Test der Bellschen Ungleichung - Institut für Theoretische Physik

4.2: Test der Bellschen
Ungleichung
Andreas Kleiner
Matr-Nr.: 1574166
E-Mail: [email protected]
Anton Konrad Cyrol
Matr-Nr.: 1639629
E-Mail: [email protected]
Betreuer: Thorsten Führer
Versuch durchgeführt am: 17.10.2011
Abgabedatum: 21.10.2011
PHYSIKALISCHES PRAKTIKUM
FÜR F ORTGESCHRIT TENE
Hiermit versichern wir das vorliegende fortgeschrittenen Praktikumsprotokoll ohne Hilfe Dritter nur mit den
angegebenen Quellen und Hilfsmitteln angefertigt zu haben. Alle Stellen, die aus Quellen entnommen wurden,
sind als solche kenntlich gemacht. Diese Arbeit hat in gleicher oder ähnlicher Form noch keiner Prüfungsbehörde
vorgelegen.
Darmstadt, den 21.10.2011
Andreas Kleiner
Anton Konrad Cyrol
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
2 Theoretische Grundlagen
2.1 Lokalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Realismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Verborgene Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Verschränkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Einstein-Podolsky-Rosen Paradoxon . . . . . . . . .
2.6 Bellsche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Nichtlineare Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Frequenzverdopplung . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Spontaneous parametric downconversion (SPDC)
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3 Versuchsaufbau
3.1 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Messung der Koinzidenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4
4 Versuchsdurchführung & Auswertung
4.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Strom-Leistungs-Kennlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Bellzustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Polarisationskorrelation und Photonenpaardetektionseffizienz
4.5 Berechnung des Bellwertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Mit Messpunkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Mit Daten aus den Fits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 4
. 5
. 5
. 7
. 10
. 11
. 11
5 Fazit
6 Messdaten
6.1 Leistungskennlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Bellzustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Polarisationskorrelation und Photonenpaardetektionseffizienz
6.4 Bellwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
12
12
12
14
18
1
1 Einführung
Eine klassische physikalische Theorie soll nach Einstein, Podolsky und Rosen vollständig sein, d.h. jedes Element der physikalischen Realität muss in der Theorie berücksichtigt werden und sie muss lokal sein, d.h. es sind keine Fernwirkungen
möglich. Diese Kriterien treffen auf die Quantenmechanik nicht zu.
Die Bellschen Ungleichungen ermöglichen es, die Quantenmechanik experimentell daraufhin zu überprüfen ob sie
eine klassische Theorie im Sinne der obigen Definition ist. Im Versuch soll eine solche Überprüfung mittels verschränkter
Photonen, deren Polarisation gemessen wird, durchgeführt werden.
2 Theoretische Grundlagen
2.1 Lokalität
Lokalität bedeutet, dass Wirkungen eines Objektes nur die direkte Umgebung desselben beeinflussen können und somit
keine Fernwirkung möglich ist.
2.2 Realismus
Realismus bedeutet, dass jedes Element der physikalischen Realität ein Gegenstück in der Theorie haben muss. Ein
Element physikalischer Realität ist eine physikalische Größe, die, ohne das System zu stören, mit Sicherheit ( P = 1)
gemessen werden kann.
2.3 Verborgene Parameter
Unter verborgenen Parametern werden Parameter verstanden, die die Quantenmechanik vervollständigen sollen. Die
verborgene Parameter tauchen in deterministischen Theorien auf. Diese sollen den Zufall in der Quantenmechanik eliminieren.
2.4 Verschränkung
Verschränkung bezeichnet die Eigenschaft der Quantemechanik, dass eine Messung an einem Teil eines Systems auch
andere Teile des Systems beinflussen kann.
Zum Beispiel können zwei Teilchen im Impuls verschränkt sein, sodass der Betrag des Impulses beider Teilchen gleich
hoch ist. Wird der Betrag des Impulses eines Teilchens gemessen, so kollabiert die Wellenfunktion. Da die Teilchen den
gleichen Impulsbetrag haben, ist der Impulsbetrag beider Teilchen bekannt. Das bemerkenswerte ist, dass die Wellenfunktion instanten kollabiert, d.h. der Zustand des Systems ist dann an allen Orten genau bestimmt. Damit ist auch
der Impuls des anderen Teilchen bekannt, an dem keine Messung durchgeführt wurde. Bei dieser Fernwirkung („spooky
action at a distance“) wird jedoch keine Information übertragen.
2.5 Einstein-Podolsky-Rosen Paradoxon
Das Einstein-Podolsky-Rosen Paradoxon (EPR-Paradoxon) ist ein Gedankenexperiment der drei genannten Physiker. Es
soll zeigen, dass die Quantenmechanik keine klassische Theorie, die nach den Kriterien Einsteins der Lokalität und dem
Realismus gehorchen soll, ist. Verschränkte Teilchen in der Quantenmechanik zeigen jedoch Eigenschaften, die gegen
dieses Prinzip verstoßen.
Um dies zu rechtfertigen, postulierten EPR die Existenz versteckter Variablen, durch die die Fernwirkung erklärt werden sollte.
