Ebene elektromagnetische Wellen

Kapitel 5
Ebene elektromagnetische Wellen
5.1
Ebene Wellen in nichtleitendem Medium
Eine sehr wichtige Folgerung aus den Maxwell-Gleichungen ist die Existenz von Wellen, die den Energietransport
beschreiben. Quellenfreie Felder vorausgesetzt, lauten die Maxwell’schen Gleichungen:
~ ·E
~ =0
∇
(5.1)
~ ·B
~ =0
∇
(5.2)
~
~ ×E
~ + 1 ∂B = 0
∇
c ∂t
(5.3)
~
~ ×B
~ − µε ∂ E = 0
∇
c ∂t
(5.4)
Außerdem wurde benutzt:
~
B
~
D
=
=
~
µH
~
εE
~ als auch B
~ der Wellengleichung:
Werden µ und ε als frequenzunabhängig angenommen, so genügen sowohl E
2
~ 2µ − 1 ∂ µ = 0
∇
v 2 ∂t2
(5.5)
~ Differentiation von Gleichung (5.4) nach der Zeit liefert:
Wir zeigen dies am Beispiel von E.
2~
∂ ~
~ = µε ∂ E
∇×B
∂t
c ∂t2
(5.6)
~
~ × (∇
~ × E)
~ = ∇(
~ ∇
~ E)
~ − ∆E
~ = −∆E;
~ wegen
Anwendung von (∇×)
auf Gleichung (5.3) und Beachtung von ∇
∂
∂
~
~
Gleichung (5.1) ergibt durch Einsetzen in Gleichung (5.6) mit ( ∂t · ∇) = (∇ · ∂t ):
~ =−
−∆E
~
µε ∂ 2 E
c2 ∂t2
und damit:
76
~−
∆E
~
µε ∂ 2 E
=0
2
2
c ∂t
(5.7)
Die Lösung von Gleichung (5.5) ist:
µ =
mit:
~
eik~x−iωt
ω √ ω
|~k| = = µε
v
c
(5.8)
Es handelt sich um eine in Richtung k sich ausbreitende ebene Welle.
Wir können Gleichung (5.8) bei Wahl einer Ausbreitungsrichtung x noch allgemeiner machen durch:
u(x, t) = A eik(x−vt) + B e−ik(x+vt)
(5.9)
Wegen des Fourier-Integralsatzes gibt es Testfunktion f und g mit:
u(x, t) = f (x − vt) + g(x + vt)
(5.10)
Gleichung (5.10) beschreibt nach rechts und links auslaufende Wellen der Geschwindigkeit v. Dieses v ist die so
genannte Phasengeschwindigkeit der Welle.
Bei dispersivem Medium sind µ und ε frequenzabhängig. Nach Fourier-Integralentwicklung in ω von Gleichung
(5.1) bis (5.4) ergeben sich die Helmholtz-Gleichungen:
2
~ 2 µ + µε ω µ = 0
∇
c2
(5.11)
Für |~k| = k gilt nach wie vor die Beziehung:
k=
√ ω
µε
v
(5.12)
welche als Dispersionsbeziehung bekannt ist.
Für jede Frequenz in Gleichung (5.12) haben wir die Lösung (5.8). Wenn wir aber unsere Welle (5.11) als Funktion von ~x und t aufstellen, beachten wir die Dispersion und Gleichung (5.10) gilt nicht mehr. Das zunächst
scharfe Wellenpaket fließt immer weiter auseinander.
Die Felder der ebenen Wellen (5.11) sind durch:
~ x, t) = E
~ 0 · ei~k~x−iωt
E(~
(5.13)
~ x, t) = B
~ 0 · ei~k~x−iωt
B(~
(5.14)
und:
gegeben. Wir machen die Konvention, dass der Realteil von Gleichung (5.13) und (5.14) uns die physikalischen
~ 0, B
~ 0 , ~n [~k = ~n · k] sind zeitlich und räumlich konstante Vektoren. In Übereinstimmung mit
Felder gibt. E
Gleichung (5.13) haben wir bei normiertem ~n:
k 2~n2 = ~k 2 = µε
77
ω2
c2
(5.15)
~ 0 = ~nB
~ 0 = 0, d.h. E
~ 0 und B
~ 0 stehen senkrecht zur
Die Divergenzgleichungen (5.1) und (5.2) liefern uns ~nE
Ausbreitungsrichtung ~n. Die Wellen (5.13) und (5.14) sind daher transversale Wellen.
