Vorlesung 3

Beispiele
Lorentz Transformation
Spezielle Relativitätstheorie:
Physikalische Gesetze gelten in jedem
inertialen Bezugssystem gleich.
(Inertialsystem ist ein System, in dem das
erste Newton’sche Gesetz gilt)
y
S
S’
HERA Elektron-Proton Speicherring:
Ee=27.5 GeV
me=511 keV
y’
v
x
p
x’
z
e
z’
Masse:
Typische Energie:
=>
Konsequenzen:
Übergang von S nach S’ :
• Relativität der Gleichzeitigkeit
S: tA=tB " S’: t’A = t’B + γ v/c2(xB−xA)
• Längenkontraktion
=> Im Ruhesystem des Elektrons bewegt
sich das Proton mit γ≈108 => dp=d’p/γ
• Zeitdilatation
Proton-Dimensionen im Ruhesystem des
L = L’ / γ (aber transversal: LT=L’T !)
z' = z
T = γ T’ (" Lebensdauer von Teilchen)
• Addition von Geschwindigkeiten
v
t' = γ  t – ----- x
 c2 
∆x
∆x' + v∆t'
∆x' ⁄ ∆t' + v
------- = --------------------------------------- = -------------------------------------------------∆t
∆t' + ( v ⁄ c 2 )∆x'
1 + ( v ⁄ c 2 ) ( ∆x' ⁄ ∆t' )
1
1
mit γ ≡ ---------------------------- = ------------------- und β ≡ v ⁄ c
2
2
1–v ⁄c
1 – β2
Protons
≈1 fm
u' + v
" u = -------------------------- (u’=c
=> u=c
1 + u'v ⁄ c 2 u’,v <<c => u=u’+v)
Übergang S’ nach S: ersetze v durch -v!
1
Vo r lesung 3
Elektrons
≈10-8 fm
≈1 fm
y' = y
≈1 fm
x' = γ ( x – vt )
C. Niebuhr
Ep=920 GeV
mp=938 MeV
Muonen der kosmischen Höhenstrahlung
entstehen in Pionzerfällen in der
Atmosphäre:
C. Niebuhr
Vierervektoren
γ ≈ 20
;
mµ = 0.106 GeV
<Eµ> = 2 GeV
β ≈ 0.999
Im Ruhesystem des Muons beträgt die
mittlere Lebensdauer: ⟨ τ µ⟩ = 2.2 µs
Mittlere Flugstrecke in der Atmosphäre:
m
L = ⟨ τ µ⟩ βc γ = 2.2µs 3 ⋅ 10 8 ---- 20 = 13 km
s
und können damit die Erdoberfläche
erreichen bevor sie gemäß µ → eν e ν µ
zerfallen. (Dicke der Atmosphäre ≈ 10 km)
2
Vo r lesung 3
Vierergeschwindigkeit, Energie und Impuls
Jeder Raum-Zeitpunkt läßt sich durch die vier Zeit- und Orts-Komponenten
x ≡ ( ct, x, y, z ) = ( ct, x ) charakterisieren. Eine Lorentz Transformation entlang der x-Achse
Geschwindigkeit v = dx ⁄ dt kann keine Raumkomponente eines Vierervektors sein, da
ct'
γ
x'
–
läßt sich dann schreiben als: x' =
= Λx = γβ
y'
0
z'
0
dx
dt
Betrachte stattdessen ------ mit dτ = ----- , der Eigenzeit im Ruhesystem des Teilchens.
dτ
γ
– γβ
γ
0
0
0
0
1
0
0 ct
0 x
0 y
1 z
" η = γ ( c, v ) ist Vierergeschwindigkeit und eine Lorentzinvariante Größe:
η ⋅ η = γ 2 ( c 2 – β 2 c 2 ) = c 2 ( 1 – β 2 )γ 2 = c 2
Allgemein bezeichnet man jedes vierkomponentiges Objekt, dass sich wie x transformiert,
wenn man von einem Inertialsystem in ein anderes übergeht, als einen Vierervektor.