Betrachtet werden zwei Teilchen, die in einem verschränkten Zustand vorliegen. Ihre Wellenfunktion lässt sich nicht
als Tensorprodukt der Einzelzustände beschreiben. Die Teilchen entfernen sich voneinander, sodass sie nicht mehr lokal
wechselwirken können. Nach der Heisenbergschen Unschärferelation gibt es komplementäre Messgrößen, die an einem
System nicht gleichzeitig mit beliebig hoher Genauigkeit bestimmt werden können. Wird nun an einem der verschränkten
Teilchen eine Observable gemessen und an dem anderen Teilchen eine komplementäre Observable. Nun zeigt sich, dass
beide Größen beliebig genau bestimmt werden können und der Eigenzustand, in den das System nach der ersten Messung
übergeht, und der Eigenzustand, der sich in der zweiten Messung ergibt, korreliert sind. Diese Tatsache wurde von EPR
als „spukhafte Fernwirkung“ aufgefasst, die in einer klassischen Theorie nicht möglich ist.
2.6 Bellsche Ungleichung
Lange Zeit gab es keine Möglichkeit, das EPR-Paradoxon experimentell zu überprüfen, erst die Bellsche Ungleichung,
welche 1964 von dem Physiker John Bell aufgestellt wurde, lässt dies zu. Sie gibt eine obere Schranke für einen experimentell messbaren Wert an, den Theorien, welche lokal und realistisch sind, nicht überschreiten können. Im Versuch wird
2
die CHSH - Version für Photonen genutzt. In der CHSH-Formulierung wurde die Bell’sche Ungleichung an experimentelle
Bedingungen besser angepasst. Der CHSH-Version nach gilt für alle lokale und realistische Theorien:
E(a, b) − E(a, b0 ) + E(a0 , b) + E(a0 , b0 ) =: S ≤ 2
(1)
a, b, a0 , b0 sind vier Polarisationswinkel. Die Größe E ist Maß für die Korrelation der Polarisation der Photonen. Sie kann
aus der Anzahl der Koinzidenzen N (α, β) unter den Winkeln α und β bestimmt werden:
E(α, β) =
N (α, β) + N (α⊥ , β⊥ ) − N (α, β⊥ ) − N (α⊥ , β)
N (α, β) + N (α⊥ , β⊥ ) + N (α, β⊥ ) + N (α⊥ , β)
(2)
Hierbei ist α⊥ ein Winkel, der zu α orthogonal ist. Gleiches gilt für β . p
Die Quantenmechanik sagt einen höheren Wert vorraus (Smax = 2 2) als er für lokal und realistische Theorien erlaubt ist. Experimentell wird die obere Schranke überschritten. Demzufolge kann es keine Theorie geben, die lokal und
realistisch ist und die Welt richtig beschreibt.
2.7 Nichtlineare Optik
Fällt eine elektromagnetische Welle auf ein Medium, so induziert die einfallende Welle elektrische Dipolmomente. Die
Vektorsumme der elektrischen Dipolmomente entspricht der dielektrischen Polarisation. In der linearen Optik wird davon
ausgegangen, dass die dielektrische Polarisation proportional zur elektrischen Feldstärke der einfallenden Welle ist. Dadurch folgt, dass im linearen Bereich das Superpositionsprinzip und die Erhaltung der Wellenfrequenz gilt. Diese beiden
Prinzipien gelten in der nichtlinearen Optik nicht mehr. Daher muss die dielektrische Polarisation nach der elektrischen
Feldstärke entwickelt werden:
”
—
~P ( E
~ ) = ε0 χ (1) E
~ 1 + χ (2) E
~ 2 + χ (3) E
~ 3 + ...
(3)
Es gilt χ (n) χ (n+1) . Folglich treten Effekte höherer Potenzen erst bei hoher Intensität auf.
2.8 Frequenzverdopplung
Optische Frequenzverdoppelung ist ein nichtlinearer Effekt 2. Ordnung. Er wird dadurch hervorgerufen, dass Elektronen soweit ausgelenkt werden, bis die entstehende Schwingung anharmonisch ist. Es entstehen folglich Wellen höherer
Frequenzen. Damit sich eine sogenannte Oberwelle doppelter Frequenz makroskopisch ausbreiten kann, müssen sich,
die von den einzelnen Oszillatoren ausgehenden Wellen, konstruktiv überlagern. Dies ist genau dann der Fall, falls die
Phasengeschwindigkeit der Oberwelle und der Grundwelle gleich sind. Da diese gegeben ist durch v Phase = c/n(ω), muss
gelten:
n(ω) = n(2ω)
(4)
Dies kann mit optisch anisotropen Medien erreicht werden. Z.B. genügt ein optisch einachsiger Kristall, dessen Brechungsindexellipsoid folglich rotationssymmetrisch ist. Dazu muss die sogenannte Phasenanpassung vorgenommen werden,
sodass Gleichung (4) erfüllt ist, hierfür gibt es zwei Möglichkeiten:
• Kritische Phasenanpassung: Durch variieren des Winkels zwischen der Ausbreitungsrichtung der Welle und der
optischen Achse kann erreicht werden, dass n(ωo ) = n(ωao ) ist (wobei o für ordentlicher und ao für außerordentlicher Strahl steht). Ist nun ωo = ω und ωao = 2ω, so kann die Bedingung (4) erfüllt werden. Diese Weise der
Phasenanpassung wird als kritisch bezeichnet, da bereits minimale Winkeländerung einen großen Einfluss haben.
