Formelsammlung - Klasse Wasser

Formelsammlung
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3
Inhaltsverzeichnis
1. Nützliches
1.1 Römische Zahlenzeichen
1.2 Griechisches Alphabet
1.3 Einheiten von Größen
2. Zahlenbereiche
2.1 Teilbarkeiten in  *
2.2 Termumformungen
2.3 Bruchrechnen
2.4 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
2.5 Mittelwerte
3. Prozentrechnung
3.1 Grundbegriffe
4. Zinsrechnung
4.1 Grundbegriffe
5. Geometrie
5.1 Das Dreieck
5.2 Das Viereck
5.3 Strahlensätze
5.4 Vektoren in der Ebene
5.5 Stereometrie
4
4
5
6
7
7
7
9
10
10
11
13
14
15
17
6. Trigonometrie
6.1 Kreisfunktionen
6.2 Ebene Trigonometrie
7. Lösen von Gleichungen
7.1 Äquivalenzumformungen
7.2 Lineare Gleichungen
7.3 Quadratische Gleichungen
7.4 Polynome n-ten Grades
7.5 Gleichungen n-ten Grades
8. Stochastik
8.1 Ereignisse
8.2 Kombinatorik
8.3 Wahrscheinlichkeit
8.4 Verteilungen
9. Physik
9.1 Größen und Einheiten
10. Chemie
10.1 Formeln und Periodensystem
© DSA youngstar GmbH, 2012
19
20
20
21
21
22
22
23
23
24
26
30
32
4
1. Nützliches
1.1 Römische Zahlenzeichen
Römische Zahlen sind Zahlenzeichen (Symbole), die ihren Ursprung in der römischen
Antike haben. Die Darstellung der Zahlen beruht auf der Addition und Subtraktion der
Werte von sieben Symbolen.
Zahl
Zeichen
Zahl
Zeichen
Zahl
Zeichen
1
I
11
XI
30
XXX
2
II
12
XII
40
XL
3
III
13
XIII
50
L
4
IV
14
XIV
60
LX
5
V
15
XV
99
XCIX
6
VI
16
XVI
100
C
7
VII
17
XVII
300
CCC
8
VIII
18
XVIII
400
CD
9
IX
19
XIX
500
D
10
X
20
XX
1.000
M
1.2 Griechisches Alphabet (Druckbuchstaben)
Das griechische Alphabet ist die Weiterentwicklung der phönizischen Schrift. Sie wird
seit dem 9. Jahrhundert v. Chr. geschrieben. Es umfasst 24 Buchstaben.
Aa
Alpha
Hh
Eta
Nn
Ny
Tt
Tau
Bb
Beta
Qq
Theta
Xx
Xi
Uu
Ypsilon
Gg
Gamma
Ii
Jota
Oo
Omikron
Ff
Phi
Dd
Delta
Kk
Kappa
Pp
Pi
Cc
Chi
Ee
Epsilon
Ll
Lambda
Rr
Rho
Yy
Psi
Zz
Zeta
Mm
My
Ss
Sigma
Ww
Omega
5
1.3 Einheiten von Größen
Länge
1 km 1m
1 dm 1 cm =
=
=
= 1.000 m
10 dm
10 cm
10 mm
1m
1 dm 1 cm 1 mm =
=
=
= 0,001 km
0,1 m
0,01 m
0,1 cm
Fläche
1 km2 1 ha 1a
1 m2 1 dm2 1 cm2 =
=
=
=
=
=
100 ha
100 a
100 m2
100 dm2
100 cm2
100 mm2
1a
1 m2 1 dm2 1 cm2 1 mm2 =
=
=
=
=
0,01 ha
0,01 a
0,01 m2
0,0001 m2
0,01 cm2
Rauminhalt
1 m3 =
1 dm3 =
1 cm3 = 1.000 dm3
1.000 cm3
1.000 mm3
1 dm3 =
1 cm3 = 1 mm3 = 0,001 m3
0,001 dm3
0,001 cm3
Volumen
1 hl =
1l
=
1 cl =
100 l
100 cl
10 ml
1 l
1 cl 1 ml =
=
= 1 dm3
10 cm3
1 cm3
Masse
1t
1 dt 1 kg 1g
10 dt
100 kg
1.000 g
1.000 mg
1 kg
1 kg
1 g
1 mg
=
=
=
=
0,001 t
0,01 dt
0,001 kg
0,001 g
12 Monate
28 - 31 Tage
24 h
60 min
60 s
1 Tag
1 Tag
1 Jahr
1 min
=
≈
≈
≈
1.440 min
0,00274 Jahre
8.766 h*
0,0167 h
=
=
=
=
Zeit
1 Jahr = 1 Monat =
1 Tag =
1h
=
1 min =
*Bedingt durch das Schaltjahr werden sechs Stunden zu einem
Jahr (8.760 Stunden) dazu gerechnet.
6
2. Zahlenbereiche
ohne Null
nicht
negativ
positiv

*

*
ganze

*
 ≥0 oder  +  >0 oder 
rationale

*
 ≥0 oder  +  >0 oder ∗+  ≤0 oder  −  <0 oder ∗−
reelle

*
 ≥0 oder  +  >0 oder  ∗+  ≤0 oder  −  <0 oder  ∗−
Zahlen
natürliche
 = {0, 1, 2, …}  = {…, -2, -1, 0, 1, 2…} = { x | x =
∗
+
nicht
positiv
negativ
–
–
 ≤0 oder  −
 <0 oder *−
k
,k ∈ und n ∈ ∗
n
}
 =| A1 ∪ A2 | = | A 1 | + | A2
2.1 Teilbarkeit in  *
| A1 ∪ A2 ∪ A3 | = | A1 |
Teiler (t|a): t ist Teiler von a, wenn es eine Zahl b gibt, sodass t · b = a ergibt.
| A1 ∪ A2 ∪  ∪ An | =
Teilbarkeitsregeln
Ai ∩ Ak
1) Ist t Teiler von a als auch von b, dann ist t auch Teiler der Summe a + b.
i≠k
2) Ist t Teiler von a als auch von b, dann ist t auch Teiler der Differenz a - b.
3) Ist t Teiler von a und a Teiler von b, dann ist t auch Teiler von c (Transitivität).
| A1 ⋅ A2 ⋅ … ⋅ An | = | A
4) Ist t Teiler von a, dann ist t Teiler jedes Produktes a · b.
Teiler t
2
Eine natürliche Zahl ist durch t teilbar, …
A=
n!
( n − k )!
wenn ihre letzte Ziffer eine 2, 4, 6, 8 oder 0 ist.
3
n
n!
=
A=
k
k ! ⋅ ( n − k )!
wenn ihre Quersumme, also die Summe all ihrer Ziffern durch 3 teilbar ist.
4
wenn ihre letzten 2 Stellen durch 4 teilbar sind.
5
wenn ihre letzte Stelle eine 5 oder eine 0 ist.
6
wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
8
wenn ihre letzten 3 Stellen durch 8 teilbar sind.
9
wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
10
wenn ihre letzte Stelle eine 0 ist.
A=
n−1+ k
n−1
n! ≈ nn ⋅ e − n ⋅ 2π n
A1 , A2 , … An
| A 1 |, | A2 |, …| An |
7
2.2 Termumformungen
Kommutativgesetz
Assoziativgesetz
Addition
Multiplikation
a+b=b+a
a·b=b·a
a + (b + c) = (a + b) + c
a · (b · c) = (a · b) · c
Distributivgesetz
a · (b + c) = a · b + a · c
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Binomische Formeln
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(a + b) · (a - b) = a2 - b2
2.3 Bruchrechnung
Erweitern/Kürzen
Addition/Substraktion
Multiplikation/Division
aNenner
= 1 ( a ≠ 0) , a1 = a, a-n =
0
1
an
a
a⋅c
=
b
b⋅c
a
c
ad + bc
+
=
b
d
bd
a c
a⋅c
⋅
=
b d
b⋅d
a
a:c
=
b
b:c
a
c
ad − bc
−
=
b
d
bd
a c
a⋅d
:
=
b d
b⋅c
2.4 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen
Potenzen
an = a
⋅ a⋅…
⋅a mit
a ∈ \ {0} ; n ∈ n Faktoren a
a
⋅ aa⋅…
∈
\ {0} ; n n∈(Hochzahl).
Potenz a n , =
Basis
(Grundzahl)
und
Exponent
⋅a mit a
n Faktoren a
1
1
0
= 1 (aa0 ≠=01) ,( aa≠1 =0)a,
, aa1-n==a, na-n = n
Sonderfälle asind:
a
a
p
1
q
Für a q = ( a p ) q = a p gilt mit a ∈ , a > 0, p ∈ , q ∈ ∗
gleiche Basis
a ⋅a = a
m
n
m+ n
a :a = a
m
n
m− n
gleicher Exponent
a ⋅ b = ( a ⋅ b)
n
n
a : b = ( a : b)
n
n
n
a >positiven
0, p ∈ ,reellen
q ∈ ∗Basen.
Die Gesetze gelten für alle m,na ∈ ,bei
nnn
∗
sie
bei
Basen
⋅⋅
…
⋅⋅a⋅a
∈∈∈\\\{{0{0}0}.;}; ;nnn∈∈∈
=qa
a
a⋅aa⋅
⋅
⋅
…
…
mit
mit aaaaus
a ∈ , Für
a > m,n
0, p ∈aaa
=,=gelten
∈
a
a mit
nnFaktoren
nFaktoren
Faktoren
aaa
Potenzieren
n
( am )n = amn = ( a n )m
8
m, n ∈ * \{1}
Wurzeln
m, n ∈ * \{1}
a, b ∈ , a, b ≥ 0
m, n ∈ * \{1}
m+ n
m
n
Das Wurzelziehen
ist eine Arta,umgekehrtes
Quadrieren:
= ,mna,asucht
b ∈ , a, b ≥ 0
a,ab⋅ ∈aMan
b ≥ 0 eine Zahl, sodass
m, n ∈ * \{1}
m, n ∈ * \{1}
das Quadrat dieser Zahl unsere ursprüngliche Zahl ergibt.
n
n
n
m+ n
m
n
m a ⋅ n b = mn
= mn
a ⋅ a = aa⋅bm + n
a, b ∈ , a, b ≥ 0
a,ab⋅ ∈a , a,a b ≥ 0
1
∗
-n
n
* a∈
∈0,)n
=},∗aa,
\c∈{≥a
1},
0
,=
n
c∈
≥ n0 ∗ \ {1}, c ≥ 0
a = cnm,
istngleich
Wurzel
a). ∗aa0\∈
1},a,( a
, \∈
a{11
,n∈
{=1
cn∈≥≠
m, n-te
n ∈
\{1} aus
∈ * \{c1}= a (gelesen:
a
m
n
n
n a n
m
− n⋅ b
m a ⋅ n b = nmna ⋅ b
a ⋅= mn
b =anm a
a ⋅ n a = mn am + n
a ⋅ a = am2+ n
nQuadratwurzel und 3 a Kubikwurzel.
a
=
a
Man nennt a Radikand,
n Wurzelexponent,
a
*
a, b ∈ , a, b ≥ 0
a,
m,bn∈∈, a,
\{1b}≥ 0
m, n ∈ * \{1}
m
m
n
n a n
a mn m − n
a ⋅ n b = n a ⋅b
a ⋅= mn
b Wurzelgesetze
=amn −an⋅b
n
= aa
m
n
+
mn
n
n a
m
n
+
mn
m
n
m
a,ab⋅ n∈a
, a,ab*≥ 0
a=n
a ⋅ a. = a
=
Für alle m, n ∈ \{1} und a, b ∈ , a, b ≥ 0 gilt: n b
b
m
m
a mn m − n
a mn m − n
= anmn m + n
n
n
= aan
a
a
1) mnn aa⋅ nna,
= a ⋅b
ba b= ∈aa
⋅b, a, b ≥ 0 m nn ana⋅=n b
n m = n mn
m n
an⋅ a =n mn am + n
n
a
b
b
ba = b a =
2)
nn
m
n
m
n
a ⋅ nmmn
b a= nn a ⋅bmn m + n
a
a m− n
n na
= na a⋅ ma− n= a
3) n annn⋅mn b==mn
mna ⋅ b m n
a
b
b
aba = b a =
a
a nmna ⋅ nmb− n= n a ⋅b
= a mn
a a =n mn
a a=
a
=
n
b
b
m
a mn m − n
n
= ma
n am n a
a ==n an a
nn m
mn
b
ba = a = m n a
Notizen
n
a m
a amk
a k ∈ * )
a = nk
m n
mn= n m (
nn mm
n a=
=
a
n
a =b a b a
m
4)
nn m
( )
n
( )
m
n an m
n mn
n
( )
n
n m
m n mn
= nk aaamk
= mn( ka ∈
= mn* )a
aam =
a
am n= ankma=mk n(ak ∈ * )
a
n
m
( )
m
( )
=nknaamk ( k ∈ * )
a aa =a
= a = mn a = m n a
b
b
m
( )
n
a
a
annn mmmn mmn
m
= a==a an −ana = m n a
a
an = n
b
b
m
a
amm = nk amkm ( k ∈ * )
= an a
a
=m n a
a = mn
( )
*
a m
nk mmk
ama= =n a a ( k ∈ )
( )
am = nk amk ( k ∈ * )
am = nk amk ( k ∈ * )
m
( )
n
a a == mn
aa = m n a
n
n mm
m
( )
a
n
am = nkn aamk ( k ∈ * )
a
am = nk amk ( k ∈ * )
9
Logarithmen
∈  \a).
{1a
}, ∈
0a, 
b∈\∈
, b\{∈1, b
>0, b0, b> ∈
0 , b > 0
{1\},,{b
0},
,>∈
b0
∈
b = ac ist gleich c = loga b (gelesen: Logarithmus b zura Basis
a1
},
Man nennt c Logarithmus, a Basis, b Numerus.
Insbesondere gilt: loga 1 = 0, loga a = 1,aalogloga abb ==bb
u, v ∈  > 0
Für jede zulässige Basis, für alle u, v ∈  > 0 und r ∈  gilt:
Logarithmengesetze
Basiswechsel
x v
loga (ru∈⋅ v) = loga u + log
a
logaur = r logau (r ∈  )
u
1
n
logax = logau − logav
log
u = logau ( n ∈  * \ {1})
2 1
2 a
v
n
A = a = ⋅e
2
1 c2b = logab = ln b = lg b
A = a2 = log
⋅e
log
d =a c a2 +lnb 2c+ c 2lg c
2
Achtung: log1 a ist nicht erklärt!
d = a2 + b 2 + c 2
2.5 Mittelwerte
Der Mittelwert beschreibt den statistischen Durchschnittswert. Für den arithmetischen Mittelwert addiert man alle Werte eines Datensatzes und teilt die Summe durch
die Anzahl aller vorhandenen Werte.