1
Metrik: g µν = 0
0
0
0
–1
0
0
0
0
–1
0
0
0 Skalarprodukt: x • y = x y – ( x ⋅ y ) = x y – x y – x y – x y
0 0
0 0
1 1
2 2
3 3
0
–1
ist invariant unter Lorentz Transformationen (d.h. x' • y' = Λx • Λy = x • y )
C. Niebuhr
3
dies zwar für dx gilt, aber dt = γdt'
Viererimpuls: p = m ⋅ η = mγ ( c, v ) = mcγ ( 1, β )
Grenzfall: β → 0
γ = 1 ⁄ 1 – β 2 ≈ 1 + β 2 ⁄ 2 + ... = 1 + v 2 ⁄ ( 2c 2 ) + ...
m
1
E
damit gilt: m ⋅ c ⋅ γ → --- mc 2 + ----v 2 + ... ≡ --2
c
c
Ruheenergie
Energie E
kinetische Energie
E
" Übliche Schreibweise für Viererimpulses: p =  ---, p
c 
Vo r lesung 3
C. Niebuhr
4
Vo r lesung 3
Kinematik von Teilchenreaktionen
Laborsystem vs Schwerpunktsystem
Der Ausdruck s = ( p 1 + p 2 ) 2 ist invariant:
C
A
D
B
Klassische Stöße
Relativistische Stöße
1. Masse bleibt erhalten: mA+mB=mC+mD
1. Energie bleibt erhalten: EA+EB=EC+ED
2. Impuls bleibt erhalten: pA+pB=pC+pD
2. Impuls bleibt erhalten: pA+pB=pC+pD
3. Kinetische Energie bleibt erhalten oder nicht
3. Kinetische Energie bleibt erhalten oder nicht
Stoßarten (klassisch)
Stoßarten (relativistisch)
a. Klebrig: kinetische Energie nimmt ab :
TA+TB>TC+TD
a. Klebrig: kinetische Energie nimmt ab,
Ruheenergie und Masse nehmen zu
b. Explosiv: kinetische Energie nimmt zu,
Ruheenergie und Masse nehmen ab
c. Elastisch: kinetische Energie, Ruheenergie und
Masse bleiben erhalten
b. Explosiv: kinetische Energie nimmt zu:
TA+TB<TC+TD
c. Elastisch: kinetische Energie bleibt gleich:
TA+TB=TC+TD
4erImpuls
• kinetische Energie ⇔ Ruheenergie (Masse
• kinetische Energie ⇔ "innere" Energie
der Teilchen ist iA nicht erhalten, d.h.
Teilchen können erzeugt/vernichtet
werden)
(Wärme, potentielle Energie ...)
C. Niebuhr
5
Vo r lesung 3
s Collider =
≡ s FixedT arg et =
Beam + 2E FixedT arg et m Beam
Im Schwerpunktsystem (CM System): p∗ 1 + p∗ 2 = 0
CM
2
s = ( p∗ 1 + p∗ 2 ) 2 = ( E∗ 1 + E∗ 2, p∗ 1 + p∗ 2 ) = ( E∗ 1 + E∗ 2 ) 2
1
( m 3 + m 4 ) 2 – m 12 – m 22
E 1 > -----------------------------------------------------2m 2
C. Niebuhr
6
EFixedTarget
(GeV)
(GeV)
(GeV)
Tevatron (pp)
1
1000
2 x 106
LHC (pp)
1
7000
9.8 x 107
0.5 x10-3
100
LEP (e+e-)
4 x 107
M → m1 + m2
p 1 = p 2 = p∗
7
cos θ∗ = – 1
Das Bevatron in
Berkely wurde
Lab
gebaut, um über die
Reaktion
p2
p+p → p+p+p+p
Antiprotonen zu
CM
erzeugen. Wie groß
ist die Schwellenenergie für diesen Prozess? Diese ist dann
erreicht, wenn im CM-System gerade alle 4
Teilchen ruhen.
