Präsentation Pierre Fermat

Pierre Fermat
Übersicht
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Biographie
Fermatzahlen
Kleiner Satz von Fermat
Grosser Satz von Fermat
Biographie
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Geboren in Beaumont-de-Lomagne in Frankreich
Studierte in der Universität in Toulouse
Mathematik als Hobby
Grosse Karriere nach Jusstudium
Fälschlicherweise als Tod erklärt
Kontakt zu div. Mathematikern
Fermatzahlen
• Frage: gibt es unter den Zahlen 2k+1 (3, 5, 9, 17,
..) unendlich viele Primzahlen?
• Fermat bewies nun: 2k+1 prim  k=2n.
• Wenn k keine Zweierpotenz ist, so hat k einen
ungeraden Teiler m.
• Es sei k=s×m. Dann gilt 2k+1=2s×m+1=(2s)m+1m.
• Dieser Term ist aber durch 2s+1 teilbar und damit
nicht prim.
Fermatzahlen
• Vermutun, dass die Zahlen Fn: 22^n+1 für
alle n>0 prim seien.
n
0
1
2
3
4
2n
1
2
4
8
16
Fn
3
5
17
257
65537
Kleiner Satz von Fermat
• ap-1-1 immer durch die Primzahl p
ganzzahlig teilbar, wenn a eine natürliche
Zahl ist und 0<a<p
Kleiner Satz von Fermat
• 4× 1=4=4 mod 7; 4×2=8=1 mod 7; 4×3
=12=5 mod 7; 4×4=16=2 mod 7; 4×5
=20=6 mod 7; 4× 6=24=3 mod 7
• (4×1)× (4×2)× (4×3)× (4×4)× (4×5)×
(4×6)=4×1×5×2×6×3 mod 7
• 6!×46=6! mod 7
• 46=1 mod 7
• denn 6! und 7 sind teilerfremd.
Kleiner Satz von Fermat
• Es sei p prim und a<p mit a>1
• m1=1×a, m2=2×a, m3=3×a,...,mp-1=(p-1)×a
• Die p-1 mi repräsentieren (beim teilen durch p) die
Restklassen von 1 bis p-1.
• 1×2×3×...×(p-1)×ap-1=m1×m2×m3×...×mp-1
=1×2×3×...×(p-1) mod p
• (p-1)!×ap-1=(p-1)! mod p ((p-1)! und p sind
teilerfremd)
• ap-1=1 mod p
• Kleiner Satz von Fermat: ap-1-1 = 0 mod p
Anwendung (von Fermatzahlen)
• Welchen Rest läßt 2955 mod 53?
• 2955=2952+3=2952× 293=1×24389 mod 53
=9 mod 53
Grosser Satz von Fermat
• Satz von Pythagoras: a2+b2=c2
• a: = m2 - n2 , b: = 2mn , c: = m2+n2
• a2+b2 = (m2 - n2)2+(2mn)2
=m4+2m2n2+n4 = (m2+n2)2 = c2
• a n + b n = cn
a, b, c, n sind natürliche Zahlen
n>2
 keine Lösung
Grosser Satz von Fermat
• Fermat bewies für n = 4
• Euler bewies für n = 3
• Arbeitsgruppen aus Mathematikern konnten
Fermats Vermutung erst für Werte von n bis 500,
dann bis 1 000, schließlich bis 25 000 beweisen
• 1993 veröffentlichte Andrew Wiles einen
fehlerhaften Beweis
• 1995 Andrew Wiles erbrachte beim zweiten
Versuch den endgültigen Beweis