Übung 3

ETH Zürich, D-INFK
HS 2015, 28. September 2015
Prof. Ueli Maurer
Daniel Tschudi
Diskrete Mathematik
Übung 3
Teil 1: Prädikatenlogik
3.1
(4 Punkte)
Vertauschung von Quantoren
Zeigen Sie:
a) (? ?) ∃y ∀x P (x, y) =⇒ ∀x ∃y P (x, y).
(2 Punkte)
Widerlegen Sie:
b) (? ?) ∀x ∃y P (x, y) =⇒ ∃y ∀x P (x, y).
(2 Punkte)
Teil 2: Beweistechniken
3.2
Direkter Beweis einer Implikation (2.4.2)
Zeigen Sie direkt:
a) (? ?) Das Produkt zweier geraden natürlichen Zahlen ist gerade.
3.3
Indirekter Beweis einer Implikation (2.4.3)
Zeigen Sie indirekt, dass für jede natürliche Zahl n > 0 gilt:
a) (? ?) Falls 42n − 1 prim ist, ist n ungerade.
b) (? ?) Falls n2 ungerade ist, dann ist auch n ungerade.
3.4
(7 Punkte)
Fallunterscheidung (2.4.6)
Zeigen Sie mittels Fallunterscheidung:
a) (? ?) Für jede ganze Zahl n gilt, 5n2 + 3n + 8 ist gerade.
b) (? ? ?) Falls p und
p2
+ 2 Primzahlen sind, ist auch
p3
+ 2 prim.
(2 Punkte)
(5 Punkte)
3.5
Widerspruchsbeweis (2.4.7)
a) (? ?) Zeigen Sie mittels Widerspruch: Die Summe einer rationalen und einer irrationalen Zahl ist irrational.
Hinweis: Verwenden Sie, dass die Differenz zweier rationaler Zahlen rational ist.
1
b) (? ? ?) Zeigen Sie für n > 2, dass 2 n irrational ist, indem sie einen Widerspruch zum
Grossen Satz von Fermat herleiten.
Hinweis: Der Grosse Satz von Fermat besagt, dass die Gleichung an + bn = cn für n > 2
und positive ganzzahlige a, b, c keine Lösung besitzt.
3.6
Existenzbeweis (2.4.8)
Zeigen Sie:
a) (?) Es gibt irrationale Zahlen a und b, so dass ab rational ist.
b) (? ? ? ?) Es gibt irrationale Zahlen a und b, so dass ab rational ist.
3.7
Gegenbeispiel (2.4.9)
Widerlegen Sie folgende Aussage mit einem Gegenbeispiel:
a) (? ?) Falls p eine Primzahl ist, ist auch 2p − 1 eine Primzahl.
3.8
Induktionsbeweis (2.4.10)
Beweisen Sie die folgenden Aussagen durch Induktion:
P
a) (?) Für alle n ∈ N gilt nk=1 (2k − 1) = n2 .
b) (? ? ?) Für alle n ∈ N, n ≥ 2 gibt es a, a1 , . . . , an ∈ N − {0}, sodass gilt
a2 = a21 + a22 + . . . + a2n .
c) (? ? ? ?) In einem Zoo gibt es k Affen und k Kletterstangen, wobei an der Spitze
jeder Stange eine Banane hängt. Zwischen benachbarten Stangen gibt es insgesamt
n Querverbindungen, wobei an einer Stange keine zwei Verbindungen auf gleicher
Höhe beginnen.
Die Affen wählen nun alle verschiedene Stangen und beginnen hochzuklettern. Jedes
Mal wenn ein Affe auf eine Querverbindung trifft wechselt er die Stange und klettert
dort weiter. Sobald er die Spitze der Stange erreicht hat, nimmt er (falls vorhanden)
die Banane.
Zeigen Sie, dass für jede gültige Anordnung der n Querverbindungen jeder Affe eine
Banane bekommt.
Abgabe am 5. Oktober 2015
Korrigiert werden Aufgaben 3.1 und 3.4.