Mechanik
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Kinematik • Lehre von der Bewegung der Körper in Raum und Zeit • alle Bewegungen sind Relativbewegungen in Bezug auf Koordinatensystem Rotation Schwingung Bewegung um ein festes Drehzentrum Periodische Bewegung um Gleichgewichtslage Holger Scheidt Mechanik 4 Translation Bewegung in eine definierte Richtung Geschwindigkeit und Beschleunigung Geschwindigkeit v Beschleunigung a Mittlere/Durchschnittsgeschwindigkeit: Holger Scheidt Mechanik 5 v= a= t Momentangeschwindigkeit: v = lim t0 Einheit: Mittlere Beschleunigung: s s t = t Momentanbeschleunigung: ds dt a = lim t0 Einheit: m [v] = v v t [a] = s = dv = dt d²s dt² m s2 Geradlinig gleichförmige Bewegung • keine äußere Kraft, Beschleunigung a = 0 • Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit v0 oder Ruhe v = 0 s Weg-Zeit-Diagramm Geschw.-Zeit-Diagramm Beschl.-Zeit-Diagramm a v v0 t Holger Scheidt Mechanik 6 Weg-Zeit-Gesetz s = v0t t t Geschw.-Zeit-Gesetz v = v0 Beschl.-Zeit-Gesetz a=0 1 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung • Beschleunigung a = const. > 0 Weg-Zeit-Diagramm Geschw.-Zeit-Diagramm t t t Weg-Zeit-Gesetz Holger Scheidt Mechanik 7 Beschl.-Zeit-Diagramm a v s Beschl.-Zeit-Gesetz Geschw.-Zeit-Gesetz a0 2 s= t 2 a = a0 v = a0 t • Freier Fall Vernachlässigung von Reibungskräften (Luftwiderstand) a = g = 9,81 m / s 2 Kreisbewegung t2 s t1 r M Mittlere Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz): = t Winkelgeschwindigkeit: d = lim = dt t0 t Einheit: Der Winkel wird in Bogenmaß gemessen! Bogenmaß = Bogenlänge = Holger Scheidt Mechanik 8 Radius Gradmaß 360º [ ] = s-1 bzw. rad s-1 s r Winkelbeschleunigung: Bogenmaß d u / r = 2r / r = 2 180º 90º /2 = dt Einheit: [ ] = s-2 Radiant (rad) ist eine Zählgröße für Winkel (Bogenmaß) Gleichförmige Kreisbewegung • Konstante Winkelgeschwindigkeit = const. t2 M r Periodendauer (oder Umlaufzeit) T t1 T=2/ Holger Scheidt Mechanik 9 Zeit für das Überstreichen des Winkels 2 f=/2 =2f Frequenz (oder Umdrehungszahl) f f=1/T [f ] = 1 Hz (Hertz) = 1 s-1 2 Winkel- und Bahngeschwindigkeit v2 Winkelgeschwindigkeit: = d /dt Bahngeschwindigkeit: v - v1 v1 v = ds/dt mit Bogenmaß d = ds / r M v=r Holger Scheidt Mechanik 10 Jede Kreisbewegung ist eine beschleunigte Bewegung !!! Radialbeschleunigung: ar = 2 r stets zum Kreismittelpunkt gerichtet. Der Betrag der Bahngeschwindigkeit ist stets konstant, ihre Richtung ändert sich aber ständig! Zusammenfassung Bewegungen Translation Rotation s Geschwindigkeit v = ds/dt Beschleunigung a = dv/dt Holger Scheidt Mechanik 11 Weg s=r v=r a=r Winkel Winkelgeschwindigkeit = d/dt Winkelbeschleunigung = d/dt Radialbeschleunigung ar=2 r Wodurch werden Bewegungen bzw. Änderungen von Bewegungsabläufen ausgelöst? Newtonsche Axiome Trägheitsprinzip Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung solange keine Kräfte auf ihm einwirken bzw. alle wirkenden Kräfte sich gegenseitig aufheben. Aktionsprinzip Ein frei beweglicher Körper mit der Masse m erfährt durch eine Kraft F eine Beschleunigung a, die der wirkenden Kraft proportional ist. F=ma [ F ] = 1 kg m s-2 = 1 N Holger Scheidt Mechanik 12 Reaktionsprinzip Übt ein Körper A die Kraft Fab auf einen Körper B aus, so wirkt