f(x) - Johannes-Kepler
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Exponentielles Wachstum Johannes-Kepler-Gymnasium Mathe 12 Exponentielles Wachstum Johannes-Kepler-Gymnasium Mathe 12 Exponentielles Wachstum Johannes-Kepler-Gymnasium Mathe 12 Exponentielles Wachstum Johannes-Kepler-Gymnasium Mathe 12 Exponentielles Wachstum Johannes-Kepler-Gymnasium Mathe 12 Bakterien und exponentielles Wachstum Quellen: www.bakterien.org und http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Bacillus_subtilis.jpg gefunden am 03.01.2006 Modellierung von Wachstumsprozessen Johannes-Kepler-Gymnasium Mathe 12 Bakterien und exponentielles Wachstum Wir betrachten eine Bakterienkultur. Ihr Wachstum (das aufgrund von Zellteilung zustande kommt) sei durch folgende drei Eigenschaften charakterisiert: 1. In gleich langen Zeitintervallen vergrößert sich die Zahl der Bakterien um denselben Faktor. 2. Zu Beginn besteht die Kultur aus 1000 Bakterien. 3. Während jeder Stunde verdoppelt sich die Zahl der Bakterien. Reale Welt V Ü R Z A Welt der Mathematik Johannes-Kepler-Gymnasium Mathe 12 Wachstum von Bakterienkulturen 1. In gleich langen Zeitintervallen vergrößert sich die Zahl der Bakterien um denselben Faktor. 2. Zu Beginn besteht die Kultur aus 1000 Bakterien. 3. Während jeder Stunde verdoppelt sich die Zahl der Bakterien. Wie viele Bakterienkulturen gibt es nach 1, 2, 4 und nach 6 Stunden? TOP: Wie viele Bakterienkulturen gibt es nach 12 Stunden, wie viele nach t Stunden? Johannes-Kepler-Gymnasium Mathe 12 Exponentielles Wachstum Bakterienkulturen x bezeichnet die Stunden, f(x) die Anzahl der Bakterienkulturen x f(x) 0 f(0) = 1000 +1 1 f(1) = 2000 +1 2 f(2) = 4000 +1 3 f(3) = 8000 +1 4 f(4) =16000 +1 5 f(5) =32000 +1 6 f(6) =64000 Johannes-Kepler-Gymnasium Mathe 12 Exponentielles Wachstum Bakterienkulturen x bezeichnet die Stunden, f(x) die Anzahl der Bakterienkulturen x f(x) 0 f(0) = 1000 +1 1 f(1) = 2000 +1 2 f(2) = 4000 +1 3 f(3) = 8000 +1 4 f(4) =16000 +1 5 f(5) =32000 +1 6 f(6) =64000 Johannes-Kepler-Gymnasium Mathe 12 Mathematischer Hintergrund „Vokabeln“ Eine Potenz ist ein Term der Form bc Bedeutung: b wird c-mal mit sich selbst multipliziert. Beispiel: 35 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 Spezialfall: 30 = 1 b wird Basis genannt. c wird Exponent genannt. Potenz-Rechenregeln s. Formelsammlung Weil wir den Exponenten verändern, schreiben wir im Folgenden bx. Johannes-Kepler-Gymnasium Mathe 12 Exponentielles Wachstum Bakterienkulturen x bezeichnet die Stunden, f(x) die Anzahl der Bakterienkulturen x f(x) 0 f(0) = 1000 +1 1 f(1) = 2000 +1 2 f(2) = 4000 +1 3 f(3) = 8000 +1 4 f(4) =16000 +1 5 f(5) =32000 +1 6 f(6) =64000 Johannes-Kepler-Gymnasium Mathe 12 Exponentielles Wachstum Bakterienkulturen x bezeichnet die Stunden, f(x) die Anzahl der Bakterienkulturen x f(x) = 0 f(0) = 1000 = 1000∙20 +1 1 f(1) = 2000 = 1000∙21 +1 2 f(2) = 4000 = 1000∙22 +1 3 f(3) = 8000 = 1000∙23 +1 4 f(4) =16000 = 1000∙24 +1 5 f(5) =32000 = 1000∙25 +1 6 f(6) =64000 = 1000∙26 Johannes-Kepler-Gymnasium Mathe 12 Exponentielles Wachstum Bakterienkulturen x bezeichnet die Stunden, f(x) die Anzahl der Bakterienkulturen x f(x) = 1000∙2x 0 f(0) = 1000 = 1000∙20 +1 1 f(1) = 2000 = 1000∙21 +1 2 f(2) = 4000 = 1000∙22 +1 3 f(3) = 8000 = 1000∙23 +1 4 f(4) =16000 = 1000∙24 +1 5 f(5) =32000 = 1000∙25 +1 6 f(6) =64000 = 1000∙26 Johannes-Kepler-Gymnasium Mathe 12 Vergleich von linearem Wachstum und exponentiellem Wachstum Johannes-Kepler-Gymnasium Mathe 12 Lineares Wachstum: f(x) = 0,5x + 2 x f(x) 0 2 +1 1 2,5 +1 2 3 +1 3 3,5 +1 4 4 +1 5 4,5 +1 6 5 + 0,5 + 0,5 + 0,5 + 0,5 + 0,5 + 0,5 Quelle: Schmid, A./ Weidig, I. (1996). Lambacher Schweizer 10. Stuttgart: Klett, S.60 Johannes-Kepler-Gymnasium Mathe 12 Exponentielles Wachstum f(x) = 2x x f(x) 0 f(0)=20=1 +1 1 f(1)=21=2 +1 2 f(2)=22=2∙2=4 +1 3 f(3)=23=2∙2∙2=8 +1 4 f(4)=24=2∙2∙2∙2=16 +1 5 f(5)=25=2∙2∙2∙2∙2=32 +1 6 f(6)=26=2∙2∙2∙2∙2∙2=64 Johannes-Kepler-Gymnasium Mathe 12 2x Lineares Wachstum: f(x) = 