Reihe von Übungsaufgaben

Universität Karlsruhe
Institut für Algebra und Geometrie
Dr. Gabriela Schmithüsen
Petra Forster
21.08.2009
Aufgabensammlung zur Vorlesung
Elementare Zahlentheorie im Sommersemester 2009
Aufgabe 1
[Zahlen – Peano-Axiome]
Erinnerung: Die Addition s und die Multiplikation m auf N sind die eindeutigen Funktionen
s bzw. m : N × N → N , für die gilt:
(S1) ∀ x ∈ N : s(x, 1) = x′
(M1) ∀ x ∈ N : m(x, 1) = x
(S2) ∀ x, y ∈ N : s(x, y ′ ) = s(x, y)′
(M2) ∀ x, y ∈ N : m(x, y ′ ) = s(m(x, y), x)
Hierbei ist x′ der Nachfolger von x für x aus N .
i) Zeigen Sie nur unter Verwendung der Peano-Axiome und (S1), (S2), (M1) und (M2):
m(2, 3) = 6.
Hierbei ist 2 = 1′ , 3 = 2′ und 6 = 3′′′ .
ii) Nach Vorlesung sind Addition und Multiplikation kommutativ (K) und assoziativ (Ass).
Zeigen Sie nur unter Verwendung der Peano-Axiome, (S1),(S2),(M1),(M2) sowie (K) und
(Ass) dass gilt:
∀ x ∈ N : m(x, x′ ) ist gerade.
Hierbei heißt x ∈ N gerade :⇔ ∃ y ∈ N mit x = s(y, y) .
Geben Sie in den Beweisen jeweils in jedem Schritt die Eigenschaft an, die Sie benuzten.
Aufgabe 2
[Teilbarkeit für ganze Zahlen – euklid. Algorithmus, chin. Restsatz]
1. Sei R ein kommutativer Ring mit 1. Geben Sie eine Definition für die Einheiten von R
an.
2. Wieviele Einheiten gibt es in dem Restklassenring Z/259Z ?
3. Bestimmen Sie die kleinste natürliche Zahl z , so dass
z ≡ 7 mod 259 und z ≡ 10 mod 671
gilt.
4. Ergänzen Sie den Vektor
259
671
zu einer Basis des Z2 .
Aufgabe 3
[Gleichungssyteme über Z , Elementarteilersatz]
n 2 1 4 o
7 , 1 , 6
Sei U die von
erzeugte Untergruppe in Z3 .
8
6
3
1. Bestimmen Sie die Elementarteiler e1 , e2 , e3 von U in Z3 .
2. Bestimmen Sie eine Basis {b1 , b2 , b3 } von Z3 , so dass {e1 b1 , e2 b2 , e3 b3 } eine Basis von U
ist.
3. Welchen Index hat U in Z3 ?
4. Bestimmen Sie alle Lösungen x = (x1 , x2 , x3 ) in Z3 des folgenden Systems diophantischer
Gleichungen:
2x1 + x2 + 4x3 = 1
7x1 + x2 + 6x3 = 6
8x1 + 6x2 + 3x3 = 2
Aufgabe 4
[Gleichungssyteme über Z , Elementarteilersatz]
1. Formulieren Sie den Elementarteilersatz.
2. Sei A = (ai,j ) ∈ Z3×3 mit det A = 135 . Wie sehen die möglichen Elementarteiler aus?
3. Wie viele Lösungen hat das folgende System diophantischer Gleichungen, falls die Summe
der Elementarteiler von A kleiner als 40 ist?
a1,1 x1 + a1,2 x2 + a1,3 x3 = 2
a2,1 x1 + a2,2 x2 + a2,3 x3 = 14
a3,1 x1 + a3,2 x2 + a3,3 x3 = 50
Hierbei ist ai,j der (i, j) -te Eintrag der Matrix A aus Aufgabenteil 2.
Aufgabe 5
[Kongruenzrechnung – kleiner Fermat]
Seien a, b ∈ Z mit ggT(a,
= ggT(b, 55) = 1 und a 6≡ b mod 3 .
P19 55)
i
19−i
.
