Pierre Fermat

Thomas Maurer, 6m
Pierre Fermat
Biographie
Pierre Fermat wurde zwischen 1601-1607 in Beaumont-de-Lomagne in Frankreich geboren und
verschied (wahrscheinlich) im Alter von 57 Jahren am 12. Januar 1665.
Er besuchte die Universität in Toulouse, bevor er nach Bordeau ging, wo er mit seine ersten
ernsthaften mathematischen Nachforschungen begann, wobei gesagt werden muss, dass er dies nur als
Hobby neben seiner normalen Arbeit betrieb. Von Bordeau aus zog Fermat nach Orléans, wo er Jura
studierte. 1631 wurde er Anwalt und Beamter der Regierung in Toulouse. 1652 wurde er auf die
höchste Ebene des Strafgerichts befördert. Weitere Beförderungen weisen
auf eine kometenhafte Karriere hin. Zu dieser Zeit wütete die Pest in Europa
und auch viele der Gerichtsmitglieder starben. Als auch Fermat 1653
erkrankte, erklärte man ihn nach kurze Zeit irrtümlich für Tod, was aber
später berichtigt wurde. Selbstverständlich beschäftigte sich Fermat immer
noch viel mit Mathematik. Er pflegte seine „mathematische Freundschaft“
mit verschiedenen Mathematikern seiner Zeit und berichtete immer wieder
von seinen Entdeckungen. Fermat war nie an der Anwendung der
Mathematik interessiert. Sogar mit seinen Ergebnissen bezüglich der
Erforschung des freien Falls war er mehr an der Erstellung geometrischer
Theorien interessiert als an ihrem Bezug zur realen Welt. So war er auch der Entwickler der
Achsengeometrie und damit der Begründer der analytischen Geometrie. Auch eine neue Art des
Faktorisieren von großen Zahlen geht auf Fermat zurück. Seine berühmtesten Entdeckungen waren
aber die, die heute Fermats kleiner und grosser/letzter Satz genannt werden. Fermats Sätze sind die
Basis für viele andere Erkenntnisse in der Zahlentheorie und für die meisten der von modernen
Computern genutzten Verfahren zum Prüfen von Primzahlen.
Fermatzahlen
Fermat untersuchte unter anderem die Folge der Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11.... Er fragte sich, ob es auch
unter den Zahlen 2k+1 (3, 5, 9, 17, ..) unendlich viele Primzahlen gebe. Wenn man nun die
Exponenten der ersten Primzahlen unter den obigen Zahlen aufschreibt (1, 2, 4 ), so fällt auf, dass es
sich dabei um Zweierpotenzen handelt. Fermat bewies nun: 2k+1 prim  k = 2n. (Idee: Wenn k keine
Zweierpotenz ist, so hat k einen ungeraden Teiler m. Es sei k = s × m. Dann gilt 2k + 1 = 2s×m + 1 =
(2s)m + 1m. Dieser Term ist aber durch 2s+1 teilbar und damit nicht prim.)
In einem Brief an Pascal stellte Fermat im Jahre 1654 daher die Vermutung auf, dass die Zahlen Fn:
22^n + 1 (die wir zu Ehren Fermats nun die "Fermatzahlen" nennen) für alle n>0 Primzahlen seien.
Fermat konnte diese Vermutung mangels Taschenrechners nur bis n = 4 prüfen und hatte soweit recht,
wie die folgende Tabelle zeigt:
n
0
1
2
3
4
2n
1
2
4
8
16
Fn
3
5
17
257
65537
Schon beim Überprüfen von F4 hat man ohne Primzahltabelle oder Rechner einige Mühe; jedoch
erweist sich diese Zahl als Primzahl. Es dauerte beinahe 100 Jahre, bis Euler 1732 für F 5 =
4.294.967.297 die Zerlegung 641 × 6.700.417 angeben konnte, womit die Fermatsche Vermutung
falsch war.