u, v ∈  > 0
u, v ∈  > 0
beir ∈
2 Größen
a1 , a2

Arithmetischer
Mittelwert
Geometrischer
Mittelwert
Quadratischer
Mittelwert
A
x=
1
( a1 + a2 )
2
1
A = a2 = ⋅e 2
Gg = 2 a1 2⋅ a2
d = a2 + b 2 + c 2
1
Q = 2 ( a12 + a22 )
2
bei
r ∈nGrößen a1 , a2,… , an
x=
A
1
( a1 + a2 + ... + an )
n
1 2
AG
=g a=2 =
n a ⋅e
21 ⋅ a2 ⋅ ... ⋅ an
d = a2 + b 2 + c 2
1
Q = 2 ( a12 + a22 + ... + an2 )
n
p 0 00 = p 00 =
1000 1000
10
p 0 00 =
g W g W
=
=
100 p 100 p
p
1000
3. Prozentrechnung
g W
=
100 p
3.1 Grundbegriffe
W ⋅100
W=
W=
p=
p ⋅G
p ⋅G
W=
100
100
W ⋅100
p=
G
G
G Wp⋅100
W ⋅100
p ==
G
G=
Prozentwert
p W 100p
Grundbegriffe
Grundwert
Prozentzahl
p p
p = p p 0 00 p
Prozentsatz: pp 0 0 100
= p00 =
100
100
p
0
0
Promillesatz: p 00 p 00 =
1000
p=
p
100
p 0 00
p ⋅G
100
p=
W ⋅100
G
G=
W ⋅100
p
p=
100
1
p
⋅K ⋅ t )
p 0 00
(# =
Umrechnung:
1p 0 0== 10
p
100
100
p 0 00 =
1000
1
p
pg W
0
1
p 00 =
(⋅t#) =p 0 00 =⋅K ⋅ t ) ( q = 100 + p = 1 + p )
#
=
⋅K
=
(
100 1000
11000 p
g W
100
100
100
⋅K ⋅ t )
( # = 100
=
100
100 p
p
p
g p +W
g W
100+ p q = 100
= ) = 1 + D = 360
) )
=
p ⋅G
( q = 100 (=1+
(
100
100
100
p
100100pW
+ p=
p
1
100
p
p
G
⋅
1+
) W=
( q = 100 =100
⋅K ⋅ t )
(# =
100
100
100
4.1 Grundbegriffe
1 360
p ⋅G
p ⋅G W ⋅100
360( # =( D =
K ⋅p
W =⋅K ⋅ t ))
W=
D=
)
(
100
=
p
Z=
p100
Grundbegriffe
1100
360
100
p
W ⋅100
# =( q = ⋅K ⋅+t )p = 1 + p 100
(
(D = p ) G
)
p=
100
1
100
⋅K ⋅ t )
( # =100 +100
Kapital
K GZinszahl
#
p
p
100
K ⋅W
p =⋅100
W ⋅100 W ⋅1001
q
=
+
1
)
(
K
p
n
⋅
⋅
K
⋅p
Z =100
p=
p=
⋅K ⋅ t )
(# =
Z=
100
pZ n =
+ p G 100
100
360
K ⋅G
p G = p 100
100
W
⋅
q
=
=
+
1
)
100
Zinsen
Z
Zinsfaktor
q
(
100
=
Z=
( D100
G=
100
+pp ) 100
p
100
p
=1 +
)
( q = 360
100
100
K
p
n
⋅
⋅
100
W
⋅
100 + p
p ZinsdivisorK ⋅p⋅n
D =Z =G = )
(
K ⋅ pD⋅m
Rate, Rente (G#==W1⋅100
R
p
n
q
=
=
+
1
⋅
K
⋅
t
)
( ) 100
p
Zm =
Zn =
360
K ⋅ppp⋅ n0 0 =
100 p
⋅ p) p
D = K 100
100
⋅12
(
100
Z n = 100
100
=p
Zinssatz des Kapitals
p 0 0 = Anzahl der Tage Z 360
t
100
( D = 100)
100
K ⋅ p K ⋅ p ⋅m
per annum (pro Jahr)
p. a. Anzahl derKMonate
m
360
100 + p
p
⋅p⋅m
Z =Z m p
=0 0 = p
K ⋅ p⋅t
#
)
(pq0=0 =K ⋅pp ⋅m(=D1=+ 100
=
Z
100
Z
=
=
100
12
⋅
K
p
⋅
m
t
p
100
100
K
p
n
⋅
⋅
Schuld, Darlehen
S
Anzahl
der
Jahre
n
100⋅12
Z =Z =
Zm =
100 ⋅360 D
100
100 ⋅12
Kn ⋅ p 100
Z
=
Zinsen in verschiedenen
K ⋅ p ⋅Kn ⋅ p ⋅ t
#
360 Zeiträumen:
Z n =Z100
K ⋅p⋅t
=#
=
(D = p ) Z = K ⋅p
Z ⋅100
Kt=100
⋅ p100
⋅ n⋅ p⋅360
Zt =
Dp =
K
⋅
m
K ⋅ p⋅t
#
100
Z
=
100⋅360
D
n
Z
=
Tageszinsen:
Monatszinsen: m100
Zt =
=
K
K ⋅ p100
⋅ n ⋅12
100 ⋅360 D
Zn =
K100
⋅ p ⋅m
K ⋅ p⋅n
K ⋅p
Z = Z ⋅100
=K ⋅ p⋅12
Zn =
Jahreszinsen:
Rendite: Z ⋅100m p 100
Z=
100 + p
n
p=
Km⋅ p ⋅ t
100
#K n = K 0⋅ q = K 0 ⋅
Z100
⋅100
K Zm =
Z t100
=
=
p=
100
K ⋅ p⋅12
m
K
Z m = 100 ⋅360 D
100
K ⋅ p⋅12
⋅t
#
n
Zinseszinsen Z = K ⋅ p ⋅ n Z = K ⋅ p ⋅m
Zt =
n 100 + p
n =
K
=
K
⋅
q
=
K
⋅
lg
K
−
m
100+
p
n
⎛
⎞
100
360
⋅
D
n
n K ⋅ p0⋅ t
n lg K 0
n
#0
100K+⋅012
100
(Endwert Kn des Anfangskapitals
nach
n Jahren) K n =K 0⋅qZ =K
100
p
⎜⎝ ⋅100 = ⎟⎠ n =100
0 ⋅Z
t =p =
lg
q
100
K n = K 0⋅ q n = K 0 ⋅
100
D
⋅360
K ⋅p
K⋅ t = #
100
Zt =
⋅360 D
Z100
⋅100
K ⋅ p ⋅m
K ⋅ p⋅t
#
p = lg K n − lg K 0
Z =
4. Zinsrechnung
p
11
5. Geometrie
5.1 Das Dreieck
Seiten a, b, c Winkel α , β , γ
Höhe h
Flächeninhalt A
Umfang U
Umkreismittelpunkt U
Der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten.
U
Inkreismittelpunkt M
Der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden.
M
H
S
Höhenschnittpunkt H
Die Schnittstelle der drei Höhen.
Schwerpunkt S
Der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden. Er teilt jede Seitenhalbierende vom Eckpunkt des Dreiecks aus im Verhältnis 2 : 1.
Gleichschenkliges Dreieck
C
a = b;
α =β
U = 2a + c
1
hc = a2 − c 2
4
1
A = c ⋅ hc
2
b
A
n
h=
a
3
2
α =β
c
a
α =β
B
C
Gleichseitiges Dreieck
α
= β = γ = 60
hc
A=
a2
4
a
b
U = 3a
3
A
c
B
12
Rechtwinkliges Dreieck
γ = 90
U=a+b+c
Satz des Pythagoras:
a2 + b2 = c2
Kathetensatz:
Höhensatz:
a2 = c · p; b2 = c · q
Hypotenusenabschnitte:
p+q=c
C
b
A
c
q
h2 = p · q
α
+ β + γ = 180
α , β ,γ
b
U=a+b+c
1
1
1
A = a ⋅ ha = b ⋅ hb = c ⋅ hc
2
2
2
A
α =β
B
p
Allgemeines Dreieck

a
hc
C
hc
α =β
c a
B
Kongruenzsätze
Dreiecke sind kongruent, wenn sie in
drei Seitenlängen übereinstimmen
a = a´; b = b´; c = c´
sss
zwei Seitenlängen und dem von diesen
Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen
βα, γ, β=, γ ´
z.B.: a = a´; bα=, b´;
sws
zwei Seiten und dem Gegenwinkel der
längeren Seite übereinstimmen
z.B.: a = a´; b = b´
α ,; βα,=,γβ ´, γ(b>a)
SsW
einer Seite und den anliegenden Winkeln übereinstimmen
z.B.: a = a´;
α , βαα=
,,γ,ββα´;, ,γ,γβ=, γ ´;
wsw
13
5.2 Das Viereck
D
Beliebiges Viereck
α = β = γ = δ = 90°
α , β ,γ
f
e
α + β + γ + δ = 360°
α =β
α =β
C
B
A
Rechteck
Alle Innenwinkel betragen 90°.
Die Diagonalen sind gleich lang und halbieren einander.
M Mittelpunkt
e, f Schrägachsen
m1 , m2 Symmetrieachsen
α = β = γ = δ = 90°
D
U = 2(a+b); m1
d
a = c; b = d
M
e
f
a
A
e = f = a2 + b 2
C
c
m2
B
A=a·b
Quadrat
Alle Innenwinkel betragen 90°.
Die Diagonalen sind zueinander senkrecht.
M ist Mittelpunkt und Drehzentrum.
e, f , m1 , m2 Symmetrieachsen
D
α
= β = γ = δ = 90° und a = b = c = d
d
e = f = a 2;
c
C
f
e
m2
M
e⊥ f
1
1
1
U =A
4a;
= a ⋅ ha = Ab =
⋅ hab2 == ∙ce⋅2 hc
2
2
2
b
m1
A
b
a
B
14
Parallelogramm
Gegenüberliegende Seiten sind zueinander parallel und gleich lang.
Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
M e, f , m1 , m2 Mittelpunkt und Drehzentrum
Schrägachsen
a = c; b = d; e und f halbieren sich.
AA' BB'
M
e
a
A
C
m1
d
b  d und a  c
U = 2(a+b); c
D
b
m2
f
ha
B
A = a · ha
AA'
SA : BB'
SB = SA' : SB'
5.3 Strahlensätze, Teilungen einer Strecke
= SA'
SA :: SB
SB =
SA
AA' :: SB'
BB'
Werden zwei von einem Punkt ausgehende Strahlen von zwei Parallelen geschnitten,
so verhalten
die Abschnitte auf dem einen Strahl wie die entsprechenden Ab : SB= sich
SA
AA' : BB'
⋅TB dem anderen.
AT = t auf
schnitte
AT
= t ⋅TB
AT = x ⋅ AB
Strahlensätze
AT
= x ⋅ AB
TB
1) Wenn AA' BB' , dann
AA'
AA' BB'
BB'
AA' BB'
SA
AA' ::SB'
BB'
SA :: SB
SB == SA'
SA'
SB' und umgekehrt.
S
AA' BB' , dann SA : SB = AA'
SA : SB =. SA' : SB'
2) Wenn
TB
SA ::: BB'
SB
SB' : SB = AA'
BB' = SA' : SB'
AB SA : SB = SA' : SA
SA
SB'
== tt ⋅⋅TB
= SA'
SA , :: SB
SB =
AA' :AT
:AT
BB'
CAB∈ AB
TB
Teilverhältnis
AB
: SB= AA' :BB'
SA
C
AT
xx ⋅⋅ AB
1) T teilt
Verhältnis
D ∈ AT
AB,,=im
t ⋅TB
AT t,==wenn
AB
B
A
A'
B'
SA : SB = AA' : BB'
SA : SB = AA' : BB'
AT
= t ⋅TB
AT = t ⋅TB .
AT
.
AB
=
x = x ⋅ AB
2) T teilt
Verhältnis
x, wenn
D ≠ BAT
, im
t ⋅TB
C
TB
t = AT
= x ⋅ AB
AT = x ⋅ AB
TB
1− x
C
= x ⋅ AB
D ≠≠ BBAT
TB
x
AB
TB
TB
AB
Zusammenhang: t =
( x ≠1)
1− x
BAB
AB
TD ≠∈TB
CC ∈
AB
AB
∈ AB
AB,,
( x ≠1)
1
T ∈AB
C ∈ AB ,
AB
= , ⋅ AB ( 5D
x=C
AT∈ AB
) ,,
C ∈ AB ,
D− 1AB
AB
T
A
B
AT = t ⋅TB
SA
BB'
: SB =AA' :BB'
SA AA'
: SBTB
=SA' : AT
SB'
= t ⋅TB AT
= xTB⋅ AB
AT = x ⋅ AB


=SB
==t ⋅TB
SA'
BB'
: SB' SA :SA
SB:AT
AB
AA' :AT
= x ⋅ ABTB AB
AA' BB' TB






SA :AT
SB==x AA'
: BB' ⋅ AB
AT = t ⋅TBC
AB ,TB
∈
Teilung
Harmonische
AB C ∈ AB ,
SA : SB = SA'
:
SB'
AB
 AA' BB'
AT =t⋅TB ⋅ TB
AT =Dxteilen
AB
D AB ,AB
C und
harmonisch,
C ∈wenn
ABD, AB ,von C im
SA : SB = C
AA'
: BB'
∈ AB
, D im Verhältnis
Verhältnis
-t geteilt wird.
tund
SAvon
: SB = SA' : SB'
a
Cx ≠⋅ AB
B C ∈ AB ,
C≠B
TB AT
=AB
D
AB
,
=
⋅
AT
t
TB
C
D
D
AB
,
C und D teilen
harmonisch, wenn
b
A
=
SA
:
SB
AA'
:
BB'
B
a
≠B ,
D≠B
a||b
AB TBCD∈AB
AB ,Geraden
C ≠ B liegen,
1)
und
C ≠DBaufDeiner
ATA,= B,
x ⋅CAB
AT = t ⋅TB
∈ AB, C ≠ B und D ≠ B Tund
∈ AB
C ∈ AB
AB , DTD ∉AB
2)
≠B
TB
AT = x1⋅ AB
1
:∈
BD
=
:D=BC
3) DAD CAB
AB
≠ B⋅. AB ( T5∈− 1AB
≠=, BAC
,C
x
AT
x) = AT = ⋅ AB ( 5 − 1 )
∈
T
AB
2
2
AB
TB
Die Halbierenden
Dreiecksinnenwinkels und seines Nebenwinkels teilen die
AB≠, B Teines
C ≠ BD D
∈1 AB
1
⋅ ABanliegenden
x5=− AT
( 5 −1)
Gegenseite
harmonisch
im( Verhältnis
Seiten:
=
=
⋅
1 ) = 2der
x
AT
AB
C ∈ AB ,
2
AB
C
B ≠=BTAU
∈AB: UBx == bAT: a = 1 ⋅ AB ( 5 − 1 )
ATD ≠
: TB
D AB ,
2
≠B
C ∈ AB ,
T ∈DAB
1
Goldener Schnitt
x = AT = ⋅ AB ( 5 −1 )
C≠B
2
T mit T ∈ AB1 teilt
D AB , nach dem Goldenen Schnitt, wenn
a
x = AT = ⋅ AB ( 5 − 1 )
D≠B
2
2
AB : AT = AT : TB
AB : AT = AT C:1TB
≠ B oder
x = AT = ⋅ AB ( 5 − 1 )
x
2
T 2∈ AB 2
⋅ TB
x 2 = AT 2 = AB D
≠ B oder
A
x = AT = AB ⋅ TB
x
1 a≠0
x = AT = ⋅ AB ( 5 − 1 )
2
T ∈ AB
a
T
15
a
2
a–x B
b ≠0
1
x = AT = ⋅ AB ( 5 − 1 )
5.4 Vektoren
in der2 Ebene
a b
Eine Klasse paralleler Pfeile mit gleicher Länge und gleicher Richtung heißt Vektor.
a ↑↑ b
0
Die Länge eines Repräsentanten
des Vektors a ≠bezeichnet
man als Betrag des Vektors
und schreibt: a .= b
b ≠0
  + BC = AC man einen Vektor mit dem Betrag 0: οo = AA = BB…
ο bezeichnet
Als NullvektorAB
AC − AB = BC
a b
a≠0
16
a ≠ 0
b ≠0
≠
a
0
a≠0
a ≠ 0
aa ≠≠00
a
0
≠
b ≠≠00 a b
a ≠a0≠ 0
b
b
0
≠0
a≠
a≠0
≠0
mita dem
Einheitsvektor:
Vektor
Betrag 1
≠
a
0
≠≠00
b ≠0
bb
a ↑↑ b
b ≠b0≠ 0 b ≠ 0 aabb a ≠b0 Vektoren a ≠ 0 und b ≠ 0 sind gleich genau dann,
b
b ≠ 0 wenn gilt:
Zwei
a
0
0
a ≠b
≠
b
b a≠0
a≠0
a
a b a b
↑↑
a
b
a
=
b
aa↑↑
b
(gleiche Länge)
a ↑↑ b (gleiche Orientierung) und
a (Parallelität),
b
a ab ≠b0
a b
b ≠0
a b
b ≠ 0 ≠
a
a≠0
0
a b
↑↑
a
b
a
b
↑↑
≠
≠
b
0
b
0
a ↑↑
b von
a ↑↑Vektoren
b a = b
↑↑
aAddition
b b
a ↑↑
a = b
aa↑↑
b= ≠b0 a ↑↑AB
b + BC = AC a
b
↑↑
a b
a bAddition
≠
b
0
b ≠0
Die
+
in
der
Menge
V
der
Vektoren
ist
folgendermaßen
erklärt:
a ↑↑ b
a b
a = b a= b a b
aa == bb
+ BC = AC
a=
AB
a b=b AB
AC − AB = BC
a a=+BC
bb = AC a ↑↑ b + BCa==AC
=b
a
AB
b
a↑↑
b a b
a b AB
+ BC
=aAC
= b
AB
+ BC
a ↑↑ b
a ↑↑ b
AC
= AC
AB
+BC
=AB
BC
AC
=AC
−−AB
=BC
AB
BC
r ⋅a + BC
Vektoren
AB
+
BC
=+AC
AC
=
=
AB
AC
Differenz
zweier
a−↑↑
AC
ABb= BC a = b
AB
AB + BC = AC
a=+ BC
b =AC
a ↑↑ b
+BC
=aAC
↑↑ b
AB
AC
− AB
=AB
BC
BC
=AC
− AB = BC a = b
AC
a = b
AC
−AB
=AC
+
BC
AB
=r BC
⋅a
AB
r ⋅ a
AC
−
AB
=−BC
r ⋅a = r⋅ a
r ⋅a −
= BC
AC
=b= BC
a− AB
AC
AC − AB = BC
=BC
+ BC
AC
AB
(Multiplikation
= AC − ABvon
=
=
a
b
a
b
S-Multiplikation
Vektoren
mit
reellen
Zahlen):
AB+ BC =AC
⋅ a
AB + BC = AC
rr ⋅⋅aa r ⋅a − AB =rrBC
AB + BC = AC
rr⋅⋅aar⋅ a= r⋅a a≠0 r ⋅⋅aa == rr⋅⋅ aa
r < 0
rIst
⋅ aAB
und r eine
a ≠ein
0 Vektor
a Zahl,
⋅reelle
soist
auch
r ⋅ a ein Vektor. SeineEigenschaften
sind:
= rBC
+ BC
= ACAC − AB
AC
+ BC
= AC
⋅BC
a
AB+BC = AC
r⋅ a = r ⋅ a AB
rr ⋅⋅aa−==AB
rr =⋅r⋅ aa
r ⋅ a = r ⋅r a< 0
AC − AB = BC
a ≠ o AC − AB = BC
⋅ ar0⋅=a r=⋅ra ⋅ ba≠ 0 r < 0
1)
rrr <
r
a
⋅ aAC
=
⋅
⋅
= r ⋅a
r
a
r
a
r
a
⋅
=
⋅
b ≠−0AB = BC
r ⋅a rr ⋅<a0
AC − AB = BC
r ⋅ a = r ⋅ra< 0
AC − AB = BC
r2)
0
<
ο
≠
a
o
0
<
r
⋅
⋅
r
a
r
a
Wenn
die gleiche Richtung
( r + s ) ⋅wie
a = r.⋅ a + s ⋅ a
unda ≠ o , dann hat
ra<≠r0o<0
r <ra0⋅ab a rb⋅ a = r ⋅ ra< 0
<
r
0

ar ⋅≠aWenn
= r ⋅ a
hat
r ⋅ aentgegengesetzte
wie
≠ οo, dann
3)
r ⋅ a.
