Exponentielles Wachstum

Exponentielles Wachstum
Exponentielles Wachstum liegt vor, wenn die Quotienten der
Funktionswerte für gleiche Zeitintervalle immer konstant sind.
f  t t 
=konstant bei gleichem  t
f t
Liegt ein konstantes prozentuales Wachstum vor, so handelt es sich
ebenfalls um ein exponentielles Wachstum.
t
p
 =f 0⋅q t
Mit dem Wachstum von p% wird f  t=f 0⋅1
100
Die Wachstumsgeschwindigkeit f'(t) ist immer konstant zum jeweiligen
Bestand, d.h. f ' t=k⋅f t .
Die Lösung dieser Differentialgleichung (DGL) lautet: f  t =f 0⋅e k⋅t
Das exponentielle Wachstum läßt sich durch die Rekursionsformel
f  n1=q⋅f n  beschreiben.
Beispiele
1 Ein Kapital von 500€ wird mit einem Jahreszins von 6% p.a. verzinst.
Stelle den monatlichen Kapitalzuwachs dar.
n
1
6 12
6 12
 .... K  n=500⋅1

n in Monaten: K 1=500⋅1
oder
100
100
Mit f  t =f 0⋅e k⋅t ergibt sich f(0) = 500 und aus f(12) = 503 ergibt sich
1
500
k= ⋅ln 
 . f(12) ist das Kapital nach einem Jahr.
12
503
D. Müller CCS 2007
Exponentielles WM - 2.1 -
Exponentielles Wachstum
2 Ein Kapital von 2000€ wird mit 5% p.a. verzinst. Stelle das monatliche
Wachstum mit einer Tabellenkalkulation dar.
3 Eine Nährlösung enthält zum Beginn der Beobachtung 3000 Bakterien,
nach 20 Stunden sind es 50.000. Stelle die Wachstumsfunktion auf und
bestimme die Wachstumsgeschwindigkeit nach 5 Stunden.
t in Stunden und die Anzahl der Bakterien in tausend:
1
50
Aus f 20=50=3⋅ek⋅20 folgt k= ⋅ln  ≈0,1407 .
20
3
0,1407⋅t
0,1407⋅t
. Nach 5 h ist die
f  t=3⋅e
und f ' t=0,1407⋅3⋅e
Wachstumsgeschwindigkeit f '5≈0,853 , d.h. nach 5 h kommen rund
853 Bakterien hinzu.
D. Müller CCS 2007
Exponentielles WM - 2.2 -
Exponentielles Wachstum
4 Altersbestimmung mit der C-14 Methode
D. Müller CCS 2007
Exponentielles WM - 2.3 -