Hydrostatisches Gleichgewicht in numerischen Wettermodellen

BACHELORARBEIT
Hydrostatisches Gleichgewicht
in numerischen Wettermodellen
Ausgeführt am
Institut für Geodäsie und Geophysik
Forschungsgruppe Höhere Geodäsie
der Technischen Universität Wien
unter der Anleitung von
Univ.-Ass. Dipl-Ing. Dr. techn. Johannes Böhm
begutachtet von
Univ.-Prof. Dr.-Ing. Harald Schuh
durch
Sebastian Hahn
Matr.Nr.: 0525509
Strauchgasse 5
2333 Leopoldsdorf
E-mail: [email protected]
Wien, am 4. Dezember 2008
——————————————–
ii
Danksagung
Ich möchte mich an dieser Stelle bei all jenen Personen bedanken, welche mich fachlich
und persönlich bei der Anfertigung dieser Bachelorarbeit unterstützt haben. Besonderer
Dank gebührt meinem Betreuer Univ.-Ass. Dipl-Ing. Dr. techn. Johannes Böhm, welcher
mir stets mit fachlichem Rat und freundlicher Unterstützung zur Seite stand, sowie meinen Eltern, welche mir erst durch ihre finanzielle und persönliche Unterstützung dieses
Studium ermöglicht haben.
iii
Kurzfassung
Die Entwicklung numerischer Wettervorhersagen basiert auf grundlegenden physikalischen und thermodynamischen Gleichungen, welche den Ablauf der verschiedenen komplexen Prozesse in der Erdatmosphäre und am Boden simulieren sollen. Einen wichtigen
Aspekt dieser physikalischen Prozesse stellt das Hydrostatische Gleichgewicht dar. In einem vereinfachten Modell der Atmosphäre stellt sich durch die Abwesenheit störender
Einflüsse (z.B.: vertikale Beschleunigungen) ein stationärer Zustand ein. Diese Eigenschaft kann dazu genutzt werden, die Massenverteilung der Erdatmosphäre zu modellieren. Nicht nur in modernen Wettervorhersagemodellen spielt dies eine wichtige Rolle,
sondern auch in modernen geodätischen Weltraumverfahren. Zum Beispiel bei hoch präzisen Messstationen muss der Einfluss der Atmosphäre auf das Messsignal berücksichtigt
werden. In diesem Zusammenhang werden in der Bachelorarbeit zwei verschiedene Anwendungen der Hydrostatischen Gleichung näher untersucht. Einerseits die Bestimmung
von Höhen mittels bekannter Druckflächen und andererseits die Modellierung der vertikalen Dichteverteilung. Die Testdaten dazu stammen aus einem numerischen Wettermodell
des ECMWF.
Abstract
The development of numerical weather prediction is based on fundamental physical and
thermodynamical equations, which should describe the various complex processes in the
atmosphere and on the ground. An important aspect of these physical processes is represented by the hydrostatic equilibrium. In a simplified model of the atmosphere and in the
absence of nuisance effects (e.g. vertical accelerations) an equilibrium condition appears.
This characteristic is useful to determine the distribution of the atmosphere masses. Not
only in modern weather prediction models this plays an important part, also in space geodetic techniques, for example at high-precision measurement stations where the influence
on the measurement signal of the atmosphere should be considered. In this context the
bachelor thesis explores two different applications of the hydrostatic equation. On the one
hand the determination of heights with known pressure surfaces and on the other hand
the modelling of the vertical density distribution. The test data come from a numerical
weather model of the ECMWF.
Inhaltsverzeichnis
Danksagung
ii
Kurzfassung/Abstract
iii
1 Einleitung
1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Gliederung der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Numerische Wettermodelle
2.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 ECMWF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Anwendung in der Geodäsie . . . . . . . . . . .
2.3.1 Atmosphärische Laufzeitverzögerungen .
2.3.2 AAM - Atmosphere Angular Momentum
3 Methodik
3.1 Die Gasgesetze . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Die allgemeine Gasgleichung .
3.1.2 Das Gesetz von Gay-Lussac . .
3.1.3 Das Gesetz von Boyle-Mariotte
3.1.4 Das Gesetz von Amontons . . .
3.1.5 Das Gesetz von Dalton . . . . .
3.1.6 Das Gesetz von Avogadro . . .
3.1.7 Die individuelle Gaskonstante .
3.1.8 Die virtuelle Temperatur . . . .
3.2 Die Hydrostatische Gleichung . . . . .
3.3 Das Geopotential . . . . . . . . . . . .
3.4 Die Barometrische Höhenformel . . . .
3.4.1 Der allgemeine Fall . . . . . . .
3.4.2 Isotherme Atmosphäre . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
4 Experimente
4.1 Beschreibung der Daten . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Vergleich der pressure und model level Daten . . . .
4.3 Übergang von model Levels auf pressure Levels . . .
4.3.1 Interpolation zwischen den Levels . . . . . .
4.3.2 Gesamte Ausgleichung der model level Daten
4.4 Modellierung der Dichteverteilung . . . . . . . . . .
5 Ergebnisse
5.1 Vergleich der pressure und model level Daten . . . .
5.2 Übergang von model Levels auf pressure Levels . . .
5.2.1 Interpolation zwischen den Levels . . . . . .
5.2.2 Gesamte Ausgleichung der model level Daten
5.3 Modellierung der Dichteverteilung . . . . . . . . . .
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37
6 Schlussfolgerungen und Ausblick
45
A ECMWF Modellparameter und Formeln
46
Literaturverzeichnis
50
Kapitel 1
Einleitung
Numerische Wettermodelle sind heutzutage ein wichtiges Element für Wettervorhersagen und dienen der Darstellung von physikalischen Prozessen in der Atmosphäre und am
Erdboden. Mit Hilfe verschiedener Erdbeobachtungssysteme (Flugzeuge, Schiffe, Wetterstationen, Satelliten, Wetterballons, ...) werden die meteorologischen Parameter auf der
ganzen Welt erfasst und gemeinsam verarbeitet. Diese Daten bieten umfangreiche Einsatzmöglichkeiten, nicht nur in der Meteorologie oder Klimatologie, sondern auch in der
Geodäsie. Bei den heutigen geodätischen Weltraumverfahren darf die Auswirkung der heterogen geschichteten Atmosphäre auf das Messsignal keineswegs vernachlässigt werden.
In diesem Kontext wurde die Hydrostatische Gleichung und deren Anwendungsmöglichkeiten mit Daten von numerischen Wettermodellen näher untersucht, wobei die Druckund Dichteverteilung im Vordergrund stand.
1.1
Motivation
Die Höhere Geodäsie befasst sich mit dem System Erde, dem Rotationsverhalten der Erde, dem Erdschwerefeld und darüber hinaus noch mit dem erdnahen Weltraum. Essentielle Daten liefern moderne geodätische Weltraumverfahren wie GPS (Global Positioning
System), VLBI (Very Long Baseline Interferometry) sowie Laserentfernungsmessungen
(SLR - Satellite Laser Ranging und LLR - Lunar Laser Ranging) und Schwerefeldmissionen (GOCE, GRACE, CHAMP). Diese Messverfahren leisten unter anderem einen
wichtigen Beitrag in den Bereichen Kontinentaldrift, Klimawandel, Meeresspiegelanstieg
und Geoidbestimmung. Die dabei übertragenen Signale erfahren bei der Durchdringung
der Atmosphäre, abhängig von ihrer Frequenz bzw. Wellenlänge, eine Laufzeitverzögerung. Die Herausforderung besteht nun darin die Massenverteilung der vielschichtigen
1.2 Gliederung der Arbeit
2
Atmosphäre festzustellen, um den Einfluss auf das Signal zu analysieren.
Ein Weg die vertikale Verteilung der Massen zu bestimmen, ist unter Zuhilfenahme der
Hydrostatischen Gleichung möglich. Diese beschreibt die Beziehung zwischen Druck und
Schwerkraft, wenn sich jene Kräfte im Gleichgewicht befinden. Die notwendigen Parameter (Druck, Temperatur, spezifische Feuchte, ...) am Boden und in unterschiedlichen
Höhenniveaus liefern Daten aus numerischen Wettermodellen. Grundsätzlich kann mit
diesen Hilfsmitteln die vertikale Schichtung berechnet werden, offen bleibt jedoch, welche und wie viele Daten für ein akzeptables Ergebnis ausreichend sind. Die dabei verwendete Interpolations- bzw. Extrapolationsmethode spielt eine ebenso wichtige Rolle bei der
Festlegung der Massenverteilung.
1.2
Gliederung der Arbeit
Die Bachelorarbeit unterteilt sich in 6 Kapitel, wobei mit einer allgemeinen Einführung
und Motivation begonnen wird. In weiterer Folge werden numerische Wettermodelle und
die, für die Arbeit erforderlichen, Methodiken erläutert. Abschließend werden die durchgeführten Versuche und deren Ergebnisse präsentiert und diskutiert.
Die Einleitung (Kapitel 1) beinhaltet eine kurze Vorstellung des untersuchten Themas,
sowie die Motivation dieser Arbeit. Außerdem wird eine kurze Übersicht der Einteilung
der Arbeit gegeben.
Das Kapitel numerische Wettermodelle (Kapitel 2) gibt zuerst einen Einblick zur Entstehung und Entwicklung dieser rechnergestützten Vorhersagemethode. Eine Reihe von
Organisationen verarbeiten täglich große Mengen an meteorologischen Daten und nutzen
diese als Eingangsparameter für ihre Wettermodelle. An dieser Stelle wird das European
Centre for Medium-Range Weather Forecasts und deren Aufgaben vorgestellt, da auch die
zur Verfügung gestandenen Testdaten von dieser Organisation stammen. Am Ende dieses
Kapitels wird die Anwendung numerischer Wettermodelle in der Geodäsie anhand von
Beispielen erläutert.
Die Methodik (Kapitel 3) befasst sich mit den grundlegenden Gesetzmäßigkeiten, welche
die physikalischen Prozesse in der Atmosphäre beschreiben und für diese Arbeit von Bedeutung waren. Anfangs werden die allgemeinen Gasgesetze und deren Zusammenhang
mit der Hydrostatischen Gleichung erklärt. Die Definition und die Anwendung des Geopotentials, sowie die der Barometrischen Höhenformel, werden im Anschluss gezeigt.
Schließlich wird noch auf die Skalenhöhe eingegangen.
1.2 Gliederung der Arbeit
3
Die Experimente (Kapitel 4) basieren auf Analysedaten des ECMWF, welche zunächst
kurz beschrieben werden. Anschließend werden die verschiedenen Ansätze der durchgeführten Versuche erklärt. Beim ersten Experiment, dem Übergang von model levels
auf pressure levels, wird mittels einer zuvor bestimmten vertikalen Druckverteilung die
Höhen der pressure levels neu berechnet. In einem zweiten Versuch wird die vertikale
Dichtverteilung der Atmosphäre modelliert.
Die Ergebnisse (Kapitel 5) der Untersuchungen sind in grafischer und tabellarischer Form
dargestellt und werden anhand dieser diskutiert und interpretiert.
Eine abschließende Schlussfolgerung und ein kurzer Ausblick (Kapitel 6) werden im letzten Kapitel behandelt. Der Anhang beinhaltet die verwendeten Formeln und Modellparameter des ECMWF.
Kapitel 2
Numerische Wettermodelle
Dieses Kapitel beginnt mit einer kurze Einführung in das Thema numerische Wettermodelle und Wettervorhersage. Anschließend wird auf die internationale Organisation European Centre for Medium-Range Weather Forecasts und deren Aufgaben eingegangen.
Zum Schluss soll noch die Bedeutung bzw. Anwendung von numerischen Wettermodellen
in der Geodäsie verdeutlicht werden. Die verwendeten Ressourcen zur Einführung numerischer Wettermodelle und der Beschreibung des ECMWF stammen vorwiegend von der
Webseite des ECMWF [6].
2.1
Einführung
Anfang des 20. Jahrhunderts legte der norwegische Physiker und Meteorologe Vilhelm
Bjerknes mit seinem Vorschlag, die dynamischen Vorgänge in der Atmosphäre durch exakte thermo- und hydrodynamische Gleichungen zu beschreiben, den Grundstein für die
heutigen numerischen Wettervorhersagen. Diese Idee konnte erst Mitte der 50er Jahre mit
der Entwicklung der ersten Computer und einem Netzwerk, bestehend aus mehreren Wetterstationen, umgesetzt werden. Es stellte sich jedoch heraus, dass die Modellierung der
Begebenheiten in der Atmosphäre weitaus komplexer und schwieriger war, als anfangs
angenommen wurde. Die ersten numerischen Modelle sind dementsprechend simpel ausgefallen und basierten lediglich auf primitiven Gleichungen. Das erste globale Modell
wurde 1966 in Betrieb genommen und bestand aus einem 300 km Gitter und 6 Level für
die vertikale Auflösung.
Numerische Wettermodelle sollen die grundlegenden meteorologischen Prozesse in der
Atmosphäre und am Erdboden simulieren. So zum Beispiel den räumlichen und zeitli-
2.1 Einführung
5
chen Verlauf der Modellvariablen wie Temperatur, Luftdruck, Wind, Wolken, Wasserdampf und Niederschlag. In der Atmosphäre und am Erdboden finden aber auch relativ
kleinmaßstäbige physikalische Prozesse, wie zum Beispiel die Wolkenbildung, statt. Hier
stößt man an die Grenzen der Auflösung dieser Modelle und daher werden solche Abläufe mit Hilfe von Parametrisierungen annähernd bestimmt. Eine Parametrisierung stellt
die Auswirkung eines subskaligen Prozesses auf eine zu prognostizierende skalige Zustandsvariable an einem Modellpunkt dar. Im einfachsten Fall wird hier nur eine zeitliche
Komponente berücksichtigt.