Richtung
≠oo ra <≠0o unda
a
(( rr++ss))⋅⋅aa==rr⋅⋅aa++rss⋅⋅⋅aaa = r ⋅ a
⋅
=
⋅
r
a
r
a
a(r≠+aos≠) ⋅oa= r ⋅a ↑↑
r⋅ ( a + b ) = r ⋅ a + r ⋅ b ;
s ⋅ba
a ≠ro⋅ a = r ⋅ a +
≠
a
o
a
o
≠
r <0
r( r<+a0s↑↑
b a + s⋅ a(r +s ) ⋅a = r ⋅ a+rs⋅⋅aa = r ⋅ a
r ⋅a = r ⋅ a
(Regeln
r +s ))⋅⋅aa ==(arrr≠+⋅⋅ao
s+) ⋅sa⋅ a=r⋅r(⋅aa++bs ⋅)a= r ⋅a +r <
( r ⋅ s)a = rr<⋅ ( 0s ⋅ a).
⋅ ar+⋅+asr+
⋅⋅a
(rr⋅ (+(ars++) ⋅bsa))=⋅=arr=
rbs⋅ (⋅; a + b ) = r ⋅ a+ rr⋅⋅b0b;;
(r +r s<)0⋅ a= r ⋅⋅aa+
a
=s≠⋅b
+
(
r
s ) ⋅a = r ⋅a + s⋅a
(
r
s
)
a
r
a
s
a
+
⋅
=
⋅
+
⋅
a
o
o = b( r + s) ⋅a =r ⋅a + s ⋅ a a ≠a
r < 0
<
r
0
⋅
+
=
⋅
+
⋅
r
(
a
b
)
r
a
r
b
;
rr ⋅⋅((aa ++bb
)) ==
r
⋅
a
+
r
⋅
b
;
+ =r ⋅rb⋅ (; s ⋅aa). ≠ o
ab ≠= oo
)a
r⋅r( ⋅aa++br )⋅(b(=rr;⋅r⋅s⋅sa
x
⋅
a
+
y
⋅
)a
r
(
s
a
).
=
⋅
⋅
+( ab=+)rb
= )r =
⋅⋅aa
⋅br;⋅ b; r( r⋅ (⋅ras⋅)a
r+⋅ ar +
a(+r).+
s );⋅=aAC
r ⋅ (aa≠+ o
b)=⋅ (rs⋅AB
r+BC
⋅b
⋅
+
=
⋅
+
⋅
r
(
a
b
)
r
a
r
b
r
(
a
b
)
r
a
r
b
;
⋅
+
=
⋅
+
⋅
r
a
s
a
=
⋅
+
⋅
; ( r + s )⋅ a = r ⋅a+ s ⋅ a a ≠ o ≠o a
+==BC
=
AC
r
(
a
b
)
r
a
r
b
;
⋅
+
=
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
⋅
(
r
s
)a
r
(
s
a
).
(( rr ⋅⋅sAB
s)a
)a
r
⋅
(
s
⋅
a
).
a ).= rx⋅ (⋅ sa⋅+a ).y ⋅ b = o ( r + s ) ⋅ a = r ⋅ a + s ⋅ a
( r + s ) ⋅a = r ⋅a + s⋅a
r(⋅r( ⋅ss⋅ )a
⋅
=
⋅
(xr ⋅⋅a(sr)a
r
(
s
a
).
x
a
y
b
o
⋅
+
⋅
=
⋅
s
)a
=
r
⋅
(
s
⋅
a
).
( r ⋅(sr+
)ays=⋅)b
r ⋅=
( so⋅rar⋅ a
). s+⋅ a
b= )BC
+ r=⋅ br ⋅; ( s ⋅ a ).
( r ⋅ s )a = r ⋅ ( s ⋅ a ).
++
b )⋅=ar=⋅AC
+⋅−(r+a⋅AB
=( rr ⋅⋅ as )a
r ⋅ (a
a
b
;
a = r ⋅ a + s ⋅ a
+
⋅
(
r
s
)
( r + s )⋅ a = r⋅ a + s ⋅ a
(
r
s
)a
r
(
s
a
).
⋅
=
⋅
⋅
−
=
AC
AB
BC
⋅
+
⋅
=
x
a
y
b
o
x
⋅
a
+
y
⋅
b
=
o
Lineare
o+ y ⋅ b = o
x ⋅ a + y Unabhängigkeit
⋅ bx=⋅ a
r ⋅( a + b ) = r ⋅ a + r ⋅b ;
r ⋅( a + b ) = r ⋅ a + r ⋅b ;
x ⋅ ax+⋅ ay+⋅ by=⋅ bo= o x
⋅
a
+
y
⋅
b
=
o
⋅
+
⋅
=
x
a
y
b
x
a
y
b
o
⋅
+
⋅
=
(
r
s
)a
r
(
s
a
).
⋅
=
⋅
⋅
Zwei
keiner
Vektoren
als
+r ⋅ b; heißen linear unabhängig,
(Vektoren
wenn sich o
Viela=+rb⋅ () s=
r⋅ ⋅raa⋅).aund
a ≠ 0der
( r ⋅rrs⋅⋅)a
⋅ ( a Gleichung:
+ b ) = r ⋅ a + r ⋅ b ;
r ⋅Sie
( a +sind
b ) =linear
r ⋅ a +unabhängig,
r ⋅b ;
r die
a des
x anderen
⋅ a + y ⋅ b darstellen
=o
faches
lässt.
wenn
( r ⋅ s )a = r ⋅ ( s ⋅ a ).
( r ⋅ s )a = r ⋅ ( s ⋅ a ).
(r ⋅ s )a = r⋅r(⋅sxa⋅⋅aa=).+r y⋅ ⋅ab = o
x ⋅ ar +⋅ ay =
⋅ br= ⋅οoanur die Lösung x = y (=r 0⋅sbesitzt,
)a = r ⋅ ( sofern
s⋅ a ). a ≠ 0 und b ≠ 0(. r⋅ s )a
= r ⋅ ( s ⋅ a ).
x ⋅ a + y ⋅b = o
x ⋅ a + y ⋅b = o
x ⋅ a + y ⋅ br=<o0
a b x ⋅ a + y ⋅ b = o
b ≠0
r <0
x ⋅ a + y ⋅b = o
x ⋅ a + y ⋅b = o
( r ⋅ s )a = r ⋅ ( s ⋅ a ).
r ⋅( a + b ) = r ⋅ a + r ⋅b ;
( r + s )⋅a = r ⋅a + s⋅a
a≠o
r <0
r ⋅a = r ⋅ a
r ⋅a
AC − AB = BC
AB + BC = AC
a =b
a ↑↑ b
a b
17
5.5 Stereometrie
Bezeichnungen
d
räumliche Diagonale
r
Radius Umkugel
AO
Oberfläche
h
räumliche Höhe
r
Radius Inkugel
AM
Mantelfläche
s
Länge der Seitenkanten
V
Volumen
AG
Grundfläche
Polyeder (Vielflach)
u, v ∈  > 0
Eulerscher Polyedersatz:
r ∈ mit f Flächen, k Kanten und e Ecken ( f-Flach) gilt: e + f - k=2.
Für ein konvexes Polyeder
Quader
x
V=a·b·c
1
A = a2 = ⋅e 2
2
AO = 2 · (ab + bc + ca)
d = a + b + c bzw. d = a2 + b 2 + c 2
2
2
2
2
d
c
b
a
M = 2(ac + bc)
Pyramide
h
1
V == ⋅·AAGG⋅ h
·h
3
AG
AO = AG + AM
a
r=
3
2
Hexaeder (Würfel)
1a
VVρ==
= a⋅3AG ⋅ h
31
2
V = ⋅ AG ⋅ h
3 2
AO = 6a
a1
1
rV= = 3
⋅ A ⋅ h = ⋅ πr2 ⋅ h
2a3 G
3
r=
3
2
a
ρ=
2a
ρ=
2
1
1
2
r
a
a
a
18
Drehzylinder
(gerader Kreiszylinder)
1
V = ⋅ AG ⋅ h
2
3
V=
= AG ⋅⋅ h
h = π r2 ⋅ h
V
V =A
AG ⋅ h == ππrr 2 ⋅⋅ hh
G
a
A=M =
= 2π
rA
3r ⋅ h
AMM 2= 22ππrr ⋅⋅ hh
h
= 2π r ( r + h)
AO =
A
AOO==a22ππrr ((rr ++ hh))
ρ
2
Drehkegel (gerader Kreiskegel)
r
1
1
V = ⋅ AG ⋅ h = ⋅ π r 2 ⋅ h
3
3
AM =
=π
π rr ss
A
M
s
h
AO =
=π
π rr ((rr +
+ ss))
A
O
r
Kugel
V=
4
1
⋅π r 3 = π d3
3
6
a⎞
⎛Aa
= 4π r 2 = π d 2
O ⎟
⎜⎝⎛ a
a
2
⎠
a⎞
⎜⎝ 2
2 ⎟⎠
2
Kugelabschnitt:
π 22
V=
h2 ((3r
( 3r − h ) = 1 π h(3r
h( 3r1222 +
h222 ))
=π
⋅h
+h
V
π3 ⋅⋅h
22 3r − h) = 1 π h( 3r112
2
6
V = π3 ⋅⋅h
h ( 3r − h ) = 1 π h(3r
h( 3r h222 )
V = 3 ⋅ h2 ((3r
+h )
3r − h ) = 6 π h( 3r1112 +
3
6
2
22
(Kugelkappe)
AMM =
=2
2π
rh =
π rh
=π
π (( rr111222 +
A
+ h22 )
2 + h2
AM
=
2
π
rh
=
π
(
r
)
2
2
1
M
AMM = 2π rh = π ( r11 + h )
Kugelausschnitt:
2 22 a
V=
=2
h
π rr 2h
π
V
2
3
V=3
2 π r 222h 2
V = 3 πr h
3
π 2
1
2π
AOO =
=2
π rr ⎛⎜Vh
h=+
+1
h(( 3
−h
h )) ⎞⎟= π h(
AM3
πr1rrh1rrr2 )
2rr −
r1=2ππ
+
h+
2r
AA
M=
A
2
1 ⋅ hh(
1
O
M =
⎛
⎞
⎝
⎠
3
2
AOO = 2π r ⎜ h
+2
1 h( 2
h+
2rr − h ) ⎟ 6 AAMM ==ππrr11rr
AO = 2π r ⎝ h + 2 h( 2r − h ) ⎠
AM = π r1r
Kugelschicht:2
2
2
1
AM 222= 2π rh
22 = π222 ( r1 + h )
V=
=1
πd
d ((3
V
+3
+ dd 22 ))
3ς 11122 +
3ς 2222 +
16 π
V=6
1 π d (3ς + 3ς + d )
V = 6 π d (3 1112 + 3 222 + d 2 )
6
2
V = π r 2h
A
=
2π
π rd
rd 3
M
AMM = 2
AMM = 2π rd
AM = 2π rd
AO = 2π r h +
1
h( 2r − h )
2
AM = π r1r
h
r1
v1
v
2
r
d
cos α
≠AOP
α
( 2k + 1 ) ⋅ 90
AOP
cos α = u
sin
AOP
α =v
tanα =
sinα
cos α
AOP
cosAOP
α = usinα
α ≠ ( 2k + 1 ) ⋅ 90
AOP
tanα =
sinα = v
cos
α
cos α = ucos α
AOP
cos α = u
sinα
cosAOP
α =u
AOP
cot
cos
α == vu
cos α
sinα
cos α = u
cot α =
sinα
≠
+
⋅
2
1
90
α
(
k
)
cos αsin
u
=α
AOP
sin
α =v
tanα =
sinα = v
AOP
cos
α
sin
α
sin
α
=
v
AOP
cos
u
α
=
sin
α
=
v
cos
u
α
=
tan
α
=
α ≠ k ⋅180
sinα = v
cos
α =v
cosαα
⋅180
α ≠ ksin
6.1
cos αKreisfunktionen
= usinα
cot α = tanα = sinα
tan
α
=
≠
+
⋅
2
1
90
α
(
k
)
cos
α
=
u
sinα
cosAOP
α =u
sinα = v
sinαα
sin
sin
αα==vcos
α
tan
AOP
∈AOP
k
sinα α
tan
α( 2=k + 1 ) ⋅ 90 cos α AOP sinα
≠
cos
α
tan
α
=
Darstellung
am Einheitskreis (r=1), dessenMittelpunkt
OAOP
eines
AOP cos α im Ursprung
∈tan
= kartesischen
sinα = v
k AOP
αAOP
cos
α AOP AOP
cos α
cos
α
sin
α ist
= v ein
Einheitskreis, womit
≠sin
⋅180
α
k
Koordinatensystems
liegt.
P
(u
|
v)
beliebiger
Punkt
auf
dem
sin
α
=
v
α
sin
α
cos
α
=
u
≠
+
⋅
2
1
90
α
(
k
)
≠α( 2=ku+ 1 ) ⋅ 90
α
cot α =
cos
tanα =
a
tan
AOP
cos
α
=
u
sin
α
cos
α
cos
α
=
u
≠
+
⋅
2
1
90
α
(
k
)
AOP
jeder
beliebige
–
im
Gegenuhrzeigersinn
orientierte
–
Winkel
sein
kann.