Lab = ( E + m, p , 0, 0 )
Lab-System: p tot
p1
M
Im Schwerpunktsystem gilt:
Ratio
⇒
vorher
1.4 x 104
= m 12 + m 22 + 2E 1* E 1*2 – m 12 + m 22 + 2 ( E 1*2 – m 12 )
4 x 105
Vo r lesung 3
C. Niebuhr
nachher
CM = ( 4m, 0, 0, 0 )
CM-System: p tot
Invarianz des Skalarproduktes:
Lab p Lab = p CM p CM
⇒
p tot
tot
tot tot
2
M 2 = m 12 + m 22 + 2E 1* E 2* + 2 p∗
2 x 103
⇒
C. Niebuhr
Vo r lesung 3
2) Produktion von Antiprotonen:
1) Kinematik des Zweikörperzerfalls:
= m 12 + m 22 + 2E 1 E 2 – 2 p 1 p 2
ECollider
2
3
P 2 = M 2 = ( p1 + p2 ) 2
mBeam
4
Reaktionsschwelle für die Reaktion: 1+2 → 3+4 im
Laborsystem:
( s > m3 + m4 )
Vierer-Impulserhaltung:
P = p1 + p2
2E Collider
E FixedT arg et
------------------------------- = ------------------------E Collider
m Beam
Collider
3
2
Weitere Beispiele
Wievielfach höher müsste die Strahlenergie sein, wenn statt eines Colldiders ein Fixed
Target Experiment bei der gleichen Schwerpunktsenergie durchgeführt werden sollte?
2m 2
1
4
Fixed Target vs Collider
2
4E Collider
Lab
Im Laborsystem: p 2 = ( m 2, 0 )
s = ( p 1 + p 2 ) 2 = p 12 + p 22 + 2 p 1 p 2 = m 12 + m 22 + 2E 1 m 2
( E + m ) 2 – p 2 = ( 4m ) 2 ⇒ E = 7m
(Es muss auch Energie aufgewendet werden
für die kinetische Energie im Lab System !)
M 2 + m 12 – m 22
E 1* = ----------------------------------2M
8
Vo r lesung 3
Wirkungsquerschnitt
Charakterisiert die Stärke einer
Teilchenreaktion
Wirkungsquerschnitt
θ(b) hängt von dem Potentialverlauf ab
• "Eintrittsfläche" für einlaufende Teilchen :
dσ = b ⋅ db dφ
Klassisches Bild:
• Treffwahrscheinlichkeit ⇔
• auslaufende Teilchen gehen durch
θ
Querschnittsfläche des Ziels
b
Teilchenphysik:
Raumwinkelelement: dΩ = sin ( θ ) ⋅ dθ dφ
Streuzentrum
Beispiel 1: Streuung an harter Kugel
• "weiches" Ziel => Ablenkung des
einlaufenden Teilchens
b=R cos(θ/2)
• Teilchenproduktion => inelastischer
Wirkungsquerschnitt
θ
b
θ/2
• Zusammenhang zwischen Eintrittsfläche und Beispiel harte Kugel: (Problem ist Φ
symmetrisch)
Raumwinkelelement: dσ = D ( θ, φ ) ⋅ dΩ
• totaler Wirkungsquerschnitt:
R
σ tot =
∫ D ( θ, φ )
Vo r lesung 3
dσ
πR 2
--------------- = ---------d cos θ
2
R2
σ tot = ∫ ------ dΩ = πR 2
4
dΩ
= Projektionsfläche
b=q1 q2/2E cot(θ/2)
9
– R cos ( θ ⁄ 2 ) R sin ( θ ⁄ 2 )
–R2
= ------------------------------- --------------------------- = --------sin θ
2
4
dσ R 2
⇒ ------- = ------ ;
4
dΩ
Beispiel 2: Streuung am 1/r Potential
C. Niebuhr
b ⋅ db
D ( θ ) = ---------------------sin θ ⋅ dθ
dσ
• den Proportionalitätsfaktor D ( θ, φ ) = ------dΩ
nennt man den differentiellen Wirkungsquerschnitt
C. Niebuhr
Beispiel Rutherford Streuung
10
Vo r lesung 3
Experimentelle Bestimmung eines WQ
sin θ
eq 2 π
σ tot = 2π  ------- ∫ ------------------------------ dθ → ∞
 4E
(
sin
( θ ⁄ 2 ) )4
0
Beispiel Fixed Target-Experiment:
Wegen der unendlichen Reichweite des Coulombpotentials findet im Prinzip auch bei
beliebig grossen Stoßparametern noch eine Streuung statt und der Wirkungsquerschnitt
divergiert.