• Nichtkritische Phasenanpassung: Durch Änderung der Temperatur des Kristalls ändert sich der Brechungsindex.
Folglich lässt sich auch so eine Phasenanpassung durchführen. Da sich der Brechungsindex nur geringfügig mit
der Temperatur ändert lässt sich die Temperatur relativ leicht einstellen.
Häufig wird die Grobjustage über den Winkel und die Feinjustage über die Temperatur vorgenommen.
2.9 Spontaneous parametric downconversion (SPDC)
Als SPDC wird Zeitumkehrung der Frequenzverdopplung bezeichnet. Es wird zwischen zwei Typen unterschieden:
• Typ 1: Die austretenden Photonen sind gleich polarisiert.
• Typ 2: Die austretenden Photonen sind orthogonal zueinander polarisiert.
Im Versuch wird ein β -Barium-Borat-Kristall (β -BaB2 O4 ), im Folgenden BBO genannt, genutzt. Dieser erzeugt gleich
polarisierte, verschränkte Photonen.
3
Abbildung 1: Skizze des Versuchsaufbaus, entnommen der Versuchsanleitung zu diesem Versuch: „Belltest“, Seite 7,
heruntergeladen von „http://www.iap.tu-darmstadt.de/praktika/fp/abteilung-a“ am 19. Oktober 2011 um
21:30 Uhr. Aus der Grafik wurde das λ/4-Plättchen entfernt um den tatsächlichen Aufbau darzustellen.
3 Versuchsaufbau
3.1 Aufbau
Der Versuchsaufbau besteht aus einem Laser, dessen Licht über Spiegel, ein Teleskop und Halbwellenlängen-Plättchen auf
einen BBO-Kristall gelenkt wird. Aufgrund der doppelbrechenden Eigenschaften des Kristalls werden die ausfallenden
Strahlen aufgrund der Polarisationrichtung der einfallenden Strahlen in unterschiedliche Richtungen abgelenkt. Zwei
verschränkte Photonen bewegen sich in unterschiedlicher Richtung vom Kristall weg und werden nach dem Durchlaufen
eines Polarisators, einer Irisblende und eines Langpassfilters in den Detektoren registriert. Zum einfacheren Verständnis
ist in Abb. 1 eine Skizze gezeigt.
3.2 Messung der Koinzidenzen
Ziel der Koinzidenzmessung ist es, verschränkte Photonenpaare zu detektieren. Dazu werden die Detektoren mit einem
Zähler verbunden, der die einzelnen Zählraten der Detektoren, d.h. die Gesamtzahl der registrierten Photonen für jeden
Detektor ermittelt. Ein zweiter Zähler wird im Gatemodus betrieben. Der Diskriminatorausgang von Kanal A in Zähler
1 wird als Triggersignal in Zähler 2 verwendet. Der Diskriminatorausgang von Kanal B wird an ein Field Programmable
Gate Array (FPGA) geleitet und dort mit zwei unterschiedlichen Delays zeitverzögert und an Zähler 2 weitergegeben. So
können wahre und zufällige Koinzidenzen getrennt ausgegeben werden.
4 Versuchsdurchführung & Auswertung
4.1 Vorbemerkung
Das Amperemeter, welches den Strom den der Laser verbraucht, misst, hatte einen Offset von 2.3 mA. Diesen haben wir
sofort bei der Messung berücksichtigt. D.h. in alle Werten des Protokolls ist der Offset bereits abgezogen.
Die „wahren“ Koinzidenzen ergeben sich als Differenz aller Koinzidenzen abzüglich der zufälligen.
N = NGesamt − NZufällig
(5)
Der Fehler von N berechnet sich wie folgt:
N=
Æ
(∆NGesamt )2 − (∆NZufällig )2
(6)
Im Protokoll ist immer N angegeben. Die Originaldaten NGesamt und NZufällig sind am Ende des Protokolls angehängt.
4
4.2 Strom-Leistungs-Kennlinie
Zunächst wurde mittels eines Powermeters die Leistung des Lasers ermittelt. Dabei wurde der Strom zwischen 0 mA und
70 mA variiert. Ein linearer Fit durch alle Messwerte, die bei einem Strom I > 40 mA gemessen wurden, ergibt
P(I) = 13.88
mW
mA
· I − 53.93 mW.
(7)
Ein linearer Fit durch alle Messwerte, die bei einem Strom I < 40 mA gemessen wurden, ergibt
P(I) = 0.006984
mW
mA
· I − 0.03914 mW.
(8)
In Abb. (2) ist gut zu erkennen, dass bei (38.86 ± 0.07) mA die Laser-Emission einsetzt, wie sich aus dem Schnitt der
Fitgeraden ergibt, und die Leistung über diesem Strom, linear steigt.
