung dieser Regel zu Widersprüchen führen kann.
 Warum gilt das StK nur für solche subjektive Wahrscheinlichkeitsfunktionen, die
von keiner Beobachtung über jene Individuen abhängen, auf die das StK angewandt
wird?
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Zu Kap. 7:
 Erläutern Sie das Prinzip der Konditionalisierung auf die Gesamtevidenz.
 Wie lautet meine Glaubensw.keit für morgigen Regen gemäß dem StK konditional
zur Annahme dass es die zwei Vortrage geregnet hat und die statistische Häufigkeit
von für Regen einem Tag, gegeben Regen an zwei Vortagen , 70% beträgt?
 Fortsetzung obigen Beispiels: Unter welcher Bedingung an mein WIssenssystem
darf ich diese W.keit auf meinen aktuale Glaubensgrad für morgigen Regen
übertragen?
 Wie folgt aus StK und obigem Prinzip Reichenbachs Prinzip der engsten
Referenzklasse?
 Warum sollte die ausgewählte Referenzklasse immer die engste sein? Erläutern Sie
die Grundidee des Beweises von Good, dass Konditionalisierung auf die engste
Referenzklasse den Erwartungsnutzen höchstens erhöhen, aber nicht erniedrigen
kann.
Zu Kap. 8:
 Was versteht man unter der Ausgangswahrscheinlichkeit einer Hypothese und was
unter ihrer Endwahrscheinlichkeit?
 Was versteht man unter einer Stützungswahrscheinlichkeit? Erläutern sie die
Definition.
 Was versteht man unter dem Axiom der Vertauschbarkeit? Inwiefern involviert
Vertauschbarkeit eine schwache Induktionsannahme?
 Erläutern Sie das Repräsentationstheorem nach de Finetti.
 Was versteht man unter der Nichtdogmatizität einer W.keitsfunktion P?
 In welchem (wahrscheinlichkeitstheoretischen) Sinn implizieren Nichtdogmatizität
und Vertauschbarkeit von P induktives Lernen aus Erfahrung?
Zu Kap. 9:
83
84
84
 Die Häufigkeiten von unverheirateten (U) vs. verheirateten (V) Frauen (F) und
Männern (M) im Seminar sind (wiemoben) so verteilt: UF 20%, UM 30%, VF
27%.
Welches statistischen Relevanzbeziehungen liegen hier zwischen Geschlecht und
Familienstand vor? Wie hoch sind die Korrelationen gemäß einfachen Differenzmaß?
 Ihre Hypothese lautet: 60% aller Biertrinker sind Raucher. Gegeben eine
Stichprobe von 500 Biertrinkern, für die Sie mit einem bei Akzeptanzkoeffizient =
95%
ein
Akzeptanzintervall
von
282-318
berechnen.
Bei
welchem
Stichprobenergebnis wäre obige Hypothese schwach bestätigt, und bei welchen
Stichprobenergebnissen wäre sie stark geschwächt?
 Weiterführung obigen Beispiels: Angenommen, Sie finden in Ihrer Stichprobe 315
Raucher. Wie lautet das 95% Konfidenzintervall für die Häufigkeit von Rauchern
unter den Biertrinkern in der Population?
 Gegeben eine Stichprobe von Kaffeetrinkern mit 48% Rauchern, und eine
Kontrollstichprobe von Nicht-Kaffeetrinkern mit 32% Rauchern. Die 5%-signifikante
Stichprobendifferenz hängt von der Stichprobengröße ab, die Sie nicht kennen. In
welchem Intervall müsste dies signifikante Stichprobendifferenz liegen, damit aus
diesen Befunden auf eine signifikante Korrelation geschlossen werden kann, und in
welchem Intervall müsste sie liegen, damit das nicht der Fall ist?
 Um wieviel schrumpfen Akzeptanzintervalle und signifikante Differenz, wenn Sie
ihre Stichprobengrössen verzehnfachen?
