Übungen zur Vorlesung PN1 Lösung Übungsblatt 12 Besprechung

Prof. Liedl
15.1.2013
Übungsblatt 12 zu PN1
Übungen zur Vorlesung PN1
Lösung Übungsblatt 12
Besprechung am 22.1.2013
Aufgabe 1: Gedämpfte Schwingung
An einer Feder mit der Federhärte 20 N/m hängt eine Kugel der Masse 100g. Die Kugel
wird um 10 cm nach unten ausgelenkt und dann losgelassen. Reibungseekte sollen
zunächst vernachlässigt werden.
a) Berechnen Sie die Schwingungsdauer der auftretenden harmonischen Schwingung
und geben Sie für die Kugel die Ortsfunktion x(t) an.
Lösung:
r
T = 2π
m
= 2π
D
s
0, 10kg
= 0, 444s
20N/m
x(t) = −0, 10m · cos(ω0 t) = −0, 10m · cos(
2π
14, 14
t) = −0, 10m · cos(
t)
T
s
b) Bestimmen Sie die maximale Geschwindigkeit und die maximale Beschleunigung
der Kugel und geben Sie dann die Geschwindigkeit v(t) und die Beschleunigung
a(t) in Abhängigkeit von der Zeit an.
Lösung:
v(t) = ẋ(t) = 0, 10m · ω0 sin(ω0 t) = vmax sin(ω0 t) ⇒ vmax = 1, 4m/s
a(t) = v̇(t) = 0, 10m · ω02 cos(ω0 t) = amax cos(ω0 t) ⇒ amax = 20m/s2
14, 14
v(t) = 1, 4m/s · sin(
t)
s
14, 14
t)
a(t) = 20m/s2 · cos(
s
c) Pro Schwingungsdauer gehen etwa 5% der mechanischen Energie auf Grund von
Reibungseekten verloren. Bestimmen Sie die Abnahme der Amplitude pro Schwingungsdauer. Wie groÿ ist die Amplitude nach 10 Sekunden?
Lösung:
p
1
1
D(xmax,2 )2 = 0, 95 · D(xmax,1 )2 ⇒ xmax,2 = 0, 95 · xmax,1 = 0, 975xmax,1
2
2
Pro Schwingungsdauer nimmt die Amplitude um 2,5% ab.
10s = 10s/T · T ≈ 23T ⇒ xmax (10s) = (0, 975)23 = 5, 6cm
Prof. Liedl
15.1.2013
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Aufgabe 2: Harmonische Schwingung am Seil
Ein Seil wird durch gleichmäÿige Auf- und Ab-bewegung mit f = 2,0 Hz harmonisch
angeregt, wobei sich Wellen der Länge 30 cm und der Amplitude 3,0 cm bilden. Zur Zeit
t0 = 0, 0s durchläuft der Anfang des Seils gerade den positiven (Von Unten anch Oben)
Nulldurchgang.
a) Berechnen Sie die Phasengeschwindigkeit c.
Lösung:
c = λ/T = λ · f = 0, 6m/s
b) Stellen Sie die allgemeine Formel y(x,t) = . . . für die Auslenkung der Welle auf.
Lösung:
y(t, x) = ym · sin(ωt − kx)
mit ym = 3cm; ω = 2πf = 12, 6/s; k = 2π/λ = 20, 9/m
c) Stellen Sie die Formel für den zeitlichen Verlauf der Schwingung des Punktes x20
auf, der sich 20 cm vom Anfang des Wellenträgers entfernt bendet.
Lösung:
s(t, 20cm) = ym sin(ωt − k · 0, 2m) = ym sin(ωt − 4, 2)
d) Welche Auslenkung besitzt der Punktx15 = 15 cm zur Zeit t1 = 625 ms? Zu welchen
Zeiten besitzt dieser Punkt wieder die gleiche Auslenkung?
Lösung:
s(t1 , 15cm) = ym sin(ω · 0, 625s − k · 0, 15m) = −3, 0cm
tn = t1 + nT ; T = 0, 5s
e) Lösen Sie die Teilaufgabe b) für den Fall, dass der Anfang des Wellenträgers zur
Zeit t0 = 0, 0s (I) gerade den negativen Nulldurchgang durchläuft bzw. (II) gerade
maximale positive Auslenkung besitzt.
Lösung:
(I)s(t, x) = −ym sin(ωt − kx)
(II)s(t, x) = ym cos(ωt − kx)
Prof. Liedl
15.1.2013
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Aufgabe 3: Nochmal ein Seil
In folgenden beiden Abbildungen ist eine Welle dargestellt, die sich nach rechts fortbewegt. Links ist sie zur Zeit t = 0s zu sehen, rechts 10 Sekunden später (die Periodendauer
sei gröÿer als 10s).
a) Bestimmen Sie die Wellenlänge der Welle, die Frequenz der Quelle welche das Seil
zum Schwingen bringt, sowie die Geschwindigkeit der Welle.
Lösung:
,→ λ = 4cm ,→ f =
1
ω
1
1
cm
=
=
= 0, 05 ,→ v = 0, 2
T
2π
20s
s
s
b) Zeichnen Sie einen Graphen der Auslenkung y als Funktion der Zeit für x = 0cm,
x = 2cm, x = 4cm von t = 0s bis t = 20s .
Lösung:
c) Stellen Sie eine Gleichung auf, die die Auslenkung y als Funktion von x und t
beschreibt.
Lösung:
y(x, t) = A · sin(kx − ωt) = 1 · sin(
2π
2π
2π
2π
x−
t) = sin(
x−
t)
λ
T
4cm
20s
Prof. Liedl
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Aufgabe 4: Vermischtes
a) Eine Masse m schwingt reibungsfrei an einer Feder mit der Federkonstante D und
maximaler Auslenkung x0 . Jetzt wir die Auslenkung auf 2x0 verdoppelt. Wie ändern sich die maximale Rückstellkraft der Feder am Ort der maximalen Auslenkung, die maximale Geschwindigkeit der Masse, die maximale kinetische Energie
der Masse, die maximale potentielle Energie der Masse, und die Gesamtenergie als
Summe aus potentieller und kinetischer Energie?
Lösung: a) F x2
b) Vmax x2
c) Ekin,max x4
d) Epot,max x4
e) Eges x4
b) Zeigen Sie, dass folgende komplexe Funktion der Wellengleichung genügt:
Ψ(x, t) = A · eiωt · sin(kx)
Lösung:
1 ∂ 2 Ψ(x, t)
∂ 2 Ψ(x, t)
=
∂x2
c2
∂t2
∂t2 Ψ = −Aω 2 eiωt sin(kx)
∂x2 Ψ = −Ak 2 eiωt sin(kx)
−Aω 2 eiωt sin(kx) ·
1
ω
2
2 iωt
=
∂
Ψ
=
−Ak
e
sin(kx)
⇒
c
=
x
c2
k
c) Zwei gleichförmige, aber gegensinnige Störungen laufen in entgegen gesetzter Richtung auf einem Seil. Zeichnen Sie den weiteren Verlauf der Seilwelle: 1.) kurz vor
der Überlappung, 2.) bei exakter Überlappung der Maxima und 3.) nach der Überlappung. Welche Aussage kann man über die Energie zum Zeitpunkt maximaler
Überlappung (also Fall 2.) machen?
Lösung:
Prof. Liedl
15.1.2013
Bei 2 gilt Eges = Ekin
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