Wegen Gleichungen (5.3) und (5.4) können wir unsere Gleichungen (5.13), (5.14) noch besser spezifizieren, denn:
~0
~ 0 = √µε ~n × E
B
(5.16)
~ 0 und B
~ 0 gleichen Imaginärteil, d.h. gleiche Phase.
d.h. für reales ~n haben E
z
E
ε1
kn
B
ε2
x
y
Abb. 5.1:
Wir führen jetzt das Dreibein (~ε1 , ~ε2 , ~n) gemäß Fig. 5.1 ein. Damit wird:
~ 0 = ~ε1 E0
E
(5.17)
~ = ~ε2 √µε E0
B
(5.18)
~ 0 = ~ε2 E 0
E
0
(5.19)
~ 0 = −~ε1 √µε E 0
B
0
(5.20)
oder:
mit möglicherweise komplexen Konstanten E0 und E00 . Durch Gleichungen (5.13)/(5.14) und (5.17)/(5.18) oder
(5.19)/(5.20) wird eine transversale elektromagnetische Welle (TEM-Welle) beschrieben.
Der Energiefluss wird durch den Realteil des Poynting-Vektors:
~= 1 c E
~ ×H
~∗
S
2 4π
(5.21)
gegeben. Wegen Gleichungen (5.17) bis (5.20) gilt für den Energiefluss, also Energie Pro Einheitsfläche und
Einheitszeit, die Gleichung:
~= c
S
8π
r
ε ~ 2
|E0 | ~n
µ
Für die mittlere Energiedichte des Feldes - u - haben wir entsprechend:
78
(5.22)
u=
1
~E
~∗ + 1 B
~B
~∗
π εE
16
µ
(5.23)
Modifizierung von Gleichung (5.23) durch Gleichungen (5.19)/(5.20) ergibt:
u=
ε
|E0 |2
8π
(5.24)
~ zu u gibt uns die Geschwindigkeit, mit der Energie transportiert wird. Aus den GleiDas Verhältnis von |S|
chungen (5.22) und (5.24) ist also:
c
v= √
µε
(5.25)
Bei der allgemeinsten Lösung der Wellengleichung werden wir nun auch komplex ~n zulassen; wir schreiben unser
neues ~n als:
~n = ~nR + i~nI
(5.26)
Die Exponentialfunktion in Gleichung (5.13) liefert jetzt:
eik(~n~x)−iωt = e−k~nI ~x eik~nR ~x−iωt
(5.27)
n2R − n2I = 1
(5.28)
~nR ~nI = 0
(5.29)
also eine gedämpfte Welle.
Mit ~n2 = 1 ist:
und:
d.h. ~nR ⊥ ~nI . Wenn wir unser Koordinatensystem so drehen, dass ~nR ||~e1 , ~nI ||~e2 und beachten, dass cos h2 Θ −
sin h2 Θ = 1, so ergibt Gleichung (5.28) uns:
~n = ~e1 cos hΘ + i~e2 sin hΘ
(5.30)
~ 0 = 0 folgt:
Unsere (~e1 , ~e2 ) haben zunächst nichts mit ~ε1 , ~ε2 zu tun. Aus Gleichung (5.30) mit ~nE
~ 0 = (i~e1 sin hΘ − ~e2 cos hΘ) A + ~e3 A0
E
(5.31)
mit kompl. Konstanten A und A0 .
~ 0 i.a. nicht in den ~n-Richtungen. Durch Einsetzen erhält man
Wegen dieser Gleichung verschwindet für Θ 6= 0 E
für Θ = 0 über die Gleichungen (5.13)/(5.14) wieder unsere Beziehungen (5.17) bis (5.20).
5.2
Lineare und zirkulare Polarisation
Die ebenen Wellen (5.13) und (5.14) sind Wellen mit den E-Vektoren stets in ~ε1 -Richtung. Eine solche Welle
heißt linear polarisiert mit “Polarisationsvektor“ ~ε1 . Wir kombinieren die Wellen:
~ 1 = ~ε1 E1 ei~k~x−iωt
E
79
(5.32)
und:
~ 2 = ~ε2 E2 ei~k~x−iωt
E
(5.33)
~ ~
~ j = √µε k × Ej (j = 1, 2)
B
k
(5.34)
mittels:
zu einer ebenen Welle in ~k = k~n-Richtung zu:
~ x, t) = (~ε1 E1 + ~ε2 E2 ) ei~k~x−iωt
E(~
~ x, t)| =
Sind E1 und E2 phasengleich, so ist Gleichung (5.35) linear polarisiert mi |E(~
E
2
~ x, t), ~ε1 ) = artg( ).