= sinα = cos
β
≠ α(cos
2=kα
αcot
cos
u
α
a αcos
sinα
α
cos
α+ 1=)u⋅ 90
cos
=cos
uα( =2α=kucos
c AOP cos
≠
+
⋅
2
1
90
α
(
k
)
≠
+
1 )β⋅ 90
α
=
u
cos
α
=
u
=
sin
tanα =
sinα k ∈ sinα
sinα
c
α
cos
sin
α
=
v
cos
α
cos
α
tan
α
=
= sinAOP
α
== vvu
α =
cos
sin
α
cot
α( 2=
≠ kα⋅180
αtan
αα= =v v
α
cos
ucos
⋅ 90cot
2kα+ =
1 )vcos
α ≠α(sin
cos α cos
α
1α
) ⋅ 90
α
sinα sinsin
Es
sin
cot
b ≠gilt:
cos
α =ku+
sin
α
=
v
αsin
=sin
vαα= =cos
cos
α
v αy
=
cot
α
sinαα≠=kv⋅y180
cot
= cos αsin
=αsin β
cot
αα =
b
a
sinα
sin
αβ
sin
≠
+
⋅
2
1
90
(
k
)
α
c
=
=
α
cos
sin
=
=
α
β
sin
cos
sin
α
cos
α
=
u
von
sin(Abszisse
α
P (u | v)
P (u | v)
1 ) ⋅ 90
tan
sinα
αα=
==vvsin
α
∈P)
kα
(⋅290
k+
sin
αα
sin
tan
≠α
1≠)α
( 2=kα+
α
c cos αsinαα≠ k ⋅180 c
cos
tan
α
=
cos
sin
≠
⋅
180
α
k
tan
α
=
sin
α
=
v
von P)
= α sin
cot αtan
α sinα
cos(Ordinate
α
cot≠αk ⋅=180
=ααα= sinα
αsin=⋅cos
cos
α
α
tan
tanαtan
≠ kα
180
α=tan
=αα O
≠ =sin
⋅180
αkα∈
k
sin
αα
x
tan
O cos αcos
a
A αx
cos
cos
αcoscos
≠
⋅
180
α
k
sin
α
=
v
α A
cos α
= αtan
=αcot β
sin
= αsin
cot
a
a
b
cos
α
α
cos
α
∈
k
b
α
≠
(
2
k
+
1
)
⋅
90
tan
α
=k +
sin
= tanα = cot β 2=
∈≠α
kα
= sin
= cos
= cos
α = sin β
α =β
tan
cot
α =αcot
sin
α
1 α
90
)α⋅⋅ 90
≠ (( 2
+
1
α
k cos
)α
cos
bα ≠k (∈2
c
∈
ktan
≠ kα
kac⋅∈180
αα
sinα sin
⋅ 90
≠ αk⋅=180
α
≠
+
⋅
2
1
90
1) ⋅)90
(
k
)
α
( k21k+)+1
1β
=
=
α
sin
cos
AOP
cos
≠
+
⋅
≠
2
90
α
(
k
)
α
( 2≠kα+
α
k∈
≠ ( 2⋅k90+ 1 ) ⋅ 90
sinα
α ≠c ( 2k + 1 ) ⋅ 90
tan
α
=
b
a
cos α
AOP
α
k ⋅180
α
a =≠ cot
=
tan
cos
= sinα = cosbβ a
cot≠αk ⋅=180
bα
≠α(sin
2=kkααcos
+=1
1α
90ββ
α
(2
a
=
cos
180
α=≠sin
k ⋅β
cos
α
a∈
≠
+
α
)) ⋅⋅ 90
cot
k∈
cαcot β
=α
cos
a
k
= cot
=αα
αsin
ββ
tan
=
α
cos
=
=
α
tan
=
cot
α
sin
α
cos
cos
=
= (sin
=1αα
cot
α=αcos
α+sin
β
cos
⋅
2kcos
90
αc ≠
)
=
u
cos
α
a
c
cos α
=
=
α
β
sin
cos
cos
α
=
=
cot
α
cot
a
c
b
sin
α
b
sin
α
c
=
=
cot
α
cot
α
=
=
α
β
sin
cos
=
cot
α
c
=
cot
α
=
=
α
β
cos
sin
sinα
αα
α = u
k∈
sinαsinsin
c
≠ (2k cos
+ 1cos
α
) ⋅ 90
sinα bsinα
α
k ∈ a c
α
sin
:αα=cos
sin
k ∈≠ α am rechtwinkligen
a
⋅
180
α
k
b
cot
b
Darstellung
Dreieck
=
=
α
β
cos
sin
=180
cot=
α
180
≠αcos
α
sin
= vβ
= sin
sin
sin
a
b α = cosβc
==αα
ααcos
sin
cos
sin
αα= sin β
cos
α
kk ⋅⋅=
α
sin
b≠
αα:≠αc≠k=
cot
sin
b ≠=kcot
= tanα = cot β c α
α = tan
β
ca =αcos
⋅180
⋅180
k⋅180
=sin
αsin
sinαβ= v
k =
≠
⋅
≠
⋅
180
180
α
α
k
α
b
=
α
β
cos
sin
≠
⋅180
α
k
b
a
a
cos
α
cc =Hypothenuse
≠ βk ⋅180
α =cos
cos
= cos α =αsin
a
α=
αβ
cos
:sin
c
=
=
α
β
tan
cot
cot
α
a
C
∈
β γ = δ = a90°
sinα
=
βα=zu
sinαc ==cos
=cos
β=
∈
kc ∈
180
sinα undkGegenkathete
b
sinα zu
cos
: aα cos α
≠Ankathete
α
kb
b b
c
k k∈
≠
α
kk ⋅⋅180
tanα =
c
a≠
∈
∈=tanα = cot β
k
=
cos
sin
βb =α
⋅
180
α
k
α
=
β
=
γα
90
° tanα = cot
sin
α
a
α=∈δ
:k=
k ∈β
= sin
cos
αzu bund Ankathete zuk ∈sin
cos
sin
α ==tan
β
tanα
cotβ
a =Gegenkathete
bk ∈ = cot α = tan β c a
α
αα =
tan
tan
bcb = :tan
α=
a
cot β cos αaa
a
=
=
α
β
tan
cot
b
b
≠
⋅180
α
kcos
ba ∈
tan
: α tanα
=
α == cos
β
sin β
tanβα = cot
= sinαb = cos
bβ
= cot α = tan β
b
a
kkac ∈
=
α
sin
b
=
cos
=
sin
α
β
sinαα ≠=(cos
β 1 ) ⋅ 90 c = cos α sin β
αα= =cos
ββ
kcc ∈= 2k +
: α α=cos
a
a a=b=sin
bcosαβ
aα
a a acos
= sin
c
=sin
α α=βcos
ββ
tan
c
a : α cot α
b
==cot
=sin
α
sin
cosαβ= tan=βc sin
cos
==cot
cot
=cot
= cos
=
α
β
sin
cos
=
=
tan
α
β
c
c
α
α
sin
:
sin
a
=
β
tan
cot
≠
+
⋅
2
1
90
α
(
k
)
=
α
cot
tan
A
B
a
ccot : αc
b
c cot α
ka ∈ bc b c
b
= tan β
α
cot
a=
b
=
=
α
β
cot
tan
b
=
=
α
β
sin
cos
α
α
sin
:
sin
b = sin
a
ββ α
tanαα
cotcos
α===cos
α = tan
β : α tanα
sin β
a = cot
b
atan
a = cos α
b
cos
2sin
==αcos
ααcos
β
sin
==
cc =
: αα
sin
b
acos
= tan
α
=2 α
cos
sin
β 1 cos αcos
c =: αtan
b βb
+cot
α
sin
α
β = cot
cot
=
sinαβ
sinαb 2b=sin
α
c
sin
α
bαcos
2 = sin β
b
b
= cos=αcos
=sin
=cos
α
sin=: βαsin
b
c : α sin
b
ba
α
sin
c cos
=
=cos
α
β
β==1sin β
sin
=
cot
α
+
α
α
sin
cos
=
α
=
=
α
β
cos
sin
=
=
cot
tan
α
β
=
=
α
β
sin
cos
c
c
cαα
c
αα
cos
:α
cos
α sintan
α β sinα
sin
:cot
c
a c sin
α
:
sin
cot
:
cot
c
b
a
cos : α cos α
b = cos α = sin β Funktionsdarstellung
sin : α sinα
a
a = cos
cos : α cos α
=ksin
α≠1
ββ
b
α
α β
tan
cot
tan
⋅180
αα
= cot
tan
btan
a
b =: α
c=
aa
α:cos
cot
= sin
α cos
β
tan
cot
==
α=
α ββ
cos
ca
=
=
cot
tan
α
β
=
tan
cot
α
b
a
= cot α tan β
α1α= =cot
ββ
tan
tan
aαsin
acot α= ==
b
c ::αα aαtan
≠αk ⋅180(Sinusfunktion)
ααα
α==
tan
tan
cos
cos
2:tan
2α
sina:cos
αsin
αcos
=
=
αtan
β
cot
a
b
a
:
cos
α
sin
sin
(Cosinusfunktion)
b
=
=
=
α
β
βcot
cot
tan
cot
1
+
α
α
tan
:
tan
=
=αcot β
tan
=
=
α
β
tan
cot
αα
tan
= cos α = sin β
b b
b
cos : α cos α
b
b
tan : α tanα
b
cot : α cot α
k ∈sin
α
ac : α a
sin
b
α
α1β
tan
= :tan
= cot
α tan
β
tan
cot
b
=
a
2α =
=
=
α
β
cot
tan
sin
:
sin
α
α
b
∈
k
cot
:
cot
α
α
cos
cot
tan
sin : α sinα cos :tan
α cos α1 α (Cotangensfunktion)
b+=
b bcot : α cot
1
= tan
α cos
tan
=tan
α
cot
::tan
αα αα β (Tangensfunktion)
b
1 αβ
a
b :bα tan
= =cot
= =tan
cosβ2 α
tan2 : α tan
a = cot α = tan
b
bα2cot
1=+acot
α=α=α
tan
=αcot
cot
b α
2
=α
=cot
βtan
cot=
tan
tan β
a
βcotbα
:α
=
α
β
tan
a
1
+
=
α
α
sin
cos
=
α
cot
=a cotaα =tan
tanαβ
cos=2 αtan β
=sin
α=cot
cot
a
cos=:tan
cos
α
αα β= cos β
cot
a
a
a
2
2
2
2
Zusammenhänge
zwischen
Kreisfunktionen
b :: α
cos
:α
cos:cot
αα a αα
cot
cα cot
: α den
cos
sin α + cos α = 1
α
+cos
sin
b
:ααtan
cotαα = 1
tan
tan
ααtan
sin
sin
=:cot
=
β α = coscos
cot
tan
=
β :α αα α1sin
sin=
sin
=
α
β
tan
b
2
cot : α cot α
2
2
:
sin
α
α
a
α
sin
: α: αsin
1sin
+
α
=
cot
c
1
+
=
α
α
sin
cos
a =2 cot 2tan2β
1α
1
α
αsin1α
sin : sin
sin
2 sinαsin
tan
: α+ costan
α=α
sin
α
:2α
sin
:sin
a
sin
:α
sinα
1
+
cot
α
=
sin
1
α
cot
α
=
1
+
tan
α
=
α
α
sin
:
sin
b 2α
2
2
2
1
bαcos
tan
:
tan
α
2 cot α
2 cos α
α
α
tan
:
tan
cot
:
α
sin
α
tan
α
1
1
+
=
sin
α
α
=
=
β
cot
tan
cot
:
cot
α
α
α
α
cos
:
cos
=
α
cot
1
+
=
sin
cos
=
=
α
α
α
β
cos
sin
2
2
sin
α
α
cos
cos
a ::::α
α
αα
sin
tanα
cos
cos
α
= 1α = tanα
sin α + cos αcot
bα
c sin
α
α
cos
:
cos
1
sin
2
2
cos α
αcos
costan
: α und
: αcos
= )cos α = sin
β
α =α
cot
(entsprechend
beicos
cos,
cot)
sin
(sin
αα
αα=
sin
cot::α
α
: αcos
cos :cos
cos α
:α α
1cot
2cos
α
: α cos
c2 α
tanα sin2 αcos
2α
1
1
cot
:
cot
α
cot
=
(sin
α )2
2α =
α
α
cot
:
cot
2
2
1
1
+
=
sin
cos
α
α
α
α
tan
:
tan
1
1
+
=
sin
cos
α
α
1
+
tan
α
=
1
+
cot
α
=
1
α
α
sin
:
sin
α
α
tan
:
tan
tan
α
2
cot
2 1 cot α =
a
cos
α=
αα
cosα:: α
cos
tan
tan
1 :+αtan
=α 2
cos
α
sin12 α
α
tan
tan
α
cos
2 tan
tan
α
=cos
tan
=
cot
α
2: α 2 αα = cot β
α
α
α
α
tan
:
tan
:
tan
α
cos
tan
α
tan
1
+
=
α
cos
α
α
α
α
tan
:
tan
tan
:
tan
sin α +bcosa α = 1
: α tanαcos 2 α2
1 tan : α tanα
tantan
α
22
2
2
=
=
α
β
tan
cot
1
+
=
sin
cos
α
α
1
+
=
α
tan
1
+
=
α
α
sin
cos
1
α
α
cot
:
cot
2
cos : α 2 1cos
cot
cot
2
2
b α1
6. Trigonometrie
19
a
b
c
a = b = sin
cα =
=2
vr
sinα = sin β = sinγ = 2r
sinα sin β sinγ
20
sinα
tanα =
α +β
cos α
tan α + β a + b
tan 2
= a+b
α −2 β =
tan α − β aa −−αbb ≠ ( 2k + 1 ) ⋅ 90
tan 2
2
c = a + b − 2ab ⋅ cos γ
6.2 Ebene Trigonometrie
2
2
2
c 2 = a2 + b 2 − 2ab ⋅ cos γ
a
b
c
=
=
= 2r
sinα sin β sinγ
a
b
c
=
=
= 2r
sin
α
sin
β
sin
Kosinussatz: c 2 = αa2++βb 2 − 2ab ⋅γcos γ
tan
2 = a+b
α +−ββ a − b
α
a
b
c
tan
tan
b = 2r
Tangenssatz: sinα =22 sin=βa=+sin
α −β a−b γ
tan
12
A = α ab
+ β⋅ sinγ
tan 2
a+b
2
1
=
A = αab
− β⋅ sinγa − b
Notizen
tan 2
a
ρ = ( s 2− a ) ⋅ tan
2
a
ρ = (1s − a ) ⋅ tan
γ
=
⋅
A
ab
sin
2
a = b2⋅ cos γ + c ⋅ cos β
Sinussatz:
Dreiecksinhalt:
Radius Inkugel:
Projektionssatz:
cos α
1
A = 1 ab ⋅ sinγ cot α =
A = 2 ab ⋅ sinγ
sinα
2
a ≠ k ⋅180
α
ρρ == ( s −− a ) ⋅⋅tan a
( s a ) tan 2
2
k∈
a = b ⋅ cos γ + c ⋅ cos β
a = b ⋅ cos γ + c ⋅ cos β
a = b ⋅ cos γ + c ⋅ cos β
a
ρ = ( s − a ) ⋅ tan
2
a
= sinα = cos β
c
b
= cos α = sin β
c
a
= tanα = cot β
b
b
= cot α = tan β
a
7. Lösen von Gleichungen
cos : α cos α
7.1 Äquivalenzumformungen
tan : α tanα
a = b ⋅ cos γ + c ⋅ cos β
sin : α sinα
Zwei Gleichungen gelten als äquivalent, wenn sie die gleiche Lösungsmenge besitzen.
cot : α cot α
Äquivalenzumformungen linearer Gleichungen
sin2 α + cos2 α = 1
1) Addieren derselben Zahl zu beiden Seiten einer Gleichung; die übrigen Gleichungen 1
bleiben unverändert.
cot α =
tanα
2) Multiplizieren beider Seiten einer Gleichung mit derselben, von Null verschiedenen Zahl; die übrigen Gleichungen bleiben unverändert.
1
1 + tan2 α =
cos2 α
3) Ersetzen einer Gleichung durch die Summe, gebildet aus dieser Gleichung und einer anderen des Systems; die übrigen Gleichungen bleiben unverändert.
1
1 + cot 2 α = 2
sin α
sin2 α = (sinα )2
21
7.2 Lösen linearer Gleichungen und Gleichungssysteme
Additionsverfahren mit zwei Variablen
1) Beide Gleichungen addieren/subtrahieren, um eine Gleichung mit nur einer Variablen,
zum Beispiel x, zu erhalten.
2) Diese Gleichung nach der Variablen x auflösen.
3) x in eine Ausgangsgleichung einsetzen und y ermitteln.
Gleichsetzungsverfahren mit zwei Variablen
1) Beide Gleichungen nach einer Variablen (zum Beispiel x) auflösen.
2) Den Term für x aus der ersten und zweiten Gleichung gleichsetzen und y ermitteln.
3) y in eine Ausgangsgleichung einsetzen und x ermitteln.
Einsetzungsverfahren mit zwei Variablen
1) Eine Gleichung nach x auflösen.
2) Den Term für x in die zweite Gleichung einsetzen und y ermitteln.
3) y in die erste Gleichung einsetzen und x ermitteln.
Gauß'sches Verfahren
a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + … + a3nxn = b3
…
…
an1x1 + an2x2 + an3x3 + … + annxn = bn
a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1
a'22x2 + a'23x3 + … + a'2nxn = b'2
a'33x3 + … + a'3nxn = b'3
…
a'nnxn = b'n
7.3 Lösen quadratischer Gleichungen
Quadratische
Gleichungen
Lösungsformeln
allgemeine Form: ax2 + bx + c = 0, wobei a, b, c konstant und a ≠0
Normalform: x2 + px + q = 0, wobei p, q konstant
Für allgemeine Form
x1 ,2 = −
b − 4 ac
b
±
2a
4 a2
2
Für Normalform
x1 ,2 = −
p
±
2
p
( 2 )2 − q
22
Diskriminante
D=(
p
2
p
)2 − q, daher x1 ,2 = − 2 ±
D
Falls D > 0: zwei Lösungen
Anzahl der
Lösungen
x1 = −
p
±
2
p
( 2 )2 − q
p p p
(
und x 2 =x−2 = ±− ±
2 2 2
Falls D = 0: genau eine Lösung,
x1 = x 2 = −
p
2
p
)(2 2− q)2 − q
Falls D < 0: keine Lösung im Bereich der reellen Zahlen
Satz von Vieta
Hat x2 + px + q = 0 die Lösungen x1 und x2 , dann gilt:
x1 + x2 = -p und x1 · x2 = q
Linearfaktorzerlegung
Hat x2 + px + q = 0 die Lösungen x1 und x2 , dann gilt:
| A1 ∪ A2 | = | A 1 | + | A2 | − | A1 ∩ A2 |
x2 + px + q = (x - x1 ) · (x - x2 ) = 0
Quadratische
Ergänzung
A1+∪qA=2 | =x |+A 1p| +2|−A2 | p
x2 + |px
(
) ( 2− |)A2 1+∩qA2 |
2
| A1 ∪ A2 ∪ A3 | = | A1 | + | A2 | + | A3 | − | A1 ∩ A
| A1 ∪ A2 ∪  ∪ An | = | A1 | + | A2 | + … + | A
| A1 ∪ A2 ∪ A3 | = | A1 | + | A2 | + | A3 | − | A1 ∩ A2 | − | A2 ∩ A3 | − | A3 ∩ A1 | + | A1 ∩ A2 ∩
7.4 Polynome n-ten Grades
Ai ∩ Ak
| A1 ∪ A2 ∪  ∪ An | = | A1 | + | A2 | + … +||AAn∪
|, A | = | A | + | A | − | A ∩ A |
1
2
1
2
1
2
Polynom n-ten Grades: Pn(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 ; (ain≠ 0)
k
Ai ∩ Ak
| A1 ∪ A2 ∪ A3 | = | A1 | + | A2 | + | A3 | − | A1 ∩
| Aa1 ⋅ A2 ⋅ … ⋅ An | = | A1 | ⋅ | A2 | ⋅ … ⋅ | An |
Satz: Für Pn(x0 ) = 0 mit xi0≠ 0
k ist: Pn(x) = (x - xo ) ( an x n−1 + …− 0 ) = ( x − x 0 ) ⋅ Pn−1 ( x )
x|0A1 ∪ A2 ∪  ∪ An | = | A1 | + | A2 | + … +
n!