In den folgenden Teilen des Versuchs wurde der Laser mit einem Strom von (67.7 ± 0.1) mA betrieben. Dies entspricht
einer Leistung von (40.03 ± 0.14) mW.
40
Leistung P in mW
30
20
10
0
0
10
20
30
40
50
60
70
Strom I in mA
Abbildung 2: Leistung des Lasers in Abhängigkeit des Stroms
4.3 Bellzustand
Um den benötigten Bellzustand zu erzeugen wurden beide Polarisatoren auf einen Winkel von α = β = 0° (vertikal)
gestellt. Da bei der SPDC die Pumpphoton orthogonal zu den konvertierten Photonen stehen, werden so folglich nur
Pumpphotonen gemessen, die von dem BBO - Kristall mit horizontaler optischer Achse konvertiert wurden. Die Polarisation des Laserstrahls wurde mittels eines Lambda/2 - Plättchen variiert. Abb. 3 zeigt den erwarteten cos(θ ) - Verlauf. Um
das Maximum genauer zu bestimmen wurde in der Umgebung des Maximums in kleineren Schritten gemessen. Ein Fit
ergibt:
N (θ ) = 1259.47 − 1265.66 cos (30.0613° − 0.0702222 θ )
(9)
Das Maximum lag bei θma x ≈ 28°. Diesen Wert haben wir während des Versuchs nur mit den Rohdaten, ohne grafische
Auftragung oder Fit, abgeschätzt. Der Theorie nach wird der Bellzustand bei einem Winkel von θ = θmax − 22.5° = 5.5°
erreicht. Bei einem optimalen Bellzustand ist die Zählrate der Koinzidenz bei allen Winkeln α = β gleich hoch. Da der
grob abgeschätzte Wert für θma x recht ungenau ist, wurde der Bellzustand überprüft. Dafür wurde α = β variiert, bei
konstantem θ = 5.5°. Das Ergebnis ist in Abb. 4 (blau) zu sehen.
5
Anzahl der Koinzidenzen
2500
2000
1500
1000
500
0
0
20
40
60
80
Winkel in deg
Abbildung 3: Anzahl der Koinzidenzen in Abhängigkeit des Winkels des λ/2-Plättchens. Zu erkennen ist das Maximum
bei θma x ≈ 28°.
1400
1200
Anzahl der Koinzidenzen
1000
800
600
400
Θ = 5.5°
Θ = 7°
200
0
0
20
40
60
80
Winkel in deg
Abbildung 4: Schwankung der Koinzidenzen bei θ = 5.5° und θ = 7.0°. Auftragung der Koinzidenzen über α bzw. β
Da die Koinzidenzen noch um etwa 29 % schwanken, haben wir θ variiert. Für θ = 7.0° lag die Schwankung bei
weniger als 11 % (siehe Abb. 4 (orange)). Somit haben wir einen brauchbaren Bellzustand erzeugt. In den folgenden
Versuchsteilen wurde θ nicht mehr verändert, sodass immer ein Bellzustand vorlag. Wie der Fit (9) zeigt, kam der
schlechte Bellzustand bei θ = 5.5° durch eine nicht ausreichend genaue Bestimmung des Maximums zu Stande. Dem Fit
nach wäre θmax = 30.06° − 22.5° = 7.56°.
6
4.4 Polarisationskorrelation und Photonenpaardetektionseffizienz
Zur Bestimmung der Polarisationskorrelation und der Detektionseffizienz des Bellzustands wurde der Polarisator B(β )
bei den Werten 0°, 45°, 90° und 135° festgehalten, während der Polarisator A(α) variiert wurde. Gemessen wurden die
Koinzidenzen über einen Zeitraum von zweimal 10s je Winkeleinstellung.