B mit der entgegengesetzt gleichgroßen Kraft Fba = - Fab auf A ein. actio = reactio 3 Gravitation • Gravitationskraft: ∙ ∙ m1 m2 Gravitationskonstante: = 6,67 10-11 m3 / kg s2 r • Mit m2 = Erdmasse = 5,95 *1024 kg und r = Erdradius =6,36 *106 m: ∙ Holger Scheidt Mechanik 13 Freier Fall g = 9,81 m/ s2 • Für den Mond: gMond= 1,62 m/ s2 Statischer Auftrieb Prinzip von Archimedes FA m k, V Ein in eine Flüssigkeit eingetauchter Körper erfährt einen scheinbaren Gewichtsverlust, der gleich dem Gewicht der von Körper verdrängten Mediums ist. = Auch in Luft ! Holger Scheidt Mechanik 14 Fs Statischer Auftrieb Prinzip von Archimedes FA= m V g Ein in eine Flüssigkeit eingetauchter Körper erfährt einen scheinbaren Gewichtsverlust, der gleich dem Gewicht der von Körper verdrängten Mediums ist. = Fs = kV g Fallbetrachtung: Holger Scheidt Mechanik 15 1) k > m Fs > FA Körper sinkt 2) k = m Fs = FA Körper schwebt 3) k < m Fs < FA Körper steigt auf 4 Reibungskräfte • Gleitet ein Körper auf einem anderen, entsteht eine der Bewegung entgegengesetzte Kraft. F FR F v F R = µ FN FN - Normalkraft, d.h. Kraft mit der der Körper senkrecht auf die Unterlage wirkt µ - Reibungskoeffizient FR FN Fs Fs • Reibungskraft ist unabhängig von Größe der reibenden Flächen !!! Holger Scheidt Mechanik 16 • Unterscheidung zwischen: Haftreibung µH µH > µG >> µR Gleitreibung µG Rollreibung µR • Welche Aufgabe haben Filzgleiter an Möbeln ? Reibung in Flüssigkeiten/Gasen • Körper bewegt sich relativ zum Medium seine Bewegung wird von der Reibungskraft FR gehemmt • Innere Reibung: FR FA Reibung zwischen Schicht, die am Körper haftet, und benachbarten Schichten v Fs v f - Reibungskoeffizient, abhängig von Form u. Größe des Körper, sowie der Beschaffenheit der Flüssigkeiten Holger Scheidt Mechanik 17 FR = f v Körper sinkt • Fs > FA Für eine Kugel in einer Flüssigkeit (Stokes-Gleichung): FR = 6 rk v rK – Kugelradius – Viskosität der Flüssigkeit (Einheit Pa·s) Sedimentation • Start: v=0 FR = 0, FS > FA Körper beschleunigt, v steigt FR wächst Weg FR FA Fs = FA + FR • Fs Holger Scheidt Mechanik 18 Zeit nach einiger Zeit: FS – FA – FR = 0 1. Newton. Axiom: v = const. • Bestimmung der Viskosität: Fs > FA Körper sinkt Fs = k V g FA = m V g FR = 6 rk v = 2 rk2 9v (k - m) g • Anwendung: Blutsenkung Trennung von Partikeln 5 Kräfte bei der Kreisbewegung • Die Zentripetalkraft zwingt den Körper auf eine Kreisbahn. ar = 2r FP = m 2r Zentripetalkraft v ar M FP m FZ Holger Scheidt Mechanik 19 Für Beobachter auf der Kreisbahn: spürt Kraft nach außen! Zentrifugalkraft Fz (Trägsheitskraft, Scheinkraft in beschl. Bezugssytem) Alles okay für den Beobachter außerhalb. F Z = - FP Zentrifuge • Wenn die Sedimentation nicht schnell genug geht….. statt Gewichtskraft Zentrifugalkraft nutzen! M FZ = m k 2 r FR FZ FA = mM 2r FA FR = 6 R v Zentrifugalkraft auf Medium R- Radius des Körpers r • Im Gleichgewicht: Holger Scheidt Mechanik 20 FZ = FA + FR 2 R2 v = v = 9 (k - M) 2r 8 ² R2 9 mit m = V V = 4 R3 3 D.h.: - Großer Rotorradius r - Hohe Umdrehungszahl (Frequenz) mit = 2 f (k - M) f 2 r Anwendung 2 R2 v = 9 (k - M) 2r Sk – Sedimentationskonstante nur abhängig von Eigenschaften der Teilchen und der Lösung Trennung nach Masse bzw. Dichte Holger Scheidt