A =|
| A1 ⋅ A2 ⋅ … ⋅ An | = | A1 | ⋅ | A2 | ⋅ … ⋅ | A
n ( n − k )!
Ai ∩ Ak
7.5 Gleichungen n-ten Grades
n!
n!
Eine Gleichung n-ten Grades
k
A = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 = 0; (ain≠n0)
=
A=
( n − k )!
k
k ! ⋅ ( n − k )!
auf| eine
lässt sich bei Kenntnis der Lösung x0 durch Abspalten des Linearfaktors
| A1 ⋅ A2 ⋅ …x⋅ A- nx|0 =
A1 | ⋅ | A2 | ⋅ … ⋅ | An
n
n!
Gleichung vom Grad n - 1 reduzieren.
n−1+ k
=
A=
A=
k
k ! ⋅ ( n − k )!
1
n −n!
Eine Gleichung n-ten Grades hat höchstens n verschiedene Lösungen.
Ist n ungerade, so
A=
( n − k )!
hat die Gleichung mindestens
eine
reelle
Lösung.
Bei
komplexen
Zahlen
als Lösung hat
n−1+ k
A=
n! ≈ nn ⋅ e − n ⋅ 2π n
die Gleichung genau n Lösungen.
n−1
n
n!
=
A=
k
A1 , A2 , … An k ! ⋅ ( n − k )!
n! ≈ nn ⋅ e − n ⋅ 2π n
23
8. Stochastik
∪
∩
A
|A
A
A
∪A
+|=+1| |A
∩
|A
| 1A|1∪A
|=12=∪
|=AA12||1|A
||+A
||−2|+|A
||−1AA|1∩2A
|
|A
1A
1−A
2||2A
2A|21−
2||2A
==
∩
| |AA11|∪∪
|++|1|A
|−
|∪
|A2−
A1AA
AA∩
=A1|1|A
+2|1∪
A1AA∪
A−
AA
A∪
∪
|2A
|21+A
∪
∪
|A1A
A
|=
|=|A1A3|1 |+A
| +=
||+A
||+2|+|A
||+A
|32−A
|
AA
22| |A
2|A
1|∩
2|23|=
2 | |A
12A
2∪
1| |A
2|∪
31|32
2A
3A
1A
8.1 Ereignisse
Wahrscheinlichkeitssprache
∪
==
+1A
+
| |AA11|∪∪
| |1A+
AA
|+
|∪
|∪
A
A3A
|−
A1A
A
∪
∪
=|∩
|1∪
A
||1AA
A
∪
∪
∪
=A∪
+A
|=AA
A|+

A
|n
|1=|∩
|2|=+1|A|−
|2|+2A|∩
|2A
∪
A21A|n|1−
A|∩
+
−
A1AA∪
A2AA∪
A
|2∪
A−
A|−
22∪
33| |A
1|1|1
3
2
n∩
n|A
2|2|∪
2A
2A
12
1+
3 | |A
3|A
Ereignis
Mengensprache
∩
A|A
∩
∩
A
∪
∪AA∪
=
+| |AA
| |AA11|∪∪

|i |=
A
∪∪
+2k2| |+
++…
+nn||,|,An |,
A1AA∪
A2

| |+
A
A+2…
|…
i|A
i=
kA
ik+
nA
n|A
22∪
1k1A
n∩
1| |A
S (auch Ω)
Grundmenge
A∪ B
i≠
i ≠kik≠ k i ≠ k
AAi i∩∩
∩
AA
k k Ak
iA
A
Teilmenge
Elementarereignis
A ∩ B {a }
i
Ereignisraum
A ∅P (S) | |AA |⋅ ⋅AAPotenzmenge
…
…
⋅AAnn|⋅ |A==
…
⋅| |AA⋅nn| |An |
|AA1| |A⋅ ⋅n!
| |n!
AA⋅ n!
⋅ ⋅…
| |A⋅ ⋅…
|n!
11 212⋅⋅⋅A
n | |=
2 ⋅ ⋅…
∅
=1 A2=2 2
AA=1=A
∅ S,
−)!k( n)!− k )!
Grundmenge, ( n( n−(−knk)!
∅
A∩ A
B∪
= φB
leere
n!
n! Menge
A ∪ B AA==A = n!
A∪ B
( (nVereinigung
n−−
−)!k )!
( knk)!
nn n nn!n! n! n!
A∪ B
AA==A = =A== = =
A∩ B
k k k k k! !⋅k(k⋅n(!n−⋅ (−knk)!
⋅ k( n)!− k )!
!−)!
A∩ B
A∩ B
nDurchschnitt
n n
n!
n! n!
A∩ B
AA==A = == =
A
kk k kk! !⋅ (⋅k(n!n−
⋅−
−)!k )! −−1n1+−+k1kn+−k1 + k
( knk)!
KomplementAA==An=n A
A
=
A
nn−−1n1− 1n − 1
A
A∩ B = φ
und
1n1+−+k1Bk+sind
nAn−−
k elementefremd
A ∩ B = φAA==A =
n n −nn− n − nn
−n
A∩ B = φ
−
−
1
1
n
n
−
1
n
≈⋅ en
⋅⋅ eπn2
≈nn
⋅ e ⋅≈⋅e⋅n2π
2
n!n!≈n!
nπ⋅n 2π n
n!
A∩ B = φ
Ergebnisraum
sicheres Ereignis,
unmögliches Ereignis
A oder B
A und B
Gegenereignis
A und B sind unvereinbar
8.2 Kombinatorik
∅
Symbol
i i≠≠kik≠einelementige
A
|21A
⋅|1AA
⋅A
⋅| A
…
⋅ 1|⋅ |A
⋅⋅|…
|A
| 1ATeilmenge
|=…
|=
||⋅A
|⋅|2…
⋅A⋅AA
A| n1A|1 A
|⋅⋅A
k
n=| |⋅=
2 ⋅1⋅…
n2|n⋅⋅A
21 ⋅2⋅ …
2A
n
…
A
…
, 1A
,A
,A
2π
n!
n!≈≈
nnn≈n⋅ e⋅ne−n−n⋅n⋅e⋅− 2
nA
⋅ πn2
π1An,1 A
n!
21,A
nA
n2A,n… An
2 ,2…
| A1 ∪ A2 | = | A 1 | + | A2 | − | A1 ∩ A2
…
…
A
,
A
,
…
A
A
A
,
A
,
||,
|,||A
A
Die Anzahl der Elemente der endlichen Mengen 11 122 A2 , …
sei
|A
…
|AA
|…
| A1||,
|,|1A
||,|A
|,
nn A
n | | An |
2…
n2|n|,
1A
2A
2A
1|,
n
| A1 ∪ A2 | = | A 1 | + | A2 | − | A1 ∩ A2 |
| A1 ∪ A2 | = | A 1 | + | A| 2A| −∪| A
∪A
A1 ∩
A2 || = | A | + | A | + | A |
1
2
3
1
2
3
|,|1|A|,A22||,|,
| |AA1|1|,A
AAnn| |An |
A…
|,| |…
Summenregel
2…
| A1 ∪ A2 ∪ A3 | = | A1 | + | A2 | + | A3 | − | A1 ∩ A2 | − | A2 ∩ A3 | − | A3 ∩ A1 | + | A1 ∩ A2 ∩ A3 |
|| A
| A1 ∪ A2 ∪ A3 | = | A1||A+1|∪
A2A|2+∪| A
∪| A1n ∩
+2| ∩
| =A2||A−1 | A
A2A|
∪A
= || A
+ || A
− || A
∩A
A1 ∪
A2 || =
A 1 || +
A2 || −
A1 ∩
A2 ||
3 |−
| A11 ∪ A22 | = | A 11 | + | A22 | − | A11 ∩ A22 |
| A1 ∪ A2 ∪  ∪ An | = | A1 | + | A2 | + … + | An |,
=∩
| AA
A
| 1A
|AA21 ∩
| +A| A| | + … + | An |,
|| A
|| −
i ∩AA
k∩ A3 |2
A1 ∪
∪A
A2 ∪
∪A
A3 || =
= || A
A1 || +
+ || A
A2 || +
+ || A
A3 || −
− || A
A1 ∩
∩A
A2 || −
− || A
A2 ∩
∩
A13∪
−A||2A
A∪3 ∩
∩
A1∪|| +
+A||n A
A
∩
| A11 ∪ A22 ∪ A33 | = | A11 | + | A22 | + | A33 | − | A11 ∩ A22 | − | A22 ∩ A33 | − | A33 ∩ A11 | + | A11 ∩ A22 ∩ A33 |
Ai ∩ Ak
|| A
A1 ∪
∪A
A2 ∪
∪
∪
∪A
An || =
= || A
A1 || +
+ || A
A2 || +
+…
…+
+|| A
An |,|, falls Ai ∩ Ak = für alle i ≠ k
| A11 ∪ A22 ∪  ∪ Ann | = | A11 | + | A22 | + … + | Ann |,
i≠k
i≠k
A
| A1 ⋅ A2 ⋅ … ⋅ An | = | A1 | ⋅ | A2 | ⋅ …
Produktregel
Aii ∩
∩A
Ak
Ai ∩ Akk
| A1 ⋅ A2 ⋅ … ⋅ An | = | A1 | ⋅ | A2 | ⋅ … ⋅ | An |
| A1 ⋅ A2 ⋅ … ⋅ An | = | A1 | ⋅ | An!
ii ≠
2 | ⋅ … ⋅ | An |
≠ kk
A=
i≠k
( n − k )!
n!
n!
||AA
⋅ An || =
A=11 ⋅⋅(A
An22 ⋅−
⋅…
…
= || A
A1 || ⋅⋅ || A
A2 || ⋅⋅ …
… ⋅⋅ || A
An ||
A=
k )!⋅⋅ A
| A1 ⋅ A2 ⋅ …
Ann | = | A11 | ⋅ | A22 | ⋅ … ⋅ | Ann |
| A1 ∪ A2 | = | A 1 | + | A2 | − | A1 ∩ A2 |
24
n
∑ P( a ) = 1 || AA ∪∪ AA ∪| =A| A| =| |+A| A| +| |−A| A| +∩| AA ||− | A ∩
i =1
11
i
22
3
1 2
1
2 1
32
| A1 ∪ A2 | = | A 1 | + | A2 | − | A1 ∩ A2 |
1
| A1 ∪ A2 ∪  ∪ An | = | A1 | + | A2 | + … +
P({ ai }) ≥ 0 | A1 ∪ A2 ∪ A3 | = | A1 | + | A2 | + | A3 | − | A1 ∩
| A1 ∪ A2 ∪ A3 | = | A1 | + | A2 | + | A3 | − | A1 ∩
Urnenmodell:
Aus einer Urne mit
n Kugeln werden
k Kugeln gezogen
Ziehen mit Zurücklegen
mit Berücksichtigung der
Reihenfolge
Ziehen ohne Zurücklegen
mit Berücksichtigung der
Reihenfolge
Alphabet:
k ∪ K ∪ A | = | A |+| A |+ …+
|AAi ∩∪AA
n
n Buchstaben und P({ a }) = 1| A1 ∪ A2 ∪ K ∪ An | = | A1 | + | A2 | + … +
1
2
n
1
2
∑
i
k Plätze
Anzahl A
i =1
iA≠ ∩
kA
i
k
Ai ∩ Ak
k-Tupel mit
P({
a
})
k
∑ i A| A=1 ⋅nA2 ⋅ … ⋅ An | = | A1 | ⋅ | A2 | ⋅ … ⋅ | An
Wiederholung
ai ∈A
i≠k
(Variation)
i≠k
k-Tupel ohne
Wiederholung
n!
|AA=1 ⋅A2 ⋅ … ⋅An | = | A1 | ⋅ | A2 | ⋅ … ⋅ | An |
( n2 −⋅ …
k )!⋅An | = | A1 | ⋅ | A2 | ⋅ … ⋅ | An |
| A1 ⋅A
(Variation)
P( A ) ≥ 0
n!
A = n n!
n!
A == ( n−=k )!
(
n−
k
)!
k
⋅
k
!
(
n − k )!
= n!
P( A ∪ B ) = P(AA)
+ P( B ),
P( ∅ ) = 0
Sonderfall:
Vollerhebung
n-Tupel ohne
Wiederholung
Ziehen ohne Zurücklegen
ohne Berücksichtigung
der Reihenfolge
A∩ B = ∅
k-elementige Teilmenge
⎛ n⎞
n!
A = ⎜⎛ n ⎟⎞− =
1 + k n!
k
k!
⋅(
n− k )!
⎝
⎠
A == ⎜ ⎟ =
⎝ k ⎠n − k!
1 ⋅( n− k )!
(Kombination)
P( S ) = 1
Anordnung auf k Plätzen
⎛ n−1 + k ⎞
n
A =≈⎜⎛nn−1
⋅ e − n+⋅k ⎟⎞2π n
n!
mit Wiederholung ohne
A = ⎝⎜ n−1 ⎠⎟
⎠ A∩ B )
Berücksichtigung der
P( A ∪ B ) = P( A) +⎝ P(n−1
B ) − P(
P(aai i) )≥≥00
P(
Reihenfolge
(Kombination)
A1 , A2 n, …−A
n
n! ≈ nn ⋅e − nn ⋅ 2π n
P( A ∪ B ∪ C ) n!
= P(
+ P(⋅B )2+πP(
≈ nA )⋅e
n C ) − P( A ∩ B ) − P( B ∩
→
→
…
|
A
|,
|
A
|,
|
A
8.3 Wahrscheinlichkeit
n|
2
P( ai ) ≥ 01
P( ai ) ≥ 0
P( A ) = 1 − P( A )
nn
P( ai ) ≥ 0
S = {a1 , a2 , … , an } sei die endliche Ergebnismenge eines Zufallsexperiments.
P(aai i) )==11
P(
→
∑
∑
→
P( ai ) ≥ 0
A B P( A ) ≤ P( B ) i =i1=1
Wahrscheinlichkeit von Ergebnissen: Die Funktion P : S → mit
Ziehen mit Zurücklegen
ohne Berücksichtigung
der Reihenfolge
1) P( aii ) ≥ 0 für alle ai
n
→
2) ∑ P( ai ) = 1
i =1
n
heißt
Wahrscheinlichkeitsfunktion
→
aauf
) =S.1
∑ P(
P({
a })i ≥ 0
i =1 i
n
P({aa})})≥≥00
P({
P( a ) = 1
P( A ) =∑
P( A ∩ B ) + P( A ∩ B )
∑ P( a ) = 1
P( A ) =P({
P( A
P(
AP({
∩aa
B})})),==11
a ∩})B≥ 0) + … +∑
∑P({
ii
i
ni =1
i
i =1
i
nn
1
i =i1=1
i in
P({ P(
ai })
ai ≥) ≥0 0
P(ai n) ist die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses ai .
n
1
n
n
P({ ai }) = 1
P({aai i})})
P({
a }) ≥ 0
∑
∑ P( aii ) = 1
∑∑P({
n
P({i aiDie
}) =Funktion
1
ni =1
∑
=
1
i
∈A
aia∈i A
=
1
i
Wahrscheinlichkeit von Ereignissen:
P
:
P
(S)
mit
→
i =1
∑ P({ ai }) = 1
i =1
n
| A| | A|
2) ∑ P({ ai }) = 1
3) P( A ) = ∑ P({
4) P(
1) P({ aii }) ≥ 0 für alle ai
P(∅∅) )==00
n = ai })
P({
a
})
i =1
a|i ∈S
A | P( n
∑
i
ai ) = 1
∑
ai ∈A
∑PP({
i =1 ai })
nn Wahrscheinlichkeitsfunktion auf der Potenzmenge
heißt
(S).
ai ∈A
P(AA) )≥≥00
P(
aii })Wahrscheinlichkeit
=1
∑istP({die
P({Ereignisses
ai })
P( ∅ ) = 0
P(A)
des
A.
