11. Elektronen im Festkörper
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11. Elektronen im Festkörper 11.1 Elektrische Leitung in Festkörpern Ohmsches Gesetz Wiedemann-Franz-Gesetz Drude-Modell und Erweiterungen Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 1 Theorien zur elektrischen Leitung in Metallen • • • • Um 1900 unabhängig voneinander: Paul Drude (Leipzig, Giessen,Berlin) Hendrik Antoon Lorentz (Leiden) J.J. Thomson (Cambridge) • Modell des freien Elektronengases Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 2 Drude-Theorie • 1900 • freie Elektronen im Ionenkristall Paul Karl Ludwig • „Elektronengas“ durch kinetische Drude (1863-1906) Gastheorie (Boltzmann-Statistik) [wikipedia] beschrieben • Äußeres elektrisches Feld beschleunigt Elektronen NICHT kontinuierlich, da Stöße mit Gitter ( Relaxationszeit) Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 3 Drude-Theorie • Im Gleichgewicht ist mittlere Geschwindigkeit der Elektronen proportional zur Feldstärke E • Bewegungsgleichung: elekt. Feld wirkt auf Ladung π π β π£ + π£π· = −ππΈ π beschleunigte Masse F=mβa geschwind.-abhän. Reibungswiderstand Streuzeit • Stationärer Zustand: πβπ π£ = 0 ⇒ π£π· = − βπΈ π Driftgeschwindigkeit Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 4 Drude-Theorie • Mit der Ladungsträgerdichte n ist die Stromdichte j π2 β π β π π β −πππ£π· = βπΈ π • Leitfähigkeit σ ist π π2 β π β π πβ = πΈ π Erinnerung Ohmsche Gesetz 1 πΌ = π π • Beweglichkeit π ist πβ Drude-Formel β π ,β π ⇒ π = π πΌ π£π· πΈ Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 5 Drude-Theorie • erstmals das ohmsche Gesetz erklärt • mit diesem Modell berechnete Widerstandswert etwa sechs mal größer als der gemessene • Wiedemann-Franz-Gesetz näherungsweise erhalten • Jedes Elektron müsste also 3/2 kBT liefern. Messungen haben aber gezeigt, dass der elektronische Beitrag zur Gesamtenergie etwa tausendmal kleiner ist (berechnete spezifische Wärme viel zu groß) Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 6 Drude-Theorie • Proportionalität von Widerstand und Elektronengeschwindigkeit zur Wurzel aus der Temperatur, was experimentell nicht stimmt • Es kann überhaupt keine Aussage darüber getroffen werden, ob ein Material ein metallischer Leiter, Halbleiter oder ein Isolator ist Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 7 Elektrische Leitfähigkeit 7 1x10 5 Cu YBa2Cu3O7 1 La0.75Ca0.25MnO3 1x10 1x10 -1 1x10 -3 1x10 -5 1x10 -7 1x10 -9 Graphit Na2O*11Al2O3 Ge Si Glas -11 1 10 100 Isolatoren 10 Pb Halbleiter 3 -1 1x10 Supraleitung: beim Abkühlen fällt der Widerstand sprungartig auf Null. 23 Metalle 1x10 -1 elektrische Leitfähigkeit [ο cm ] Supraleiter >10 Die elektrische Leitfähigkeit von Metallen nimmt mit der wachsender Temperatur ab. Die Leitfähigkeit von Halbleitern und Isolatoren nimmt mit der wachsender Temperatur zu. 1000 [ K. Conder ] Temperatur [K] Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 8 Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928) • Elektron als Träger der Ladung • Lorentzkraft • Lorenz-Transformation • Nobelpreis 1902 mit P. Zeeman (ZeemanEffekt) Gemälde von Menso Kamerlingh Onnes [Wikipedia] Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 9 Drude-Lorentz-Theorie • 1905 • Beschreibung der zusätzlichen Absorptionsmaxima (z.B. durch Bandübergänge) • Dielektrische Funktion von Halbleitern und Isolatoren beschrieben Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 10 Wechselfelder: Drudeformel Bewegungsgleichung ππ₯ + ππ½π₯ + ππ0 2 π₯ = −ππΈ0 π −πππ‘ stationäre Lösung π 1 −πππ‘ π₯ π‘ =− β 2 β πΈ π π π0 − π 2 − ππ½π 0 π· π· πΈ= = π ππ π0 elektrische Flussdichte D π π‘ = π π β πΈ0 π −πππ‘ dielektrische Funktion ππ£ π 2 1 π π =1+ β 2 π0 π π0 − π 2 − ππ½π Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 11 Bewegung im Magnetfeld ππ£ 2 Zentrifugalkraft = πΉπ π π− Lorentzkraft ππ£ × π΅ = πΉπΏ ππ£ 2 = ππ£π΅ π ππ£ = ππ΅ π πππ π = ππ΅ π ππ΅ ππ = π Zyklotronfrequenz π£ = ππ β π π =πβπΈ 1 π0 ππ π π= 2 2 1 + ππ π 0 Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 −ππ π 1 0 0 0 1 + ππ 2 π 2 Leitfähigkeitstensor 12 Hall-Effekt πΉ = ππ£ × π΅ π© ππΈ = ππ£ × π΅ π΅ = (0,0, π΅π§ ) πΈπ₯ = π£π¦ β π΅π§ π£ = (0, π£π¦ , 0) π = π β π β π£π¦ π³π π³π ππ» πΈπ₯ = πΏπ₯ π³π πΌ ππ¦ = πΏπ₯ πΏπ§ 1 πΈπ₯ = β ππ¦ π΅π§ ππ πΈπ₯ = π΄π» β ππ¦ π΅π§ ππ» πΌ = π΄π» πΏπ₯ πΏπ₯ πΏπ§ Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 ππ¦ π£π¦ = πβπ 1 π΄π» = ππ π΄π» πΌ ππ» = πΏπ§ ππ» πΏπ§ π΄π» = πΌ 13 Hall-Effekt Hall-Konstante ππ» πΏπ§ π΄π» = πΌ π© π³π π³π π³π 1 π΄π» = ππ n Ladungsträger-Dichte q Ladungsträger-Art Beispiele AH bei RT in 10-10 m3/C: Bismut -5000 Aber: Kupfer −0,5 Rhenium Silber −0,9 Beryllium Gold −0,7 Zink Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi Platin −0,2 WS 2014/15 +3,1 +2,4 +0,6 14 Edwin Herbert Hall (1855-1938) • 1879 Halleffekt • 1881-1921 Harvard • Thermoelektrizität Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 15 11.2 Freies Elektronengas im Sommerfeld-Modell • • • • • • Leitungselektronenwolke Fermistatistik Zustandsdichte Fermikugel Beitrag zur spezifischen Wärme Dispersionsrelation Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 16 Drude-Sommerfeld-Theorie • 1927 • Verbesserung der Drude-Theorie durch Anwendung der Quantenmechanik • Sommerfeldsches Modell des freien Elektronengases (Schrödingergleichung für Kastenpotential) Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 17 Elektron im unendlichen Kastenpotential ο₯ ο₯ ο¦15 ( x) 2 ο¦3 ( x) 2 ο¦2 ( x) 2 ο°2 2 2 En ο½ n 2 2ma a ο½ 0.1nm m ο½ 9.1 ο10ο31 kg 2 2 ο¦ ο° nx οΆ ο¦n ( x) ο½ sin 2ο§ ο· a ο¨ a οΈ ο¦1 ( x) 18 2 0 Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 a x [Tolan,Stolze] Potentialkastenmodell: kY E(k) kF kZ 2π/lY kX 0 Darstellung der nach den Randbedingungen (Potentialkasten) erlaubten Werte für E(k) und kX mit kY = kZ = 0 2π/lZ Schnitt durch den k-Raum in der kX - kY – Ebene mit den erlaubten k – Werten und der Fermikugel E(k) a) b) EA EF E0 kX Schematische Darstellung der besetzten Zustände im a) Potentialkastenmodell und b) E(k) Schema Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 19 Besetzung der Zustände im Potentialkastenmodell für T ≠ 0: f0(E) N(E) 10000 K 1 5000 K 2000 K 500 K E/eV E EF Darstellung der Zustandsdichte N(E) des dreidimensionalen Potentialkastens N(E) n(E) 0 5 10 Fermi-Verteilungsfunktion f0(E,T) für verschiedene T, EF = 5eV N(E) n(E) = N(E)·f0(E,T) mit: f 0 ο¨ E , T ο© ο½ 1 ο¦ E ο EF οΆ 1 ο« expο§ ο· ο¨ kB ο T οΈ E Besetzung der Energieniveaus des dreidimensionalen Potentialkastens für T > 0 f0 Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 20 3-D Zustandsdichte π 2 πΈ π£ = π£ 2 π π πΈ π = 2 π π = ππ£ ⇒ π£ = 2 1 = β π2 2π 1 πΈ π = β βπ 2π β2 πΈ π = β π2 2π π π π =ββπ 2 ⇒ πΈ π ~ π2 Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 21 3-D Zustandsdichte π· π = πΏ πΈ−πΈ π ππ π π· π =2β πΏ πΈ−πΈ π π π π· π =2 2π π π· π = 2β π π π· π = 2β π β 3 ∞ πΏ πΈ−πΈ π π2 0 ∞ 0 1 2π π· πΈ = 2 2π β2 βπΏ πΈ−πΈ π 2π2 β π2 β πΏ πΈ − 2π 3 2 β πΈ Prof. Dr. Paul Seidel π3π β2 πΈ π = β π2 2π ππ ππ Substitution: VL FKP MaWi WS 2014/15 β2 πΈ= β π2 2π 22 Zustandsdichten (Volumen-bezogen) Bulk π·3π· 1 πΈ = 2 3 2π 2π β 3 2 π = πΏπ₯ β πΏ π¦ β πΏπ§ β πΈ Quantentopf π·2π· 1 πΈ = 2π β 2 2πβ πΏπ§ Quantendraht π·1π· 1 πΈ = 2π πβπΏπ¦ πΏπ§ 1 2 π πΈ − πΈπ πππ‘ π − ππππ’ππππ’πππ‘πππ π 1 β π πΈ − πΈπ Quantenpunkt π·0π· 2 πΈ = β πΏπ₯ πΏπ¦ πΏπ§ πΏ πΈ − πΈπ πππ‘ πΏ − π·πππ‘πππ’πππ‘πππ π Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 23 Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 24 Fermi-Kugel Radius der Fermi-Kugel: ππΉ = 3 3π 2 π π πππ‘ π = π Fermi-Geschwindigkeit: β π£πΉ = ππΉ π Fermi-Energie: πΈπΉ = πΈ ππΉ β2 = β ππΉ 2 2π Fermi-Temperatur: [ Bechstedt ] πΈπΉ ππΉ = ππ΅ Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 25 11.3 Bändermodell des Festkörpers • • • • • • • Elektron im periodischen Potenzial Bloch-Wellen Energielücke Reduziertes Energieschema Periodisches Energieschema Fermiflächen Bandstrukturen Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 26 Gitterperiodisches Potential [ Bechstedt ] Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 27 Felix Bloch ( 1905-1983) • • • • • • • • Studium ETH Leipzig (Heisenberg) Bandstruktur (Bloch-Theorem) 1929 Assistent Pauli (ETH) 1934-71 Stanford „Manhattan project“ Ferromagnetismus (B.