Mechanik 21 Differenzielle Zentrifugation . . . . . . .. .. . .. Gewebehomogenat 1000 x g 20000 x g 80000 x g 150000 x g 5-10 min 15 min 1h 3h ........... ganze Zellen Zellkerne Plasmamembranen Mitochondrien Lysosomen Mikrosomen kl. Vesikel Ribosomen gr. Makromol. Viren 6 Arbeit W • bei Kraftwirkung auf einen Körper wird Arbeit W verrichtet F Spezielle Formen der Arbeit s Hubarbeit h W = mgh W = F s cos m [ W ] = 1 Nm = 1 J (= 1 Joule) Beschleunigungsarbeit Holger Scheidt Mechanik 22 allgemeiner m W Fds W= 1 2 mv2 v v=0 Energie E und Leistung P • Energie E ist die Fähigkeit Arbeit zu verrichten • Leistung P ist Arbeit pro Zeit ! • Potenzielle Energie P = W t aufgrund gehobener Lage [ P ] = 1 W ( = 1 Watt) = 1 J s-1 = 1 Nms-1 Epot = m g h • Kinetische Energie Holger Scheidt Mechanik 23 Energie der Bewegung Ekin = 1 mv2 2 Energieerhaltungssatz In jedem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtenergie konstant. Energie kann weder erzeugt noch vernichtet werden; sie kann nur von einer Form in eine andere umgewandelt werden. • Für Mechanik: Holger Scheidt Mechanik 24 Epot + Ekin = const. Andere Energieformen: Wärmeenergie, elektrische Energie, chemische Energieformen, Bindungsenergie, Strahlungsenergie usw. 7 Impuls p und Impulserhaltung • Impuls p : • Impulserhaltungssatz p=mv In einem abgeschlossenen System (es wirken keine äußeren Kräfte) bleibt der Impuls konstant. [ p ] = kg m s-1 Aktionsprinzip F=ma v a= t Beispiel: Rückstoß vR vor dem Start F= Holger Scheidt Mechanik 26 F= (m v) nach dem Start m v=0 t p t mR mG p=0 p=0 vG p = F t p = mRvR + mGvG = 0 Kraftstoß Elastischer und unelastischer Stoß • Unelastischer Stoß • Elastischer Stoß vorher v1 m1 nachher (´) v2 v‘1 m1 m2 zuvor v1 v'2 m1 m2 Impulserhaltung v´ m1 + m2 m2 Impulserhaltung m 1v 1 + m 2v 2 = m 1v 1´ + m 2v 2´ m1v1 – m2v2 = (m1 + m2)v´ Energieerhaltung Energieerhaltung Holger Scheidt Mechanik 27 nachher (´) v2 1 1 1 m 1v 12 = m 1v 12 + (m1+m2)v´2 + U 2 2 2 1 1 1 m 1v 12 = m 1v 12 + m1v1´2 + m2v2´2 2 2 2 2 1 Beispiel: Zentraler Stoß zweier Billardkugeln Beispiel: Frontalzusammenstoß zweier Kraftfahrzeuge Drehmoment M • Durch ein Drehmoment M erfährt ein Körper eine Winkelbeschleunigung („Kraft bei Rotationen“) Drehachse (senkrecht zur Tafelebene) r M = F xr F Kreuzprodukt [ M ] = 1 Nm Für den Betrag gilt: sin Holger Scheidt Mechanik 28 • Verschiebung der Kraft entlang der Wirkungslinie: r F sin 90° =1 „Drehmoment ist Kraft mal Kraftarm“ d 8 Hebelgesetz • Zweiarmiger Hebel • Einarmiger Hebel (Balkenwaage) (waagerechter Unterarm) Bizeps r1 r2 m1 F2 m2 l2 Ellbogen (Drehpunkt) l1 Holger Scheidt Mechanik 29 F1 Im Gleichgewicht: M1 = M2 Im Gleichgewicht: M1 = M2 F1 r1 = F2 r2 sin F1 r1 = F2 r2 (Hebelgesetz) Trägheitsmoment I • Bei Rotation ist nicht nur wichtig, welche Masse bewegt wird, sondern auch in welchen Abstand zur Drehachse. Drehachse (senkrecht zur Tafelebene) r Holger Scheidt Mechanik 30 • Trägheitsmoment: m I = m r² [ I ] = 1 kg m² I ² • Kinetische Energie bei Rotation: Drehimpuls L L = I [ L ] = kg m2 Wirken auf ein System keine äußeren Drehmomente, so bleibt der Gesamtdrehimpuls des Systems konstant. s-1 Beispiel: Pirouette L v Holger Scheidt Mechanik 31 r I1 1 I1 > I2 = I2 2 1 < 2 9 Analogie Translation