](E(~
E1
(5.35)
p
E12 + E22 und Θ =
Sind E1 und E2 phasenverschieden, so heißt Gleichung (5.35) elliptisch polarisiert. Für einen Phasenunterschied
von π2 heißt Gleichung (5.35) zirkular polarisiert, d.h.:
~ x, t) = E0 (~ε1 ± i~ε2 ) ei~k~x−iωt
E(~
mit: E0 ∈ R
(5.36)
Bei geeigneter Orientierung und Wahl des Koordinatensystems ergibt uns die Komponentenzerlegung von Gleichung (5.36) die beiden Gleichungen:
Ex (~x, t) = E0 cos(kz − ωt)
(5.37)
Ey (~x, t) = E0 sin(kz − ωt)
(5.38)
Steht in Gleichung (5.36) das “Plus“-Zeichen, so heißt die Welle links zirkular polarisiert oder positiv helizit,
bei “Minus“-Zeichen haben wir negative Helizität.
Mittels zwei zirkularpolarisierter Wellen (5.36) können wir jede Polarisation beschreiben. Wir betrachten dazu
die Basisvektoren:
1
~ε± = √ (~ε1 ± i ~ε2 )
2
(5.39)
mit:
~ε∗± ~ε∓
~ε∗± ~ε3
= 0
= 0
~ε∗± ~ε±
= 1
(5.40)
Eine zu Gleichung (5.35) äquivalente Schreibweise in diesem Basissystem ist:
~ x, t) =
E(~
mit:
~
(E+ ~ε+ + E− ~ε− ) eik~x−iωt
(5.41)
E+ , E− ∈ C
Bei Phasengleichheit von E+ , E− ist Gleichung (5.41) elliptisch polarisiert, für |E+ | = |E− | zirkular.
Der Polarisationsgrad einer ebenen Welle ist dann bekannt, wenn wir die Form (5.41) oder (5.36), d.h. (E+ , E− )
oder (E1 , E2 ) kennen.
80
Charakteristisch für eine Welle sind die so genannten Stokes’schen Parameter, die sich in der (~ε1 , ~ε2 )-Basis so
schreiben:
S0
S1
S2
S3
~ 2 + |~ε2 E|
~ 2 = a2 + a2
= |~ε1 E|
1
2
~ 2 − |~ε2 E|
~ 2 = a2 − a2
= |~ε1 E|
1
2
∗
~ · (~ε2 E)
~ = 2a1 a2 cos(δ2 − δ1 )
= 2 Re (~ε1 E)
~ ∗ · (~ε2 E)
~ = 2a1 a2 sin(δ2 − δ1 )
= 2 Im (~ε1 E)
(5.42)
In der Basis (~ε+ , ~ε− ) sind die Si durch:
S0
S1
S2
S3
~ 2 + |~ε− E|
~ 2 = a2+ + a2−
= |~ε∗+ E|
~ ∗ (~ε∗− E)
~ = 2a+ a− cos(δ− − δ+ )
= 2 Re (~ε∗+ E)
∗ ~ ∗
∗ ~
= 2 Im (~ε0 E) (~ε− E) = 2a+ a− sin(δ− − δ+ )
~ 2 − |~ε∗− · E|
~ 2 = a2+ − a2−
= |~ε∗+ · E|
(5.43)
gegeben. Der Stokes-Parameter S0 in Gleichung (5.42)/(5.43) gibt die relative Intensität der Welle in beiden
Basissystemen an. S1 zeigt die Abhängigkeit der x-Polarisation von der y-Polarisation. S2 und S3 in Gleichung
(5.42) geben Phaseninformationen.
Aus Gleichung (5.43) sehen wir, S3 ist Differenz der relativen Intensitäten von links- und rechtszirkularpolari~ beschreibt positive, ~ε∗ E
~ negative Helizität. Durch Nachrechnen findet man aus den
sierten Wellen, denn ~ε∗+ E
−
Gleichungen (5.42) und (5.43) noch die Beziehung:
S02 = S12 + S22 + S32
5.3
(5.44)
Reflexion und Brechung elektromagnetischer Wellen
Wir unterteilen in kinematische Eigenschaften wie Reflexionsgesetz und Snellius’sches Brechungsgesetz und in
dynamische Eigenschaften wie Intensität von reflektiertem und gebrochenem Licht, Phasenänderungen und Polarisation.