-Wand) 1952 Nobelpreis (NMR) [nobelprize.org ] Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 28 Blochwelle Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 [ Hunklinger ] 29 [http://www.falstad.com/qm1dcrystal/index.html ] Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 30 Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 31 0 a 2a 3a 4a x |Ψ2 (x)|2 |Ψ1 (x)|2 EGitter – E0 Wirkung des periodischen Gitterpotentials: x x Veranschaulichung der Energieaufspaltung unter der Einwirkung des periodischen Gitterpotentials für den eindimensionalen Fall E x Schematische Darstellung der Bänder erlaubter Energiezustände im periodischen Gitterpotential Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 32 Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 [ruby.chemie.uni-freiburg.de] 33 Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 [ruby.chemie.uni-freiburg.de] 34 Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 35 Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 36 Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 37 Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 38 Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 [ Magnussen ] 39 Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 [ Magnussen ] 40 Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 [ Magnussen ] 41 Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 [ Magnussen ] 42 Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 [ Magnussen ] 43 Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 [ Magnussen ] 44 Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 [ Magnussen ] 45 Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 [ Magnussen ] 46 Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 [ Magnussen ] 47 Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 [ Magnussen ] 48 Elektronen im Magnetfeld: Landau-Niveaus Quantisierung der Elektronenbahnen durch äußeres Magnetfeld! β2 ππ§ 2 1 πΈ= + βππ π + ∗ 2π 2 π = 0, 1, 2, … ππ΅ ππ = ∗ π΅ = 0,0, π΅ π Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 [ Magnussen ] 49 Experimentelle Bestimmung von Fermiflächen Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 [ Magnussen ] 50 Beispiel: Fermi-Fläche von Gold de Haas van Alphen Effekt thermodyn. Parameter oszillieren mit 1/B in starken Feldern, tiefen Temp. "Halsbahn" B111 B100 [aus Kittel, Einführung in die Festkörperphysik] Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 experimentelle Ergebnisse: Perioden in 1/B in 10-5 T-1: B111: 2,05 B100: 1,95 Fläche der Extremalbahn: S=4,8 10-16 cm-2 weitere Periode: in [111]-Richtung: 60 S=4,5 10-15 cm-2 51 optische Spektroskopie ππ = π, π ππ½ π = πππ ππ EC Leitungsband EF Fermi-Energie ππ = π, π ππ½ π = π, π µπ EV Valenzband Eg Energielücke z.B. 1,1 eV Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 52 äußere photoelektrische Effekt Photoelektronenspektroskopie UV-Licht: UPS UltraviolettPhotoelektronenspektroskopie Röntgen-Strahlung: XPS X-rayPhotoelektronenspektroskopie [wikipedia] Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 53 winkelaufgelöster Messungen: ARPES (angle-resolved PES) / ARUPS (angle-resolved UPS) [wikipedia] Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 54 Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 55 -1,7 -2,5 -4,2 +2,4 -0,6 -0,5 -0,7 -0,9 -0,8 -8 +0,6 Rhenium -2 -0,2 -5 +0,3 -0,7 Hall-Konstante AH in 10−10 m3/C Prof. Dr. Paul Seidel VL FKP MaWi WS 2014/15 56 +3,1
