Vortrag über Pierre Fermat

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Fermats Biographie
Pierre Fermat wurde in Beaumont-de-Lomagne in Frankreich geboren. Das Geburtsjahr von Fermat
wird oftmals 1601 angenommen, jedoch ist man sich nicht ganz sicher wie ich herausgefunden habe:
Ich habe eine Untersuchung von Prof. Klaus Barner von der Universität Kassel gefunden, wo er
behauptet, dass derjenige Pierre Fermat, der 1601 als Sohn von Dominique Fermat im Taufregister
von Beaumont eingetragen wurde, nicht der berühmte Mathematiker ist. Die Mutter dieses Pierre
Fermat, scheint nach 1603 gestorben zu sein. Dominique Fermat hat in den Jahren 1603-1607 erneut
geheiratet, nämlich die Adlige Claire de Long. Sie gebar ihm fünf Kinder, darunter eben Pierre
Fermat. Da die Taufregister von Beaumont der Jahre 1607-1611 vollständig fehlen, konnte Klaus
Barner das Geburtsjahr 'nur' eingrenzen. Seine These für das Geburtsjahr 1607 wird aber durch viele
Indizien gestützt, z.B. auch durch die letzte Zeile des Grabmals, die Fermats Sohn Samuel 1665 neben
dem Familiengrab in der Augustinerkirche zu Toulouse hat anbringen lassen, die besagt, dass Fermat
im Alter von 57 Jahren am 12. Januar 1665 verschieden ist.
Pierre Fermats Vater war ein wolhhabender Lederhändler und der zweite Konsul der Stadt. Obwohl es
nur wenige Beweise bezüglich seiner schulischen Bildung gibt, ist man sich sicher, dass er in dem
örtlichen Franziskanerorden unterrichtet wurde. Er besuchte die Universität in Toulouse, bevor er in
der zweiten Hälfte des Jahres 1620 nach Bordeau ging. Dort begann er seine ersten ernsthaften
mathematischen Nachforschungen, wobei gesagt werden muss, dass er dies nur als Hobby neben
seiner normalen Arbeit betrieb. Von Bordeau aus zog Fermat nach Orléans, wo er Jura studierte. Er
bekam eine Auszeichnung im Zivilrecht und erstand den Posten des Stadtrats im Parlament von
Toulouse. So wurde er 1631, Anwalt und Beamter der Regierung in Toulouse und aufgrund dieser
Position wurde er geadelt und änderte seinen Namen von Pierre Fermat in Pierre de Fermat. Den Rest
seines Lebens verbrachte er in Toulouse, arbeitete aber auch in Castres und seiner Geburtsstadt
Beaumont-de-Lomagne. 1652 wurde er auf die höchste Ebene des Strafgerichts befördert. Weitere
Beförderungen weisen auf eine kometenhafte Karriere hin. Zu dieser Zeit wütete die Pest in Europa
und auch viele der Gerichtsmitglieder starben. Als auch Fermat 1653 erkrankte, erklärte man ihn nach
kurze Zeit irrtümlich für Tod, was aber später berichtigt wurde. Selbstverständlich beschäftigte sich
Fermat immer noch viel mit Mathematik. Er pflegte seine „mathematische Freundschaft“ mit
Beaugrand und, nachdem er nach Toulouse gezogen war, machte er dort auch die Bekanntschaft mit
Carcavi. Sie teilten ihr mathematisches Interesse und Fermat berichtete Carcavi von seinen
Entdeckungen. Am 26. April 1636 lernte Fermat Mersenne kennen und berichtete diesem von seinen
Vermutungen, z.B. dass Galileo Galilei Fehler in seiner Beschreibung des „freien Falls“ gemacht hat,
seiner eigenen Arbeit mit Spiralen und seiner Überarbeitung von Appolonius PlaneLoci. Fermat hatte
kein Interesse an der physikalischen Anwendung der Mathematik. Sogar mit seinen Ergebnissen
bezüglich der Erforschung des freien Falls war er mehr an der Erstellung geometrischer Theorien
interessiert als an ihrem Bezug zur realen Welt. So war er auch der Entwickler der Achsengeometrie
und damit der Begründer der analytischen Geometrie. Sein Aufstieg zu einem der bekanntesten
Mathematiker der Welt kam sehr schnell, aber Versuche seine Arbeit publik zu machen schlugen fehl,
da Fermat sie erst perfektionieren wollte. Trotzdem wurden einige seiner Methoden veröffentlicht.