Die heutzutage eingesetzten numerischen Wettermodelle unterscheiden sich vorwiegend
nach der konkreten mathematischen Formulierung, der numerischen Lösung der Gleichungssystem, der Auflösung und Form des Gitters und ob sie global oder nur für regionale Gebiete gelten. Die regionalen Modelle decken nur einen bestimmten Bereich ab,
wobei der Rest der Welt entweder gar nicht oder nur ungenau modelliert wird. Sobald man
Vorhersagemodelle für einen Zeitraum von mehr als 5 Tagen bestimmen möchte, müssen
schon die meteorologischen Daten der gesamte Erde als Anfangswerte in Betracht gezogen werden, da sich das Wetter für ein Gebiet schon viel früher an einem ganz anderem
Teil der Erde entwickelt. Um dies zu berücksichtigen, benutzen daher oft regionale Modelle die Daten globaler Modelle als Randbedingungen. Für die Berechnung numerischer
Wettermodelle werden häufig Supercomputer eingesetzt. Nachdem ein Modell gerechnet
wurde, können Meteorologen die Plausibilität der Prognose kontrollieren und mit Statistiken bzw. Erfahrungswerten vergleichen.
Die folgende Abbildung 2.1 zeigt den Verlauf der Verbesserungen der 3, 5, 7 und 10 Tages
Wettervorhersage in den letzten 25 Jahren. Die obere Kurve jedes Kurvenpaares stellt
die nördliche und die untere Kurve die südlichen Hemisphäre dar. Da auf der südlichen
Hemispäre nur wenige Beobachtungen zur Verfügung standen, konnte die Wetterprognose
für die nördliche Hemisphäre stets genauer erstellt werden. Erst in den letzten Jahren gab
es eine Genauigkeitssteigerung der südlichen Hemisphäre, welche sich auf die Benützung
von Satellitendaten in den Vorhersagemodellen zurückführen lässt.
Abbildung 2.1: Die Entwicklung der Fortschritte von Wettervorhersagen
seit 1981 bis 2007. Quelle: http://www.ecmwf.int
2.2 ECMWF
2.2
6
ECMWF
Das European Centre for Medium-Range Weather Forecasts (kurz: ECMWF) ist eine unabhängige internationale Organisation, welche von insgesamt 31 Staaten1 in Europa unterstützt wird und seit 1975 existiert. Der Sitz des Zentrums befindet sich in Reading,
England. Die Organisation beschäftigt sich unter anderem mit mittel- und langfristigen
Wettervorhersagen und deren Verbesserungen, numerischen Wetterprognosen aus Satellitendaten, der Entwicklung neuer numerischer Algorithmen und der Parametrisierung
physikalischer Prozesse. Seit dem 1. August 1979 werden mittelfristige Wettervorhersagen beim ECMWF fortlaufend produziert und verbessert. Diese und viele weitere Produkte werden den Mitgliedsstaaten und anderen Kunden, wie zum Beispiel in der Luftfahrt,
Wirtschaft oder Forschungszentren, zur Verfügung gestellt.
Das erste von ECMWF entwickelte numerische Modell war ein Gittermodell mit einer
vertikalen Auflösung von 15 Level (bis zu einer Höhe von 10 hPa) und einer horizontalen Auflösung von 1,875 Grad in der Breite und Länge. Im Jahre 1983 wurde das Gitter
Modell durch ein spektrales Modell ersetzt. Im Laufe der Zeit wurden beide Repräsentationsarten weiterentwickelt, sodass es heute keinen signifikanten Genauigkeitsunterschied
mehr gibt. Ein globales und ein, auf den Nordatlantik und europäische Gewässer beschränktes, Ozeanmodell2 kam ab 1992 zum Einsatz. Der Einfluss von Wind und Wellen
in dem Modell wurde als Schnittstelle zum, noch heute eingesetzten, virtuellen 3D Atmosphärenmodell im Jahre 1998 ergänzt. Mittlerweile ist das Ozeanmodell ebenso mit dem
Ensemble Prediction System (kurz: EPS) und den Monats- und Jahreszeitenvorhersagen
verknüpft.
Die immer größer werdende Datenflut animierte dazu, bessere und fortgeschrittene Analyseprozeduren zu entwicklen, wie der Variational Data Assimilation (kurz: VAR), welches das Konzept der fortwährenden Kommunikation zwischen den Beobachtungen und
dem Modell in mathematische Formeln fasst. D.h. beim Eingang von neuen Beobachtungsdaten wird die Analyse stets korrigiert, sodass sich die anfängliche Vorhersage den
tatsächlichen Gegebenheiten neu anpasst. Im Jahre 1991 wurde ein 1D Schema (1DVAR)
entwickelt, welches zu einem, noch heute operablen, 4D System (4DVAR) verbessert wurde. Erst die Entwicklung dieser Technik ermöglichte eine Kontrolle von Beobachtungen
in Raum und Zeit im dynamischen Modell.
Das Ensemble Prediction System startete im Dezember 1992 und verwendete zu Beginn
ein T633 Modell mit 31 vertikalen Level. Das EPS simuliert mögliche Unregelmäßig1
Stand: Sept. 2008
engl.: Ocean wave model
3
Spektrales Modell mit Dreiecks-Abbruch bei der Wellenzahl 63
2
2.2 ECMWF
7
keiten in den Anfangswerten durch kleine Abänderungen der Originaldaten. Besonders
bei mittel- und langfristigen Vorhersagen kann, aufgrund der chaotischen Natur des Wetters, eine minimale Variation der Ausgangsbedingungen eine komplett andere Prognose
liefern, als mit den Originaldaten ermittelt wurde. Das Resultat mehrerer solcher Durchläufe wird in sogenannten Ensembles verglichen. Verlaufen die Ergebnisse in einem Zeitraum der Vorhersage ähnlich, so ist die Wahrscheinlichkeit sehr hoch, dass diese Prognose
eintrifft. Das Programm für Monatsvorhersagen startete im März 2002 und die Jahreszeitenvorhersagen bereits 1997. Diese werden heute einmal pro Woche berechnet.
Das aktuelle allgemeine Zirkulationsmodell des ECMWF, TL799L914 , beinhaltet eine
dynamische sowie physische Komponente, welche noch mit dem Ozeanmodell gekoppelt sind. Aus sechs grundlegenden physikalischen Gleichungen bzw. Gesetzmäßigkeiten
lässt sich die Modellbildung zusammenfassen. Darunter fallen die Gasgesetze, die Hydrostatische Gleichung, die Gesetze der Thermodynamik, die Kontinuitätsgleichung, die
Bewegungsgleichungen und Gleichungen für den Erhalt von Feuchtigkeit. Kleinere physikalische Prozesse (Turbulenzen, Wolkenformationen, ...) werden entweder parametrisiert
oder auf statistischem Wege modelliert.
Die nachfolgende Abbildung 2.2 zeigt die verschiedenen Erdbeobachtungssysteme (Flugzeuge, Schiffe, Wetterstationen, Satelliten, Wetterballons und -bojen), die täglich mehr als
insgesamt 300 Millionen Datensätze erfassen. Diese werden dann mit speziellen Fernmeldenetzen übermittelt, aus denen dann verschiedene Produkte abgeleitet werden können.
Abbildung 2.2: 24 Stunden Übersicht der empfangenen
Beobachtungen am 5. Juli 2004 des ECMWF.
Quelle: http://www.ecmwf.int
4
Spektrales Modell mit Dreiecks-Abbruch bei der Wellenzahl 799 und 91 vertikalen Level
2.2 ECMWF
8
Das ECMWF hat momentan mehrere Folgen von verschiedenen Vorhersagen in Betrieb.
In einer Hauptfolge werden täglich globale Analysen für 00, 06, 12 und 18 UTC produziert. Eine globale 10-Tages Vorhersage wird ebenfalls, basierend auf 00 und 12 UTC
Analysen, erstellt. Um Randwerte für lokale Wettermodelle zu erhalten, werden Vorhersagefolgen für kürzere Perioden (bis zu 78 Stunden), für dieselben Zeitpunkte wie oben,
erstellt.
Der Produktkatalog5 des ECMWF umfasst neben direkten Vorhersageergebnissen numerischer Wettermodelle6 , nachbearbeitete Produkte und Endprodukte. Die Daten werden
in standardisierten Formaten (GRIBEX, BUFR, CREX, ...) den Benutzern zur Verfügung
gestellt.
Mit Hilfe von räumlichen Koordinatensystemen werden die einzelnen Modellierungspunkte auf der Erde festgelegt. Der ECMWF verwendet hierfür entweder Gaussian grids,
Kugelfunktionen oder Breiten-/Längengrad Gitter, um Daten in der oberen Atmosphäre
oder am Boden koordinativ festzulegen. Gaussian grids, welche in regelmäßiger und reduzierter Form existieren, haben einen konstanten Abstand der Längengrade. Die Abstände
der Breitengrade sind jedoch unregelmäßig und werden mit Hilfe der Gauß-Quadratur bestimmt. Bei der reduzierten Form nimmt zusätzlich noch die Anzahl der Gitterpunkte in
Richtung der Pole ab, um so ungefähr dieselben Punktabstände über die gesamte Kugel zu
erreichen. An den Polen selbst befinden sich bei den Gaussian grids keine Gitterpunkte.
Kugelfunktionen
Gaussian Grid
T63
TL95
T106
TL159
TL255
TL319
TL399
TL511
TL799
TL1023
TL2047
N48
N48
N80
N80
N128
N160
N200
N256
N400
N512
N1024
Längen-/Breitengrad [◦ ]
1,875
1,875
1,125
1,125
0,7
0,5625
0,450
0,351
0,225
0,176
0,088
Tabelle 2.1: Die Verbindung der drei Koordinatensysteme
in Bezug auf die Auflösung. Quelle: http://www.ecmwf.int
5
6
http://www.ecmwf.int/products/catalogue/
Direct Model Outputs
2.3 Anwendung in der Geodäsie
9
Wettervorhersagen brauchen und generieren eine Menge von Daten, welche über eine sehr
lange Zeit zur Verfügung stehen müssen. Das ECMWF hat hierfür ein eigenes Archivierungssystem (MARS7 ) aufgebaut, in welchem sich seit 45 Jahren bisher über 150 TByte
an Daten angesammelt haben. Diese beinhalten unter anderem Vorhersagen, Analysen,
Beobachtungen und verschiedene Forschungsexperimente. Um den Zugriff auf diese Daten zu verwalten, wurde eine eigene Software entwickelt, welche es dem Kunden ermöglicht die Daten abzurufen.
2.3
Anwendung in der Geodäsie
Numerische Wettermodelle finden nicht nur in der Meteorologie oder Klimaforschung
ihre Anwendung, auch in anderen Disziplinen leisten sie einen wichtigen Beitrag, wie
anhand der folgenden Beispiele gezeigt werden soll.
2.3.1 Atmosphärische Laufzeitverzögerungen
Um über größere Distanzen arbeiten zu können, verwendet man elektromagnetische Wellen für die Übertragung von Signalen. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen ist
vom jeweiligen Zustand der Erdatmosphäre abhängig. Zwei Bereiche der Atmosphäre,
nämlich die Troposphäre und Ionosphäre, spielen in diesem Zusammenhang eine wichtige Rolle. Die Troposphäre, welche eine Ausdehnung vom Erdboden bis in eine Höhe
von ungefähr 10 km hat, ist für GNSS-Signale8 kein dispersives Medium, d.h. die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist frequenzunabhängig. Die Ionosphäre, welche in einer Höhe
von 50 bis 1000 km gelagert ist, besteht aus geladenen Ionen und Elektronen. Sie stellt
für GNSS-Signale, welche sich im Mikrowellenbereich bewegen, ein dispersives Medium
dar. D.h. Signale mit unterschiedlichen Frequenzen, besitzen verschiedene Ausbreitungsgeschwindigkeiten.
Diese Eigenschaften bewirken im allgemeinen eine Laufzeitverzögerung des Signals,
welche bei den heutigen geodätischen Weltraumverfahren (VLBI, GPS, ...) keinesfalls vernachlässigt werden darf. Für die Modellierung dieser Einflüsse werden meteorologische Daten benötigt, welche aus numerischen Wettermodellen oder StandardAtmosphärenmodellen gewonnen werden können. Auch direkt aus GPS-Messungen lassen sich Parameter ableiten. Die Signalverzögerung ist in erster Linie von der Länge des
Weges durch die Atmosphäre abhängig und daher eine Funktion des Zenitwinkels. Zuerst
7
8
Meteorological Archive and Retrieval System
GNSS - Globales Navigationssatellitensystem
2.3 Anwendung in der Geodäsie
10
bestimmt man die Zenitverzögerung und kann dann mit Hilfe von sogenannten Projektionsfunktionen (Mapping functions) diese Verzögerung auf unterschiedliche Elevationswinkel übertragen. Die Gleichung für hydrostatisches Gleichgewicht wird speziell dazu
verwendet, um die hydrostatische Laufzeitverzögerung in Zenitrichtung aus dem Druck
an der Station zu berechnen (Saastamoinen, 1972 [8] und Davis et al., 1985 [5]). Weitere
Informationen zu diesem Thema erhält man ebenso in (Böhm et al., 2006) [4].