Bei jedem in der Realität stattfindenden Experiment gibt es aber eine prinzipiell eine
Grenze für die Auflösung mit der man den Streuwinkel messen kann (Cut-off), Daher ist
der gemessene Wirkungsquerschnitt endlich.
Teilchen 1
dn 1
--------- Anzahl der einlaufenden Teilchen pro Zeiteinheit
dt
N A [ #/mol ]
Dichte der Targetteilchen: n 2 = --------------------------- ρ [ g/cm 3 ]
A [ g/mol ]
#
---------cm 3
(wobei NA=Avogadro-Zahl, A=Molgewicht)
2
dx
Zahl der Wechselwirkungen/Zeit (dünnes Target):
dn 1
dN
------- = --------- n 2 dx σ → σ hat die Dimension einer Fläche
dt
dt
Geometrisch kann man sich n 2 dx σ als den Anteil der
projizierte Querschnittsfläche aller Targetteilchen an der
Gesamtfläche vorstellen, d.h. es gibt die Wahrscheinlichkeit
an, dass ein Strahlteilchen auf ein Targetteilchen trifft
(Wechselwirkungswahrscheinlichkeit)
Übliche Einheit für σ ist das barn = b =10-28m2
C. Niebuhr
11
Vo r lesung 3
C. Niebuhr
12
Vo r lesung 3
Abschwächung eines Teilchenstrahls
Proton-Proton Wirkungsquerschnitt
• Für einen stark wechselwirkenden Protonstrahl erscheint das Proton als eine
absorbierende Scheibe mit r≈1.2fm ⇒ σ ≈ (1.2 10-15m)2 π ≈ 45 mb
• zum Vergleich schwache WW ν+p : σνp(10GeV) ≈ 70fb
Abschwächung eines Teilchenstrahls beim Durchgang durch Materie:
d N 1 ( x ) = – N 1 ( x ) ⋅ n 2 ⋅ dx ⋅ σ ⇒ N 1 ( x ) = N 1 ( 0 ) exp ( – n 2 σ x ) = N 1 ( 0 ) exp ( – x ⁄ l )
A 1 λ
1
mit l = --------- = ------------ ⋅ --- = --- mittlere freie Weglänge zwischen zwei Wechselwirkungen
n2 σ N A σ ρ ρ
für den totalen WQ
σtot :
λT collision length
für den inelastischen WQ σinel = σtot -σel : λI interaction length
µΙ=1/λΙ wird auch als Absorptionskoeffizient bezeichnet
Typische Werte für Protonen in:
λT
43.3
flüssigem Wasserstoff: l = ------ = ---------- = 620cm
ρ
0.07
C. Niebuhr
λT
116.2
und in Blei: l = ------ = ------------- = 10.2cm
ρ
11.35
13
Vo r lesung 3
C. Niebuhr
14
Eigenschaften von Materialien (PDG)
Vo r lesung 3
Speicherring Experiment: Luminosität
In den meisten Fällen sind die Strahlen in
Teilchenpakete gebündelt.