1643 bis 1651, während der Zeit des Bürgerkriegs und der Pest brach Fermats Verbindung nach Paris
ab und er nutzte die Zeit um sich mit der Zahlentheorie auseinander zusetzen. Er bewies die Theorie
von Albert Giardi, dass jede Primzahl der Form 4n+1 als Summe von zwei Quadraten geschrieben
werden kann und war auch in der Lage zu zeigen wie jede Zahl als Summe von vier Quadraten
geschrieben werden kann. Auch eine neue Art des Faktorisieren von großen Zahlen geht auf Fermat
zurück. Seine berühmtesten Entdeckungen waren aber die, die heute Fermats kleiner und
grosser/letzter Satz genannt werden. Fermats Satz ist die Basis für viele andere Erkenntnisse in der
Zahlentheorie und für die meisten der von modernen Computern genutzten Verfahren zum Prüfen von
Primzahlen.
Fermatzahlen
Fermat untersuchte unter anderem die Folge der Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11.... Er fragte sich, ob es auch
unter den Zahlen 2k+1 (3, 5, 9, 17, ..) unendlich viele Primzahlen gebe. Wenn man nun die
Exponenten der ersten Primzahlen unter den obigen Zahlen aufschreibt (1, 2, 4 ), so fällt auf, dass es
sich dabei um Zweierpotenzen handelt. Fermat bewies nun: 2k+1 prim  k=2n.
(Idee: Wenn k keine Zweierpotenz ist, so hat k einen ungeraden Teiler m. Es sei k=s×m. Dann gilt
2k+1=2s×m+1=(2s)m+1m. Dieser Term ist aber durch 2s+1 teilbar und damit nicht prim.)
In einem Brief an Pascal (1623-1662) stellte Fermat im Jahre 1654 daher die Vermutung auf, dass die
Zahlen Fn: 22^n+1 (die wir zu Ehren Fermats nun die "Fermatzahlen" nennen) für alle n>0 prim seien.
Fermat konnte diese Vermutung mangels Taschenrechners nur bis n=4 prüfen und hatte soweit recht,
wie die folgende Tabelle zeigt:
n
0
1
2
3
4
2n
1
2
4
8
16
Fn
3
5
17
257
65537
Schon beim Überprüfen von F4 hat man ohne Primzahltabelle oder Rechner einige Mühe; jedoch
erweist sich diese Zahl als Primzahl. Es dauerte beinahe 100 Jahre, bis Euler 1732 für
F5=4.294.967.297 die Zerlegung 641×6.700.417 angeben konnte, womit die Fermatsche Vermutung
falsch war.
Fermats kleiner Satz
Der nach Fermat benannte kleine Satz besagt, dass ap-1-1 immer durch die Primzahl p ganzzahlig
teilbar ist, wenn a eine natürliche Zahl ist und 0<a<p gilt.
Beispiel:
4× 1=4=4 mod 7; 4× 2=8=1 mod 7; 4× 3=12=5 mod 7;
4× 4=16=2 mod 7; 4× 5=20=6 mod 7; 4× 6=24=3 mod 7
(4×1)× (4×2)× (4×3)× (4×4)× (4×5)× (4×6)=4×1×5×2×6×3 mod 7
6!×46=6! mod 7
46=1 mod 7
denn 6! und 7 sind teilerfremd.
Allgemein:
Es sei p prim und a<p mit a>1
m1=1×a, m2=2×a, m3=3×a,...,mp-1=(p-1)×a
Die p-1 mi repräsentieren (beim teilen durch p) die Restklassen von 1 bis p-1.
1×2×3×...×(p-1)×ap-1=m1×m2×m3×...×mp-1=1×2×3×...×(p-1) mod p
(p-1)!×ap-1=(p-1)! mod p ((p-1)! und p sind teilerfremd)
ap-1=1 mod p
Kleiner Satz von Fermat: ap-1-1 = 0 mod p
Beispiel (Blatt 1)
Anwendung:
Welchen Rest läßt 2955 mod 53? Kein Problem mehr, denn 2955=2952+3=2952× 293=1×24389
mod 53=9 mod 53.