∑
ii==11
P(
P({ ai }) ≥ 0
ai ∈∅
A )=0
P( ∅ ) = 0
P(AA∪∪BB) )==P(
P(A)
A)++P(
P(BB),),
P(
P( A ) ≥ 0
P({
a
})
n
P(
∑ ii
P(A∅) )≥=00
aai ∈
A
i ∈A
P( A ) ≥P({
0 a }) = 1
P({
})
∑
P({aa
a })
}) ==
=11
1
∑P({
P({
a
})
=
1
∑
P({
a
})
=
1
∑
P({
a
})
=
1
∑
∑ P({ a }) = 1
a })
∑ P({
P({
a
})
∑
P({
a })
})
∑
P({
aa
P({
})
∑
P({
a
})
∑
P({
a
})
∑
∑ P({ a })
nn
i =n
n1
n
i =n1
i =1
11
iii==
=1
1
i=
i =1
i =1
ai ∈A
ai ∈A
ai ∈A
∈AA
aii∈
A
aa
∈A
ai ∈
aii ∈A
ai ∈A
i
i
iii
i
i
i
i
i
i
iii
i
i
i
∑ P({ a }) ∑ P({ a }) = 1
ai ∈A
i
P( ∅ ) = 0
i =1
i
∑ P({ ai })
n
∑ P({ a }) = 1
i =1
i
ai ∈A
25
∑ P({ ai })
ai ∈A
P( ∅ ) = 0
P( A ) ≥ 0
P(
P( ∅ ) = 0
P( ∅
∅ )) =
=0
0
P(
P(
∅
Eigenschaften
P(∅
∅)))) ==
= 00
0
P(
∅
=
0
P( ∅ ) = 0
P(A)
∅ )≥=00
P(
P( A ∪ B ) = P( A) + P( B ),
P(
A)
≥
0
P( A ) ≥ 0
P(
A)
≥
0
P(
A)
(Nichtnegativität)
P(
P( A)
A) ≥≥
≥ 00
0 P(
A)
≥
0
P( A ) ≥ 0
P(A
A)
P(
∪≥B0) = P( A) + P( B ), falls A ∩ B = ∅ (Additivität)
P(
A
∪
B
)
=
P(
A)
+
P(
B
),
P(
A
∪
B
)
=
P(
A)
+
P( B ),
P(
A
∪
B
)
=
P(
A)
+
P(
B
),
PP((S)
=
1 )
(Normiertheit)
∪
P(
A)
P(
P(
P( AA
A∪
∪BB
B ))) ==
= P(
P( A)
A)++
+P(
P(BB
B ),),
),
P(
A
∪
B
=
P(
A)
+
P(
B
),
P( A ∪ B ) = P( A) + P( B ),
AP(∩AB∪=B∅) = P( A) + P( B ),
P( S ) = 1
A
∩
B
=
∅
Diese
drei
Eigenschaften (auch Kolmogorow-Axiome
A ∩ B = ∅ genannt) kennzeichnen nach KolmogoA
∩
B
=
∅
AA
==
∩
∅
A∩
∩BB
Beine
=∅
∅Wahrscheinlichkeitsfunktion. Die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen sind damit
row
A
B
=
∅
A∩
∩
P(
S )B==1∅
P( A ∪ B ) = P( A) + P( B ) − P( AA
∩∩BB) = ∅
nicht
festgelegt.
1
P(
S
)
=
1
P(
S
)
=
P( S ) =11
P(
P(
1
P( SSSS )))) ==
=1
P(
S )) =− 1P( A ∩ B ) − P( B ∩ C ) − P( C ∩ A) + P( A ∩
P(AS ∪
) ==B11)Eigenschaften:
P(
= P( A) + P( B ) − P( A ∩
P(BA) ∪ B ∪ C ) = P( A ) + P( B ) + P(
P( C
Weitere
P(
A
∪
B
)
=
P(
A)
+
P(
B
)
−
P(
A
∩
B
)
P(
A
∪
B
)
=
P(
A)
+
P(
B ) − P( A ∩ B )
P( AA∪
∪BB)) == P(
P( A)
A)++P(
P(BB))−−P(
P( AA∩
∩BB))
P(
P(
A
∪
B
)) =
P(
A)
+
P(
B
)) −
P(
A
∩
B
))
P(
A
∪
B
=
P(
A)
+
P(
B
−
P(
A
∩
B
P(
AA∪
)) == P(
A) ++ P(
B )) −− P(
A∩
B ) B+
) =P(P(AA)
P(CB)) − P( A ∩ B )
Additivität)
P(A
∪BBB∪
∩
P(
∪
CP(
) =A)
P( AP(
) +BP(
BP(
) +AP(
B ∩ C ) − P(P(CA
∩∪A)
∩ B+∩
P(CBA))−
) =P(1A− ∩
P(BA))− P((allgemeine
P(
A
∪
B
∪
C
)
=
P(
A
)
+
P(
B
)
+
P(
C
)
−
P(
A
∩
B
)
−
P(
B
∩
C
)
−
P(
C
∩
A)
+
P(
A
∩
B
∩
P(
A
∪
B
∪
C
)
=
P(
A
)
+
P(
B
)
+
P(
C
)
−
P(C
P( A∪
∪ B∪
∪ C )) == P(
P( A))++P(
P( B))++P(
P( C ))−−P(
P( A∩
∩ B))−−P(
P( B∩
∩ C ))−−P(
P( C ∩
∩ A)++P(
P( A∩
∩ B∩
∩
CA))∩ B ) − P( B ∩ C ) − P( C ∩
P(
P(
A)
P( AA
A∪
∪BB
B∪
∪CC
C ))) =
= P(
P( AA
A ))) +
+ P(
P(BB
B ))) +
+ P(
P(CC
C ))) −
− P(
P( AA
A∩
∩BB
B ))) −
− P(
P(BB
B∩
∩CC
C ))) −
− P(
P(CC
C∩
∩ A)
A) +
+ P(
P( AA
A∩
∩BB
B∩
∩CC
C ))))
P(
A
∪
B
∪
C
=
P(
A
+
P(
B
+
P(
C
−
P(
A
∩
B
−
P(
B
∩
C
−
P(
C
∩
A)
+
P(
A
∩
B
∩
C
P(CA∩∪A)
B∪
C )A=∩
P(BA∩) +
P(AA)∪= B1 ∪
C )A=)P( A ) + P( B ) + P(
A∩
+ P(
C P(
) B ) + P( C ) − P( A ∩ B )
P(
− P(
A C )B− P( P(
AB
) ≤) −P(P(B B) ∩ C ) − P(
1
P(
A
)
=
−
P(
A
)
1
P(
A
)
=
−
P(
A
)
P( A)) ==11−−P(
P( A))
P(
P(
(Satz vom Gegenereignis)
P( AA
A ))) =
=1
1−
− P(
P( AA
A ))) 1
P(
A
=
−
P(
A
1
P(
A
)
=
−
A B ⊆ P( P(
A )A≤)P( B )
P( A ) = P( A ∩ B ) + P( A ∩ B ) P( A ) = 1 − P( A )
A
A B P( A ) ≤ P( B )
A⊆ B
B ⇒ P(
P( A
A )) ≤
≤ P(
P( B
B ))
B
P(
A
P(
B
(Monotonie)
AA
A BB
B P(
P( AA
A)))) ≤≤
≤ P(
P(BB
B )))) A
P(
≤
P(
A B B), P( A ) ≤ P( B )
A⇒
A )B≤) P(
B )A ∩ B ) P( A ) = P( A ∩ B1 ) + … + P( A ∩
P(
A)B= P(P(
A∩
+ P(
n
P(
A)
=
P(
A
∩
B
)
+
P(
A
∩
B
)
P(
A
)
=
P(
A
∩
B
)
+
P( A ∩ B ) bei einer Zerlegung)
P(
A)
=
P(
A
∩
B
)
+
P(
A
∩
B
)
(Wahrscheinlichkeit
P(
A)
=
P(
A
∩
B
)
+
P(
A
∩
B
)
P(
P( A)
A) ==
= P(
P( AA
A∩
∩BB
B ))++P(
P( AA
A∩
∩BB
B )))
P(
A)
P(
∩
∩
P( A ) = P( A ∩ B ) + P( A ∩ B )
P(A)
A)==P(
P(AA∩
∩BB1)))+++P(
P(
BA
) ∩1Bn ),
…A+∩P(
P(
…), =BnP(eine
Zerlegung
von
SB
ist.
P(
A)
=
P(
A
∩
B
…
+
P(
A
∩
B
),), falls BP(1 , A
… + P(
A
∩
B
)
+
A∩
1 )) +
n
P(
A)
=
P(
A
∩
B
+
+
P(
A
∩
B
…
1
n ),
nBn ),),
1
…
P(
A)
P(
A
∩
B
P(
A
∩
P(
… ++
P( A)
A) ==
= P(
P( AA
A∩
∩BB
B1111 )))) ++
+…
+P(
P( AA
A∩
∩BB
Bnnnn ),
),
…
P(
A)
=
P(
∩
+
+
P(
∩
P( A ) = P( A ∩ B1 ) + … + P( A ∩ Bn ),
1P( A) = P( A ∩ B11 ) + … + P( A ∩ Bnn ),
1
Laplace-Experiment
| A| 1 | A|
1
n
11
P( A ) =
=
1
n
1
|S| n n
n
1
1 n Ergebnisse haben die gleiche Wahrscheinlichkeit
nn
Alle
(Laplace-Wahrscheinlichkeit).
n
n
n
| A| | A|
n
P( A) = | A| = | A|
| A| | A|
| SA|
A|| = ||| n
A|
P(
A)
=
A|
Warscheinlichkeit
P( A)
A) =
= ||| A|
= | A|
A|
A| eines Ereignisses A: P( A ) = | S | = n
S
|
n
=
P(
=
=
|
A|
|
A|
P(
A)
| A| | A|
P( A)
A) = | SA|| = | nA| P( A ∩ B )
P(
P( A ) =
=
nA ) =
P( A) == ||||SSSS|||| ==PBn(n
n
P( B )
|S| n
|
S
|
n
Bedingte Wahrscheinlichkeit
P( A ∩ PB )( A ) = P( A ∩ B )
B
PB (Wahrscheinlichkeit
A) =
PB(A) ist für P( B ) ≠ 0 die
von
P( BA)unter der Bedingung B. Es gilt:
P( B )
PB ( A) =
P( AP(
∩B
A )∩ B ) = P( A) ⋅ PA ( B ) = P( B ) ⋅≠PB0( A)
P( B ) ≠ 0
P( B )
P( A ∩ B ) = P( A) ⋅ P( B ) P( A ∩ B ) = P( A) ⋅ PA ( B ) = P( B ) ⋅ PB ( A)
P( A ∩ B ) = P( A) ⋅ PA ( B ) = P( B ) ⋅ PB ( A)
Multiplikationssatz:
P( B ) ≠ 0
B EreignisseAA∩und
Unabhängige
P(⋅ P(
A ∩BB) ) = P( A) ⋅ P( B )
) =B:
P( A)
P( A ∩ B ) = P( A) ⋅ PA ( B )P(
= P( B )B⋅ P
B ( A)
P( A ) = P( B ) ⋅ PB ( A ) + P( B )B⋅ PB ( A )
P( A ∩ B ) = P( A) ⋅ P( B ) B
P( B ) ≠ 0
26
A
B
PB ( A ) =
P( A ∩ B )
P( B )
B A ∩ B ) = P( A) ⋅ P( B )
P( A ∩ B ) P(
B ⋅)P=A (P(B A)
P(BB))⋅BPB ( A) B
P( A ∩ B B
)P(= A
P(∩A)
) = ⋅P(
P( B )
P( B ) ≠ 0
P( A ) = P( B ) ⋅ PB ( A ) + P( B ) ⋅ PB ( A )
B
P(
B
)
⋅
P
(
A
)
(BA))⋅ PB ( A )
B )B⋅ P) B ( A) + P(P(B A
) ⋅)P=
P(
(
A
A
)
)
=
P(
B
)
⋅+PBP(
( AB))+⋅ PP(
P( A ∩ B P(
)B=AP() =
A)P(⋅ P(
B
B
B
P( B ) ≠ 0
P( A ∩ B ) = P( A) ⋅ PA ( B
P( A )) =
= P( B
B ) ⋅ P ( A+) +…+
P(
BnA))⋅ PBn ( A )
P(
P(
)) ⋅⋅P(
)PP=
PAB1B)(1A) ⋅)P+…+
Bn ) ⋅P(
PBnB(nA) ⋅)
P( A
A ) = P(
P( B11)))⋅⋅P⋅PPBBBB((11A)
( A) +) +…+
B((P(
))B⋅)P1B=)n ⋅(P(
+…+
BP(
A
P(P(BB A
Totale Wahrscheinlichkeit für B, B :
nAA
B1 ( A )P(
B
P( A ∩ B ) = P( A) ⋅ PA ( B ) = P( B ) ⋅ PB ( A)
P( A ∩ B ) = P( A) ⋅ P( B
B A ) = P( B ) ⋅ P ( A ) +…+ P( B ) ⋅ P ( A )
P(
bzw. für die Zerlegung B1 , … , Bn von
P()BA) ⋅)P=B (P(
⋅ PBBB11 () A
⋅ PBBnn ( A )
AS:⋅)P(
= P(
A B) 1+
⋅ P)B +…+
( AB) P(XB:nnS)X→
1 )P(
P( A ∩ B ) = P(P(A)
BB
: S
X→
: S→ B
P( B ) ⋅ PB ( A )
P B( B) )⋅ P= ( A ) +…+
P( B ) ⋅ PP((BA))⋅ P ( A )
P( BP() ⋅BPBn () A
P( A ) = P(B
⋅ P) ( A∈)SA ∈SA ∈
Satz von Bayes für B, B :
PAB( BB)n⋅)A
PBAA (1B ) =B1P( B ) ⋅ PB ( A ) + P(
P=PA( (AB)) = S X : SB → B
A)P(
)⋅+PA
B)P(
)+⋅ PP(
BB ()B⋅AP)B)⋅(PA
P( B ) ⋅ PB ( A ) + P( B ) ⋅ PBB (P(
A )B ) ⋅ PP(
()A=
()A+
B (B
BP(
B
X
:
S
→
P( B )) ⋅⋅PPB (( A
)
B )) ⋅=P ( A ) P( BP(
→
fx1: {,,x
…
xm1A,}∈
,x
…
}→
→
P( A ) = P( B )B⋅ PB ( A ) +PPP(
A (( B
BBk )BA⋅ P))B⋅kPf( A:( {)Axf)1:,{…
m }
Sm ,x
A B ) = BP( B ) ⋅ P ( A) + P(
X
B
P(:BASk)→
)=⋅P(
PP(
P(
B
)
⋅
P
(BBA( )A )
⋅ P⋅ PBkB1( (AA) )
P
(
B
)
=
bzw. für eine Zerlegung B1 , … , Bn von S: A k P( B ) ⋅ PB ( A ) + P(
BkB(B
1) )
kA
k B )B⋅k P
)P=AB( nB)k ⋅)P=Bn ( A )A ∈S
PA ( Bk ) = P( B1 ) ⋅ PB1 ( A ) P
+…+
A ( Bk P(
PAB1B)(1A) ⋅)P+…+
Bn ) ⋅P(
PBnB(nA
( A ) +…+ P( BP(
)B⋅ P1B)n ⋅(P(
+…+
B1 ( A )P(
1)
P(BP(
B ))B⋅⋅1PPB) (⋅ (PABA)
x k xn kp
P( A ) = P( B1 P) ⋅ P(BB1 () A=) +…+ P(
k x kp
k p
f k∈
: {Sx1 , … ,x m } → n
Bn
⋅
P(
B
)
P
(
A
)
A
A
k
B
B
P(
⋅ PBB(kA) )⋅ PBkk ( A )
PPA ((BBB)k⋅ )P) B==( A ) + P( B )P(
8.4 Verteilungen
A
k
P(
BBn )) ⋅⋅PPBn (( A
))f : { x1 , … ,x m } → P( BB11 )) ⋅⋅PPBB11 (( A
A )) +…+
+…+FP(
P(: A
Fn→
: FB→
→
n: xf k:
B
{ x1p,k … ,x m }P(→B
)⋅
P(
B
)
⋅
P
(
A
)
X
:
S
→
k
B
Es sei S = {a1 , a2 , … , an } die Menge aller Ergebnisse eines Zufallsexperimentes,
P eine
k
P
(
B )p=
PA ( Bk ) =
xAk k P( B ) ⋅ P ( A ) +
B
Wahrscheinlichkeitsfunktion auf P (S). P( B1 ) ⋅ PB1 ( A ) +…+ P( Bn ) ⋅ PBn ( A ) 0 0 F :0 → P( B ) ⋅ PB ( A )
x k pk
PA ( B ) =
x →x →px1 →+p1pF2:p
++…+
+…+
pp2k+…+
pk pk
1p→
P( B ) ⋅XPB: (SA→
) +P( A
B∈
) ⋅SPB ( A )
2+
X
:
S
→
Zufallsvariable (Zufallsgröße) ist eine Funktion
; Wertemenge X(S)= {x1 , x2, …
,
xm }.