Rotation Weg s Winkel Geschwindigkeit v Winkelgeschwindigkeit Beschleunigung a Winkelbeschleunigung (Radialbeschleunigung a r) Masse m Trägheitsmoment Kraft F Drehmoment M M=I Holger Scheidt Mechanik 32 F=ma Kin. Energie 1 m v2 2 Impuls p 1 I 2 2 Kin. Energie Drehimpuls L Deformation fester Körper • Äußere Kräfte bewirken Verformung von Körpern Dehnung, Stauchung, Biegung, Verdrillung, Scherung, …. actio = reactio Innere Kräfte des Materials: - chem. Bindung - elektrostat. Kräfte - …. Holger Scheidt Mechanik 33 Äußere Kraft Feder als elastisches Element • Federkraft Fel (Rückstellkraft bei Dehnung) Fel = D s D - Federkonstante [D]=1N/m F ~ s s Fel Hooksches Gesetz Holger Scheidt Mechanik 34 m Fs • Spannarbeit 1 2 10 Hooksches Gesetz (allgemein) • Elastische Dehnung: A = F l l F - Zugspannung A (bei Stauung auch Druck p) = F l l - Dehnung l Spannungs-Dehnungs-Diagramm Holger Scheidt Mechanik 35 = E E - Elastizitätsmodul [ E ] = 1 N / m2 = 1 Pa = (1 Pascal) E ist Materialkonstante Kupfer 1,2 1011 Pa Knochen 1010 Pa Kautschuk 106 Pa Querkontraktion Q - Querkontraktion a l l Q = F Q = - a - a l l Holger Scheidt Mechanik 36 a a F - Poissonsche Zahl Volumenänderung: µ: 0 ... 0,5 Knochen: Kupfer: Kautschuk: V V 0 0,35 0,5 = (1 - 2 ) (Bei Dehnung meist Volumenerhöhung) Übersicht elastische Verformungen Dehnung Verdrillung (Torsion) Biegung F F F F Stauchung Scherung F Allseitige Kompression F Holger Scheidt Mechanik 37 F F F Materialspezifische Größen Elastizitätsmodul F F E Poissonsche Zahl µ Kompressionsmodul K Schermodul G 11 Plastische Verformung • bei Überschreiten der Elastizitätsgrenze wird der Körper irreversibel deformiert plastische Deformation Spannungs-Dehnungs-Diagramm Proportionalitätsgrenze Bruchgrenze Hookscher Verlauf Holger Scheidt Mechanik 38 Kurvenverlauf nach Überdehnung pl Dauerhaft zurückbleibende Dehnung nach Überdehnung Zeitverhalten bei Deformation Angelegte Kraft: F t Elastisches Verhalten Viskoelastisches Verhalten l l t Holger Scheidt Mechanik 40 Visköses Verhalten l t - zeitverzögerte Antwort auf Kraftwirkung - Formänderung folgt unmittelbar der Kraftänderung - Parallelität von Feder und Kolben - Beispiel: Schraubenfeder t - allmähliche Formänderung - veränderte Form bleibt erhalten - Kolben in zäher Flüssigkeit Druck p in Gasen und Flüssigkeiten • Druck p: p = F [ p ] = 1 N / m2 = 1 Pa (Pascal) A • In Gasen und Flüssigkeiten sind die Teilchen in steter Bewegung Stöße gegen Wände v F m, p v Vielzahl der Teilchen erzeugen „Trommelfeuer“ und somit Druck. Holger Scheidt Mechanik 42 m, p‘ Aus der Impulserhaltung folgt Kraft auf Wand. 12 Schweredruck in Flüssigkeiten • U-Rohr Manometer: h A F=mg Holger Scheidt Mechanik 43 ∆ ∆ Hydrostatisches Paradoxon • Schweredruck ist von der Form des Gefäßes unabhängig! h Holger Scheidt Mechanik 44 • Kommunizierende Röhren: Stempeldruck und Hydraulik • Stempeldruck: A p = • Hydraulik Flüssigkeiten sind inkompressibel A1 F2 F1 A2 s1 Holger Scheidt Mechanik 45 F A F s2 • p = const. • V = const. • E= const. „Was man an Kraft spart, muss man an Weg hinzusetzen“ (Goldene Regel der Mechanik) 13 Strömende Flüssigkeiten und Gase p1 A Länge l p2 • Hydrodynamische Stromstärke I: ∆ ∆ ∆ ∆ V x Ursache für Strömung p1 > p2 p = p1 - p2 [I] = m3 s • Für reibungsfreie (Viskosität = 0) inkompressible Fluide : v1 I1 = I2 Holger Scheidt Mechanik 47 v2 A1 v1 = A2 v2 A2 A1 Kontinuitätsgleichung Bernoulli-Gleichung Neben dem statischen Druck (Stöße gegen Wände) tritt dynamischer Druck auf Messung mit Staurohr. const • Energieerhaltung: 2 Holger Scheidt Mechanik 48 2 2 2 const const const const const Hydrodynam. Paradoxon: Bei höherer Strömungsgeschwindigkeit sinkt der statische Druck. Strömung realer Flüssigkeiten • Viskosität 0, innere Reibung laminare Strömung turbulente Strömung v = max v=0 Holger Scheidt Mechanik 50 • Parallele Stromlinien • Parabolisches Geschwindigkeitsprofil • Wirbel • Energetisch ungünstig Zur Abgrenzung zwischen den Strömungsarten dient die Reynolds-Zahl 14 Gesetz von Hagen-Poiseuille • Druckabfall durch innere Reibung: • Für laminare Strömung viskoser Flüssigkeiten gilt: Hagen-Poiseuillesches Gesetz: p2 l Holger Scheidt Mechanik 51 A=r² p1 1 ∆ ∆ Strömungswiderstand: Parallel- und Reihenschaltung Verzweigung von Gefäßen p1 I1 I p2 Holger Scheidt Mechanik 53 I2 Hintereinanderschalten von Gefäßen RH1 I1 RH1 I2 RH2 p2 p1 RH2 I = I1 + I2 Stromstärke I = I1 = I2 p = p1 = p2 Druckabfall p = p1 + p2 1 1 1 Hydrodynamische Widerstand Analog zum elektrischen Strom….. Kräfte an Grenzflächen • Zwischen den Teilchen wirken unterschiedliche Kräfte. Medium 1 Kohäsionkräfte Kräfte zwischen Molekülen eines Mediums Adhäsionskräfte Medium 2 Kräfte zwischen Molekülen unterschiedlicher Medien Holger Scheidt Mechanik 54 • Kohäsion > Adhäsion: zurückgerichtete Kraft auf Moleküle die Mediengrenze überschreiten möglichst kleine OF energetisch günstig. z.B. nicht-benetzende Flüssigkeit • Kohäsion < Adhäsion möglichst große OF energetisch günstig. z.B. benetzende Flüssigkeit 15 Oberflächenspannung • Bei Verändern der Größe einer Oberfläche einer Flüssigkeit wird Energie benötigt . - Oberflächenspannung [ ] = J / m2 = N / m W = A Holger Scheidt Mechanik 55 ist eine spezifische Größe für Luft / Medium: Wasser Blutplasma Quecksilber Olivenöl 72,9 • 10-3 N/m 50 • 10-3 N/m 478 • 10-3 N/m 32 • 10-3 N/m Flüssigkeitslamelle l l x x x F F F Holger Scheidt Mechanik 56 Verrichtete Arbeit: W = F x Oberflächenenergie W = A= 2 l x F F = 2l Kapillarität Nicht-Benetzende Flüssigkeit Depression Benetzende Flüssigkeit Aszension Holger Scheidt Mechanik 57 H2O Hg Beispiele: Feuchtes Mauerwerk Wasserversorgung in Pflanzen Steighöhe h in einer Kapillare für eine vollständig benetzende Flüssigkeit h= 2 r Fl g (folgt aus Kräftegleichgewicht) 16 Überdruck in Tropfen /Seifenblasen • Aufgrund der Oberflächenspannung sind möglichst kleine Oberflächen energetisch günstig Kraft die Tropfen „zusammenzieht“ Überdruck p im Innern. • Seifenblase: • Tropfen: r Holger Scheidt Mechanik 58 r p = 2 p = 4 r r Doppelte Oberfläche im Vergleich zum Tropfen da Innen- und Außenseite. Oberflächenaktive Stoffe • akkumulieren sich an der Grenzfläche Luft/Wasser • senken die Oberflächenspannung • haben eine amphiphile Molekülstruktur Beispiele: • Tenside (Seife, Waschmittel) • Lungensurfaktant Beispiel: Fettsäure -O Bronchiole C O hydrophob unpolar hydrophil polare Molekülgruppen Luft Alveole Gewebe (Wasser) Holger Scheidt Mechanik 59 • Zellmembran Luft Wasser 17