Die Auftragung der Koinzidenzen über α wurden mit der folgenden, sich aus der quantenmechanischen Theorie ergebenden, Formel gefittet:
N (α, β) = A · cos2 B · (α − β) + C + D
(10)
Der Michelson-Kontrast ergibt sich dann als
VM ichelson (β) =
Nmax − Nmin
Nmax + Nmin
=
A+ D − D
A+ D + D
=
A
(11)
A + 2D
Der Fehler berechnet sich mit Gaußscher Fehlerfortpflanzung zu
È
2 1
2A · ∆D 2
−A
· ∆A +
∆VM ichelson (β) =
+
(A + 2d)2 A + 2d
(A + 2d)2
(12)
Die erreichte Photonenpaardetektionseffizienz η berechnet sich wie folgt:
NKoin
η= p
NA · NB
(13)
Der Fehler berechnet sich wiederum mit Gaußscher Fehlerfortpflanzung zu
v
2 ‚
u
Œ2 ‚
Œ2
u
∆NA · NB · NKoin
∆NB · NA · NKoin
∆NKoin
t
 +
∆η =  p
+
2(NA · NB )3/2
2(NA · NB )3/2
NA · NB
(14)
Für N(α, 0°) ergab der Fit (siehe Abb. 5):
N (α, 0°) = 1120 · cos2 [0.01746 · (α − 0°) + 9.277] + 164.3
(15)
Anzahl der Koinzidenzen
10 000
8000
6000
4000
2000
0
0
50
100
150
200
250
300
350
Winkel in deg
Abbildung 5: Auftragung der Koinzidenzen über α bei β = 0°
7
Für N(α, 45°) ergab der Fit (siehe Abb. 6):
N (α, 45°) = 10590 · cos2 [0.01741 · (α − 45°) + 9.252] + 456.2
(16)
Anzahl der Koinzidenzen
10 000
8000
6000
4000
2000
0
0
50
100
150
200
250
300
Winkel in deg
Abbildung 6: Auftragung der Koinzidenzen über α bei β = 45°
Für N(α, 90°) ergab der Fit (siehe Abb. 7):
N (α, 90°) = 11530 · cos2 [0.001744 · (α − 90°) + 9.249] + 343.6
(17)
8
12 000
Anzahl der Koinzidenzen
10 000
8000
6000
4000
2000
0
0
50
100
150
200
250
300
Winkel in deg
Abbildung 7: Auftragung der Koinzidenzen über α bei β = 90°
Für N(α, 135°) ergab der Fit (siehe Abb. 8):
N (α, 135°) = 11150 · cos2 [0.01746 · (α − 135°) + 9.283] + 355.5
(18)
Anzahl der Koinzidenzen
10 000
8000
6000
4000
2000
0
0
50
100
150
200
250
300
Winkel in deg
Abbildung 8: Auftragung der Koinzidenzen über α bei β = 135°
Für die Michelson-Kontraste ergibt sich:
9
VM ichelson (0°) = 0.971 ± 0.009
(19)
VM ichelson (45°) = 0.921 ± 0.070
(20)
VM ichelson (90°) = 0.944 ± 0.007
(21)
VM ichelson (135°) = 0.940 ± 0.006
(22)
Der Michelson-Kontrast liegt relativ hoch, im erwarteten Bereich.
Die Photonenpaardetektionseffizienzen berechnen sich zu:
η(0°) = (8.37 ± 0.02) · 10−3
(23)
−3
(24)
−3
η(90°) = (9.76 ± 0.03) · 10
(25)
η(135°) = (8.96 ± 0.03) · 10−3
(26)
η(45°) = (8.92 ± 0.03) · 10
Die Detektionseffizienz ist mit η < 1% recht gering.
4.5 Berechnung des Bellwertes
Der Bellwert berechnet sich wie folgt:
S = E(α, β) − E(α, β 0 ) + E(α, β 0 ) + E(α0 , β 0 )
(27)
E(α, β) = PV V (α, β) + PH H (α, β) − PV H (α, β) − PH V (α, β)
(28)
Wobei E eine definiert ist als:
E(α, β) kann offensichtlich Werte von −1 bis +1 annehmen. +1 steht für vollständige Übereinstimmung der Polarisation,
−1 für keine Übereinstimmung.
E(α, β) ergibt sich folglich als Summe der Wahrscheinlichkeiten durch (α⊥ := α + 90°, β⊥ := β + 90°):
E(α, β) =
N (α, β) + N (α⊥ , β⊥ ) − N (α, β⊥ ) − N (α⊥ , β)
N (α, β) + N (α⊥ , β⊥ ) + N (α, β⊥ ) + N (α⊥ , β)
(29)
Der Fehler von S ergibt sich durch
s
∆S =
16
X
i=1
Ni ·
∂S
∂ Ni
2
(30)
Der Bellwert S wird im Folgenden einmal mit separat aufgenommenen Messpunkten und einmal mit virtuellen Messpunkten, die sich aus dem Fits ergeben. Es ist notwendig, die vier Winkel α, α0 , β und β 0 zu wählen. Wählt man die Winkel
zu α = 0°, α0 = 45°, β = 22.5° und β 0 = 67.5°, so ist die Ungleichung nach den quantenmechanischen Vorraussagen maximal verletzt. Damit wir die Bellsche Ungleichung mit großer Sicherheit verletzen, haben wir diese Winkeleinstellung
gewählt.
10
4.5.1 Mit Messpunkten
Die für die Berechnung relevanten Messwerte sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst.
N
0°
45°
90°
135°
22.5°
20490
25625
7785
2173
67.5°
2334
20498
26998
9282
112.5°
8988
2520
21751
28442
157°
26166
8012
2246
20463
Der Bellwert ergibt sich aus den gemessenen Daten zu:
S = 2.519 ± 0.006
(31)
Offensichtlich ist die Bellgleichung verletzt. Der nach lokal, realistischen Theorien erlaubte Wert ist mit der 86 - fachen
Standardabweichung übertroffen worden.
4.5.2 Mit Daten aus den Fits
Die Werte wurden den cos2 -Fits zu den Messungen der Anzahl der Koinzidenzen in Abhängigkeit der Polarisatorstellung
entnommen (siehe Kapitel 4.3).
N
0°
45°
90°
135°
Fit-Gleichung
(15)
(16)
(17)
(18)
22.5°
10636
8014
880
3259
67.5°
3111
10546
8534
1039
112.5°
819
3527
11345
8608
157°
8346
937
3696
10815
Aus den Daten der Fits ergibt sich der Bellwert S zu:
S = 2.533 ± 0.018
(32)
Offensichtlich ist die Bellgleichung wiederum verletzt. Der nach lokal, realistischen Theorien erlaubte Wert ist mit der 29
- fachen Standardabweichung übertroffen worden, was immer noch ein sehr beachtlichter Wert ist.
