1. In einem Labor wird das Wachstum einer Bakterienkultur

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◮ Analysis | Wachstum | Exponentielles Wachstum
Aufgabenblatt
1. In einem Labor wird das Wachstum einer Bakterienkultur beobachtet. Das Experiment
wurde mit einem Stamm von 5000 Bakterien gestartet. Nach einer Stunde hatte sich
die Anzahl um die Hälfte vergrößert.
a) Stellen Sie eine Funktionsgleichung auf, mit der das Wachstum des Bakterienstammes beschrieben werden kann.
b) Wie viele Bakterien sind nach 4 Stunden vorhanden?
c) Wann hat sich die Anzahl der Bakterien verzehnfacht?
d) Zeitgleich zu diesem Experiment wurde ein anderes begonnen, allerdings mit einem
Stamm von nur 3000 Bakterien. Nach einer Stunde konnte beobachtet werden, dass
der Bestand um 70% gestiegen war. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem beide
Stämme gleich viele Bakterien aufweisen.
2. 1965 gab es etwa 3,34 Milliarden Menschen auf der Erde, 1975 waren es 4,08 Miliarden.
a) Ermitteln Sie anhand dieser Daten eine Funktionsgleichung, mit der sich das Bevölkerungswachstum beschreiben lässt. Tragen sie auf der t-Achse die Zeit in 10-JahresSchritten ab. Eine Einheit auf der B(t)-Achse soll für 1 Milliarde Menschen stehen.
Wählen Sie außerdem das Jahr 1965 als Zeitpunkt t = 0.
b) Wann würde es 12 Milliarden Menschen auf der Erde geben, wenn die Bevölkerung
mit dieser Geschwindigkeit weiter wächst?
c) In welchem Jahr würde die Wachstumsrate 1 betragen? Was sagt diese Wachstumsrate genau aus?
d) Angesichts der Tatsache, dass die Erde nur begrenzt Platz für Menschen bietet, wäre
ein anderes Wachstumsmodell in diesem Kontext angebrachter. Welches wäre dies
und warum?
3. Der radioaktive Stoff Radium besitzt eine Halbwertszeit von 1620 Jahren. In einem Lager
werden immer wieder Proben durchgeführt, wieviel Radium noch vorhanden ist. Nach
25 Jahren existieren noch 7,5g des Stoffs.
a) Ermitteln Sie anhand dieser Daten eine Wachstumsgleichung, mit der sich der radioaktive Zerfall von Radium beschreiben lässt.
b) Wieviel Radium war ursprünglich eingelagert worden?
c) Marie Curie entdeckte 1898 das Radium und stellte knapp 1g davon her. Wieviel
dieses Gramms war im Jahr 1950 noch vorhanden? Wie lange würde es dauern, bis
nur noch 0,1g dieses Radiums vorhanden ist?
4. Das Wachstum einer Bakterienkultur lässt sich in den ersten 6 Stunden exponentiell
beschreiben. Das tatsächliche Wachstum der Bakterien ist abhängig von der Außentemperatur, je höher diese ist, desto schneller vermehren sie sich. Dieses Wachstum kann
beschrieben werden durch B (t) = 10.000 · bt
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Aufgabenblatt
°
a) Bei einer Außentemperatur von 30 C sind nach 2 Stunden 17160 Bakterien vorhanden. Bestimmen Sie den Wert für b und interpretieren Sie ihn im Sachzusammenhang hinsichtlich der prozentualen Zunahme der Bakterien.
°
b) Wann sind bei der Außentemperatur von 30 C genau 25.000 Bakterien vorhanden?
°
c) Bei einer Außentemperatur von 50 C hat sich die Anzahl der Bakterien in
3 Stunden vervierfacht. Berechnen Sie ausgehend von der Funktionsgleichung
B(t) = 10.000 · bt einen Wert für b.
Begründen Sie: Die „Vervierfachungszeit“ von 3 Stunden hängt nicht vom Anfangsbestand ab.
°
°
5. Die Temperatur einer Flüssigkeit beträgt 120 C. Nach 2 Stunden hat sie sich auf 90 C
abgekühlt.
a) Ermitteln Sie anhand der gegebenen Werte eine Wachstumsgleichung, wenn von
exponentiellem Wachstum ausgegangen wird.
°
b) Wann beträgt die Temperatur der Flüssigkeit 20 C?
c) Gibt es einen Punkt, an dem die Temperatur am stärksten fällt?
6. Irgendwo in den Weiten des Alls wird ein Spaceshuttle abgeschossen. Es ist unbemannt
und kann daher sehr schnell fliegen. Seine Energie bezieht es mit Hilfe von Solarzellen.
Die Zunahme seiner Geschwindigkeit lässt sich mit der Differenzialgleichung ƒ ′ (t) =
0, 4 · ƒ (t) beschreiben. Eine Einheit auf der t-Achse soll dabei 1 Woche darstellen.
a) Geben Sie die Lösung dieser Differenzialgleichung an; dabei soll ƒ (4) = 10 sein. Es
wird von exponentiellem Wachstum ausgegangen.
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b) Eine Einheit auf der ƒ (t)-Achse steht für 100
. Wann hat das Spaceshuttle eine
s
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Geschwindigkeit von 1100
erreicht?
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c) Wann hat das Spaceshuttle Lichtgeschwindigkeit erreicht 300.000.000
?
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