2.3.2 AAM - Atmosphere Angular Momentum
Seit ungefähr einem Jahrhundert ist bekannt, dass die Erdrotation um kleine, aber messbare, Beträge variiert. Die Ursache dieses Phänomens hat mehrere Gründe. Einerseits
sind es Änderungen des Drehimpulses der Erde, aufgrund der Gezeitenreibung, äußere
Drehmomente und dem Austausch des Drehimpulses zwischen Subsystemen der Erde
und andererseits Änderungen des Trägheitsmoments, verursacht durch Umverteilung von
Massen (Ozeane, Süßwasser, Erdbeben, Luftdruck, ...), die zu diesem Effekt beitragen.
Mit Hilfe der Entwicklung von modernen astronomischen und geodätischen Weltraumverfahren, sowie fortgeschrittener Atmosphäremodelle, wurde es möglich den Einfluss
des Drehimpulses der Atmosphäre (AAM) auf die Erdrotation abzuschätzen und sogar
vorherzusagen. Die Daten von numerischen Wettermodellen stellen hier wieder essentielle Eingangsparameter dar.
Schwankungen in der Rotationsgeschwindigkeit der Erde spiegeln sich in der Universal
Time (UT), und in der davon abgeleiteten Länge des Tages, wieder. Ein weiterer Effekt
ist die Bewegung der Pole relativ zur Kruste, welche nicht nur durch die bereits erwähnten Massenverlagerungen entstehen, sondern auch durch die Präzision und Nutation der
Erdachse. Die Überwachung der Erdrotation ist sehr bedeutend, da diese Aufschluss über
geophysikalische Prozesse auf und in der Erde geben kann. Eine präzise Bestimmung
der Erdrotation spielt auch in der Navigation eine entscheidende Rolle, zum Beispiel für
die Positionsbestimmung von Objekten im Weltraum. Die Beobachtung der Erdrotation
und die Bestimmung der Erdrotationsparameter (Polkoordinaten, Drehgeschwindigkeit
der Erde) ist eine zentrale Aufgabe der Geodäsie.
Grundsätzlich benötigt man für die Berechnung der Massenterme des AAM die Dichteverteilung in der Atmosphäre. Unter Zuhilfenahme der Gleichung für das hydrostatische
Gleichgewicht kann man das 3D Integral auf ein 2D Integral vereinfachen, in das nur
mehr der Oberflächendruck eingeht. (Barnes et al., 1983) [1]
Kapitel 3
Methodik
Dieses Kapitel soll die grundlegenden Gesetze und Methodiken zeigen, welche für die
Analyse, Experimente und Auswertung von Bedeutung waren. Zuerst werden die allgemeinen Gasgesetze angeführt bzw. hergeleitet. Im Anschluß wird die Anwendung und
der Zusammenhang mit dem Hydrostatischen Gleichgewicht gezeigt. Die verwendeten
Formelnotationen halten sich vorwiegend an (Wallace und Hobbs, 2006) [10].
3.1
Die Gasgesetze
Die Gasgesetze sind physikalische Gesetze, die den Zusammenhang zwischen Temperatur T , Volumen V , Druck p, Stoffmenge n bzw. Teilchenanzahl N und Masse m eines
Gases beschreiben. Sie charakterisieren die Zustände und das Verhalten der Gase, wobei in reale und ideale Gase unterschieden wird. Das Modell der idealen Gase stellt, im
Gegensatz zu realen Gasen, eine Vereinfachung dar. Die Moleküle werden als ausdehnungslose Massepunkte gesehen, welche sich frei in dem zur Verfügung stehenden Raum
bewegen können. Dennoch unterliegen sie elastischen Stößen, wenn sie eine Wand oder
sich gegenseitig treffen. Kohäsion, d.h. Anziehungskräfte zwischen den Teilchen, wird
ebenso nicht berücksichtigt.
Bei realen Gasen werden die Moleküle als ausgedehnte Teilchen betrachtet zwischen denen kurzreichweitige Kräfte wirken, die bei entsprechend tiefen Temperaturen zur Verflüssigung des Gases führen können. Daher gilt die, im darauf folgenden Unterkapitel
erläuterte, ideale Gasgleichung immer nur näherungsweise. Je niedriger der Druck und je
höher die Temperatur, umso besser ist sie jedoch erfüllt.
3.1 Die Gasgesetze
12
3.1.1 Die allgemeine Gasgleichung
Die allgemeine Zustandsgleichung idealer Gase lautet
pV =mRT
(3.1)
wobei p der Druck (Pa), V das Volumen (m3 ), m die Masse (kg), R die Gaskonstante
(J kg−1 K−1 ) für 1 kg Gas und T die Temperatur (K) beschreibt. Sie lässt sich auf unterschiedliche Arten formulieren, ohne dass das beobachtete System dadurch beeinflusst
wird. Fasst man ρ = m/V zur Dichte zusammen, ergibt sich die Formel (3.1) zu
p=ρRT
(3.2)
Eine weitere wichtige Rolle (z.B.: in Phasendiagrammen) spielt das spezifische Volumen
α = 1/ρ (m3 kg−1 ). Die allgemeine Zustandsgleichung für ein Gas mit einer Masse von
1 kg lässt sich dann umformulieren zu
pα=RT
(3.3)
Weitere abgeleitete Formeln aus der allgemeinen Gasgleichung erhält man, wenn die Beziehung zweier Größen untersucht wird, wobei alle anderen als konstant betrachtet werden. Diese Spezialfälle sind unter den folgenden Gesetzen bekannt.
3.1.2 Das Gesetz von Gay-Lussac
Das Gesetz von Gay-Lussac sagt aus, dass bei konstantem Druck p und gleich bleibender
Stoffmenge n sich das Volumen V und die Temperatur T direkt proportional zueinander
verhalten. Dies bedeutet, bei Erwärmung kommt es zu einer Volumsvergrößerung und bei
einer Temperaturabnahme zieht sich das Gas wieder zusammen. Ende des 18. Jahrhunderts wurde diese Beziehung von Jacques Charles und Joseph Louis Gay-Lussac erkannt.
V
= const.
T
3.1.3 Das Gesetz von Boyle-Mariotte
Das Gesetz von Boyle-Mariotte besagt, dass, wenn bei konstanter Temperatur T und gleicher Stoffmenge n ein Gaspaket verdichtet, d.h. der Druck p erhöht wird, das Volumen V
sinkt. Sobald der Druck wieder abnimmt, steigt das Volumen. Das Produkt dieser beiden
3.1 Die Gasgesetze
13
Größen ist fortwährend konstant. Dieser Zusammenhang wurde von Robert Boyle und
Edme Mariotte im 17. Jahrhundert entdeckt.
p V = const.
3.1.4 Das Gesetz von Amontons
Das von Gay-Guillaume Amontons entdeckte Gesetz zeigt die Beziehung zwischen Druck
p und Temperatur T bei konstantem Volumen V und gleicher Stoffmenge n. Ein Gaspaket
reagiert mit einer Temperaturzunahme sobald der Druck erhöht wird. Bei einer Druckabnahme kühlt das Gaspaket wieder aus.
p
= const.
T
3.1.5 Das Gesetz von Dalton
Das Gesetz von Dalton oder auch das Gesetz der Partialdrücke bezeichnet, besagt, dass
der Gesamtdruck pGes einer Mischung aus mehreren Gasen gleich der Summe der Teildrücke der einzelnen Gase pi ist. Unabhängig von der Mischung des Gases, übt jedes Gas
für sich denselben Druck aus, als ob es allein im verfügbaren Raum präsent wäre.
pGes =
n
X
pi
i=1
3.1.6 Das Gesetz von Avogadro
Anfang des 19. Jahrhunderts stellte Amedeo Avogadro die Hypothese für ideale Gase
auf, dass dieselbe Anzahl an Molekülen in zwei gleich großen Gasvolumina vorhanden
ist, welche unter derselben Temperatur und dem gleichen Druck stehen.
Kombiniert man die Gesetze von Boyle-Mariotte und Gay-Lussac erhält man die Gleichung
pV =C T
(3.4)
wobei C eine Konstante darstellt. In Verbindung mit der Hypothese von Avogadro stellt
man sich nun in einem Gedankenexperiment zwei Gefäße mit identischem Volumen, welche unter dem gleichen Druck und Temperatur stehen, vor. Werden diese beiden Behältnisse als ein System betrachtet, so verdoppelt sich das Volumen und die Konstante C.
3.1 Die Gasgesetze
14
Daraus lässt sich schließen, dass die Konstante C von der Anzahl der Moleküle abhängig
ist und man schreibt, in Abhängigkeit von einer neuen Konstanten und der Anzahl der
Moleküle im Gas
C = N kB
N ist die Teilchenanzahl und kB die sogenannte Boltzmann-Konstante, welche sich experimentell für jedes Gas zu
kB = 1, 381 · 10−23 J K −1
ergibt. Um eine Gasmenge quantitativ zu beschreiben, definiert man die molare Masse M
für den betreffenden Stoff in Gramm. Die Stoffmenge, d.h. die Anzahl der Mols n einer
Substanz mit der Masse m, wird dann berechnet mit
n=
m
M
Ein Mol einer Substanz enthält per Definition NA = 6,022·1023 Teilchen. Die Zahl NA
wird Avogadrokonstante bezeichnet und ist die Anzahl der Atome in genau 12 g des
Kohlenstoffisotops C12 . Die vorliegende Anzahl an Teilchen N einer Substanz mit der
Stoffmenge von n mol bestimmt man mit
N = n NA
Setzt man diese Beziehungen in die Gleichung (3.4) ein, erhält man für eine Stoffmenge
von n mol folgende Gleichung
p V = n NA kB T
(3.5)
Diese stellt eine andere Formulierung der allgemeinen Gasgleichung (3.1) dar. Aus der
Hypothese von Avogadro folgt, dass die Gaskonstante R aus der Gleichung (3.1) für alle
Gase mit derselben Teilchenanzahl den gleichen Wert annehmen muss. Das Produkt der
beiden Konstanten NA · kB wird als universelle Gaskonstante R∗ zusammengefasst und
hat den Wert 8,3145 J K−1 mol−1 . Wird diese Beziehung auf die Boltzmann-Konstante
umgeformt kB = R∗ /NA , kann diese als universelle Gaskonstante für ein Molekül eines
beliebigen Gases interpretiert werden. Die Gleichung (3.5) kann nun wie folgt angeschrieben werden
p V = n R∗ T
(3.6)
3.1 Die Gasgesetze
15
3.1.7 Die individuelle Gaskonstante
Jedes Gas hat, infolge unterschiedlicher atomarer Zusammensetzung, eine andere molare
Masse M . Ist diese bekannt, kann mit Hilfe der universellen Gaskonstante R∗ , die für
dieses Gas individuelle bzw. spezifische Gaskonstante Rs mit
Rs =
R∗
M
(3.7)
bestimmt werden. Am Beispiel von trockener Luft, d.h. in Abwesenheit von Wasserdampf, soll dies demonstriert werden. Die molare Masse Md von trockener Luft ist 28,97
g mol−1 , somit ergibt die individuelle Gaskonstante für trockene Luft
Rd = 1000 ·
R∗
8, 3145
= 287, 0 J K −1 kg −1
= 1000 ·
Md
28, 97
(3.8)
Die allgemeine Zustandsgleichung (3.3) für trockene Luft ergibt sich zu
pd αd = Rd T
(3.9)
wobei Rd die indiviudelle Gaskonstante für 1 kg trockener Luft ist.
Weiters wird das Verhältnis der individuellen Gaskonstanten von Wasserdampf Rv und
trockener Luft Rd bzw. dessen Molaren Massen Mw und Md als ǫ bezeichnet.
ǫ≡
Rd
Mw
=
= 0, 622
Rv
Md
(3.10)
3.1.8 Die virtuelle Temperatur
Die Luft kann mit ausreichender Genauigkeit als ideales Gas angesehen werden, solange
keine Phasenumwandlungen (z.B.: Verdampfung oder Kondensation) des Wasserdampfes
stattfinden. In der Realität jedoch ist der Wasserdampfgehalt in der Luft enorm zeitlich
variabel und von dem gegenwärtigem Wetter abhängig. Für Berechnungen in der Praxis
hieße dies, es müsste jedes mal eine neue individuelle Gaskonstante für feuchte Luft,
in Abhängigkeit des momentanen Wasserdampfgehalts in der Luft, bestimmt werden.
Zweckdienlicher ist es jedoch die Gaskonstante für trockene Luft beizubehalten und in
Verbindung einer fiktiven Temperatur den Wasserdampfgehalt in der Luft zu berücksichtigen. Da die molare Masse von Wasserdampf Mw (= 18,016 g mol−1 ) kleiner ist, als die
von trockener Luft Md (= 28,97 g mol−1 ) ergibt sich daraus, dass trockene Luft dichter
ist als feuchte bei gleicher Teilchenanzahl. Um dies auszugleichen, wird die so genannte
virtuelle Temperatur Tv verwendet, welche stets um einen kleinen Betrag größer ist als die
3.1 Die Gasgesetze
16
tatsächliche Temperatur. So erreicht die Dichte von trockener Luft ρd denselben Betrag
wie feuchte Luft ρv unter dem gleichem Druck.