5 Fazit
Im
p Versuch wurde ein Bellwert von S ≈ 2.53 erreicht. Der theoretisch gewonnene, maximale Bellwert liegt bei S =
2 2 ≈ 2.8284. Er tritt für die im Versuch verwendeteten Winkel auf. Dieser Wert konnte nicht ganz erreicht werden. Das
kann darauf zurückgeführt werden, dass der Bellzustand nicht ideal präpariert war, Wie in Abb. 4 zu sehen ist. Dennoch
hat der erreichte Grad der Verschwänkung ausgereicht um eine Verletzung der Bellgleichung nachzuweisen. Es konnte
gezeigt werden, dass die Quantenmechanik die Bellgleichung in der Formulierung von CHSH verletzt. Damit konnte
bestätigt werden, dass die Photonen der Quantenmechanik gehorchen. Eine physikalisch richtige Beschreibung der Welt
muss folglich zumindest in Teilen entweder nichtlokal oder nicht realistisch sein.
Literatur
[1] Fry, Walther: Quantum [Un]speakables - From Bell to Quantum Information, Texas, U.S.A. 2001.
[2] Haken, Wolf: Atom- und Quantenphysik. Stuttgart 8 2004.
[3] Janzing, Dominik: Mit Quanten ist zu rechnen. Physik Journal,
[4] Dietrich Dehlinger and M. W. Mitchell: Entangled photons,nonlocality, and Bell inequalities in the undergraduate
laboratory, Portland, 2002. 11/2005.
11
6 Messdaten
6.1 Leistungskennlinie
I mA
0
5
10
15
20
25
30
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
50
55
60
65
70
P mW
0
12.8
29.2
46.
64.5
86.7
121.
204.
238
294
401
713
1660
2940
4310
5730
7170
8560
15 400
22 400
29 400
36 300
43 200
Abbildung 9: Laserleistung in Abhängigkeit des Stroms
6.2 Bellzustand
Winkel deg
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Zählrate 1
80 437
96 202
103 281
108 162
93 879
81 756
65 227
62 916
68 107
80 566
Zählrate 2
114 429
127 307
133 751
140 983
123 254
110 075
86 778
90 782
94 557
108 062
Koin .
1042
1875
2372
2565
1917
1082
278
26
319
1021
Zufällige Koin .
24
28
18
30
19
13
17
12
12
11
Abbildung 10: Daten zum ermitteln des Maximums, Variation von θ , α = β = 0°
12
Winkel deg
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
Zählrate 1
69 093
69 080
71 840
74 133
71 569
70 923
73 397
69 211
70 824
64 511
69 089
Zählrate 2
90 052
90 166
93 651
95 773
92 231
91 479
94 218
89 780
90 613
84 117
89 857
Koin .
1682
1648
1694
1794
1627
1667
1683
1645
1600
1479
1522
Zufällige Koin .
18
13
25
16
16
15
17
15
24
14
21
Abbildung 11: Feinjustage des Maximums, Variation von θ , α = β = 0°
Winkel deg
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Zählrate 1
60 684
55 095
54 563
56 545
55 409
55 774
57 633
53 828
58 483
55 729
Zählrate 2
82 678
74 585
73 993
75 129
75 408
74 412
77 560
71 129
76 954
73 203
Koin .
1022
984
945
986
1105
1117
1300
1220
1288
1326
Zufällige Koin .
16
5
17
11
8
13
21
11
15
13
Abbildung 12: Bellzustand validieren, θ = 5.5
Winkel deg
90
90
70
60
50
50
40
30
20
10
0
Zählrate 1
54 654
57 203
54 434
52 710
55 713
56 545
57 759
56 554
59 101
60 882
57 525
Zählrate 2
70 903
73 496
71 282
69 362
74 170
74 509
76 505
75 534
79 232
79 759
75 138
Koin .
1118
1096
1134
1068
1076
1101
1081
1019
1025
1027
1025
Zufällige Koin .