N1
N2
N1, N2 Anzahl der Teilchen pro Paket
f Frequenz mit der Pakete aufeinandertreffen
mit Aeff effektiver Überlapp





N1 N2 f
dN
------- = σ ⋅ ---------------------A eff
dt
L = Luminosität [1/(Fläche x Zeit)] [pb-1s-1]
Aeff = 4π σx σy wenn Teilchenstrahlen Gaußförmig
wichtige Größe für ein Experiment ist seine integrierte Luminosität:
∫ L
dt
∆t-Experiment
Bedeutung: für eine Prozess mit dem Wirkungsquerschnitt σ ergibt sich die Gesamtzahl,
der während der Experimentierzeit ∆t zu erwartenden Ereignisse =
C. Niebuhr
15
Vo r lesung 3
C. Niebuhr
16
σ
∫ L
dt
∆t-Experiment
Vo r lesung 3
Quantenmechanische Berechnung von Übergangsraten
Für Teilchenzerfälle muß die Zerfallsrate Γ,
für Teilchenreaktionen der Streuquerschnitt
σ berechnet werden. Dies erfordet die
Kenntnis
1. der Amplitude für den Prozess
(Dynamik = enthält die "Physik")
2. des verfügbaren Phasenraums
(Kinematik = f(Massen, Energien...)
Nach Fermi’s "Goldenen Regel" ist die
Übergangsrate für einen gegebenen Prozess
durch die Amplitude M(a→b) und den
Phasenraumfaktor ρ(E) bestimmt:
Herleitung:
Zeitunabhängige Schrödingergleichung mit
dem Hamilton-Operator H0 für stationäre
Zustände
C. Niebuhr
17
Mit dem Ansatz:
erhält man die zeitunabhängige
Schrödinger-Gleichung
mit den Eigenfunktionen un, die ein
Orthonormalsystem bilden:
Ist das System in einem Eigenzustand un
mit dem Eigenwert En, so bleibt es in
diesem Zustand. Übergänge zu anderen
Zuständen finden in diesem Fall nicht
statt.
Vo r lesung 3
Herleitung von Fermi’s Goldenen Regel (1)
Wird die Störung zur Zeit t0 eingeschaltet
und bleibt danach konstant, ergibt die
Integration für m≠a bis zur Zeit t=T
⇒
Der Gesamt-Hamiltonoperator ist für die
Dauer der Wechselwirkung durch
H=H0+Hint gegeben und bewirkt Übergang
z.B. in den Zustand |b⟩ .
Ansatz für Lösungen der Schrödingergleichung
Multiplizieren mit u*n und Integration ergibt
mit
als Entwicklung nach den ungestörten
Eigenfunktionen:
C. Niebuhr
18
Vo r lesung 3
Herleitung von Fermi’s Goldenen Regel (3)
Energieabhängigkeit :
Um die totale Übergangswahrscheinlichkeit
zu erhalten muss nun über alle möglichen
Endzustände summiert werden:
(gültig für ∆E/Ea<<1, was erfüllt ist für:
Ist die Störung nur schwach, so treten
während der Beobachtungszeit nur wenige
Übergänge auf
⇒ für t>t0
Damit ist die Wahrscheinlichkeit, das
System nach einer Zeit T in einem
bestimmten Zustand m zu finden durch
|cm(T)|2 gegeben:
Damit ergibt sich vereinfachte Gleichung
1. Wenn ∆E=Em-Ea groß können Übergänge in
solche Zustände m vernachlässigt werden
2. Wenn ∆E=Em-Ea klein kann man die Näherung
Grenzübergang von diskreten Zuständen zum
Kontinuum:
⇒
→
⇒ stark Energieabhängige Unterdrückung
der Zustände als Funktion von ∆E=Em-Ea
C. Niebuhr
|cn(t)|2 ist Wahrscheinlichkeit das System
zur Zeit t im Zustand n mit der Energie En
zu finden. Einsetzen des Ansatzes in die SG:
Hint
|a⟩
Herleitung von Fermi’s Goldenen Regel (2)
Suche Näherungslösung unter der Annahme,
dass sich das System zunächst im
Anfangszustand |a⟩ befindet. Für t<t0 gilt
Die Koeffizienten cn(t) sind zeitabhängig.