Zeigen Sie: 55 teilt
i=0 a b
Aufgabe 6
[Primitivwurzeln]
2
3
11
1. Bestimmen Sie den Wert der Legendre-Symbole ( 257
) , ( 257
) und ( 257
).
2. Nach Vorlesung ist (Z/257Z)× eine zyklische Gruppe. Geben Sie drei Primitivwurzeln an,
d.h. Elemente, die jeweils (Z/257Z)× erzeugen.
Hinweis: 256 = 28 und 257 ist eine Primzahl.
Aufgabe 7
[kleiner Fermat]
Zeigen Sie, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die beim Teilen durch 6 den Rest 1 lassen.
Gehen Sie dazu wie folgt vor. Sei n ∈ N und p > 3 eine Primzahl. Zeigen Sie:
1. Hat n die Ordnung 3 modulo p , so hat n + 1 die Ordnung 6 modulo p .
2. Die Primteiler größer 3 von n2 + n + 1 haben die Form 6k + 1 mit k ∈ N .
3. Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form 1 + 6k mit k ∈ N .
Den Dirichletschen Primzahlsatz dürfen Sie hier nicht verwenden.
Aufgabe 8
[Teilbarkeit, eindeutige Primzerlegung in Ringen]
√
Der Ring R := Z[ −163] ist euklidisch.
√
1. Zeigen Sie, dass 2 und −163 in R Primelemente sind.
√
√
2. Gilt für x, y ∈ Z : x2 + 163 = y 3 , dann sind x + −163 und x − −163 teilerfremd.
3. Hat die Gleichung x2 + 163 = y 3 Lösungen in Z2 ?
Aufgabe 9
[quadratisches Reziprozitätsgesetz]
Hat die Gleichung x2 − 6x + 2 = 0 eine Lösung in Z/113Z ?
Hinweis: quadratisches Ergänzen kann toll sein.
Aufgabe 10
[quadratisches Reziprozitätsgesetz]
Zeigen Sie noch einmal, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die Rest 1 bei Teilbarkeit durch
6 haben, dieses mal unter Verwendung des quadratischen Reziprozitätsgesetzes:
1. Sei x ∈ N und p ein ungerader Primteiler von x2 + 3 . Bestimmen Sie ( p3 ) .
2. Zeigen Sie: Ist p ein ungerader Primteiler von x2 + 1 , dann ist p ≡ 1 mod 6 .
3. Zeigen Sie, dass es unendlich viele Primzahlen p ≡ 1 mod 6 gibt.
Aufgabe 11
[Farey-Reihe]
Finden Sie den Punkt pq ∈ Q zwischen
Dreieck im Farey-Graphen bildet.
Aufgabe 12
2
17
und
5
42
, der mit den beiden Punkten
2
17
und
5
42
ein
[Pellsche Gleichung]
1. Bestimmen Sie eine Lösung (a, b) 6= (±1, 0) ∈ Z2 der Gleichung x2 − 6y 2 = 1 .
√
2. Bestimmen Sie die Einheitengruppe Z[ 6]× .
Aufgabe 13
[Kettenbrüche]
√
1. Bestimmen Sie die Kettenbruchentwicklung von 20 .
√
2. Geben Sie eine Möbius-Transformation an, die 20 auf r := [1; 2, 1, 1, 4, 2, 8] abbildet.
√
3. Bestimmen Sie x, y ∈ Q so, dass r = x · 20 + y ist.
Hinweis: Es kommen keine richtig schönen Zahlen heraus.
Aufgabe 14
[Wahr oder falsch?]
Welche der folgende Aussagen ist wahr, welche falsch? Begründen Sie Ihre Antworten:
• Die beiden Punkte
13
17
und
12
11
sind im Farey-Graphen durch eine Kante verbunden.
• Es gibt natürliche Zahlen n und m mit 19 = n2 + m2 .
• Es gibt eine Möbiustransformation, die die reelle Zahl [4; 8] auf die reelle Zahl [8; 4, 2, 8]
abbildet.
• ϕ(99) = 42 .
• Der Vektor v = (2, 3, 7, 9)t kann zu einer Basis des Z4 ergänzt werden.