15
16
5
10
15
10
13
9
17
9
15
Abbildung 13: Bellzustand validieren, θ = 7.0
13
6.3 Polarisationskorrelation und Photonenpaardetektionseffizienz
Winkel deg
0
0
10
10
20
20
30
30
40
40
50
50
60
60
70
70
80
80
90
90
100
100
110
110
120
120
130
130
140
140
150
150
160
160
170
170
180
180
190
190
200
200
210
210
220
220
230
230
240
240
250
250
260
260
270
270
280
280
290
290
300
300
310
310
320
320
330
330
340
340
350
350
Zählrate 1
305 473
300 856
303 260
300 565
310 387
310 775
311 788
308 262
298 652
309 128
311 169
310 416
309 351
309 859
311 380
309 121
308 587
309 452
309 181
308 808
306 252
307 796
312 051
304 602
307 459
308 654
308 209
309 626
309 514
306 584
309 230
312 089
304 437
307 074
300 402
301 948
297 348
292 258
257 579
302 403
295 135
305 017
307 575
306 998
306 782
308 126
307 346
309 725
307 626
306 109
309 060
310 544
327 170
308 689
302 814
286 297
302 081
300 466
300 517
301 445
299 547
301 669
300 037
300 223
302 568
295 859
300 902
299 081
298 658
299 565
310 384
289 714
Zählrate 2
409 663
404 955
404 957
402 592
403 337
406 039
401 521
399 318
380 412
393 849
386 413
383 898
378 522
378 722
377 372
373 888
374 345
372 686
372 335
373 101
375 036
375 722
383 536
376 383
387 233
386 368
394 667
396 944
399 766
393 748
402 568
406 381
399 385
402 566
396 988
396 813
392 908
386 729
335 774
392 425
379 511
388 295
380 073
382 231
374 391
375 853
368 181
371 408
365 184
361 447
362 698
362 289
395 451
361 210
358 494
338 727
361 034
359 318
365 522
365 613
419 136
371 129
379 179
378 544
417 069
381 479
393 201
390 513
391 566
393 715
409 117
382 623
Koin .
5813
5599
5891
5771
5671
5649
5137
4986
4128
4259
3278
3259
2366
2346
1417
1369
730
691
294
272
189
177
401
356
922
950
1694
1682
2548
2623
3765
3649
4430
4387
5221
5230
5587
5505
4870
5771
5468
5554
4886
4847
4090
4091
3289
3374
2306
2279
1422
1398
710
649
257
250
149
166
378
354
757
922
1663
1694
2422
2560
3599
3582
4481
4473
5260
4920
Zufällige Koin .
61
76
58
68
64
71
75
71
74
70
75
75
76
67
68
65
78
67
60
66
73
71
73
71
77
67
78
72
77
71
74
84
71
80
65
69
62
71
62
58
56
103
72
73
77
54
48
58
87
59
62
74
85
70
65
73
60
55
63
65
69
71
53
56
66
74
62
68
64
60
71
57
Abbildung 14: Polarisationskorrelation β = 0°
14
Winkel deg
0
0
20
20
40
40
60
60
80
80
100
100
120
120
140
140
160
160
180
180
200
200
220
220
240
240
260
260
280
280
300
300
320
320
340
340
Zählrate 1
274 126
272 137
279 902
280 203
274 523
283 502
281 962
281 318
280 239
279 013
278 984
281 283
282 772
277 998
280 253
280 415
283 796
278 004
278 678
280 160
279 266
277 206
274 706
273 567
282 167
275 971
280 631
281 073
278 530
278 760
271 593
266 826
271 449
271 578
268 008
266 507
Zählrate 2
397 459
393 995
389 710
393 822
375 319
381 822
369 297
368 180
363 394
359 674
365 091
367 434
379 918
372 941
386 205
387 222
400 066
389 645
389 467
394 123
382 989
379 253
365 745
364 077
362 517
353 433
357 738
357 997
359 694
359 833
365 161
358 788
385 284
378 153
385 708
386 484
Koin .
2136
1996
3940
3938
5136
5370
5671
5554
4725
4677
2894
3016
1290
1243
296
370
650
607
2002
2043
3785
3730
5217
5097
5523
5388
4599
4656
2981
3007
1223
1195
327
323
610
658
Zufällige Koin .
62
63
53
79
43
74
62
48
73
50
61
52
72
55
64
62
65
83
61
70
70
63
62
65
63
46
60
53
57
70
54
49
50
55
63
65
Abbildung 15: Polarisationskorrelation β = 45°
15
Winkel deg
0
0
20
20
40
40
60
60
80
80
100
100
120
120
140
140
160
160
180
180
200
200
220
220
240
240
260
260
280
280
300
300
320
320
340
340
Zählrate 1
272 729
271 482
270 355
268 171
258 949
266 380
266 162
273 313
273 189
265 709
270 662
266 634
265 970
266 078
265 375
265 575
269 921
268 272
270 241
273 153
271 024
268 109
269 606
266 880
272 872
270 153
270 426
267 657
269 607
270 323
271 328
267 073
267 934
270 667
270 621
270 123
Zählrate 2
388 473
388 146
379 540
375 781
350 400
362 145
349 106
356 684
352 608
346 015
353 157
348 813
359 341
359 286
368 288
369 265
383 418
379 921
381 168
386 767
373 623
369 946
358 292
355 925
349 214
347 311
344 105
341 346
348 797
350 300
365 462
358 844
373 793
378 170
389 363
389 225
Koin .
416
412
415
367
1544
1706
3685
3700
5405
5297
6006
5900
5293
5316
3748
3633
1719
1706
425
407
424
404
1635
1616
3635
3607
5224
5187
6051
6062
5235
5390
3545
3726
1645
1625
Zufällige Koin .