P(
1 1 P 1( B ) =
0P( B ) ⋅ P ( A
F A: k→ Das Ereignis X = xk ist die Teilmenge der Ergebnisse von S, die durch X auf xk abgebildet
1
B1
f : { (xA
1 ,) … ,x m } → x → p01 + p2 +…+
werden:
xk mit Aa ∈S }P( Bk X) ⋅:PSBkA→
∈
S
→
X :: SS →
X = xk = {a | XPA(a)
( B=
X
k )=
x < xx1 < x1< x1
P( B1 ) ⋅ PB1 ( A ) +…+ P( Bn ) ⋅ PBn ( A )
11 + p2 +…+
x → p0
x
p
k
k
Wahrscheinlichkeitsfunktion
Verteilungsfunktion
…
→
f
:
{
x
,
,x
}
1
1
x → p + p2 +…+
∈SS
A∈
A ∈mSf : { x1 , … ,x m } → A
einer
Zufallsvariablen X:
≤1 x…xk<+<1xxmk +:1 1
einer Zufallsvariablen Xxbei
xk1 <≤xxxk2k +<
k ≤x
1 1
F : → mit
x
p
x < x1
k
k
… ,x
→
x11 ,, …
,x mm }} →
…pk,x m } → f : { x1k ,
ff :: {{ x
x m ≤xxm ≤x mx ≤ xx ≤ x < x
k +1
⎧ 0
⎫
für
x k< x1
⎪ 0
⎪
→
F
:
x
≤
x
<
x
für
x kk p
pkk mit pk = P (X = xk )
xxk →F p
+ p +…+ p ⎬
k
k +1
⎨: p→ x
x → ⎪k p11 + p22 +…+ pkk ⎪
x m≤≤xx< x
für
1
x
k
k +1
⎩ 1
⎭
Erwartungswert
einer Zufallsvariablen X:
xm ≤ x
→
→
0 F :→ 0
FF :: x → p1 + p2x+…+
xm ≤ x
→ ppk1 + p2 +…+ pk
E (X) = x1 · p1 + x2 · p2 + … + xm · pm
x < x1
1
0
0 1
0
p
p
x
→
+
p
+…+
p
→
+ p +…+ p
x
p
x
→
+
p
+…+
p
1
Linearität
2 Erwartungswertes:
1 des2
kk
x k ≤E x(a<·1X
x k++1 b2 · Y) = a ·k E (X) + b · E (Y)
σ X22
<
x
x
1
1
1
x < x1
1
σX
E (X · Y) = E (X) · E (Y)
Produktregel, nur für unabhängige X, Y : x ≤x
σx 22< x
x k ≤ x < x kx+1<m xx ≤ x < x
x < x11
k +1
1k
σVarianz
einer Zufallsvariablen X:
mit µ x==Ep(X)
PB ( A ) =
≤ x ( x mx −≤ xx) 2<⋅≤pxmx
Var(
) =x( x1 − ) 2 ⋅ p1 + ( x 2 − ) 2 ⋅ px2 m+…+
x kk ≤
≤X
x<
<
x
x
Var(
X
) =x(kk++x111 − µ x) 2=⋅ p1 + ( x 2 − µ x) 2=⋅ p2 +…+ ( x m k− µ x)m2=⋅ pmk +1
2
2
2
Var(
x mm ≤
≤Xx
x ) = E(( X − µ x) =) p; Var( X ) = E( X ) − µ x ;=xp ≤ x
x
Var(
X ) = E(( X − ) 2 ) ; Var( X ) = E( X 2 ) − 2 ; m
Var( X ) = x12 ⋅ p1 +…+ x m2 ⋅ Pm −
Var( X ) = x12 ⋅ p1 +…+ x m2 ⋅ Pm −
2
2
; Var( a ⋅ X + b ) = a2 ⋅Var( X )
; Var( a ⋅ X + b ) = a2 ⋅Var( X )
27
1
P( x = x i ) =
Spezielle
Verteilung
n
+ pk
pk
pk
1
P( x = x i ) =
1
n
P( x = x i ) =
1
n
1
P( x = x i ) =
Gleichverteilung
1
P( x = x i ) =
1
n 1
P(
x
=
x
)
=
n
1
i
n
P( x = x i ) =
n
1
n
n
Bei einer gleichverteilten
Zufallsvariablen X haben
1
1 alle n Werte die gleiche Wahrscheinlichkeit
n
1
P(
x
=
x
)
=
i
1 x = xi ) = 1
P(
n + 1n1
n
n+1
1
n
1
E(
X
)
=
;
P(
x
=
x
)
=
n
E(
X
)
=
;
(Laplace-Wahrscheinlichkeit).
i
P( x = x i ) =
n
2 P(
n x = x )= 1
n2
+1
n
n
i
;
1 1 n + 1n E( X ) =
P( x =P(xxi )==E(
21
x
)
=
n
+
1
X
)
;
=
1
Gleichverteilte
Werten 1, 2, … , n: n + 1
ni Zufallsvariable X mit den
E( X ) =
;
2
1
n2 − 1 n 2
nn
−1
1
2
n + 1E(
n X)= 2 ;
Var( X ) = 1
Var(
X
)
=
n
12
1 n212
1− 1 E( X ) = 21 ;
n
1 1x
P(
xP(
=X
= )x=i ...
)=
P(
2x = Var(
n
i2) x
1
n nx+=1x i ) = n
n
−
1
i
n
n
12
E( X ) =
;
n2 − 1
n + 12
n n n + 1Var( X ) =
E(
X)= n −
; 1 Var( X ) =
2
12
n
2
n
n+1
E(
12
nVar(
− 1 X ) =2
= X ) =⋅ p k 2
⋅ qn−;k
E( X ) =
;
n+1 =
⋅ p k ⋅ qn−k
12
k
1Var( X ) = 12
E( X ) = 1 ; 1 n
2
k
k
n
k
−
n+1
...
P(X=
xi ) n + 1 2
2
p
q
=
⋅
⋅
n −1
E( X )E(
= X ) = ; n ; k n n−k n k
n k n−k
Var( Xn) =
n2 − 1
2n2=− 12 ⋅ p ⋅ q
Var(n X ) =k n−k
=
⋅ p ⋅ q2
12
k
n2 k n−k
p
q
=
⋅
⋅
Var( X ) =
12
nn kk nn−−kk
k X ) = n −1
Var(
n
−
1
k
P( X = k ) = BVar(
(
k
)
p
q
;
=
⋅
⋅
12
p
q
=
⋅
⋅
P(
X
k
)
B
(
k
)
p
q
;
=
=
=
⋅
⋅
n + 1 n + 1n;p
n+1
n;p X ) =
12
;
; E( X k)kn= k ;n−k
Binomialverteilung
n2 −1 2 E(k X ) =E( X ) =
Var( X
) = X ) = n − 1 12 P( X2 =nk ) =2Bn;pn( k ) =k n−k⋅ p2 ⋅ q n;
Var(
k
k= n− k ⋅ p ⋅ q
12
n k
X =12
k ) = Bn;p ( kn-malige
)=
⋅ pDurchführung
⋅ qk ;
n-gliedrige
Bernoullikette:
n k P(
=
⋅ p k ⋅ q n−k
n⎞= k )k = Bnn;p
n− k
P(⎛Xn
⋅p ⋅q
−k ( k ) =
k
p
q
=
⋅
⋅
k
k ⋅ qn−k
E( XBernoulliexperimentes
) = n ⋅ p; n
)
B
(
k
)
p
;
=
=
⋅
n
k
E(
X
)
n
p;
=
⋅
2der
2
2 P( X =Pk(k
n;p
=
⋅q
⋅p
des
mit
TrefferwahrTreffer)
k
n−⎜
k ⎟
k
k
n− k
n
−
n
−
n
−
1
1
1
k
P( XX=) k=) = Bn;p ( k ) =
⋅ p ⋅ q ⎝ k; ⎠
=
⋅ p Var(
⋅ q X )Var(
X= )n=⋅ p;
Var(
E(=X )Bedingungen:
⎛ n⎞ n n−kk kp unter
scheinlichkeit
gleichen
12
12
12 n q = 1k - p
= ⎜ ⎟=⋅p k ⋅q⋅E(
p X⋅ q) n=−kn ⋅ p;
Var(
⎝ k ⎠X ) =k n ⋅ p ⋅ q
⋅ p k ⋅ q n−k ; E( Xn) = nk ⋅ p;n−k
X ) = nP(
⋅ pX
⋅ q= k ) = Bn;p ( k ) =
n kVar(
P(
⋅p ⋅q ;
E(…Xk, n:
)==kn) ⋅=p;Bn;p ( k ) =
n− k
⎛ n⎞
Binomialverteilte
Zufallsvariable
X
mit
den
Werten
0,
1,
P( X = k ) = Bn;p ( k ) =
⋅ q nX;n) = n ⋅ p ⋅ q E(nX ) = n ⋅ p;
k
n⋅ p Var(
P(
X
=
k ) = Bn;p ( k ) = ⎜ ⎟ ⋅p k ⋅q
k
k
n
k
−
k
n− k k
n− k
k
n− k
P(
X
k
)
B
(
k
)
p
q
;
=
=
=
⋅
⋅
=
⋅p ⋅q
⎝ k⎠
Var( X ) =⎛nn⋅⎞pn;p⋅ q⋅ p= ⋅ qK ⋅ p ⋅ q
K
Var( X ) = n ⋅ p ⋅ q
k n
k k
k
k
n−k
p =X =P(
.
Var( X ) = n ⋅ p ⋅ q
P(
) =( kB)n;p=(⎜k )⎟=⋅p p⋅q=⋅ p k ;⋅. q n−k ;E( X ) = n ⋅ p;
N kX) ==Bkn;p
K
⎝ k⎠ k N
Var( X ) = n E(
⋅ p ⋅Xq) = n ⋅ p;
p= .
E( X ) = n ⋅ p; K
E( XK) = n⋅p;
N
p
E(=X ) =. n ⋅kp;
nX ) =kn n
Urnenmodell
Var(
⋅qpkn−⋅)⋅kqp=; kB⋅ q n−(kkK; ) = n ⋅ p k ⋅ q n−pk =; .
k=
N
P(
X
k
P(
)
X
B
k
(
)
k
)
B
(
k
P(
)
p
X
=
=
=
=
=
⋅
=
⋅
p = X. ) =kn ⋅ p ⋅ q
n;p
n;p
N
KkB ( i );Var(
E( X )≤E(
= n⋅p;
P(
) =)n=F⋅n;p
k ) = ∑ Bn;p (P(
i );X ≤n;p
k ) = Fn;p ( k ) p= =∑
Var(
X k) X=
pn⋅⋅(qp;
N
k
.n;p
i= o
Var(
) = n⋅p⋅q Die
=
i
o
N
Urne mit K Var(
rotenXund
EsBwird
n-mal mit ZurücklegenX gezogen.
) = nN
⋅ p–⋅ qKP(schwarzen
X ≤k k ) = Fn;pKugeln.
(Kk ) = ∑
n;p ( i );
k
=
i
o
p
=
.
K
Zufallsvariable
X,
welche
die
Anzahl
k
der
gezogenen
roten
Kugeln
beschreibt,
kE(
) =⋅Xp;
( i ); E( X ) = n ⋅ p;
k
Var(KX
) = n⋅p⋅q
∑) =Bnn;p⋅ p;
n;p)( =
Var(
XP(
) =Xn≤⋅ pk⋅)q=E(FX
n
≤
=
=
P(
X
k
)
F
(
k
)
Bn;p ( i );
p
=
.
N
∑
k −1
n;p
i= o
k −1
P( XN≤ k ) =k Fn;p ( k ) = ∑KBn;p ( i );
p =binomialverteilt
.
ist
i= o
P( XN< k ) = Fn;p ( kK − 1 ) = ∑ BP(
p
=
.
≤
=
=
X
k
)
F
(
k
)
B
(
i
);
=
1
)
B
(
i
)
n;p (Xi )< k ) = Fn;p ( k −P(
=
i
o
∑ n;p
∑
k −1 n;p n;p
p= .
N
i= o
i= o
i= o
K K
N Var(
− 1 ) =X ∑
X P(
)Var(
p ⋅(qkVar(
) =Bnn;p
=Xn<⋅Xpk⋅)k)q−=1=nF⋅n;p
⋅ p( ⋅iq)k
k
p = p. = .
mit
k −1
≤
=
=
P(
X
k
)
F
(
k
)
B
(
i
);
∑
=
i
o
n;p
N N P( X < k ) =k Fn;p ( k − 1 ) = ∑ Bn;p ( i )
−1 ( i );
P(i =Xo ≤n;p
k ) = Fn;p ( k ) =P(∑
X B<kn;p
k ) = Fn;p ( k − 1 )k= ∑ Bn;p
P( X ≤ k ) = Fn;p ( k ) = ∑ Bn;p ( i ); k i = ob
1
−
k
b
P( X < k ) = Fn;p ( k − P(
1 i)==o ∑ Bn;p ( i )
i= o
P( a ≤ X ≤ b P(
) =XFn;p
a) −=
i ) (P(b X
o− Fn;p
K((kP(
Summe:
=
a1≤K) X=B≤∑b(B)i n;p
)K−<Fk )(=aF− 1()k=− b1 )B=n;p∑
( i B) n;p ( i )X ≤i = ok ) = Fn;p ( k ) = ∑ Bn;p ( i );
≤ (kb)i)==
); F(n;p
k . p = ∑. n;p
pk F=n;p
p = . n;p n;p ∑
i=o
=
i
a
i1= a
N
( b )N
( a − 1 ) =k −∑
B i =(oi )
b−F
( kF)n;p=(∑
P( X ≤P(kX) =≤Fkn;p) =
k ) B=n;p
∑(P(iB);n;pa ≤(Ni=ioX); ≤ b ) =XFn;p
k −1
= FBn;pn;p( (ki−) 1 ) = ∑i =Ba n;pn;p( i )
P( a ≤ X ≤i=ob )k −=1i =Fon;p ( b ) − Fn;p (P(
a − 1<)k=)∑
1 )a=≤∑XB≤n;pb()i=) F (b b ) − Fk−1 ( a −
P( X <i = ko ) = Fn;p ( k − P(
n;p
n;p
P(
( k − 1 ) = Bn;p ( i( )k ) =k −1B
b ( a −1) =
i = ak
Bn;pX( <
k )k=) =Bn;Fn;p
k
P( a ≤ X ≤k b ) = Fn;p ( b ) − iF=n;p
(n;p
i)
∑ B) n;p
1− p ( n − k ) ∑ B
n;p
n; 1− p ( n − k )
P(1 X
< ok )B= Fn;p
() k −1
= ∑ Bn;p
=o ( k − 1 ) =
P(
a
≤
X
≤
b
)
=
F
(
b
)
−
F
(
a
−
)
=
(
i
=
i
a
P( X < k ) =
B
(
i
)
≤
=
≤
=
=
=
≤
=
=
P(FiX
k
P(
)
X
F
k
(
)
k
)
F
(
k
B
P(
)
X
(
i
);
k
B
)
(
F
i
);
(
k
)
B
(
i
);
∑
n;p
n;p
n;p
n;p
∑
∑
n;p
n;pk∑
n;p n;p
n;p
−1 ( kn;p
i=o
Bkn;p
)∑
=i = oBn;n;p
(
n
−
)
Vertauschungsformeln:k−1
1− p
i= a
−∑
1 ) B=n;p
P( X <P(kX) =<k FBkn;p) =
( kF−1
∑( iB)n;p ( ib)k P( ai= o≤ X ≤ ib= o) =n−kF−n;p1 ( b ) − Fn;pi=(oa − 1 ) = ∑bB Bn;p( k( i) )= B ( n −b k )
n;p ( )k=
n;p ( k ) = Bn; 1n−−pk −(1n − k )
n;p
))−k F−n;p1() a n;−11− p) = ∑ Bn;p ( i )
= 1B−n;pF(n;i1)− p=(1n−− k∑
− 1B)P(
F ( k ) = Bn;p ( i ) = 1 − i=o
Bn;pa(≤
n i−
ak−
∑(FaBn;pi=n;−o(11−kp))(==i )∑
(ki X
) =≤1Bbn;
−)1F=− pF(n;p
((=nb
∑
P(n;pa ≤ X ≤∑
b ) = Fn;p ( b ) − Fn;p
k Bn;p ( i k)−1 b
Bn;p ( knk)−i−=k1=o−1Bn;n;11−−pp( n − k ) k −1 n; 1− p P( a ≤ X ≤ b ) = F i =(ab ) − F ( a −
i= o
i= o
i= o
n;p
n;p
FkP(
( kF)<n;p
)−k=F(ni)n;p
−B(k∑
B)n;p
− Fn;Bn;p
1)n;p
−∑
kb )X=<Fn;p
P( a ≤ X ≤P(
b
−
))−==1X
<=
1n;p
)(=X
k=bk=a−−(1FBa
)b(=1(ki∑
P(
B∑
i∑
))=(BiFn;p
)p (−i 1) =) =1 ∑
) − k −1) k
n;p
n;p
n;(1(i−k
1− p((in
n;p
n− k −1
i= o B
i =oF
o
i ==a 1 i−
=
=
=
i
o
i
o
1
1
F
(
k
)
=
B
(
i
)
=
−
(
i
)
(
n
−
k
−
)
−
−
1
k
n
k
∑
∑
−
−
1
1
n;p
n;p
n;
p
n;
p
((kiB))n;p= (Bi n;) 1− p ( n − k )
1 )BB=n;p∑
P( a ≤P(Xa≤≤bX) =≤Fbn;p) =
( bFn;p
) −(Fb ) −
( aFn;p
−1( )a=−∑
( k ) = B n−k −(1n −Fkn;p) ( k ) = ∑ Bn;p ( i ) = 1 − ∑ Bn
k B
i = o n;p
i = o n;p
k
Bn;p ( k ) = Bn; 1− p ( n − k )
n− k −1
FFn;p
( k ) = ∑B
(i ) =1− ∑ B
( i ) = 1 − Fn; 11−−
Bn;p
Bn;
−p
1−
n;p ( k ) =
n;p ( i ) = 1 −
n; 1
p ( i ) = 1 − Fn;
ii =
o
ii =
o
1
=
=
o
o
Bn;p ( 0 ) = ( 1 − p ) n
Bn;p ( 0 )x==
1( 1 −⋅ Xp ) n
28
n
=
⋅
x
X
k
n− k −1
n
Fn;p ( k ) = ∑ Bn;p ( i ) = 1 − ∑ Bn; 1− p ( i ) = 1 − Fn; 1− p ( n((−n
−−kk 1)) ⋅⋅)p
n k−
p ⋅ B ( k );
B
kk +
+1
=
1 )) =
B
⋅ Bn;p
( k );1
n;p
i= o
i= o
1 xn;p=(( p
n;p x
(
k
= ⋅X
1 )) ⋅⋅ q
+1
(k+
q
x = ⋅ X= p
n
nx
( n− k )⋅p
n
q (( 1
Rekursionsformel:
Bn;p ( k + 1 ) =
⋅ Bn;p ( k );
0⋅pq))⋅ =
1−
=
−p
Bn;p
p )) n
σB
=p(( 0
n;p
x =p
X
=
p
( k +1 )⋅q
x
σX = n
n
1
1
p⋅q
n
p x⋅ q= ⋅⋅ X
Bn;p
( 0-verteilt.