Die virtuelle Temperatur lässt sich nun wie folgt herleiten. Die Dichte der Mischung von
trockener Luft und Wasserdampf ist
ρ=
md + mv
= ρd + ρv
V
(3.11)
wobei ρd den Wert der Dichte von trockener Luft annimmt, vorausgesetzt nur dessen Masse md sei im Volumen V präsent und ρv den Wert der Dichte von Wasserdampf beschreibt,
sofern nur dessen Masse mv im Volumen V vorhanden wäre.
Wendet man die allgemeine Gasgleichung auf diese beiden Komponenten an, so ergibt
dies
p d = R d ρd T
(3.12)
e = R v ρv T
(3.13)
pd und e beschreiben die Partialdrücke von trockener Luft und Wasserdampf. Da hier das
Gesetz von Dalton p = pd + e anwendbar ist und mit Einbeziehung von Gleichung (3.11)
ergibt dies
pd
e
+
Rd T
Rv T
p − e Rd e
=
+
Rd T
Rv Rd T
e
e
p
−
+ǫ
=
Rd T
R T
Rd T
d
e
p
1 − · (1 − ǫ)
=
Rd T
p
ρ = ρd + ρv =
wobei ǫ definiert ist unter (3.10) und die letzte Gleichung geschrieben werden kann als
p = Rd ρ Tv
mit
Tv ≡
T
1 − (1 − ǫ)
e
p
(3.14)
(3.15)
Der Vorteil an der Anwendung der virtuellen Temperatur ist nun ersichtlich. Für feuchte
Luft kann mit Hilfe der virtuellen Temperatur die Gaskonstante der trockenen Luft für
Berechnungen herangezogen werden.
Ein anderer Ansatz, die virtuelle Temperatur in guter Näherung zu bestimmen, ist folgender. Das Gesetz von Dalton gilt streng genommen nur für ideale Gase. Wasserdampf ist
3.1 Die Gasgesetze
17
jedoch kein ideales Gas. Mit diesem Wissen im Hinterkopf und dem Gesetz von Dalton
angewandt auf die Gaskonstante feuchter Luft Rm , ergibt
Rm =
ρv
ρd
Rv +
Rd
ρv + ρd
ρd + ρv
(3.16)
Das Verhältnis der Dichten beschreibt den jeweiligen Anteil des Gases, wobei das erste
Verhältnis auch die spezifische Luftfeuchtigkeit genannt wird. Sie ist definiert (3.17) als
das Verhältnis der Massen von Wasserdampf mv zu feuchter Luft mv + md . Die Einheit
der spezifischen Luftfeuchtigkeit ist kg kg−1 . Mit
q=
mv
=
mv + md
mv
V
mv
V
+
md
V
=
ρv
ρv + ρd
(3.17)
und unter Zuhilfenahme der folgenden Identität
1−q =1−
ρv
ρv + ρd − ρv
ρd
=
=
ρv + ρd
ρv + ρd
ρv + ρd
(3.18)
ergibt sich die Gleichung (3.16) zu
Rm = q Rv + (1 − q) Rd
Rv
= Rd (q
+ 1 − q)
Rd
Rv − Rd
+ 1)
= Rd (q
Rd
Setzt man noch die beiden individuellen Gaskonstanten für trockene Luft Rd = 287,0 J
K−1 kg−1 und Wasserdampf Rv = 461,51 J K−1 kg−1 in die letzte Gleichung ein, erhält
man
Rm = Rd (1 + 0, 608 q)
(3.19)
Und die allgemeine Gasgleichung (3.2) in Verbindung mit (3.19) ergibt sich dann zu
p = ρ Rm T
= ρ Rd (1 + 0, 608 q) T
= ρ Rd Tv
mit
Tv ≃ T · (1 + 0, 608 q)
(3.20)
Die virtuelle Temperatur Tv kann also auch in guter Näherung mit Hilfe der spezifischen
Luftfeuchtigkeit q bestimmt werden.
3.2 Die Hydrostatische Gleichung
3.2
18
Die Hydrostatische Gleichung
Die Atmosphäre ist eine gasförmige Hülle, welche sich ständig in Bewegung befindet.
Betrachtet man jedoch die aufwärts wirkenden Kräfte, infolge der Abnahme des Drucks
mit der Höhe auf eine dünne Schicht gefüllt mit Luft, so stehen diese im Allgemeinen im
engen Zusammenhang mit den abwärts wirkenden Gravitationskräften. Die folgende abgeleitete Gleichung soll zeigen, dass sich diese Kräfte genau im Gleichgewicht befinden.
Abbildung 3.1: Eine Luftsäule mit Einheitsquerschnittsfläche, in welcher sich die vertikalen
Kräfte im hydrostatischem Gleichgewicht befinden.
Quelle: (Wallace und Hobbs, 2006) [10]
Stellt man sich ein Volumselement mit einer vertikalen Ausdehnung und einer Einheitsquerschnittsfläche vor, so ist die Masse der Luft zwischen der Höhe z und z + δz genau
ρ δz, wobei ρ die Dichte der Luft in der Höhe z beschreibt (siehe Abbildung 3.1). In weiterer Folge sollen thermodynamische Prozesse, sowie gegenseitige Anziehung der Luftteilchen nicht beachtet werden. Nur die Bewegungen des Gases, in dem zur Verfügung
stehenden Raum und die Schwerkraft haben Einfluss. Die angreifende Kraft infolge des
Gewichts der Luftschicht ist g ρ δz, mit g als Schwerebeschleunigung in der Höhe z. Der
dort entstandene Druck p ändert sich ebenfalls aufgrund der Schichtdicke δz zu p + δp
und da dieser mit der Höhe abnimmt, muss δp eine negativer Wert sein. Der Druck soll
jedoch aufwärts wirken und verwendet daher die positive Größe −δp. Das Gleichgewicht
dieser vertikalen Kräfte setzt voraus, dass nun gilt
oder umgeformt, mit δz → 0
−δp = g ρ δz
(3.21)
∂p
= −g ρ
∂z
(3.22)
3.3 Das Geopotential
19
Die Formel (3.22) wird auch die Hydrostatische Gleichung genannt. Durch das Fehlen
störender Einflüsse (z.B.: Luftströmungen) wird ein stationärer Zustand erreicht, bei dem
sich die Schwerkraft und der Luftdruck im sogenannten hydrostatischen Gleichgewicht
befinden. Berechnet man nun die Gesamtmenge des Drucks von der Höhe z bis ∞, sowie
das Gewicht der Luft in dieser Säule, ergibt sich die Formel (3.21) zu,
−
p(∞)
Z
dp =
Z∞
g ρ dz
(3.23)
z
p(z)
oder, da p(∞) = 0,
p(z) =
Z∞
g ρ dz
(3.24)
z
Die Gleichung (3.24) zeigt, dass der in einer Luftsäule mit einem Einheitsquerschnitt
bestehende Druck in der Höhe z, gleich dem darüberliegenden Gesamtgewicht der Luft
entspricht. Dies ist jedoch nur eine vereinfachte Annahme, da in der Realität eine Vielzahl an unterschiedlichen Faktoren dazu beitragen, dass die Massen der Erdatmosphäre
unregelmäßig verteilt sind. Geht man dennoch davon aus, dass diese über den gesamten
Globus gleich verteilt sind, würde sich der Druck in mittlerer Meereshöhe zu 1013,25
mbar oder 1,01325 · 105 Pa ergeben.
3.3
Das Geopotential
Das Schwerepotential der Erde wird als Geopotential bezeichnet, welches sich aus dem
Gravitationspotential und dem Zentrifugalpotential zusammensetzt. Um ein Luftpaket auf
ein bestimmtes Höhenniveau zu bringen, muss Arbeit gegen die Schwerkraft verrichtet
werden, welches einer Änderung potentieller Energie entspricht. Im Allgemeinen werden
Flächen mit konstanter potentieller Energie als Äquipotentialflächen bezeichnet. Spricht
man speziell von der Erde wird die Bezeichnung Geopotentialfläche verwendet. Die inhomogene Massenverteilung im Inneren der rotierenden Erde verhindert, dass die Geopotentialflächen parallel zur Meeresoberfläche verlaufen. Aufgrund dieser Sachlage wird in
der Meteorologie statt der geometrischen Höhe das Geopotential als vertikale Koordinate
bevorzugt. Linien mit konstanter geopotentieller Höhe werden als Isohypsen bezeichnet.
Der geopotentielle Höhenunterschied von dem in Kapitel 3.2 besprochenen Beispiel der
Luftsäule auf Seite 18 würde sich ergeben zu
dΦ = g dz
(3.25)
3.3 Das Geopotential
20
Das Geopotential Φ ist definiert als die Arbeit welche nötig ist, um ein Luftpaket mit der
Masse von 1 kg vom Meeresspiegel (Höhe 0) auf ein Niveau z zu heben. Die Einheit ist J
kg−1 oder m2 s−2 . Das Geopotential bei einer Höhe z wird bestimmt mit
Φ(z) =
Zz
g dz
(3.26)
0
und die geopotentielle Höhe Z ist definiert als
Φ(z)
1
Z≡
=
g0
g0
Zz
g dz
(3.27)
0
wobei g0 die globale mittlere Erdschwerebeschleunigung ist. Dies ist jene Schwerebeschleunigung, die bei einer Breite von 45 Grad herrscht (9,80665 m s−2 ).
Aufgrund der Erdabplattung weist die Anziehungskraft auf den Polen die höchsten Werte auf und da die Höhe der Geopoentialflächen umgekehrt proportional zur Schwerebeschleunigung ist, liegen dort auch die Geopotentialflächen ein wenig niedriger als auf
dem Äquator. In der nachfolgenden Tabelle 3.1 sieht man den Vergleich der geometrischen Höhe z zur geopotentiellen Höhe Z.
z [km]
Z [km]
g [m s−2 ]
0
1
10
100
500
0
1,00
9,99
98,47
463,6
9,81
9,80
9,77
9,50
8,43
Tabelle 3.1: Geometrische Höhe z, geopotentielle Höhe Z und
die Schwerebeschleunigung g bei einer Breite von 40 Grad.
Quelle: (Wallace und Hobbs, 2006) [10]
In der Meteorologie stellt die Dichte eine wichtige Größe dar. Jedoch ist die Messung sehr
problematisch, da sich die Dichte nicht direkt bestimmen lässt und von mehreren Faktoren
(Temperatur, Höhe, Druck ...) abhängig ist. Mit Hilfe der in Kapitel 3.2 hergeleiteten
Hydrostatischen Gleichung (3.22) kann man allerdings die Dichte aus (3.2) eliminieren.
∂p
pg
pg
=−
=−
∂z
RT
Rd Tv
(3.28)
3.4 Die Barometrische Höhenformel
3.4
21
Die Barometrische Höhenformel
Die Barometrische Höhenformel soll den vertikalen Verlauf der in der Atmosphäre befindlichen Gase beschreiben. Dieser kann infolge der hohen Wetterdynamik nur in grober
mathematischer Näherung bestimmt werden. Es gibt verschiedene Ansätze (mit unterschiedlichen Annahmen), um zu dieser Formel zu gelangen.
Eine allgemeine Herleitung erfordert die Kombination der bisher kennengelernten Formeln aus den Gasgesetzen und der Hydrostatischen Gleichung. Setzt man die Gleichungen (3.28) und (3.25) zu
dp
dφ = g dz = −Rd Tv
(3.29)
p
zusammen und integriert man nun zwischen den geopotentiellen Höhen φ1 und φ2 und
den Drucklevel p1 und p2 , ergibt dies
Zφ2
φ1
dφ = −
Zp2
dp
Rd Tv
p
φ2 − φ1 = −Rd
oder
Zp2
Tv
dp
p
(3.30)
p1
p1
Werden beide Seiten noch durch die mittlere Erdschwerebeschleunigung g0 dividiert erhält man
Zp2
dp
Rd
Tv
(3.31)
Z2 − Z1 = −
g0
p
p1
wobei Z2 − Z1 die Schichtdicke zwischen den beiden Drucklevel p1 und p2 darstellt.
Demzufolge lässt sich die Höhendifferenz dh = Z2 − Z1 zweier Druckflächen p1 und p2
durch diese Gleichung bestimmen.
3.4.1 Der allgemeine Fall
Wird die Gleichung (3.30) als Ausgangspunkt für die Ableitung der Barometrischen Höhenformel verwendet, ergibt sich diese nach einigen Umformungen zu
−Rd
Zφ2
φ1
oder
−Rd
Zφ2
φ1
dφ
=
Tv
Zp2
dp
p
p2
p1
p1
dφ
= ln
Tv
3.4 Die Barometrische Höhenformel
22
Und als Ergebnis für den allgemeinen Fall erhält man

p2 = p1 · exp −Rd
Zφ2
φ1

dφ 
Tv
(3.32)
wobei das Integral im Exponenten noch zu lösen ist. Da die Temperatur eine Funktion der
Höhe darstellt, wird diese entweder anhand von diskreten Messwerten oder mit Hilfe eines
vertikalen Temperaturgradienten1 modelliert. Mit Gleichung (3.32) ist es nun möglich die
Änderung des Luftdrucks mit der Höhe zu bestimmen, d.h. kennt man den Druck p1 in der
geopotentiellen Höhe φ1 , so lässt sich damit der Druck p2 am Niveau φ2 bestimmen. Dies
erfordert jedoch die Kenntnis des Temperaturverlaufs, welcher mit den bereits erwähnten
Methoden bestimmt wird.
