Begriffe der Streutheorie, Fermis Goldene Regel

Kernphysik I
Grundlegende Eigenschaften der Atomkerne:
• Begriffe der Streutheorie
• Fermis Goldene Regel & Wirkungsquerschnitt
Wiederholung: Rutherford-Streuung
Streuung punktförmiger geladener Kerne
Ablenkfunktion
Z Z e2 1
tan θ
tan θ
2
2
=
=
1
2
4πε 0 mv 2 b
Z1Z 2α hc 1
mv 2 b
Differentieller Wirkungsquerschnitt
b db
dσ
=
⋅
sin θ dθ
dΩ
Rutherford-Streuung
2
dσ ⎛ Z1Z 2α ⎞
1
=⎜
⋅
⎟
d Ω ⎝ 4 E ⎠ sin 4 θ2
Wirkungsquerschnitt
Target
•
σ=
•
Reaktionen/Zeit
N
N
= •
=
Strahlteilchen/Zeit• Streuzentren/Fläche Na ⋅ N A Ia ⋅ NbF
b
Strahl Ia
Bsp: Beschleunigerexperiment
•
σ=
Reaktionen/Zeit
N
=
Strahlteilchen/(Zeit⋅ Fläche)• Streuzentren Φa ⋅ Nb
Bsp: Reaktorexperiment mit Neutrinos
Teilchen
fluß φa
Totaler, elastischer, inelastischer WQ
Bemerkung zu Streuprozessen:
Elastische Streuung:
A + B -> A + B
nur die Impulse der Reaktionspartner ändern sich
Damit ist der Wirkungsquerschnitt σel für elastische Reaktionen verknüpft.
Inelastische Streuung:
A + B -> A* + B (oder A + B -> A + B* oder A + B -> A* + B*)
A + B -> C + D + ...
Die Endzustände sind nicht mehr die Eingangszustände. Die inelastischen
Reaktionen teilen sich oft auf mehrere Reaktionskanäle auf.
Damit ist der Wirkungsquerschnitt σinel für inelastische Reaktionen verknüpft.
Totale Wirkungsquerschnitt
σtot = σel + σinel
Summe von elastischem und inelastischem Wirkungsquerschnitt
Streutheorie - Kurze Einführung
Stromdichte der Welle
r r
r
h
j( r ) =
{Ψ ∗∇Ψ − (∇Ψ )∗ Ψ} = jin ez
2μi
r
Einlaufende ebene Welle k = (0,0, k )
rr
r
ik r
Ψin ( r ) = Ae = Aeikz
Auslaufende Kugelwelle
r
eikr
Ψstr ( r ) = A f (θ , ϕ )
,r → ∞
r
Gesamtwellenfunktion
r
eikr
ikz
Ψstr ( r ) = A (e + f (θ , ϕ )
)
r
A
f(θ,φ)
- Amplitude
- Streuamplitude
jin =
Zahl der Teilchen hk 2
A
=
Zeit ⋅ Fläche
μ
2
hk 2 f (θ, ϕ)
2 f ( θ, ϕ)
jstr =
A
=v A
2
r
r2
μ
Differentieller Wirkungsquerschnitt
jstr r 2dΩ
dσ =
jin
µ - Masse
v - Geschwindigkeit
dσ
2
= f (θ, ϕ)
dΩ
2
Streutheorie - Kurze Einführung
Berechnung des Wirkungsquerschnittes durch
Lösung der stationären Schrödinger - Gleichung
⎛ h2
r ⎞
r
r
⎜⎜ −
Δ + V ( r ) ⎟⎟Ψ ( r ) = EΨ ( r )
⎝ 2μ
⎠
mit der asymptotischen Randbedingung : Auslaufende Kugelwelle
r
eikr
ikz
Ψstr ( r ) = A (e + f (θ , ϕ )
) ,r → ∞
r
Bei einem radial symmetrischen Potential, das nur vom Abstand r abhängt,
besitzt die Lösung azimutale Symmetrie bezüglich der z-Achse,
d.h. die Streuamplitude hängt nicht vom Azimutwinkel ab.
Berechnung des Wirkungsquerschnittes durch
Zahl der pro Zeit in den Raumwinkel dΩ gestreuten Teilchen
dσ =
einfallende Stromdichte
jstr r 2dΩ
2
=
= f (θ , ϕ ) dΩ
jin
Lösung der stationären Schrödingergl.
-> Wellenfunktion
differentieller Wirkungsquerschnitt
-> Amplitude & Streuamplitude
dσ
2
-> differentieller Wirkungsquerschnitt
= f (θ , ϕ )
dΩ
Störungstheorie: Fermis Goldene Regel
Theoretische Bestimmung der Reaktionsrate
Reaktionsrate hängt von Art und Stärke des Wechselwirkungspotentials ab.
Hamiltonoperator Hint verknüpft bei einer Reaktion die Wellenfunktion Ψi des
Anfangszustandes mit Ψf des Endzustandes.
Übergangsmatrixelement, Wahrscheinlichkeitsamplitude:
M fi = Ψ f H int Ψi = ∫ Ψ*f H int Ψi dV
Reaktionsrate hängt von Anzahl der möglichen Endzustände ab.
Phasenraumvolumen eines Teilchens: h3=(2π ħ)3
Streuung in Volumen V und Impulsbereich zwischen p´ und p´+dp´
Volumen im Impulsraum ist Kugelschale: 4π p´2 dp´
2
Zahl der möglichen Endzustände:
V ⋅ 4πp´
dn ( p´) =
dp´
3
( 2πh)
Energie und Impuls sind verknüpft: dE‘=v´dp´
Dichte der Endzustände im Energieintervall dE‘
dn ( E' ) V ⋅ 4 πp'2
ρ( E ' ) =
=
dE'
v ' ( 2 πh ) 3
Störungstheorie: Fermis Goldene Regel
Beziehung zwischen Reaktionsrate dem Übergangsmatrixelement und der
Dichte der Endzustände ist durch Fermis Goldene Regel festgelegt:
2π
2
W=
M fi ⋅ ρ( E' )
h
Experimentell ist die Reaktionsrate W die Anzahl der Reaktionen pro Zeit
pro Targetteilchen und pro Zahl der einfallenden Teilchen.
W ist mit dem Wirkungsquerschnitt verbunden:
Für den Wirkungsquerschnitt gilt deshalb:
2π
2
σ=
M fi ⋅ ρ( E' ) ⋅ V
h ⋅ va
Störungstheorie: Fermis Goldene Regel
Fermis Goldene Regel
Reaktionsrate:
Wirkungsquerschnitt:
•
Mit
W=
N ( E´ ) σ ⋅ va
=
Nb ⋅ Na
V
V ist das Raumvolumen in dem sich die
Strahlteilchen befinden.
Zur Erinnerung bei Zerfällen von instabilen Kernen (β-Zerfall), instabilen
Teilchen, Anregungen von Teilchenresonanzen, Übergängen zwischen
angeregten nuklearen Energiezuständen gilt:
W=
1
τ
τ Lebensdauer, Energiebreite des Zustandes
ΔE =
h
τ