Wir betrachten eine gemäß Fig. 5.2 auf eine ebene Oberfläche einfallende Welle:
~
E
=
mit:
~ 0 ei~k~x−iωt
E
~ ~
~ = √µε k × E
B
k
(5.45)
Die gebrochene Welle bezeichnen wir mit:
~0
B
~ 00 ei~k0 ~x−iωt
= E
~k 0 × E
~0
p
=
µ0 ε0
k0
~ 00
E
=
~ 00
B
=
~0
E
die reflektierte mit:
~ 000 ei~k00 ~x−iωt
E
~ 00
√ ~k 00 × E
µε
00
k
81
(5.46)
(5.47)
z
µ’; ε’
k’
ϑ
ϕ’’
k
ϕ
k’’
µ; ε
Abb. 5.2:
Für die Wellenzahlen haben wir noch die Beziehungen:
ω√
|~k| = |~k 00 | = k =
µε
c
(5.48)
bzw.:
ωp 0 0
|~k 0 | = k 0 =
µε
c
(5.49)
Wegen der Randbedingungen bei Z = 0 haben wir gleiche Phasenfaktoren bei Z = 0, d.h.:
(~k~x)Z=0 = (~k 0 ~x)Z=0 = (~k 00 ~x)Z=0
(5.50)
Mit den Bezeichnungen aus Fig. 5.2 ergibt sich daraus:
k sin ϕ = k 0 sin ϑ = k 00 sin ϕ0
(5.51)
Wegen k 00 = k ist also ϕ0 = ϕ, d.i. das Reflexionsgesetz und außerdem:
k0
sin ϕ
=
=
sin ϑ
k
s
µ0 ε0
n0
=
µε
n
(5.52)
das Snellius’sche Brechungsgesetz.
~ und B
~ und die Tangentialkomponenten von E
~ und H
~ haben stetige Übergänge,
Die Normalkomponenten von D
d.h. bei z = 0 haben wir die Randbedingungen:
00
0 ~0
~
~
~ε(E0 + E0 ) − ~ε E0 ~n =
~k × E
~ 0 + ~k 00 × E
~ 0 − ~k 0 × E
~ 0 ] · ~n =
0
00
0
~
~
~
E0 + E0 − E0 ] × ~n =
1 ~ ~
~ 000 ) − 1 (~k 0 × E
~ 00 ) × ~n =
(k × E0 + ~k 00 × E
µ
µ0
0
0
0
0
(5.53)
Die Beziehungen (5.53) gelten wegen den Gleichungen (5.45), (5.46) und (5.47). Wir betrachten nun zwei Fälle:
die einfallende Welle ist horizontal bzw. vertikal polarisiert. Jeden anderen Fall erhalten wir aus geeigneter
Linearkombination dieser Beiden.
82
µ’, ε ’
z
k’
B’
ϑ
E’
n
B’’
ϕ
ϕ
E’’
B
k’’
E
µ,ε
−k
Abb. 5.3:
Wir nehmen zunächst an, der elektrische Feldvektor stehe gemäß Fig. 5.3 senkrecht zur Einfallsebene. Die
~ E
~ 0 und E
~ 00 zeigen in die Papierebene, die Orientierung der B,
~ B
~ 0 und B
~ 00 ist so gewählt, dass
Vektoren E,
ein positiver Energiefluss in Wellenvektorrichtung stattfindet. Aus der dritten und vierten Randbedingung von
Gleichung (5.53) ist dann:
00
0
E0⊥ + E0⊥
− E0⊥
=0
(5.54)
und:
r
ε
00
(E0⊥ − E0⊥
) cos ϕ −
µ
s
ε0 0
E cos ϑ = 0
µ0 0⊥
(5.55)
Nach einigen (trivialen) Umformungen gewinnen wir:
und:
0
2n cos ϕ
E0⊥
p
=
µ
E0⊥
n cos ϕ + µ0 n02 − n2 sin2 ϕ
00
n cos ϕ −
E0⊥
=
E0⊥
n cos ϕ +
wobei wegen Snellius noch gilt:
n0 cos ϑ =
In der Optik setzt man fast immer µ0 = µ, d.h.:
µ
µ0
µ
µ0
p
n02 − n2 sin2 ϕ
p
n02 − n2 sin2 ϕ
q
n02 − n2 sin2 ϕ
(5.56)
(5.57)
(5.58)
0
E0⊥
2 · n · cos ϕ
=
E0⊥
n cos ϕ + n0 cos ϑ
(5.59)
E000⊥
n cos ϕ − n0 cos ϑ
=
E0⊥
n cos ϕ + n0 cos ϑ
(5.60)
bzw.:
83
Die Beziehungen (5.59) und (5.60) gelten auch für komplexen Brechungsindex, d.h. auch bei Absorptionserscheinungen.
