Trigonometrische Funktionen für beliebige Winkel x y α 180◦ 270

Trigonometrische Funktionen für beliebige Winkel
y
1
1
α
−1
x
1
−1
α
◦
◦
90
180
◦
270
360
◦
−1
Definition. Für einen Winkel α mit 0◦ ≤ α < 360◦ definieren wir sin(α) als
und cos(α) als
.
1. Diskutiere mit deinem Banknachbar, ob die folgenden Gleichheiten gelten. Begründe mit
Hilfe der obenstehenden Grafik.
a) sin(180◦ − α) = sin(α)
e) sin(360◦ − α) = − sin(α)
b) cos(180◦ − α) = − cos(α)
f) cos(360◦ − α) = cos(α)
c) sin(180◦ + α) = sin(α)
g) cos(α − 90◦ ) = sin(α)
d) cos(180◦ + α) = − cos(α)
h) cos(90◦ + α) = − sin(α)
2. Bestimme alle Winkel 0◦ ≤ α < 360◦ , für die gilt
a) sin(α) = 0.2
d) cos(α) = −0.05
b) sin(α) = −0.74
e)
c) cos(α) = 0.84
f) |sin(α)| = 0.07
√
(Ohne Taschenrechner!)
cos(α) =
3
2
3. In der obenstehenden Definition fordern wir für den Winkel α, dass er zwischen 0◦ und
360◦ liegt. Könnte auf diese Forderun verzichtet werden? Wie könnte etwa ein Winkel von
α = −180◦ oder α = 720 interpretiert werden? (Denke an das Velo-Rad!)
B. Keller
November 2013
Trigonometrische Funktionen für beliebige Winkel
4. Du weisst bereits, wie man für Winkel zwischen 0◦ und 90◦ am Einheitskreis den Tangens
ablesen kann. Ergänze die Grafik auf der Vorderseite entsprechend: Zeichne tan(α) ein.
5. Wir haben bisher nur von der Erweiterung der Sinus- und der Cosinusfunktion gesprochen.
Nun wollen wir auch den Tangens betrachten.
Kennst du einen Zusammenhang zwischen Sinus, Cosinus und Tangens? Dieser soll für
Winkel grösser als 90◦ erhalten bleiben.
Wir benutzen diesen Zusammenhang, um auch die Definition der Tangensfunktion zu
erweitern.
Definition. Für jeden Winkel 0◦ ≤ α < 360◦ (wobei α 6= 90◦ und α 6= 270◦ ) definieren
wir:
tan(α) :=
6. In Aufgabe 1 a) - f) haben wir Gleichheiten für die Sinus- und die Cosinusfunktion formuliert. Wie lauten die entsprechenden Gleichheiten für die Tangensfunktion?
B. Keller
November 2013