3.4.2 Isotherme Atmosphäre
Eine weitere Herleitung beruht auf der Annahme einer isothermen Atmosphäre. Nimmt
man wieder Gleichung (3.30) als Basis und bringt die, nun höhenunabhängige, konstante
Temperatur aus dem Integral, ergibt sich die Gleichung nach weiteren Umformungen zu
g
−
dh =
Rd Tv
Zp2
dp
p
p1
mit dh = (φ2 − φ1 )/g und g als die vor Ort wirkende Schwerebeschleunigung. Löst man
das Integral auf der rechten Seite, ergibt sich die Barometrische Höhenformel für eine
isotherme Atmosphäre zu
g
dh
p2 = p1 · exp −
Rd Tv
(3.33)
Aus Gleichung (3.2) lässt sich die obige Barometrische Höhenformel auch für die Dichte
anschreiben
g
ρ2 = ρ1 · exp −
dh
(3.34)
Rd Tv
Der Exponent soll nun näher Untersucht werden. Da dieser dimensionslos sein muss und
dh die Einheit m besitzt, müssen die restlichen Faktoren die Dimension m−1 und somit
1
typischer Temperaturgradient: 0,65 K pro 100 m
3.4 Die Barometrische Höhenformel
23
ein Längenmaß ergeben. Diese werden zusammengefasst zu
H=
Rd Tv
g
(3.35)
und eingesetzt in Gleichung (3.33) ergibt dies
dh
p2 = p1 · exp −
H
(3.36)
wobei H als barometrische Einheit oder Skalenhöhe bezeichnet wird und normalerweise
Werte um 8 ±1 km annimmt. Aus der Gleichung (3.36) ist ersichtlich, dass, sobald die
Höhendifferenz dh den Wert H annimmt, dies zu einer Druckabnahme um den Faktor
e−1 (ca. 37%) führt (und bei dh = 2 H um e−2 usw.). Daraus lässt sich schließen, dass
in einer kalten Atmosphäre (kleine Skalenhöhe) der Druck rascher abfällt, als in einer
warmen Atmosphäre (große Skalenhöhe). In Tabelle 3.2 sieht man einige H Werte für
trockene und gesättigt-feuchte Luft bei unterschiedlichen Bodentemperaturen.
Bodentemperatur [◦ C]
−10
0
10
20
30
H für trockene Luft [km]
H für gesättigt-feuchte Luft [km]
7686
7979
8272
8565
8858
7703
7997
8310
8640
9000
Tabelle 3.2: Die Skalenhöhen in km für trockene und gesättigt-feuchte Luft für verschiedene
Bodentemperaturen. Quelle: (Böhm, 2008) [3]
Weiters kann die Skalenhöhe als natürliches Höhenmaß einer Atmosphäre mit konstanter Dichte interpretiert werden. Durch eine Temperaturabnahme und die damit gesetzmäßig verbundene Dichteabnahme, lässt sich ein Temperaturgradient bestimmen, sodass
die Dichteabnahme ausgeglichen wird. Für diese homogene Atmosphäre mit konstanter
Dichte, lässt sich nun zum Beispiel die Masse der Atmosphäre einfach berechnen.
Kapitel 4
Experimente
In diesem Kapitel werden die Experimente und die dabei angewandten Methoden und Ansätze erläutert. Zu Beginn werden die Testdaten kurz beschrieben. Anschließend wird erklärt welche Vergleiche durchgeführt worden sind und wie bei dem Übergang von model
auf pressure Level vorgegangen wurde. Zuletzt werden die Methoden zur Modellierung
des Dichteverlaufs erklärt. Alle Beobachtungen und Resultate sind im darauffolgenden
Kapitel 5 zu finden.
4.1
Beschreibung der Daten
Bei den Testdaten handelte es sich um Analyse Daten vom 1. April 2008 12:00 UTC
des ECMWF, welche im meteorologisch-standardisierten Datenformat GRIB zur Verfügung standen. Die horizontale Auflösung beider Datensätze - pressure und model level entsprach einem 1◦ ×1◦ äquidistanten Längen-/Breitengrad Gitter, aufgespannt über die
gesamte Erdkugel. Die model level Daten liefern Informationen zur geopotentiellen Höhe
des Gitterpunkts sowie dem zugehörigen Bodendruck. Weiters standen bei einer vertikalen Auflösung von 91 Level, die spezifische Feuchte und Temperatur zur Verfügung. Die
pressure level Daten, welche vom ECMWF aus den model level Daten abgeleitet wurden, hatten nur eine vertikale Auflösung von 25 Level. Diese 25 Schichten (von 1000 hPa
bis 1hPa) richteten sich nach Flächen gleichen Drucks, sogenannten Isobaren. Bei jedem
Drucklevel war zusätzlich die Temperatur, die spezifische Feuchte und die geopotentielle
Höhe gespeichert. Die Tabelle 4.1 zeigt eine kurze Übersicht der Datensätze.
4.2 Vergleich der pressure und model level Daten
Vertikale Auflösung
Meteorologische Parameter am Boden
Meteorologische Parameter pro Level
25
model level
pressure level
91 Level
Z, p
q, T
25 Level
Z, q, T , p
Tabelle 4.1: Die Unterschiede der model und pressure level Daten. Z ist die geopotentielle Höhe,
p der Druck, T die Temperatur und q die spezifische Feuchte.
4.2
Vergleich der pressure und model level Daten
Zu Beginn wurden für die Gegenüberstellung der beiden Datensätze die Gitterpunkte willkürlich ausgewählt. Aufgrund der anfangs fehlenden Höheninformation bei den hochauflösenderen model level Daten wurde nur der Temperatur- und Druckverlauf, sowie
die spezifische Luftfeuchtigkeit miteinander verglichen. Mit Hilfe der Formeln und Modellparameter des ECMWF (siehe A) war es möglich, die geopotentiellen Höhen der 91
Schichten der model level Daten zu bestimmen. Somit konnten Höhen/Druck bzw. Höhen/Temperatur Diagramme erstellt und miteinander verglichen werden. Weiters wurden
markante Gitterpunkte mit Hilfe der 500 hPa Druckfläche ausgesucht. Diese sollten die
Unterschiede von pressure und model level Daten in Tief- und Hochdruckgebieten aufzeigen. Die Ergebnisse des Vergleichs werden im Kapitel 5.1 abgebildet und interpretiert.
4.3
Übergang von model Levels auf pressure Levels
Die einzelnen Level der beiden Datensätze, an denen der Druck, die Temperatur und die
spezifische Feuchte bekannt ist, befanden sich in unterschiedlichen Höhen. Durch die Hydrostatische Gleichung, welche in dem Kapitel 3.2 hergeleitet wurde, und aus der daraus
abgeleiteten Barometrischen Höhenformel (3.36), war es möglich, von den 91 model Levels auf die 25 pressure Levels zu schließen.
Als Ergebnis erhielt man die Höhen der 25 Drucklevel der pressure level Daten, ausgehend von den model level Daten. Diese wurden dann mit den Originalhöhen der pressure
level Daten verglichen. Die Ergebnisse dieses Experiments werden in Kapitel 5.2 dargestellt und diskutiert. Für den Übergang wurden zwei unterschiedliche Ansätze gewählt,
auf welche nun genauer eingegangen werden soll.
4.3 Übergang von model Levels auf pressure Levels
26
4.3.1 Interpolation zwischen den Levels
Bei dieser Vorgehensweise wird zu Beginn aus der umgeformten Barometrischen Höhenformel (4.1) je ein Koeffizient c zwischen je zwei model Level bestimmt. Diese 90 Koeffizienten werden dann für die anschließende Interpolation zwischen model und pressure
Level benötigt.
ck = ln
pk−1
pk
/(zk−1 − zk )
k = 2, ..., 91
(4.1)
In weiterer Folge wird genau das model Level k gesucht, welches gerade noch unter dem
darauffolgenden pressure Level i liegt. Mit dem bekannten Druck pk des darunterliegenden model Levels und dem bekannten Druck pi des darüberliegenden pressure Levels,
sowie dem vorher bestimmten Koeffizienten ck in dieser Höhe ist es möglich, die Höhendifferenz der beiden Level zu berechnen. Durch die Addition mit der bekannten Höhe zk
ist die neue Höhe zi des i-ten pressure Levels bestimmt. Es wurden jedoch nur solche
pressure Level berücksichtigt, welche sich zumindest über dem untersten model Level
befinden.
zi = zk + ln
pi
pk
/ck
i = 1, ..., 25
(4.2)
Die folgende Grafik 4.1 soll die in der Gleichung (4.2) verwendeten Zusammenhänge
noch einmal besser verdeutlichen.
model level k − 1
pk+1
zk+1
pressure level i
pi
zi
ck
model level k
pk
zk
model level k + 1
Abbildung 4.1: Diese Darstellung zeigt die bekannten Parameter an den unterschiedlichen
Schichten, welche nötig sind um die Höhendifferenz zwischen dem model Level k und dem
pressure Level i zu berechnen.
4.3 Übergang von model Levels auf pressure Levels
27
4.3.2 Gesamte Ausgleichung der model level Daten
replacements
Dieser Ansatz unterteilt sich in zwei Schritte. Im ersten Schritt wurde die Skalenhöhe H
aus der Gleichung (3.36) mittels eines numerischen Algorithmus zur Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen bestimmt. Dazu wurde die Funktion lsqcurvefit von Matlab
verwendet. Nachdem die Skalenhöhe H bestimmt wurde, konnte der Druckverlauf mit
der Formel (3.36) berechnet werden. Die folgende Abbildung 4.2 zeigt ein Beispiel dieser abgeleiteten Druckkurve aus den 91 Originalwerten.
Druck in hPa
1500
1000
500
0
0
10
20
30
40
50
Höhe in km
60
70
80
0
10
20
30
50
40
Höhe in km
60
70
80
Druck in log hPa
104
102
100
10−2
Abbildung 4.2: Beide Abbildungen zeigen den, aus den ebenfalls ersichtlichen 91
Originaldruckwerten, abgeleiteten Druckabfall mit der Höhe, wobei bei der unteren Abbildung
die Druckachse logarithmiert wurde.
In einem zweiten Schritt war es nun möglich, die Höhen der 25 Druckflächen mit der
umgeformten Barometrischen Höhenformel (4.3) zu berechnen, wobei dh in zi − zsurf
zerlegt wurde.
zi = zsurf − H · ln
pi
psurf
i = 1, ..., 25
(4.3)
Sowohl der Bodendruck psurf als auch die Höhe zsurf stammen von den model Daten. Die
einzelnen Druckflächen pi wurden von den pressure Daten entnommen, um so dessen Höhen zi zu bestimmen. Im Anschluss wurden diese ebenfalls mit den bereits vorhandenen
Höhen aus den pressure Daten verglichen.
4.4 Modellierung der Dichteverteilung
4.4
28
Modellierung der Dichteverteilung
In einem weiteren Experiment sollte die vertikale Dichteverteilung an einem Gitterpunkt
modelliert werden. Die hochauflöserenden model Daten stellten die Basis dieser Untersuchungen dar, da sich die meteorologischen Parameter der pressure Daten nach den Isobaren richteten und somit keine Information am Boden zur Verfügung stand. In einem ersten
Schritt wurde mit Hilfe der allgemeinen Gasgleichung (3.2) die Dichte an den 91 Level
bestimmt. Wird die Gaskonstante für trockene Luft (3.8) zusammen mit der virtuellen
Temperatur (3.20) eingesetzt, ergibt dies
ρi =
pi
Rd Tv,i
i = 1, ..., 91
(4.4)
Da am Boden keine Temperatur und spezifische Feuchte vorhanden war, wurden diese
vom bodennächsten Level übernommen. Die Dichte am Boden ist somit gleich der Dichte am letzten Level (ρsurf = ρ91 ). Mittels dieser berechneten Referenzwerte wurde nun der
Dichteverlauf mit unterschiedlichen Methoden modelliert, welche nun genauer beschrieben werden.
1. Regressionsgerade
Ausgehend von der Barometrischen Höhenformel für die Dichte (3.34) lässt sich diese
für den diskreten Anwendungsfall schreiben als
ρi = ρsurf · e−
zi −zsurf
H
i = 1, ..., 91
(4.5)
Nun muss, wie in allen folgenden Methoden, die Skalenhöhe H bestimmt werden. Dies
geschieht in diesem Fall mit Hilfe einer Regressionsgeraden nach der Methode der kleinsten Quadrate durch alle 92 Dichtewerte, d.h. die Dichte am Boden wird ebenfalls neu bestimmt. Durch Logarithmieren der Gleichung (4.5) und anschließender Substitution erhält
man
ln ρi = ln ρsurf −
yi = k · xi + d
zi − zsurf
H
i = 1, ..., 92
i = 1, ..., 92
wobei ln ρi durch yi , ln ρsurf durch d, zi − zsurf durch xi und −1/H durch k ersetzt wurde.
k und d sind die zu bestimmenten Parameter durch die Regressionsgerade. Nach der Ausgleichung und der anschließenden Rücktransformation ist die Skalenhöhe H und die neue
Dichte am Boden ρsurf bekannt. Mit Gleichung (4.5) lässt sich nun die Dichteverteilung
bestimmen.
4.4 Modellierung der Dichteverteilung
29
2. Regressionsgerade mit fixem Startwert
Bei dieser Methode wird genauso vorgegangen wie bei der Vorherigen, mit dem einzigen
Unterschied, dass nur die Steigung k der Regressionsgeraden bestimmt wird. Der Startwert, welcher der Dichte am Boden entspricht, bleibt unverändert. Die Geradengleichung
ergibt sich dann zu
yi = k · xi + ln ρsurf
i = 1, ..., 92
(4.6)
Nach der Berechnung der Steigung k nach der Methode der kleinsten Quadrate und anschließender Rücktransformation kann wieder mit Gleichung (4.5) die Dichteverteilung
modelliert werden.