µ’, ε ’
z
k’
E’
ϑ
B’
n
E’’
ϕ
ϕ
B’’
E
k’’
B
−k
Abb. 5.4:
~ B
~ 0 und B
~ 00 aus der Papierebene zeigen, ergeben die
Im Falle parallelen Einfalls gemäß Fig. 5.4, wobei B,
Randbedingungen (5.53):
00
0
cos ϕ (E0|| − E0||
) − cos ϑ E0||
=0
(5.61)
und:
r
ε
00
(E0|| + E0||
)−
µ
s
ε0 0
E =0
µ0 0||
(5.62)
~ und H.
~ Damit folgt - wie zuvor - aus den Gleichungen
wegen der Stetigkeit der Tangentialkomponenten von E
(5.61)/(5.62):
0
E0||
E0||
00
E0||
E0||
Für µ = µ0 ist wieder:
=
=
µ
µ0
n02
2nn0 cos ϕ
p
cos ϕ + n n02 − n2 sin2 ϕ
p
(5.64)
2nn0 cos ϕ
cos ϕ + nn0 cos ϑ
(5.65)
n02 cos ϕ − nn0 cos ϑ
n02 cos ϕ + nn0 cos ϑ
(5.66)
µ
02
n02 − n2 sin2 ϕ
µ0 · n cos ϕ − n
p
µ 02
n02 − n2 sin2 ϕ
µ0 n cos ϕ + n
0
E0||
E0||
=
(5.63)
n02
und:
00
E0||
E0||
=
Betrachten wir nun den senkrechten Einfall, so ist ϕ = 0 und daher wird aus den Gleichungen (5.59)/(5.60) und
(5.65)/(5.66):
84
2
E00
=q 0
µε
E0
+1
(5.67)
µ0 ε
und:
E000
E0
Mit µ = µ0 ist dann schließlich noch:
q
=q
µε0
µ0 ε
−1
µ ε0
µ0 ε
(5.68)
+1
2n
E00
= 0
E0
n +n
(5.69)
n0 − n
E000
= 0
E0
n +n
(5.70)
bzw.:
Das Vorzeichen der reflektierten Welle ist in Übereinstimmung mit der Polarisation, parallel zur Einfallsebene,
d.h. für n0 > n gibt es einen Phasensprung der reflektierten Welle, d.i. der Phasenursprung am optisch dichteren
0
Medium; für n0 < n gibt es keinen Phasensprung. Für ϕB = arctg nn in den Gleichungen (5.65)/(5.66) ver0
schwindet die reflektierte Welle. Dieser Winkel ϕB heißt Brewster-Winkel. Für Glas ist ϕB ∼ 56o und nn ∼ 1.5.
Lässt man eine beliebig polarisierte Welle unter dem Brewster-Winkel ϕB einfallen, so ist die reflektierte Welle
vollständig linear polarisiert, wobei der Polarisationsvektor senkrecht zur Einfallsebene steht. Über die Totalreflexion können wir nun Aussagen machen, falls n > n0 , d.h. ϑ > ϕ. Für ϑ = π2 sei ϕ = ϕ0 , d.h.:
ϕ0 = arc sin
n0
n
(5.71)
Für unter ϕ0 einfallende Wellen verläuft die gebrochene Welle parallel zur Grenzfläche. Wir haben keinen
Energiefluss durch die Grenzfläche, also Totalreflexion. Für ϕ > ϕ0 ist sin ϕ > 1, damit ist ϑ komplex (Funktionentheorie!) und wir können schreiben:
cos ϑ = i
s
(
sin ϕ 2
) −1
sin ϕ0
(5.72)
Betrachten wir nun den Fortpflanzungsfaktor der gebrochenen Welle:
s
sin ϕ
sin ϕ 2
0
0
exp(ik · ~x) = exp ik (x sin ϑ + z cos ϑ) = exp − k (
) − 1 · z exp ik 0 ·
·x
sin ϕ0
sin ϕ0
~0
(5.73)
~ 0 nur parallel zur Grenzfläche, die Intensität durch die Grenzfläche
Damit ist für ϕ > ϕ0 die Fortpflanzung von E
hindurch nimmt innerhalb weniger Wellenlängen sehr stark ab. Obwohl also noch ein (kleines) Feld jenseits der
Grenzfläche existiert, gibt es keinen Energiefluss. Dieser ist ja gegeben durch die zeitgemittelte Normalenkomponente des Poynting-Vektors, die sich so berechnet:
c
0
∗
~
~
~
Re ~n(E × H )
S~n =
8π
Wegen:
85
(5.74)
~ 0)
~ 0 = c (~k 0 × E
H
µ0 ω
(5.75)
haben wir:
~n =
S~
c2
~k 0 )|E
~ 0 |2
Re
(~
n
0
8πµ0 ω
(5.76)
~ n = 0.