) = ( 1 − p )Die Zufallsvariable
X mit µ x = p und σ X =
Die Zufallsvariable X sei
Bn;p
σ X = X Xx = n
n
n
n
beschreibt die relative Häufigkeit der Treffer.
1
lim
=
p| X − p|< ε ) = 1
=P(
x
x = nach
⋅ X Tschebyscheff für X : lim
n→∞
xP(
|pX − p|< ε P(
) = X1 = k ) = qXk −1 ⋅ p;
Gesetz der großen Zahlen
n
n→∞
p
p ⋅⋅ q
q
1 lim P( | X − p|< ε ) =
lim P( |σ
σXX −=
=p|< ε ) = 1
n
E( X ) = ; n→∞
n
P( X = k ) =nq→∞k −1 ⋅ p; X
p
Ein Bernoulliexperiment mit
p wird genau so lange wiederP(pXder
= kTrefferwahrscheinlichkeit
) = q k −1 ⋅ p;
q
⋅
holt, bis der erste Treffer
P (k Versuche) =1qk – 1 · p X
X
σ Xeintritt:
=
q
E( X ) = ;
n
Var( X ) = 2
P( X = k ) =1q k −1 ⋅ p;
p
p
E( X ) = ; X mit den Werten 1,lim
Geometrisch verteilte Zufallsvariable
2, 3,
… − p|< ε ) = 1
P(
lim
P( || X
X − p|< ε ) = 1
p
n
X
→∞
n→∞
1
q
E( X ) = ;
Var( X ) = 2
P( X = k ) = q k −1 ⋅ p;
P( X ≤ k ) = 1 − q k
p
p
q
limVar(
P( | XX−) p|
= <2ε ) = 1
n→∞
p
Urnenmodell
1
K
E( X ) = ;
p=
q
P( X ≤ k ) = 1 − q k
Var( X ) = 2
p
N
Urne mit K roten und N – KP(schwarzen
Man zieht so lange mit Zurücklegen, bis man
X ≤ kp) = 1 −Kugeln.
qk
eine rote Kugel erhält. Die Zufallsvariable X, welche
die Anzahl k der Ziehungen beschreibt, ist
K
K
N−K
q
p=
⋅
Var( X ) = 2
P( X ≤ kK) = 1 − q k
N
k
n− k
p
geometrisch verteilt mit p = .
P( X = k ) =
;
N
N
K
N−K
K
n
⋅
p=
P( X ≤ k ) = 1 − q k
k
n− k
N
K P( N
−
K
;
⋅ X =k)=
N
Darstellung der
mit Hilfe auf der y-Achse
k Häufigkeitsverteilung
n− k
E( X ) = n ⋅ p
Balkendiagramme
K
P(
X
=
k
)
=
;
waagerecht
liegender,
nicht
aneinander
grenzender Säulen.
n
−
K
N
K
p=
N
⋅
N
k
n −nk
P( X = k ) =
;
( N − n)( 1 − p )p ⋅ n
NE( X ) = n ⋅ p
Var( X ) =
N −1
K
N − K Können ähnlich wie Balkendiagramme eingesetzt werden. Die
Strichdiagramme
⋅
E( X ) der
p n kann abweichen.
= n ⋅Achsen
Wahl
k
n− k
P( X = k ) =
;
( N − n )( 1 − p )p ⋅ n
K
N
Var( X ) =
p=
E( X ) = n ⋅ p ( N − n )( 1 − p )p ⋅ n
N −1
N
n
Var( X ) = von Anteilen (Prozenten) an einem Ganzen. Die
Darstellung
N −1
Streifendiagramme
Anteile sind proportional.
k
( N − n )( 1p −= pK)p ⋅ n
E( X ) = n ⋅ p
Var( X ) =
P( X = k ) =
⋅ e−
N
1
N
−
K
k!
p=
N
Darstellung
von Anteilen (Prozenten)
an einem Ganzen. Die
k
1
(
N
−
n)(
−
p
)p
⋅
n
Kreisdiagramme
K
−
Var(
X)=
E( X ) =
Anteile
sind
proportional
zum
Winkel.
P( X = k ) =
⋅e
N −1 p = N
k
k!
P( X = k ) =
⋅ e−
k!
Var( X ) =
K
k
E( X ) =
p=
−
P( X = k ) =
⋅e
N
E( X ) = k !
Geometrische Verteilung
x =p
=1
29
Notizen
30
9. Physik
9.1 Ausgewähle Größen und Einheiten im Überblick
Größe
Formelzeichen
Einheit
Name der Einheit
Arbeit (elektrische)
W
J
N∙m
W∙s
kW ∙ h
Joule
Newtonmeter
Wattsekunde
Kilowattstunde
Beschleunigung
a,
g
m ∙ s-2
Meter durch Quadratsekunde
Dichte
(Massendichte)
r
kg ∙ m-3
Kilogramm durch Kubikmeter
Drehimpuls
L
N∙m∙s
Newtonmetersekunde
Drehmoment
M
N∙m
Newtonmeter
Drehzahl
n
s-1
durch Sekunde
Druck
p
Pa
bar
at
Pascal
Bar
Atmosphäre
Energie
E
J
N∙m
W∙s
Joule
Newtonmeter
Wattsekunde
Frequenz
f,
n
Hz
Hertz
Geschwindigkeit
n
m ∙ s-1
km ∙ h-1
Meter durch Sekunde
Kilometer durch Stunde
Impuls
(Bewegungsgröße)
p
kg ∙ m ∙ s-1
Kilogramm mal Meter durch
Sekunde
Kraft
F
N
kp
Newton
Kilopond
31
Größe
Formelzeichen
Einheit
Name der Einheit
Kraftstoß
I
N∙s
Newton mal Sekunde
Leistung
P
W
Watt
Spannung
(elektrische)
U,
u
V
Volt
Stromstärke
(elektrische)
I,
i
A
Ampere
Temperatur
T
K
°C
Kelvin
Grad Celsius
Weg
s
m
Meter
Widerstand
(ohmscher)
R
Ω
Ohm
Notizen
32
10. Chemie
10.1 Chemische Formeln und Periodensystem
Hydroxide und Laugen
Oxide
Cu2O(s)
Kupfer(I)-oxid
Al2O3 (s)
Aluminiumoxid
Na2O(s)
Natriumoxid
CuO(s)
Kupfer(II)-oxid
H2O2 (l)
Wasserstoffperoxid
NaOH(s)
Natriumhydroxid
KOH(aq)
Kalilauge
NH4OH(aq)
Ammoniakwasser
NaOH(aq)
Natronlauge
NH3 (g)
Ammoniak
Verbindungen des Kohlenstoffes
Verbindungen des Chlors
CO(g)
Kohlenstoffmonoxid
HCl(g)
Chlorwasserstoff
H2CO3 (aq)
Kohlensäure
NaCl(s)
Natriumchlorid
Na2CO3 (s)
Natriumcarbonat
CaCl2 (s)
Calciumchlorid
CO2 (g)
Kohlenstoffdioxid
NaHCO3 (s)
Natriumhydrogencarbonat
HCl(aq)
Salzsäure
AlCl3 (s)
Aluminiumchlorid
Verbindungen des Schwefels
Säuren
SO2 (g)
Schwefeldioxid
H2CO3 (aq)
Kohlensäure
NaHSO3 (s)
Natriumhydrogensulfit
H2SO4 (aq)
Schwefelsäure
Al2(SO3)3 (s)
Aluminiumsulfit
CH3COOH(l)
Essigsäure
H2S(g)
Schwefelwasserstoff
HNO2 (aq)
Salpetrige Säure
Na2S (s)
Natriumsulfid
H3O -Ionen
Oxonium-Ionen
H2SO3 (aq)
Schweflige Säure
Na2SO3 (s)
Natriumsulfit
CaSO4 (s)
Calciumsulfat
H2S(aq)
Schwefelwasserstoffsäure
H2SO3 (aq)
Schweflige Säure
H3PO4 (aq)
Phosphorsäure
HCl(aq)
Salzsäure
HNO3 (aq)
Salpetersäure
+
Verbindungen des Stickstoffs
Verbindungen des Broms
N2O(g)
Distickstoffmonoxid
HBr(g)
Bromwasserstoff
NaNO3 (s)
Natriumnitrat
NaBr(s)
Natriumbromid
NaNO2 (s)
Natriumnitrit
HBr(aq)
Bromwasserstoffsäure
Legende
g: (gaseous) gasförmig, l: (liquid) flüssig, s: (solid) fest, aq: (aqueous) in Wasser gelöst
33
Notizen
H
1,008
22,99
85,47
24,31
20
40,08
Magnesium
44,96
III
21
Calcium
38
87,62
39
88,91
Scandium
Radium
88
137,33
Yttrium
226,03
Fr 0,9 Ra **
(223)
Barium
56
Strontium
Cs 0,9 Ba *
132,91
Francium
0,7
87
12
Beryllium
47,88
IV
22
23
50,94
V
51,996
VI
24
25
54,94
26
55,85
Nebengruppe
VII
H
Wasserstoff
2,1
1,008
58,93
VIII
27
28
Symbol
58,69
29
I
Atommasse in u
63,55
30
II
65,39
6
12,01
IV
7
14,007
V
8
15,999
VI
9
18,998
VII
Titan
40
91,22
41
92,91
Vanadium
42
Chrom
95,94
Mangan
43
(98)
44
Eisen
101,07
Cobalt
45
102,91
46
Nickel
106,42
47
Kupfer
107,87
Zink
48
112,41
49
14
69,72
32
Silicium
72,61
28,09
Kohlenstoff
33
74,92
Phosphor
30,97
Stickstoff
15
34
Schwefel
78,96
32,07
Sauerstoff
16
17
Fluor
35,45
Chlor
35
79,90
Al 1,8 Si 2,1 P 2,5 S 3,0 Cl
26,98
114,82
Gallium
50
118,71
Germanium
51
Arsen
121,76
Selen
52
127,60
53
Brom
73
Niob
180,95
74
75
Wolfram
Rhenium
186,21
Technetium
Osmium
190,23
Ruthenium
76
77
Iridium
192,22
Rhodium
78
Platin
195,08
Palladium
79
Silber
196,97
80
200,59
Cadmium
Gold
Quecksilber
Rutherfordium Dubnium
Rf Db
Seaborgium
Sg
Bohrium
Bh
Hassium
Meitnerium
Hs Mt
Ununbium
Rg Uub1
Darmstadtium Roentgenium
Ds
104 (261) 105 (262) 106 (266) 107 (264) 108 (267) 109 (268) 110 (271) 111 (272) 112 (272)
Tantal
183,84
Molybdän
81
Indium
204,38
82
Zinn
207,2
83
208,98
Antimon
Tellur
84
(209)
85
Iod
(210)
I
126,90
67
164,93
Thallium
Bismut
Polonium
Astat
167,26
69
168,93
70
173,04
71
174,97
vorläufiges IUPAC-Symbol
68
1
Blei
Hf 1,5 Ta 1,7 W 1,9 Re 2,2 Os 2,2 Ir 2,2 Pt 2,4 Au 1,9 Hg 1,8 Tl 1,8 Pb 1,9 Bi 2,0 Po 2,2 At
178,49
Hafnium
1,3
72
Zirconium
= basisch/sauer
= basisch
= basisch
138,91
Actinium
1,1
227,03
Lanthan
1,1
57
232,04
140,12
Thorium
1,3
Cer
1,1
58
140,91
144,24
Uran
1,7
238,03
Neodym
1,2
60
61
(145)
Neptunium
1,3
(237)
Promethium
1,2
= basisch/sauer
= sauer
= Keine Oxide
Protactinium
1,5
231,04
Praseodym
1,1
59
150,36
Plutonium
1,3
(244)
Samarium
1,2
62
151,97
157,25
Curium
1,3
(247)
Gadolinium
1,1
64
Berkelium
1,3
(247)
158,93
Terbium
1,2
65
162,50
Californium
1,3
(251)
Dysprosium
1,2
66
(252)
Einsteinium
1,3
Holmium
1,2
Fermium
1,3
Erbium
1,2
(257)
(258)
Mendelevium
1,3
Thulium
1,2
Nobelium
1,3
(259)
Ytterbium
1,1
= Edelgase
( ) = Die Atommassen in den Klammern beziehen sich
auf das längstlebige gegenwärtig bekannte Isotop.
Americium
1,3
(243)
Europium
1,2
63
10
20,18
4,003
He
VIII
Helium
2
(262)
Lawrencium
1,3
Lutetium
1,2
Radon
86
Xenon
54
(222)
Rn
131,29
Xe
83,80
Kr
39,95
Ar
Krypton
36
Argon
18
Neon
B 2,5 C 3,0 N 3,5 O 4,0 F Ne
10,81
Aluminium
31
1,5
13
Bor
2,0
5
III
Hauptgruppe
Rb 1,0 Sr 1,3 Y 1,4 Zr 1,6 Nb 1,8Mo 1,9 Tc 2,2 Ru 2,2 Rh 2,2 Pd 1,9 Ag 1,7 Cd 1,7 In 1,8 Sn 1,9 Sb 2,1 Te 2,5
Caesium
0,7
55
9,01
Name
Elektronegativitätswert
1
K 1,0 Ca 1,3 Sc 1,5 Ti 1,6 V 1,6 Cr 1,5Mn 1,8 Fe 1,8 Co 1,8 Ni 1,9 Cu 1,6 Zn 1,6 Ga 1,8 Ge 2,0 As 2,4 Se 2,8 Br
39,10
Rubidium
0,8
37
Kalium
0,8
19
4
Li 1,5 Be
6,94
II
Na 1,2Mg
Natrium
0,9
11
Lithium
1,0
3
Wasserstoff
2,1
I
Ordnungszahl
* Lanthanoide La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu
90
91
98
101
96
97
99
89
92
95
100
102
93
103
94
** Actinoide Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr
7
6
5
4
3
2
1
1
Hauptgruppe
34
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