3. Numerische Ausgleichung
Die numerische Ausgleichung musste, wie bereits zuvor beim Übergang von model auf
pressure Level, mit Hilfe eines numerischen Algorithmus zur Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen bestimmt werden. In diesem Fall wurde wieder die Funktion
lsqcurvefit von Matlab verwendet. Ausgehend von der Gleichung (4.5) wurde die Skalenhöhe H und der Bodendruck ρsurf bestimmt, um anschließend die Dichteverteilung zu
berechnen.
4. Numerische Ausgleichung mit fixem Startwert
Diese Methode verwendet, ebenso wie die numerische Ausgleichung, die Funktion
lsqcurvefit, jedoch mit dem Unterschied, dass nur die Skalenhöhe H bestimmt wird und
der Bodendruck als Startwert unverändert bleibt. Dies hat, genauso wie bei der Methode Regressionsgerade mit fixem Startwert, den Vorteil, dass der reale Bodendruck nicht
manipuliert wird.
5. Zwischen Boden und obersten Dichtewert eingespannt
In diesem Fall wird mit Hilfe der, auf die Skalenhöhe H umgeformten Gleichung (4.5),
der Druck und die Höhe vom obersten Level und vom Boden eingesetzt.
H=−
z1 − zsurf
ρ1
ln ρsurf
(4.7)
Mit der nun berechenbaren Skalenhöhe H und dem bereits bekannten Bodendruck ρsurf
kann die Dichteverteilung ohne weiteres modelliert werden.
4.4 Modellierung der Dichteverteilung
30
6. g und Tv vom Boden
Bei dieser Methode wird nur die virtuelle Temperatur und die Schwerebeschleunigung
am Bodenpunkt für die Bestimmung der Skalenhöhe H herangezogen und in weiterer
Folge sogar die restlichen Referenzwerte über dem Boden vernachlässigt. Dabei wird in
die Gleichung (3.35) eingesetzt.
H=
Rd Tv,surf
g
Mit der bekannten Skalenhöhe H und dem Dichtewert am Boden ρsurf , eingesetzt in (4.5),
lässt sich wieder die Dichteverteilung bestimmen. Wie sich bei den Untersuchungen herausstellte, erzielt diese Methode gute Ergebnisse, welche anfangs nicht zu vermuten waren. In den Untersuchungen wurde für g einerseits eine breitenabhängige Schwerebeschleunigung g(Θ) verwendet und andererseits die globale mittlere Erdschwerebeschleunigung g0 . Als sich hier keine signifikanten Unterschiede aufzeigten, wurde nur mehr g0
für weitere Experimente herangezogen.
Die Eigenschaften und Resultate der unterschiedlichen Methoden der Modellierung der
Dichteverteilung werden in Kapitel 5.3 interpretiert und diskutiert.
Kapitel 5
Ergebnisse
In dem Kapitel Ergebnisse werden die Resultate diskutiert und in grafischer bzw. tabellarischer Form dargestellt. Zunächst werden die Beobachtungen bei dem Vergleich der
beiden Datensätze beschrieben. Die Unterschiede der beiden Methoden für den Übergang
von model Levels auf pressure Levels werden im Anschluss verglichen. Zuletzt werden
die Ergebnisse der Modellierung der Dichteverteilung dargestellt und besprochen.
5.1
Vergleich der pressure und model level Daten
Für die Gegenüberstellung der beiden Datensätze wurden vorerst nur Druck, Temperatur
und spezifische Feuchte als Vergleichsparameter verwendet, da die Höhen der Levels in
den model Daten anfangs nicht bekannt waren. Die anschließenden Beispiele sollen die
beobachteten Unterschiede bzw. Merkmale zeigen.
Die folgende Abbildung 5.1 zeigt den Verlauf der Temperatur und spezifischen Feuchte
mit abfallenden Druck, welcher als Höheninformation interpretiert werden kann. Der dafür gewählte Gitterpunkt hat die Koordinaten 48◦ Nord und 16◦ Ost. Die linke Grafik zeigt
einen typischen Temperaturverlauf bis in ca. 80 km Höhe. Eine logarithmierte Druckachse verhindert, dass die Temperaturkurve zu sehr zusammen gestaucht wird. Sowohl die
model als auch die pressure level Daten zeigen dieselbe Temperaturverteilung, jedoch mit
kleinen Abweichungen. Dies liegt einerseits an den unterschiedlichen Auflösungen der
Daten (25 pressure Levels und 91 model Levels), welches besonders in der Mitte des Verlaufs zu erkennen ist. Andererseits können bei der Ableitung der pressure aus den model
level Daten Informationen nicht 100 % abgebildet worden sein.
5.1 Vergleich der pressure und model level Daten
32
In der rechten Illustration, welche die vertikale Verteilung der spezifischen Feuchte darstellt, ist eine noch deutlichere Abweichung zu erkennen. Dies lässt sich wieder auf die
Auflösung der Datensätze zurückführen. Der feuchte Anteil der Atmosphäre hält sich nur
in den untersten Schichten, bis in eine Höhe von ca. 10 km, auf. Mit den hochauflöserenden model Daten können, im Gegensatz zu den pressure Daten, feinere Strukturen
festgestellt werden. Die pressure level Daten, welche eine größere Schrittweite und eine
geringere Anzahl an Levels in den unteren Schichten aufweisen, zeigen einen viel glatteren Verlauf. Weiters ist zu erkennen, dass die model level Daten an diesem Gitterpunkt
erst nach den pressure level Daten beginnen. Die Ursache dieses Effekts liegt bei den
pressure level Daten, welche die Levels auf Isobaren beziehen, während bei den model
level Daten der reale Druck vom Bodenpunkt zur Verfügung steht.
0
10−2
Breite 48◦ N Länge 16◦ O
100
10−1
model Daten
200
pressure Daten
100
Druck in hPa
Druck in log hPa
300
101
400
500
600
700
102
800
900
103
200
250
Temperatur in ◦ K
300
1000
0
0,002 0,004 0,006
Spez. Feuchte in kg kg−1
Abbildung 5.1: Ein Vergleich Daten am Gitterpunkte 48◦ Nord und 16◦ Ost zwischen
Temperatur/Druck und spezifische Feuchte/Druck. Die model Daten weisen, durch ihre höhere
Auflösung, feinere Strukturen der Verläufe auf, welche jedoch von den pressure Daten gut
angenähert werden.
Bei der nächsten Abbildung 5.2 wurde statt dem Druck die, aus den Modellparametern
des ECMWF berechneten, Höhen der model Levels und die bekannten Höhen der pressure Levels, aufgetragen. Auf der anderen Achse wurde jeweils Druck, Temperatur und
spezifische Feuchte zum direkten Vergleich verwendet. Mit Hilfe der 500 hPa Druckfläche aus den pressure Daten war es möglich Hoch- und Tiefdruckgebiete zu finden, um so
vielleicht ein ungewöhnliches Verhalten der Datensätze in diesen Regionen aufzudecken.
Diesbezüglich wurden die Gitterpunkte 38◦ Nord und 147◦ Ost (Tiefdruckgebiet) bzw.
60◦ Süd und 172◦ West (Hochdruckgebiet) ausgewählt.
5.1 Vergleich der pressure und model level Daten
33
Breite 60◦ S
Länge 147◦ O
Länge 172◦ W
80
80
60
60
40
20
0
10−5
100
Druck in hPa
20
80
80
60
60
40
20
0
5
220 240 260
Temperatur in ◦ K
105
220 240 260
Temperatur in ◦ K
280
40
20
200
280
Höhe in km
10
100
Druck in hPa
0
200
Höhe in km
40
0
10−5
105
Höhe in km
Höhe in km
Breite 38◦ N
Höhe in km
Höhe in km
Aus den beiden obersten Grafiken, welche jeweils die logarithmierte Druckverteilung darstellen, sind keine sonderlichen Unterschiede zu erkennen. Jedoch bei dem Verlauf der
Temperatur und der spezifischen Feuchte sind auffällige Differenzen festzustellen. Ein
bemerkenswerter Trend aufgrund der Aufspaltung in Hoch- und Tiefdruckgebiet ist nicht
wahrzunehmen. Hingegen an Stellen mit sprunghaften Änderungen können, infolge der
Auflösung, bedeutende Informationen verloren gehen, wie ganz rechts unten zu sehen ist.
Bei einem stetigen Verlauf stimmen die pressure level Daten mit den model level Daten
gut überein.
10
5
0
0
0 0, 001
0, 003
0, 005
−1
Spez. Feuchte in kg kg
0 0, 001
0, 003
0, 005
−1
Spez. Feuchte in kg kg
Abbildung 5.2: Die Gegenüberstellung der beiden Gitterpunkte lässt keinen wesentlichen Trend
zwischen model und pressure Daten in einem Tiefdruckgebiet (links) oder Hochdruckgebiet
(rechts) erkennen. Auffällig ist jedoch, dass bei Verläufen mit starken Schwankungen die pressure
Daten durch ihre Auflösung signifikante Informationen verlieren.
5.2 Übergang von model Levels auf pressure Levels
5.2
34
Übergang von model Levels auf pressure Levels
Die erste Anwendung der Hydrostatischen Gleichung (3.22) bezog sich auf die Bestimmung der Höhen der pressure Levels unter Zuhilfenahme der bekannten Druckverteilung
der model und pressure level Daten. Der mathematische Hintergrund, der dafür verwendeten Ansätze, wurde bereits im Kapitel 4.3 erklärt. In den beiden folgenden Unterkapiteln
werden die Ergebnisse dieser Verfahren präsentiert.
5.2.1 Interpolation zwischen den Levels
Bei der Methode der Interpolation zwischen den Levels wurde die Höhendifferenz zwischen pressure und dem darunter liegendem model Level mittels Interpolation bestimmt.
Durch Addition mit der bekannten Höhe des model Levels konnte eine absolute Höhe für
das darüber liegende pressure Level festgelegt werden.
Die folgende Abbildung 5.3 zeigt die Abweichungen der interpolierten pressure Höhen
zu den originalen Höhen, welche von Beginn an mit den Daten mitgeliefert wurden. Dafür wurden zwei willkürlich ausgewählte Gitterpunkte verwendet. Der Fehler weist einen
eindeutiger Trend mit der Höhe auf. Dieser lässt sich durch größere Abstände zwischen
den model Levels mit der Höhe erklären, welches sich nachteilig auf die Interpolationskoeffizienten auswirkt. Ebenso unvorteilhaft ist eine große Höhendifferenz zwischen dem
zu bestimmenden pressure Level und dem darunter liegendem model Level.
Dieses Verfahren erzeugt dennoch gute Ergebnisse und maximale Abweichungen nur im
Bereich von 40 m. Alle Gitterpunkte wurden mit dieser Methode getestet, wobei die nachstehende Tabelle 5.1 die daraus abgeleiteten statistischen Kenngrößen kurz zusammenfasst.
Maximaler Fehler [m]
Min.
Max.
7
42
arithm. Mittelwert [m]
0,01
20
Tabelle 5.1: Zeigt die minimale und maximale Grenze des maximalen Fehlers in m und des
arithmetische Mittels in m für alle Gitterpunkte.
5.2 Übergang von model Levels auf pressure Levels
35
Breite 48◦ N Länge 16◦ O
Breite 38◦ N Länge 147◦ W
30
25
Abweichungen in m
20
15
10
5
0
−5
0
10
20
30
Höhe in km
40
50
60
Abbildung 5.3: Die Anwendung dieser Methode zeigt an diesen beiden Gitterpunkten nur
Abweichungen von maximal 27 m, wobei eine Zunahme des Fehlers mit der Höhe deutlich
erkennbar ist. Bis zu einer Höhe von 25 km liegen die Abweichungen sogar unter 3 m.
5.2.2 Gesamte Ausgleichung der model level Daten
Bei dieser Verfahrensweise wurde eine numerische Ausgleichskurve mit Hilfe aller 92
Druckwerte der model level Daten berechnet. Durch Einsetzen des Bodendrucks, der Höhe am Bodenpunkt und des jeweiligen Drucks der pressure Levels konnte die absolute
Höhe sofort bestimmt werden.
Die Abweichungen der berechneten Höhen zu den bereits vorab bekannten ist in der Abbildung 5.4 zu sehen. Hier wurden wieder dieselben zwei Gitterpunkte, wie bereits zuvor
bei der Interpolation zwischen den Levels, gewählt. Auch hier ist ein offensichtlicher
Anstieg des Fehlers mit der Höhe zu erkennen. Die Fehler sind allerdings schon im Bereich von einigen Kilometern am Ende der Kurve. Eine Ursache hierfür sind die Daten in
größeren Höhen, welche für die Ausgleichung nicht gewichtet wurden. Hierbei ist es fraglich, wie groß deren Einfluss auf die gesamte Ausgleichung wirklich sein sollte. Darüber
hinaus ist der wachsende Abstand mit der Höhe zwischen Bodenpunkt und den pressure
Levels ein weiterer Grund, dass die Ausgleichungskurve ungenauer wird.
5.2 Übergang von model Levels auf pressure Levels
36
Die Resultate dieser Vorgehensweise sind deutlich schlechter als die der vorhergehenden
Methode. Nichts desto trotz werden Regionen bis 10-12 km gut approximiert (Abweichungen von ± 500m). Mit einem gewichtetem Ausgleich könnten hier durchaus noch
bessere Ergebnisse erzielt werden. Die Tabelle 5.2 gibt den kleinsten und größten maximalen Fehler, sowie eine arithmetische Mittelbildung der Fehler bekannt, welche durch
Anwendung dieser Methode an allen Gitterpunkten erfasst wurden.
