Übungsblatt 4

Jun.Prof. Dr. C. Diem
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ELEMENTARE ZAHLENTHEORIE
ÜBUNGSBLATT NR. 4
Aufgabe 1 Sei p eine ungerade Primzahl, k eine natürliche Zahl und a ∈ Z. Zeigen
Sie: Wenn ap = 1, dann gibt es genau zwei b ∈ Z/pk Z mit b2 = [a]pk .
Zeigen Sie hierfür: Wenn b ∈ Z/pk Z mit b2 = [a]pk , dann gibt es genau ein c ∈ Z/pk+1 Z
mit b = [c]pk und c2 = [a]pk+1 . (Sie sollten b = [b′ ]pk mit b′ ∈ Z/pk+1 Z ansetzen und
auch die Differenz von b′ und c ins Spiel bringen.)
Aufgabe 2 Der Beweis für Aufgabe 1 ist konstruktiv. Bereichnen Sie jeweils zwei
inkongruente Lösungen der Gleichungen
X 2 ≡ 109
mod 35 = 243
X 2 ≡ 24
mod 53 = 125 .
(Wenn Sie Aufgabe 1 nicht rauskriegen, können Sie auch zuerst Aufgabe 2 machen.
Rechnen Sie hierbei “modulo 3, 32 , 33 , 34 , 35 und 5, 52 , 53 ”.)
Aufgabe 3 Sei n eine ungerade natürliche Zahl und a eine zu n teilerfremde ganze
Zahl. Zeigen Sie: Die Gleichung X 2 ≡ a mod n ist genau dann lösbar, wenn a modulo
allen Primteilern von n ein quadratischer Rest ist.
Definition Sei a eine ganze Zahl und n eine ungerade natürliche Zahl mit n = p1 · · · pk
für Primzahlen pi (die pi müssen nicht paarweise verschieden sein). Dann definieren wir
das Jacobi-Symbol ( na ) als
a
a
a
:=
···
,
n
p1
pk
wobei auf der rechten Seite Legendre-Symbole stehen.
Aufgabe 4 Geben Sie ein Beispiel einer ganzen Zahl a und einer ungeraden natürlichen
quadratfreien Zahl n mit ( na ) = 1 an, wobei a kein Quadrat modulo n ist!
Aufgabe 5 Zeigen Sie das quadratische Reziprozitätsgesetz und den Ergänzungssatz
für ds Jacobi-Symbol:
a) Für zwei ungerade natürliche Zahlen n und m gilt
(m−1)·(n−1)
m
n
4
= (−1)
.
·
n
m
b) Für eine ungerade natürliche Zahl n gilt
n2 −1
2
= (−1) 8 .
n
Hinweis. Zeigen Sie, dass die Funktionen von den ungeraden natürlichen Zahlen nach
n2 −1
Z/2Z gegeben durch n 7→ [ n−1
2 ]2 bzw. n 7→ [ 8 ]2 multiplikativ sind!
Aufgabe 6 Berechnen Sie
693
1009
mit den Ergebnissen der obigen Aufgabe!
Aufgabe 7 In dieser Aufgabe besprechen wir den so genannten Solovay-Strassen Primzahltest. Das ist ein probabilistischer Test: Wenn er auf eine Primzahl angewandt wird,
gibt er immer “prim” aus, und wenn er auf eine Nicht-Primzahl angewandt wird, gibt
er mit mindestens 50 Prozent Wahrscheinlichkeit “nicht prim” aus.
Der Test beruht auf der folgenden Aussage: Sei n eine ungerade natürliche Zahl. Dann
gilt:
a) Wenn n eine Primzahl ist, dann gilt die Kongruenz
n−1
a
≡a 2
n
mod n
für alle a ∈ Z/nZ.
b) Wenn n keine Primzahl ist, dann ist die obige Kongruenz für mindestens 50 Prozent
aller Elemente a ∈ (Z/nZ)∗ nicht erfüllt.
Der Test geht wie folgt: Zuerst überprüft man, ob n gleich 2 ist und gibt ggf. “prim”
aus. Wenn dies nicht der Fall ist, überprüft man, ob n gerade ist und gibt ggf. “nicht
prim” aus.
Sei nun n ungerade. Man wählt dann a ∈ Z/nZ uniform zufällig. Zuerst berechnet
man ggT(a, n). Wenn dies 6= 1 ist, ist n nicht prim, und man gibt “nicht prim” aus.
Andernfalls, überprüft man, ob die Kongruenz erfüllt ist und gibt entsprechend “prim”
oder “nicht prim” aus. (Beachten Sie, dass die erste Ausgabe falsch sein kann!) Die linke
Seite rechnet man dabei mittels des Reziprozitätsgesetzes für das Jacobi-Symbol (siehe
Aufgabe 5) und die rechte Seite mittels “quadrieren und multiplizieren” aus. (Wissen
Sie, wie das geht?)
Die Aussage a) haben wir in der Vorlesung gezeigt. Die Aufgabe besteht darin, b) zu
zeigen.
Sie können hierfür z.B. das Folgende zeigen: Sei n eine ungerade Nicht-Primzahl. Dann
gilt:
i) Die Menge der a ∈ (Z/nZ)∗ für die die Kongruenz erfüllt ist, ist eine Untergruppe
von (Z/nZ)∗ .
ii) Sei n nicht quadratfrei. Dann gibt es ein a ∈ (Z/nZ)∗ mit [a
n−1
2
]n 6= ±1.
iii) Sei nun n quadratfrei, und sei p ein Primteiler von n. Sei a ∈ (Z/nZ)∗ mit ap = −1
und a ≡ 1 mod np . (Warum gibt es so ein a?) Dann gilt die Kongruenz nicht für a.