 Ihrer Hypothese H zufolge liegt das durchschnittliche Gewicht von männlichen
Deutschen bei 80 kg. Sie ziehen eine 30-elementige Stichprobe von männlichen
Deutschen und ermitteln einen Mittelwert von 76 kg. Die korrigierte Streuung dieser
Stichprobe betrage 8 kg. Damit schätzen Sie die Populationsstreuung. Berechnen Sie
das 95%ige Akzeptanzintervall von H. Kann H beibehalten werden?
 Fortsetzung obigen Beispiels: Nun ziehen Sie eine 34-elementige Stichprobe von
männlichen Japanern. Das durchschnittliche Gewicht liegt bei 70 kg. Sie vergleichen
diese Stichprobe mit der Stichprobe männlicher Deutschen. Die aus beiden
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Stichproben geschätzte Streuung betrage 7 kg. Berechnen Sie die signifikante
Differenz bei Signifikanzniveau 5%. Ist der Unterschied signifikant? Wie hoch ist die
Effektstärke?
Zu Kap. 10:
 Was versteht man unter dem Likelihood einer (statistischen) Hypothese?
 Inwiefern beruht die Bayes-Statistik auf dem Prinzip StK?
 Was besagt die Likelihood-Intuition?
 Wie lautet die Bayesianische Rechtfertigung der Likelihood-Intuition?
 Angenommen die Ausgangswahrscheinlichkeit der Hypothese H1: "Gott existiert"
beträgt nur ein Drittel der Ausgangswahrscheinlichkeit der Alternativhypothese H2:
"Gott existiert nicht". Wieviel mal höher muss das Likelihood von H1, gegeben
unsere Gesamtevidenz, sein, damit die Endwahrscheinlichkeit von H1 grösser wird
als die von H2?
Zu Kap. 11:
 Was unterscheidet den objektiven Bayesianismus vom subjektiven Bayesianismus?
 Erläutern Sie das Indifferenzprinzip.
 Wenden Sie das Indifferenzprinzip auf die beiden konkurrierenden H1: "Gott
existiert" und H2: "Gott existiert nicht". Angenommen das Likelihood von H1,
gegeben unsere Gesamtevidenz, ist 1.2 mal so hoch wie das Likelihood von H2. Wie
lauten die Endwahrscheinlichkeiten der beiden Hypothesen?
 Fortsetzung des obigen Beispiels: Erweitern Sie diese Hypothesenpartition um H3
= "Der Teufel existiert", H2 lautet nun "Weder Gott noch Teufel existieren" (H1 wie
oben). Die Likelihoodverhältnisse von H1 zu H2 sei wie oben 1.2, das von H3 zu H2
jedoch sei 1.3. Wie lauten nun die Endwahrscheinlichkeiten, gegeben das
Indifferenzprinzip?
 Forsetzung obigen Beispiels: Erläutern Sie anhand des Ergebnisses das Problem der
Sprachabhängigkeit des Indifferenzprinzips.
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86
86
 Erläutern Sie die Laplacesche Voraussageregel. Berechnen Sie damit die W.keit,
dass der nächste Rabe schwarz ein wird, gegeben ich habe bisher 117 schwarze
Raben und 2 weiße Raben gesehen.
 Erläutern Sie am Beispiel einer uniformen Verteilung über den Frequenzen einer
Strahlung und ihrer der korrespondierenden Verteilung über den Wellenlängen der
Strahlung das Problem der Sprachabhängigkeit des Indifferenzprinzips.
Zu Kap 12:
 Erläutern Sie die Idee des "Auswaschen von priors" im subjektiven Bayesianismus.

Was
versteht
man
unter
kontinuierliche
Konvergenz
der
subjektiven
Wahrscheinlichkeit von Voraussagen zur objektiven Häufigkeit?
 Welche induktive Voraussetzungen erfordert kontinuierliche Konvergenz?
 Erläutern Sie die Schattenseite der kontinuierlichen Konvergenz aufgrund
beliebiger Langsamkeit der Konvergenz (endliche Unbelehrbarkeit).
 Erläutern Sie die Gaifman/Snir Limes-Konvergenz.
 Erläutern Sie die Jeffrey Limes-Konvergenz.
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