65
63
54
62
51
44
62
60
50
58
62
55
57
55
67
49
59
60
58
59
57
66
65
54
49
58
52
58
64
54
52
63
63
57
66
52
Abbildung 16: Polarisationskorrelation β = 90°
16
Winkel deg
0
0
20
20
40
40
60
60
80
80
100
100
120
120
140
140
160
160
180
180
200
200
220
220
240
240
260
260
280
280
300
300
320
320
340
340
Zählrate 1
284 262
298 111
301 797
299 263
303 309
301 401
299 063
303 722
302 252
303 521
301 714
301 790
305 764
303 250
302 865
301 883
300 695
297 635
299 570
301 876
296 210
299 826
301 329
297 900
292 979
296 947
297 801
296 773
297 048
297 771
298 850
297 299
297 200
296 187
293 197
293 295
Zählrate 2
369 011
387 729
381 382
381 050
372 094
368 714
355 371
360 284
355 989
356 021
357 839
358 260
372 101
369 223
378 411
377 718
382 410
377 801
378 497
381 555
368 344
373 207
361 762
358 750
342 085
346 269
345 781
343 739
348 434
348 751
362 631
361 419
378 534
373 722
381 819
383 539
Koin .
3787
4048
1893
1898
529
538
307
323
1439
1394
3196
3263
4940
5013
5840
5789
5377
5304
3751
3850
1834
1861
500
517
348
326
1405
1422
3136
3240
4890
4905
5694
5854
5347
5368
Zufällige Koin .
58
70
66
82
78
63
51
86
63
70
59
50
75
65
59
66
63
60
82
57
65
62
66
66
61
54
78
56
70
70
60
69
70
60
71
62
Abbildung 17: Polarisationskorrelation β = 135°
17
6.4 Bellwert
Winkel deg
0
0
0
0
0
45
45
45
45
45
90
90
90
90
90
135
135
135
135
135
Zählrate 1
283 872
280 426
283 447
280 449
281 327
278 080
283 976
277 520
280 903
283 855
278 384
280 730
277 724
279 306
281 012
282 120
279 712
273 423
272 925
276 585
Zählrate 2
392 858
390 032
394 566
389 128
390 351
365 572
369 428
362 505
365 284
367 600
351 041
353 612
351 290
350 922
352 888
376 022
373 928
368 399
368 783
372 053
Koin .
4102
4172
4165
4160
4207
5162
5270
5159
5127
5203
1571
1635
1645
1597
1618
499
505
466
530
510
Zufällige Koin .
71
62
49
73
61
61
61
53
59
62
46
56
61
61
57
61
73
74
65
64
Abbildung 18: Messpunkte zur Bestimmung des Bellwerts, β = 22.5°
Winkel deg
0
0
0
0
0
45
45
45
45
45
90
90
90
90
90
135
135
135
135
135
Zählrate 1
266 086
271 469
268 292
270 108
271 682
263 798
265 438
262 428
263 845
258 772
256 211
263 009
262 642
263 592
262 513
262 035
262 263
260 415
262 814
263 769
Zählrate 2
389 665
394 060
389 819
394 486
398 264
363 307
366 482
360 619
364 657
356 977
344 494
351 157
348 443
352 157
350 408
371 876
371 540
369 235
372 942
371 918
Koin .
520
530
557
502
540
4180
4157
4225
4202
4022
5444
5520
5371
5567
5354
1862
1928
1898
1978
1889
Zufällige Koin .
68
52
61
69
65
57
53
67
67
44
56
56
48
50
48
64
46
47
55
61
Abbildung 19: Messpunkte zur Bestimmung des Bellwerts, β = 67.5°
18
Winkel deg
0
0
0
0
0
45
45
45
45
45
90
90
90
90
90
135
135
135
135
135
Zählrate 1
284 779
288 214
287 386
284 730
285 733
280 369
285 475
280 333
284 803
288 883
282 635
288 367
286 527
286 288
287 552
287 417
283 054
287 772
284 373
293 972
Zählrate 2
390 987
392 882
392 015
389 004
390 306
359 711
365 525
361 064
363 275
367 530
349 047
355 427
353 148
353 385
356 584
377 855
373 363
376 960
377 240
389 364
Koin .
1866
1910
1851
1861
1850
587
603
556
520
541
4344
4486
4429
4459
4331
5682
5714
5653
5720
5967
Zufällige Koin .
71
69
70
66
74
55
50
59
59
64
48
65
72
49
64
53
71
55
67
48
Abbildung 20: Messpunkte zur Bestimmung des Bellwerts, β = 112.5°
Winkel deg
0
0
0
0
0
45
45
45
45
45
90
90
90
90
90
135
135
135
135
135
Zählrate 1
299 529
297 483
287 720
298 433
296 557
296 669
297 384
298 677
298 559
296 579
289 830
295 091
297 740
301 301
297 612
294 071
294 130
296 132
296 143
292 787
Zählrate 2
387 531
384 388
371 258
384 643
385 274
359 703
360 154
360 909
362 016
361 660
339 502
344 215
349 162
351 108
347 945
366 767
368 295
368 309
371 010
366 917
Koin .
5433
5406
5103
5220
5312
1600
1668
1656
1715
1648
502
494
530
524
502
4238
4022
4130
4272
4080
Zufällige Koin .
71
55
53
58
71
48
61
60
52
54
62
62
65
65
52
46
59
58
59
57
Abbildung 21: Messpunkte zur Bestimmung des Bellwerts, β = 157.5°
19