Beispiel (Blatt 2)
Fermats grosser Satz
Fermat lies sich beim Aufstellen des grossen oder letzen Satzes von Fermat von Pythagoras
inspirieren, indem er den Satz a2+b2=c2 untersuchte. Es ist bekannt, dass dieser Satz von Pythagoras
unendlich viele Zahlentripel aufweist, die die Bedingung, a,b,c müssen natürliche Zahlen sein,
erfüllen.
Beweis:
Man wähle zwei positive, natürliche Zahlen m,n so, dass m>n ist; indem man
a: = m2 - n2 , b: = 2mn , c: = m2+n2
setzt, erhält man nun ein pythagoreisches Zahlentripel, da man mit Hilfe der binomischen Formel
leicht
a2+b2 = (m2 - n2)2+(2mn)2 =
m4+2m2n2+n4 = (m2+n2)2 = c2
nachprüft. Da man die natürlichen Zahlen m,n bei dieser Konstruktion, abgesehen von der leicht zu
erfüllenden Bedingung m > n, beliebig wählen kann, findet man zugleich, daß es unendlich viele
verschiedene pythagoreische Zahlentripel gibt.
Nach dieser Erkenntnis untersuchte Fermat den Verhalt solcher Zahlentripel und formulierte folgenden
Satz:
an + b n = c n
a, b, c, n sind natürliche Zahlen
n>2
 keine Lösung
Fermat selber bewies die Vermutung noch für n = 4, dadurch konnte man auch alle weiteren
Vielfachen von 4 als Potenz ausschließen (8 ((x4)2), 12 ((x4)3), ...). Euler zeigte irgendwann, dass es für
x³ + y³ = z³ keine Lösung gibt und so fielen ebenfalls wieder die Potenzen 6 ((x3)2), 9 ((x3)3), ... weg.
Trotz dieser Vereinfachung kam man kaum weiter, bis entdeckt wurde, dass sich jede Zahl prinzipiell
in ihre Primfaktoren zerlegen lässt. Also musste man "nur noch" alle weiteren Primzahlen
untersuchen, obgleich es noch unendlich viele weitere Primzahlen gibt.
Nach jahrelanger Durststrecke in der Forschung wurde ein weiterer Anreiz zur Lösung des Problems
geschaffen, der Wolfskehlpreis: Dr. Paul Wolfskehl schrieb in seinem Vermächtnis einen Preis von
100 000 Mark für denjenigen aus, der unter festgelegten Bedingungen das Fermat'sche Problem lösen
konnte.
Durch Arbeitsgruppen aus Mathematikern und Computerwissenschaftlern konnte man Fermats
Vermutung erst für Werte von n bis 500, dann bis 1 000, schließlich bis 25 000 beweisen.
Schließlich hielt am 23.06.1993 Andrew Wiles einen Vortrag, in dem er den Fermat'schen Satz
bewies, jedoch fand das Prüfungskomitee einen entscheidenden Fehler, und so war der erste Beweis
hinfällig. Trotzdem ließ sich Wiles nicht entmutigen und konnte schließlich doch sein Ziel erreichen:
Der über 100 Seiten starke Beweis ist ein Meisterstück an logischen Schlussfolgerungen und
Verknüpfungen von neuzeitlichen Theorien.
Im Wesentlichen lautet der Weg des Beweises etwa so:
- Der Mathematiker Frey hatte schon vorher die Fermat'sche Gleichung so umgeformt, dass sie eine
elliptische Gleichung darstellte.
- Die Taniyama-Shimura Vermutung ist auf elliptische Gleichungen beziehbar, so dass sich im Prinzip
folgende Reihenfolge ergab:
o Wenn die Taniyama-Shimura Vermutung bewiesen werden kann, dann darf die Frey'sche
(elliptische) Gleichung nicht existieren.
o Wenn die Frey'sche elliptische Gleichung nicht existiert, dann kann es keine Lösungen der
Fermat'schen Gleichung geben.
Der endgültige und fehlerfreie Beweis wurde schließlich im Mai 1995 in den Annals of Mathematics
veröffentlicht. Wiles hatte damit das 357 Jahre alte Problem von Fermat nach mehrjähriger Arbeit
gelöst.
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