Maximaler Fehler [m]
arithm. Mittelwert [m]
697
6760
263
2248
Min.
Max.
Tabelle 5.2: Zeigt die minimale und maximale Grenze des maximalen Fehlers in m und des
arithmetische Mittels in m für alle Gitterpunkte.
Breite 48◦ N Länge 16◦ O
Breite 38◦ N Länge 147◦ W
4.5
4
Abweichungen in km
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
0
10
20
30
Höhe in km
40
50
60
Abbildung 5.4: Der Verlauf der Abweichungen zeigt an beiden Gitterpunkten dieselbe
Charakteristik. Zuerst sind die ausgeglichenen Höhenwerte unter den Originalen und mit
zunehmender Höhe steigen die Abweichungen jedoch stark in positiver Richtung. Hingegen am
Ende der Kurven ist nochmal ein deutlicher Abfall des Fehlers zu erkennen.
5.3 Modellierung der Dichteverteilung
5.3
37
Modellierung der Dichteverteilung
Bei der Analyse der vertikalen Dichteverteilung kam die Hydrostatische Gleichung zum
zweiten Mal zur Anwendung. Zunächst wurden mit Hilfe der meteorologischen Parameter
Temperatur, Druck und spezifischer Feuchte die Dichte an den 91 model Levels, sowie am
Boden berechnet. Mittels dieser Referenzwerte konnte die vertikale Dichteverteilung für
jeden Gitterpunkt bestimmt werden, welches unter Zuhilfenahme verschiedener Ansätze
realisiert wurde.
Die nachfolgenden Tabellen 5.3 und 5.4 zeigen die Resultate der Modellierung der Dichteverteilung für zwei verschiedene Gitterpunkte. Zum Vergleich ist die Summe der Verbesserungsquadrate, die Skalenhöhe H und die Dichte ρsurf am Boden dargestellt. In beiden Tabellen weist der Ansatz der Regressionsgeraden, gegenüber den anderen, eine hohe
Summe der v 2 auf und darüber hinaus ist eine signifikante Abweichungen der berechneten Dichte gegenüber der wahren Dichte am Boden zu erkennen. Besser scheint die
Regressionsgerade mit fixem Startwert, welche die Dichte am Boden unverändert lässt
und außerdem die Referenzwerte insgesamt besser approximiert. Beide Ansätze haben
jedoch die gleiche Schwäche. Für die Bestimmung der Regressionsgeraden werden nämlich die logarithmierten Dichtewerte verwendet und die Ergebnisse müssen im Anschluss
wieder rücktransformiert werden. Aufgrund dessen findet die eigentliche Ausgleichung
in einem anderen Raum statt und die Summe der v 2 verschlechtert sich letztendlich durch
die Rücktransformation.
Die beiden Verfahren der numerischen Ausgleichung weisen die geringsten Summen der
v 2 auf, wobei wieder bei dem Ansatz ohne fixen Startwert die Dichte am Boden verändert
wurde. Die Skalenhöhen H der numerischen Ausgleichungen liegen nahe beieinander, so
auch die der Regressionsgeraden. Die Summe der v 2 lässt hingegen darauf schließen, dass
die exakte Skalenhöhe eher zwischen den Ergebnissen der Skalenhöhen der numerischen
Ausgleichung liegt, als jener der Regressionsgeraden.
Die Bestimmung der Dichteverteilung mittels des ersten und letzten Dichtewerts (in den
Tabellen mit der Bezeichnung: Eingespannt) liefert keine guten Ergebnisse. Bei diesem
Ansatz ist die Wahl des letzten Dichtewerts, hinsichtlich der Relevanz und Genauigkeit,
wohl ein maßgebender Faktor für die schlechte Approximation. Durch eine geeignetere
Auswahl des zweiten Dichtewerts und einer damit verbundenen Reduzierung der vertikalen Auflösung, ließen sich die Resultate mit Sicherheit verbessern.
Der letzte Ansatz, welcher nur die Schwerebeschleunigung und virtuelle Temperatur benötigt, zeigt erstaunlicherweise nur eine geringe Summe der v 2 . Außerdem kommt die
Skalenhöhe H, die der numerischen Ausgleichung, bis auf einige 100 Meter sehr nahe.
5.3 Modellierung der Dichteverteilung
38
Bemerkenswert bei dieser Methode ist, dass keine zusätzlichen Dichtewerte für die Berechnung benötigt werden.
Die verschiedenen Ansätze zur Modellierung der Dichteverteilung wurden für alle Gitterpunkte getestet. Grundsätzlich ist die gleiche Rangfolge, wie sie sich in den zwei Tabellen
resultierend aus der Summe der v 2 ergibt, an allen Gitterpunkten zu erkennen. Insgesamt
erzielt die Modellierung der Dichteverteilung mittels numerischer Ausgleichung die besten Ergebnisse, wobei der Ansatz mit fixem Startwert die Dichte am Boden unverändert
lässt und somit der Realität noch besser entspricht.
Breite: 48◦ N Länge: 16◦ O, Dichte am Boden 1,147 kg m−3
Methode
n
P
vi2
H [m]
ρsurf [kg m−3 ]
0,544
0,356
0,051
0,067
0,392
0,087
6882
7102
8487
8764
7013
8295
1,352
1,147
1,178
1,147
1,147
1,147
i=1
Regressionsgerade
Regressionsgerade mit fixem Startwert
Numerische Ausgleichung
Numerische Ausgleichung mit fixem Startwert
Eingespannt
g und Tv vom Boden
Tabelle 5.3: Zum Vergleich der einzelnen Ansätze sind die Summen der v 2 , die Skalenhöhe H und
die unveränderte bzw. neu bestimmte Dichte am Boden ρsurf aufgelistet. Mit einer sehr geringen
Summe der v 2 und einer unveränderten Bodendichte liefert die numerische Ausgleichung mit
fixem Startwert die besten Ergebnisse.
Breite: 38◦ N Länge: 147◦ O, Dichte am Boden 1,236 kg m−3
Methode
n
P
vi2
H [m]
ρsurf [kg m−3 ]
0,359
0,286
0,040
0,059
0,312
0,074
7000
7177
8278
8551
7105
8171
1,410
1,236
1,270
1,236
1,236
1,236
i=1
Regressionsgerade
Regressionsgerade mit fixem Startwert
Numerische Ausgleichung
Numerische Ausgleichung mit fixem Startwert
Eingespannt
g und Tv vom Boden
Tabelle 5.4: Die Rangfolge der verschiedenen Ansätze, infolge ihrer Summe der v 2 , ist auch an
diesem Gitterpunkt dieselbe. Die Methode der numerischen Ausgleichung mit fixem Startwert
weist wieder mit ihrer unbeeinflussten Dichte und geringen Summe der v 2 hervorragende
Ergebnisse auf.
5.3 Modellierung der Dichteverteilung
39
Die folgenden Abbildungen (5.5 bis 5.10) sollen die Unterschiede des grafischen Verlaufs
der vertikalen Dichteverteilung der einzelnen Ansätze an dem gewählten Gitterpunkt 48◦
Nord und 16◦ Ost veranschaulichen.
1. Regressionsgerade
Dichte in kg m−3
1.5
Breite 48◦ N Länge 16◦ O
Original Dichtewerte
Dichteverteilung
1
0.5
Dichte in log kg m−3
0
0
10
20
30
40
50
Höhe in km
60
70
80
10
20
30
40
50
Höhe in km
60
70
80
105
100
10−5
0
Abbildung 5.5: Die Kurve des Ansatzes mittels Regressionsgeraden zeigt am Boden eine markante
Abweichung von der originalen Dichte. Dies und die Tatsache, dass die Kurve insgesamt nicht
gut approximiert, spricht für keine optimale Methode zur Modellierung der Dichteverteilung.
2. Regressionsgerade mit fixem Startwert
Dichte in kg m−3
1.5
Breite 48◦ N Länge 16◦ O
Original Dichtewerte
Dichteverteilung
1
0.5
Dichte in log kg m−3
0
0
10
20
30
40
50
Höhe in km
60
70
80
10
20
30
40
50
Höhe in km
60
70
80
105
100
10−5
0
Abbildung 5.6: Die Dichte am Boden blieb diesmal unverändert, jedoch ist eine signifikante
Abweichung der Kurve im Bereich von 2-12 km Höhe ersichtlich. Dieser Modellierungsweg zeigt
ebenfalls noch kein zufriedenstellendes Ergebnis in der Approximation.
5.3 Modellierung der Dichteverteilung
40
3. Numerische Ausgleichung
Dichte in kg m−3
1.5
Breite 48◦ N Länge 16◦ O
Original Dichtewerte
Dichteverteilung
1
0.5
Dichte in log kg m−3
0
0
10
20
30
40
50
Höhe in km
60
70
80
10
20
30
50
40
Höhe in km
60
70
80
105
100
10−5
0
Abbildung 5.7: Die numerische Ausgleichung liefert die beste Approximation hinsichtlich der
Summe der v 2 . Der Dichteunterschied am Boden ist nur sehr gering und hier kaum zu erkennen.
4. Numerische Ausgleichung mit fixem Startwert
Dichte in kg m−3
1.5
Breite 48◦ N Länge 16◦ O
Original Dichtewerte
Dichteverteilung
1
0.5
Dichte in log kg m−3
0
0
10
20
30
40
50
Höhe in km
60
70
80
10
20
30
40
50
Höhe in km
60
70
80
105
100
10−5
0
Abbildung 5.8: Die Modellierung mittels numerischer Ausgleichung mit fixem Startwert ist,
obwohl die Summe der v 2 geringfügig schlechter ist als die vorhergehenden Methode, der beste
Ansatz unter den 6 Untersuchten. Die Dichte am Boden wird nämlich nicht manipuliert, welches
der Realität besser entspricht.
5.3 Modellierung der Dichteverteilung
41
5. Eingespannt
Dichte in kg m−3
1.5
Breite 48◦ N Länge 16◦ O
Original Dichtewerte
Dichteverteilung
1
0.5
Dichte in log kg m−3
0
0
10
20
30
40
50
Höhe in km
60
70
80
10
20
30
50
40
Höhe in km
60
70
80
105
100
10−5
0
Abbildung 5.9: Diese Methode liefert keine positiven Ergebnisse, wie in einer Höhe von 2-15 km
gut zu erkennen ist. Eine Verbesserung der Approximation wäre bei der Wahl eines Dichtewerts
näher beim Erdboden gegeben. Dadurch müsste jedoch ab diesem Punkt für den weiteren Verlauf
extrapoliert werden.
6. g und Tv vom Boden
Dichte in kg m−3
1.5
Breite 48◦ N Länge 16◦ O
Original Dichtewerte
Dichteverteilung
1
0.5
Dichte in log kg m−3
0
0
10
20
30
40
50
Höhe in km
60
70
80
10
20
30
40
50
Höhe in km
60
70
80
105
100
10−5
0
Abbildung 5.10: Diese Vorgehensweise kommt den Ergebnissen der numerischen Ausgleichung
sehr nahe und lässt zusätzlich die Dichte am Boden unverändert.
5.3 Modellierung der Dichteverteilung
42
Aufgrund dessen, dass an allen Gitterpunkten die verschiedenen Ansätze zur Modellierung der Dichteverteilung getestet wurden, sind auch alle Skalenhöhen H zum Vergleich
gespeichert worden. In der nachfolgenden Abbildung 5.11 sind diese für jede Methode
über die gesamte Erde dargestellt. In allen Grafiken kann in groben Zügen dasselbe Muster erkannt werden. Betrachtet man allerdings die einzelnen Skalen unter den Bildern,
sind hier durchaus verschiedene Maßstäbe zu erkennen. Besonders die bereits negativ erwähnten Ansätze wie Regressionsgerade, Regressiongerade mit fixem Startwert und die
eingespannte Methode liefern nur Skalenhöhen zwischen 6600 km und 7200 km. Dies ist
ein weiterer Indikator, dass diese Ansätze keine optimalen Ergebnisse erzeugen.
Regressionsgerade
90
Regressionsgearde mit fixem Startwert
90◦
45◦
45◦
0◦
0◦
-45◦
-45◦
◦
-90◦ ◦
-180
-90◦
6600
0◦
90◦
6800
180◦
-90◦ ◦
-180
45◦
45◦
0◦
0◦
-45◦
-45◦
-90◦
7000
0◦
90◦
8000
180◦
90◦
Num. Ausgleichung mit fixem Startwert
90◦
90◦
-90◦ ◦
-180
0◦
6600 6800 7000 7200
7000
Num. Ausgleichung
-90◦
180◦
-90◦ ◦
-180
9000
Eingespannt
-90◦
0◦
90◦
7000
8000
9000
180◦
g und T vom Boden
90
90
◦
◦
45
◦
45◦
0◦
0◦
-45◦
-45◦
-90◦ ◦
-180
6700
-90◦
0◦
6900
90◦
180◦
7100
-90◦ ◦
-180
-90◦
7000
0◦
90◦
8000
180◦
9000
Abbildung 5.11: Hier sind die berechneten Skalenhöhen jeder einzelnen Methode über die
gesamte Erde zu sehen. Eine hohe Skalenhöhe (entspricht warmer Luft) ist rot und eine
niedrigere Skalenhöhe (entspricht kalter Luft) ist blau dargestellt.