0,5x +2 x 0 1 2 3 4 5 6 f(x) 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 + 0,5 + 0,5 + 0,5 + 0,5 + 0,5 + 0,5 Exponentielles Wachstum: f(x) = 2x x 0 1 2 3 4 5 6 f(x) 1 2 4 8 16 32 64 ∙2 ∙2 ∙2 ∙2 ∙2 ∙2 Johannes-Kepler-Gymnasium Mathe 12 Exponentielles Wachstum - Exponentialfunktion Natur des Bakterienwachstums: In gleich langen Zeitintervallen vergrößert sich die Zahl der Bakterien um denselben Faktor. Unsere Frage war: Wie verändert sich die Anzahl der Bakterien in Abhängigkeit von der Zeit? Oder rein mathematisch: Wie verändert sich der Wert der Potenz, wenn man den Exponenten verändert? Die Funktion, die diese Veränderung beschreibt, wird deshalb Exponentialfunktion genannt. f(x)=bx b ist die Basis und x der veränderliche Exponent. Johannes-Kepler-Gymnasium Mathe 12 Wachstum – Funktionaler Zusammenhang Die Frage nach der Art des Wachsens führte zur Frage, welche Art von Funktion das Wachstum adäquat beschreiben kann. „Die Anzahl der Bakterien wächst exponentiell.“ Oder: „Der funktionale Zusammenhang zwischen der Zeit und der Anzahl der Bakterien ist exponentiell.“ (Zur Erinnerung: Der funktionale Zusammenhang zwischen der Länge eines Holzstabes und seinem Gewicht ist linear. Der funktionale Zusammenhang zwischen der Länge der Seite eines Quadrates und der Fläche ist quadratisch.) Johannes-Kepler-Gymnasium Mathe 12 Exponentielles Wachstum - Exponentialfunktion f(x)=bx b ist die Basis und x der veränderliche Exponent. In unserem Beispiel gab es zum Zeitpunkt 0 (x = 0) bereits 1000 Bakterien. Deshalb hatte unsere Funktion einen Faktor: f(x) = 1000 ∙ 2x Allgemein: f(x) = a ∙ bx a ist der „Startwert“ für x = 0 (im Beispiel 1000), b ist der Wachstumsfaktor (im Beispiel verdoppeln) a, b und x sind reell, b > 0, b ≠ 1 Johannes-Kepler-Gymnasium Mathe 12 Zurück zu unseren Bakterien: Wie viele Bakterien gibt es nach einer halben Stunde? f(1) = 1000 ∙ 21 bezeichnet die Anzahl der Bakterien nach einer Stunde. Als Potenz sind auch Brüche zulässig! Also bezeichnet f( ½ ) = 1000 ∙ 2 ½ ≈ 1414 die Anzahl der Bakterien nach einer halben Stunde. Quelle: www.mathe-online.at/mathint/log/i.html (03.01.06) Johannes-Kepler-Gymnasium Mathe 12 Eine weitere Frage f(x) = 1000 ∙ 2x Jetzt sind wir in der Lage, einfache Aufgaben der folgenden Art zu lösen: Wie groß ist die Anzahl der Bakterien nach einer Stunde und 15 Minuten? Lösung: Eine Stunde und 15 Minuten ist 1,25 Stunden. Wir setzen t = 1,25 ein und erhalten 2378,41423..., also sind nach 1,25 Stunden etwa 2378 Bakterien vorhanden. Quelle: www.mathe-online.at/mathint/log/i.html (03.01.06) Johannes-Kepler-Gymnasium Mathe 12 Erweiterung der Exponentialfunktion f(x) = 1000 ∙ 2x Man kann zeigen, dass als Exponent nicht nur rationale Zahlen (also Brüche), sondern alle reellen Zahlen gewählt werden können. Der Definitionsbereich einer Exponentialfunktion f(x) = bx ist also die Menge der reellen Zahlen. Quelle: www.mathe-online.at/mathint/log/i.html (03.01.06) Johannes-Kepler-Gymnasium Mathe 12 Rückblick Potenz, Basis, Exponent ax Exponentialfunktion: f(x) = a ∙ bx, , wobei a, b, x reell, b > 0, b ≠ 1 Aufstellen einer Exponentialfunktion (Modellbildung auf Grundlage eines realen Problems) Schritte der Modellbildung: V – Ü – R – Z - A Beschreiben des Wachstums von Bakterienkulturen Erweiterung der Exponentialfunktion: Als Exponenten sind alle reellen Zahlen möglich. Johannes-Kepler-Gymnasium Mathe 12 Drei Fragen Was ist eine Potenz, was ist eine Exponentialfunktion? Worin bestehen Unterschiede zwischen linearem und exponentiellem Wachstum? Wie errechne ich Bestandszahlen mit Hilfe einer Exponentialfunktion (z. B. Anzahl von Bakterien)? Johannes-Kepler-Gymnasium Mathe 12 Internetlinks http://www.mathe-online.at/mathint/log/i.html#Bakterien Selbstlernmaterial von Thomas Unkelbach unter http://www.thomas-unkelbach.de/ Johannes-Kepler-Gymnasium Mathe 12 Hausaufgabe BASICs Arbeitsblatt liegt am Ausgang aus. Göde Klöppner, Christian Westphal, Christoph Hagel 2006 Johannes-Kepler-Gymnasium Mathe 12