Weil nun ~n~k 0 = k 0 cos ϑ und cos ϑ wegen Gleichung (5.72) rein imaginär ist, ist S~
Die Gleichungen (5.59)/(5.60) und (5.65)/(5.66) sind uns als Fresnel’sche Formeln wohlbekannt.
5.4
Wellen in leitendem und dispersivem Medium
Die Dielektrizitätskonstante des Mediums ist im Allgemeinen komplex, egal, ob wir einen Isolator oder Leiter
haben. Bei Leitern kann man aber Im(ε) nie vernachlässigen. Das komplexe εC schreibt man dann:
= ε + iσ
= Leitfähigkeit
εC
σ
(5.77)
Haben wir eine Welle exp(i~k~x − iωt), so gilt für die Wellenzahl k:
k 2 = µε
ω2
c2
4πσ
1+i
ωε
(5.78)
Für reelle σ, µ, ε ist:
k =β+i
α
2
(5.79)
mit:
und:
Für Isolatoren ist
4πσ
ωε
v s
u
2
1
4πσ
√ ωu
t1
+
1+
β = µε
c
2
ωε
2
(5.80)
v s
u
2
α √ ωu
1
4πσ
t1
= µε
−
1+
2
c
2
ωε
2
(5.81)
<< 1 und daher:
k =β+i
α √ ω 2πi
≈ µε +
2
c
c
r
µ
σ
ε
(5.82)
Die durch Im(k) gegebene Wellendämpfung ist also frequenzunabhängig. Für Leiter haben wir ein sehr großes
α
4πσ
ωε und 2 = β, d.h.:
√
2πωµσ
k ∼ (1 + i)
c
Die EM-Felder unserer Welle können wir hier so schreiben:
86
(5.83)
~ x, t) = E
~ 0 exp − α ~n~x · exp [iβ~n~x − iωt]
E(~
2
(5.84)
~ x, t) = H
~ 0 exp − α ~n~x · exp (iβ~n~x − iωt]
H(~
2
(5.85)
~ = 0 und der Maxwell-Gleichung (5.3) haben wir:
Wegen ~nE
~0 = c
H
µω
α
~0
β+i
· ~n × E
2
(5.86)
~ und E
~ phasenverschieden. φ (Phase) und k sind:
Damit sind in einem Leiter H
|k| =
r
2 1/4
α2
4πσ
√ ω
2
1+
+ β = µε
4
c
ωε
φ = arctg.
α
1
= arctg.
β
2
4πσ
ωε
(5.87)
(5.88)
Für Gleichung (5.86) haben wir also:
~0 =
H
r
2 1/4
4πσ
ε
~0
1+
· eiφ ~n × E
µ
ωε
(5.89)
~ bleibt also zeitlich hinter E
~ mit φ zurück und hat die relative Amplitude:
H
2 1/4
~ H
0 = ε 1 + 4πσ
~ µ
ωε
E0
~ >> |E|,
~ die Phase φ also
In sehr guten Leitern ist σ >> 1, d.h. |H|
magnetischen Feld enthalten.
(5.90)
π
4.
Die gesamte Feldenergie ist also im
Die Halbwertszeit τ unserer Wellen (5.84)/(5.85), also die Zeit, in der die Amplitude auf 1e -tel der Anfangsamplitude abgefallen ist, ist:
τ=
2
α
Für gute Leiter haben wir wegen unserer Näherung für
(5.91)
α
2:
c
τ≈ √
2πµωσ
(5.92)
Die Größe τ heißt Skinkonstante oder Eindringtiefe. Wie wir sehen, ist τ stark frequenzabhängig. Für hohe
Frequenzen haben wir Stromfluss nur an der Leiteroberfläche (Skineffekt).
In SI-Einheiten schreibt man statt Gleichung (5.92) übrigens:
2
√
2
=
· µωσ
τ= √
µωσ
µωσ
87
(5.93)