Exponentielles Wachstum

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Exponentielles Wachstum
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⋅
1. Die Wachstumsfunktion für exponentielles Wachstum hat allgemein die Gleichung
Dabei ist b der Wachstumsfaktor. Eine alternative Schreibweise wäre B(t) = a
wird ln(b) = k gesetzt.
a) B(t)
= 5.000
⋅
1,5
e
⋅
.
⋅ . Dabei
B(t) = a
ln(b) t
b
t
t
b) Nach 4 Stunden sind etwa 25.313 Bakterien vorhanden.
c) Nach etwa 5,7 Stunden hat sich die Anzahl der Bakterien verzehnfacht.
d) B2 (t)
= 3.000
⋅
1,7
t
.
Nach etwa 4 Stunden besitzen beide Stämme gleich viele Bakterien.
2.
a) B(t)
= 3,34
⋅
t
1,22
b) Nach etwa 64 Jahren, also im Jahr 2029, würde es 12 Milliarden Menschen geben.
c) B′ (t)
= 0,6642
⋅
t
1,22
Etwa im 21 Jahr, d.h. im Jahr 1986, beträgt die Wachstumsrate 1. In diesem 10-Jahres-Schritt
nimmt die Anzahl der Menschen also um 1 Milliarde zu.
d) Das logistische Wachstum wäre hier ein besseres Modell. Dies berücksichtigt eine Ressource,
die sich mit dem Wachstum verbraucht, in diesem Fall die Erdoberfläche. Jedes Stück der
Fläche, das schon besiedelt ist, steht anderen nicht mehr zur Verfügung.
3.
a) B(t)
= 7,5807
⋅
0,999572
t
b) Ursprünglich waren etwa 7,58 g Radium eingelagert worden.
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c) Im Jahr 1950 waren noch etwa 0,978 g des Radiums vorhanden.
Es würde etwa 5.379 Jahre dauern, bis noch 0,1 g des Radiums vorhanden sind.
4.
a) Bei einer Außentemperatur von 30°C wächst die Bakterienkultur pro Stunde um etwa 30% an.
b) Bei einer Außentemperatur von 30°C sind nach etwa 3,4 Stunden 25.000 Bakterien
vorhanden.
c) b=1,5874
⋅
Die Vervierfachungszeit sagt im Grunde: B(3) = 4 B(0) . Dabei bleibt B(0) variabel. Genau wie
bei der Halbwertszeit und bei der Verdopplungszeit kommt es auch hier nicht auf einen festen
Anfangsbestand an.
5.
a) B(t)
= 120
⋅
t
0,866
b) Nach etwa 12,5 Stunden ist die Flüssigkeit auf 20°C abgekühlt.
c) Hier liegt exponentieller Zerfall vor. Das bedeutet: Je größer die Temperatur der Flüssigkeit,
desto schneller kühlt sie ab. Je geringer die Temperatur der Flüssigkeit, desto langsamer
kühlt sie ab.
Der Zeitpunkt mit stärkster Temperaturabnahme liegt also direkt zu Beginn vor, da die Flüssigkeit
hier noch am heißesten ist.
6.
a) f
(t) = 2, 02
⋅
e
0,4t
b) Nach etwas mehr als 4 Wochen fliegt das Spaceshuttle 1100
m
.
s
c) Nach etwa 35 Wochen hat das Spaceshuttle Lichtgeschwindigkeit erreicht.
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