5.3 Modellierung der Dichteverteilung
43
Die nächste Abbildung 5.12 zeigt wieder die Skalenhöhen, diesmal allerdings mit einem
einheitlichen Maßstab. Die Unterschiede der Reichweite der Maßstäbe sind nun besser
erkennbar. Die aussagekräftigsten Skalenhöhen liefern die Ansätze der numerischen Ausgleichungen gefolgt von der Methode g und Tv vom Boden.
90◦
Regressionsgearde mit fixem Startwert
90◦
45◦
45◦
0◦
0◦
-45◦
-45◦
Regressionsgerade
9500
-90◦ ◦
-180
-90
◦
0
◦
90
◦
180
◦
Num. Ausgleichung
-90◦ ◦
-180
9000
-90
◦
0
◦
90
◦
180
◦
90◦
Num. Ausgleichung mit fixem Startwert
90◦
45◦
45◦
0◦
0◦
-45◦
-45◦
-90◦ ◦
-180
-90
◦
0
◦
90
◦
180
◦
-90◦ ◦
-180
90◦
45◦
45◦
0◦
0◦
-45◦
-45◦
-90◦
0◦
90◦
8000
7500
-90
◦
0
◦
90
◦
180
◦
g und T vom Boden
Eingespannt
90◦
-90◦ ◦
-180
8500
180◦
-90◦ ◦
-180
7000
6500
6000
-90◦
0◦
90◦
180◦
Abbildung 5.12: Mit Darstellung der Skalenhöhen in einem einheitlichen Maßstab werden die
Unterschiede der einzelnen Ansätze besser hervorgehoben. Die Umrisse der einzelnen Kontinente
sind auch hier gut zu erkennen.
Der Anlass für die nähere Untersuchung der Skalenhöhe H kann am Beispiel der Eiskunstläuferin bei einer Pirouette gut veranschaulicht werden. Ist nämlich global gesehen
eine niedrige Skalenhöhe zu erkennen (die Eiskunstläuferin zieht ihre Arme zum Körper),
so befinden sich die Massen näher an der Drehachse und die Erde rotiert schneller. Der
umgekehrte Fall ist bei größeren Skalenhöhen zu beobachten (die Eiskunstläuferin streckt
ihre Arme aus), die Massen verlagern sich nach außen und die Erde dreht sich langsamer.
Die Ergebnisse der Skalenhöhen lassen gleichermaßen darauf schließen, dass die numerische Ausgleichung insgesamt die beste Art der Modellierung der Dichteverteilung unter
den Untersuchten darstellt.
5.3 Modellierung der Dichteverteilung
Regressionsgerade
90
45◦
0◦
-45◦
-90◦ ◦
-180 -90◦
Regressionsgearde mit fixem Startwert
90◦
◦
-2000
0◦
90◦
-1000
44
180◦
45◦
0◦
-45◦
-90◦ ◦
-180
0
-90◦
-2000
0◦
180◦
90◦
-1000
0
Num. Ausgleichung mit fixem Startwert
Num. Ausgleichung
90◦
90◦
45◦
45◦
0◦
0◦
-45◦
-45◦
-90◦ ◦
-90◦ ◦
-180 -90◦
0◦
0◦
90◦ 180◦
90◦ 180◦
-180 -90◦
-1
-200 0 200 400
Eingespannt
-0.5
0
1
0.5
g und T vom Boden
90
45◦
90
45◦
0◦
-45◦
-90◦ ◦
-180
◦
◦
0◦
-45◦
-90◦ ◦
-180 -90◦
-2000
0◦
-1000
90◦
0
180◦
-90◦
-600
-400
0◦
-200
90◦
180◦
0
Abbildung 5.13: Die Differenzen zum numerischen Ausgleich mit fixem Startwert zeigen, dass die
breiten- bzw. wetterabhängigen Symptomatiken bei den anderen Ansätzen bei weitem nicht so
ausgeprägt sind.
Zum Abschluss sollen in der Abbildung 5.13 die Differenzen von den verschiedenen Ansätzen zu der Methode numerische Ausgleichung mit fixem Startwert dargestellt werden.
In den Grafiken wird deutlich, dass in kalten Gebieten die Skalenhöhe stets höher und in
warmen Bereichen die Skalenhöhe immer niedriger bestimmt wurde. Weiters ist nur bei
der numerischen Ausgleichung ein negativer Trend über die gesamte Erde erkennbar, bei
den Ansätzen der Regressionsgeraden und der Methode Eingespannt werden die breitenbzw. wetterabhängigen Symptomatiken nur unzureichend modelliert. Außerdem ist nun
ersichtlich, dass ebenso bei der Methode g und Tv vom Boden noch nicht alle Effekte, nur
mit den Daten am Boden, erfasst werden konnten.
Kapitel 6
Schlussfolgerungen und Ausblick
Die Modellierung der Massenverteilung in der Atmosphäre stellt eine interessante, aber
auch schwierige Herausforderung dar. Dies betrifft vor allem die komplexe mathematische Beschreibung der physikalischen Abläufe in der Atmosphäre, welche mit Hilfe unterschiedlicher Modellansätze vereinfacht dargestellt werden können. Die Ergebnisse in
den Kapiteln 5.2 und 5.3 weisen darauf hin, dass der Ansatz des hydrostatischen Gleichgewichts der Atmosphäre eine sehr gute Beschreibung der Massenverteilung zulässt. Für
den Maßstab der Testdaten (1◦ x 1◦ Gittermodell) ist die Annahme des hydrostatischen
Gleichgewichts auch gültig, hingegen bei größeren Maßstäben sollte nicht nur eine vertikale Komponente berücksichtigt werden. Da nur Datensätze einer Epoche (1. April 2008
12:00 UTC) zur Verfügung standen, konnten keine unterschiedlichen Zeitpunkte miteinander verglichen werden.
Einen kontinuierlichen Verlauf mittels geeigneten Ansatz aus den diskreten Messwerten
zu schaffen, war ein wesentliches Ziel dieser Arbeit. Dabei konnte festgestellt werden,
dass die Transformation der exponentiellen Verteilung des Drucks bzw. Dichte auf ein
lineares Problem und die anschließende Lösung mittels Regressionsgerade ungeeignete
Resultate liefert. Folgende Untersuchungen sollten sich auf den Ansatz des numerischen
Ausgleichs konzentrieren, da mit dieser Methode die besten Ergebnisse erzielt werden
konnten. Die Einführung von Gewichten für die Daten (z.B. in Abhängigkeit ihrer Höhe)
wäre ein möglicher Versuch zur Optimierung der Genauigkeit.
Für weiterführende Experimente sollten unbedingt Datensätze aus mehreren Epochen verwendet werden, um auch eine zeitliche Komponente einzubringen. Außerdem sollten die
Resultate mit anderen Ansätzen zur Modellierung der Massenverteilung in der Atmosphäre verglichen werden, wie zum Beispiel Ergebnissen aus Standard-Atmosphäremodellen
oder Radiosondendaten.
Anhang A
ECMWF Modellparameter und
Formeln
Table giving details of the 91 model level definitions
The following is the list of a(N) and b(N) accompanied with half level, ph, and full level,
pf, corresponding values of pressure for a surface pressure of PS[hPa]= 1013.250.
NLEV=91 PS[hPa]=1013.250
N
a
b
ph[hPa]
pf[hPa]
0
0.000000
0.000000
0.0000
1
2.000040
0.000000
0.0200
0.0100
2
3.980832
0.000000
0.0398
0.0299
3
7.387186
0.000000
0.0739
0.0568
4
12.908319
0.000000
0.1291
0.1015
5
21.413612
0.000000
0.2141
0.1716
6
33.952858
0.000000
0.3395
0.2768
7
51.746601
0.000000
0.5175
0.4285
8
76.167656
0.000000
0.7617
0.6396
9
108.715561
0.000000
1.0872
0.9244
10
150.986023
0.000000
1.5099
1.2985
11
204.637451
0.000000
2.0464
1.7781
12
271.356506
0.000000
2.7136
2.3800
13
352.824493
0.000000
3.5282
3.1209
14
450.685791
0.000000
4.5069
4.0176
15
566.519226
0.000000
5.6652
5.0860
16
701.813354
0.000000
7.0181
6.3417
17
857.945801
0.000000
8.5795
7.7988
47
18
1036.166504
0.000000
10.3617
9.4706
19
1237.585449
0.000000
12.3759
11.3688
20
1463.163940
0.000000
14.6316
13.5037
21
1713.709595
0.000000
17.1371
15.8844
22
1989.874390
0.000000
19.8987
18.5179
23
2292.155518
0.000000
22.9216
21.4101
24
2620.898438
0.000000
26.2090
24.5653
25
2976.302246
0.000000
29.7630
27.9860
26
3358.425781
0.000000
33.5843
31.6736
27
3767.196045
0.000000
37.6720
35.6281
28
4202.416504
0.000000
42.0242
39.8481
29
4663.776367
0.000000
46.6378
44.3310
30
5150.859863
0.000000
51.5086
49.0732
31
5663.156250
0.000000
56.6316
54.0701
32
6199.839355
0.000000
61.9984
59.3150
33
6759.727051
0.000000
67.5973
64.7978
34
7341.469727
0.000000
73.4150
70.5061
35
7942.926270
0.000014
79.4434
76.4292
36
8564.624023
0.000055
85.7016
82.5725
37
9208.305664
0.000131
92.2162
88.9589
38
9873.560547
0.000279
99.0182
95.6172
39
10558.881836
0.000548
106.1445
102.5813
40
11262.484375
0.001000
113.6382
109.8913
41
11982.662109
0.001701
121.5502
117.5942
42
12713.897461
0.002765
129.9403
125.7453
43
13453.225586
0.004267
138.8558
134.3981
44
14192.009766
0.006322
148.3260
143.5909
45
14922.685547
0.009035
158.3816
153.3538
46
15638.053711
0.012508
169.0545
163.7180
47
16329.560547
0.016860
180.3786
174.7166
48
16990.623047
0.022189
192.3889
186.3837
49
17613.281250
0.028610
205.1223
198.7556
50
18191.029297
0.036227
218.6172
211.8697
51
18716.968750
0.045146
232.9140
225.7656
52
19184.544922
0.055474
248.0547
240.4844
53
19587.513672
0.067316
264.0833
256.0690
54
19919.796875
0.080777
281.0456
272.5644
55
20175.394531
0.095964
298.9895
290.0175
56
20348.916016
0.112979
317.9651
308.4774
57
20434.158203
0.131935
338.0245
327.9948
48
58
20426.218750
0.152934
359.2221
348.6233
59
20319.011719
0.176091
381.6144
370.4182
60
20107.031250
0.201520
405.2606
393.4375
61
19785.357422
0.229315
430.2069
417.7338
62
19348.775391
0.259554
456.4813
443.3441
63
18798.822266
0.291993
483.8506
470.1659
64
18141.296875
0.326329
512.0662
497.9584
65
17385.595703
0.362203
540.8577
526.4620
66
16544.585938
0.399205
569.9401
555.3989
67
15633.566406
0.436906
599.0310
584.4855
68
14665.645508
0.475016
627.9669
613.4989
69
13653.219727
0.513280
656.6129
642.2899
70
12608.383789
0.551458
684.8491
670.7310
71
11543.166992
0.589317
712.5573
698.7032
72
10471.310547
0.626559
739.5739
726.0656
73
9405.222656
0.662934
765.7697
752.6718
74
8356.252930
0.698224
791.0376
778.4036
75
7335.164551
0.732224
815.2774
803.1575
76
6353.920898
0.764679
838.3507
826.8141
77
5422.802734
0.795385
860.1516
849.2512
78
4550.215820
0.824185
880.6080
870.3798
79
3743.464355
0.850950
899.6602
890.1340
80
3010.146973
0.875518
917.2205
908.4403
81
2356.202637
0.897767
933.2247
925.2226
82
1784.854614
0.917651
947.6584
940.4416
83
1297.656128
0.935157
960.5245
954.0914
84
895.193542
0.950274
971.8169
966.1707
85
576.314148
0.963007
981.5301
976.6735
86
336.772369
0.973466
989.7322
985.6311
87
162.043427
0.982238
996.8732
993.3027
88
54.208336
0.989153
1002.8013
999.8373
89
6.575628
0.994204
1007.4431
1005.1222
90
0.003160
0.997630
1010.8488
1009.1459
91
0.000000
1.000000
1013.2500
1012.0494
2.2.1 Vertical discretization
To represent the vertical variation of the dependent variables
,
,
and
, the atmosphere is divided into
layers. These layers are defined by the pressures at the interfaces between them (the `half-levels'),
and these pressures are given by
(2.11)
for
coordinate and
. The
and
are constants whose values effectively define the vertical
is the surface pressure field.
The values of the
and
for all
are stored in the GRIB header of all fields
archived on model levels to allow the reconstruction of the `full-level' pressure
level (middle of layer) from
surface pressure field.
(
associated with each model
)by using (2.11) and the
The prognostic variables are represented by their values at `full-level' pressures
. Values for
explicitly required by the model's vertical finite-difference scheme, which is described below.
are not
…
The discrete analogue of the hydrostatic equation (2.6) is
(2.20)
which gives
(2.21)
where
is the geopotential at the surface. Full-level values of the geopotential, as required in the momentum
equations (2.1) and (2.2), are given by
(2.22)
where
and, for
,
(2.23)
,
Literaturverzeichnis
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momentum fluctuations, length-of-day changes and polar motion. Royal Society of
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