Das System wird nun durch eine
Wechselwirkung "gestört"
|b⟩
19
Vo r lesung 3
einführen.
3. Nur in dem Intervall ±∆E=2πh/T ist die
Übergangswahrscheinlichkeit nennenswert von
Null verschieden, wie von der Heisenberg’schen
Unschärferelation beschrieben.
C. Niebuhr
Mit der Variablentransformation:
20
Vo r lesung 3
Herleitung von Fermi’s Goldenen Regel (4)
Zur Berechnung werden die Integrationsgrenzen nach ±∞ ausgedehnt. Damit wird die
Übergangswahrscheinlichkeit:
=π
Zustandsdichte im Phasenraum:
Drei-dimensional:
Ein-dimensional: de Broglie Wellenlänge
λ=h/p=2πh/p → 2π/p erlaubte Zustände:
λn=2π/pn mit λn/2•n=L (L muss ein ganzzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge
sein)
⇒ pn=π•n/L
In einem Kasten des Volumens V=L3 werden die periodischen Randbedingungen
erfüllt, wenn jeweils Lpx/y/z = 2 π nx/y/z Daher ist die Zahl der erlaubten Zustände im
Intervall px/y/z bis px/y/z+dpx/y/z gegeben durch Ldpx/y/z/(2π)
⇒
Die Übergangswahrscheinlichkeit ist
proportional zur Zeit T. Die Übergangsrate
wba zwischen den Zuständen a und b ist
P(T)/T und es ergibt sich die goldene Regel:
L
ψn =
mit dem Phasenraumfaktor dN/dE (oder
auch Zustandsdichte: Anzahl der
verfügbaren Zustände pro Energieintervall)
C. Niebuhr
Zustandsdichte im 3-dimensionalen Phasenraum
Relativistische Wellenfunktionen werden i.a. so normiert, daß die Dichte 2E/V ist,
wobei das Normierungsvolumen bei Berechnung von physikalischen Größen wie
Wirkungsquer-schnitten herausfällt. Damit erhält man den lorentzinvarianten
Ausdruck:
V d3 p
Zahl der Endzustände/Teilchen = ------------------------( 2π ) 3 ⋅ 2E
Für n-Teilchen-Zuständen ergibt sich die Zahl der verfügbaren Zustände als Produkt
der Ein-Teilchen-Ausdrücke:
L
2
--- sin p n x → ∫ ψ n ψ m dx = δ nm
L
o
dabei gewährleistet die Deltafunktion Energie- und Impulserhaltung.
21
Vo r lesung 3
C. Niebuhr
Anwendung: Zerfall π 0 → γγ
22
Vo r lesung 3
Flußfaktor und Wirkungsquerschnitt
Im Schwerpunktsystem des π0 gilt für den Vierervektor P=(M,0,0,0) ⇒ für die
Deltafunktion:
→
Wegen m1=m2=0 folgt:
Flußfaktor:
Produkt asu dem Fluß der einlaufenden Teilchen und der Dichte der Targetteilchen
Damit ergibt sich für die Zerfallsrate Γ durch Integration über die Impulse:
Als Lorentzinvarianter Ausdruck:
Es genügt das im Laborsystem zu zeigen:
Da das π0 Spin=0 hat kann das Matrixelement nur vom Betrag des Impulses abhängen:
Damit gilt mit für den differentiellen Wirkungsquerschnitt:
Daraus erhält man die Zerfallsrate:
C. Niebuhr
23
Vo r lesung 3
C. Niebuhr
24
Vo r lesung 3