Fermats kleiner Satz
Der nach Fermat benannte kleine Satz besagt, dass ap-1-1 immer durch die Primzahl p ganzzahlig
teilbar ist, wenn a eine natürliche Zahl ist und 1<a<p gilt.
Beispiel:
4 × 1 = 4 = 4 mod 7; 4 × 2 = 8 = 1 mod 7; 4 × 3 = 12 = 5 mod 7;
4 × 4 = 16 = 2 mod 7; 4 × 5 = 20 = 6 mod 7; 4 × 6 = 24 = 3 mod 7
(4×1) × (4×2) × (4×3) × (4×4) × (4×5) × (4×6) = 4 × 1 × 5 × 2 × 6 × 3 mod 7
6! × 46 = 6! mod 7
46 = 1 mod 7
denn 6! und 7 sind teilerfremd.
Allgemein:
Es sei p prim und a<p mit a>1
m1 = 1 × a, m2 = 2 × a, m3 = 3 × a,...,mp-1 = (p-1) × a
Die p-1 mi repräsentieren (beim teilen durch p) die Restklassen von 1 bis p-1.
1 × 2 × 3 ×...× (p-1) × ap-1 = m1 × m2 × m3 ×...× mp-1 = 1 × 2 × 3 ×...× (p-1) mod p
(p-1)! × ap-1 = (p-1)! mod p ((p-1)! und p sind teilerfremd)
ap-1 = 1 mod p
Kleiner Satz von Fermat: ap-1-1 = 0 mod p
Anwendung:
Welchen Rest läßt 2955 / 53?
2955 = 2952+3 = 2952 × 293 = 1 × 24389 mod 53 = 9 mod 53.
Fermats grosser Satz
Fermat lies sich beim Aufstellen des grossen oder letzen Satzes von Fermat von Pythagoras
inspirieren, indem er den Satz a2+b2=c2 untersuchte. Es ist bekannt, dass dieser Satz von Pythagoras
unendlich viele Zahlentripel aufweist, die die Bedingung, a,b,c müssen natürliche Zahlen sein,
erfüllen.
Nach dieser Erkenntnis untersuchte Fermat den Verhalt solcher Zahlentripel und formulierte folgenden
Satz:
an + b n = c n
a, b, c, n sind natürliche Zahlen
n>2
 keine Lösung
Fermat selber bewies die Vermutung noch für n = 4, dadurch konnte man auch alle weiteren
Vielfachen von 4 als Potenz ausschließen (8 ((x4)2), 12 ((x4)3), ...). Euler zeigte irgendwann, dass es für
x³ + y³ = z³ keine Lösung gibt und so fielen ebenfalls wieder die Potenzen 6 ((x 3)2), 9 ((x3)3), ... weg.
Trotz dieser Vereinfachung kam man kaum weiter, bis entdeckt wurde, dass sich jede Zahl prinzipiell
in ihre Primfaktoren zerlegen lässt. Also musste man "nur noch" alle weiteren Primzahlen
untersuchen, obgleich es noch unendlich viele weitere Primzahlen gibt.
Durch Arbeitsgruppen aus Mathematikern und Computerwissenschaftlern konnte man Fermats
Vermutung erst für Werte von n bis 500, dann bis 1 000, schließlich bis 25 000 beweisen.
Schließlich hielt am 23.06.1993 Andrew Wiles einen Vortrag, in dem er den Fermat'schen Satz
bewies, jedoch fand das Prüfungskomitee einen entscheidenden Fehler, und so war der erste Beweis
hinfällig. Trotzdem ließ sich Wiles nicht entmutigen und konnte schließlich im Mai 1995 mit einem
fehlerfreien, über 100 Seiten umfassenden Beweis (ein Meisterstück an logischen Schlussfolgerungen
und Verknüpfungen von neuzeitlichen Theorien) sein Ziel erreichen.