Formelsammlung Physik I Allgemein - Fakultät II

c
Formelsammlung Physik 1 / Fakultät II / Hochschule
Hannover
Einführung
Version 09.06.2015
s(t)
s1 (t) = s01 + v01 · t +
Sieben physikalische Basis-Größen.
t
s
m
n
T
I
Iv
[s]
[m]
[kg]
[M ol]
[K]
[A]
[cd]
s3 (t) = s03 + v03 · t
Zeit in Sekunden
Strecke in Metern
Masse in Kilogramm
Stoffmenge in Mol
Temperatur in Kelvin
Stromstärke in Ampere
Lichtstärke in Candela
s2 (t) = s02 + v02 · t −
0
Skalare und Vektoren.
|~s| =
eines Vektors
Geschwindigkeit
Beschleunigung
s(eindimensional) ~s(mehrdim.)
4s
ds
Durchs.: v =
momen.:
4t
dt
4v
dv
Durchs.: a =
momen.:
4t
dt
1.2 Eindimensionale gleichförmig
beschleunigte Bewegung.
v1 (t) = v01 + a1 · t
v2 (t) = v02 − a2 · t
6
Wenn s0 = 0 und
v0 6= 0, dann
(v + v0 ) · t
s(t) =
2
Fläche p
im v-t-Diagramm
v(t) = v02 + 2 · a · s
v02
sB = −
mit a < 0
(2 · a)
v0 = 0, dann
a · t2
v·t
s(t) =
=
2
√2
v(t) = 2 · a · s
1.3 Wurfbewegung. Zweidimensionale
gleichförmig beschleunigte Bewegung.
8
~a(t) =
~g = const mit ~g =
~v (t) =
~v0 + ~g · t
~s(t) =
|~s(t)| =
β=
0
−g
~g · t2
~s0 + ~v0 · t +
2
p
s2x + s2z
sz
arctan( ) Winkel zur Horizontalen
sx
1.4 Waagerechter Wurf (x- und z- Richtung).
0
−g v0x
−g

 ·t
s0x + v0x · t

g · t2 
s0z −
2
1.5 Senkrechter Wurf (nach oben/unten).
ax
~a(t) =
=
az v
~v (t) = x =
vz
s
~s(t) = x =
sz
v3 (t) = v03
4
Bremsweg:
ax
=
az v
~v (t) = x =
vz
s
~s(t) = x =
sz
const (konstante Beschl.)
v0 ± a · t
a · t2
s(t) = s0 + v0 · t ±
2
0 0
+ für beschleunigte und
0 0
− für abbremsende Bewegung.
v(t)
2
denn s(t) =
~a(t) =
a(t) =
v(t) =
0
6
a2 · t2
2
t in s
8
1.1 Kinematische Größen.
[m]
m
[ ]
s
m
[ 2]
s
4
s2x + s2y + s2z
1 Kinematik der geradl. Bew.
Strecke
2
Wenn s0 = 0 und
Eine skalare physikalische Größe hängt nicht von der Richtung ab. Richtungsabhängige physikalische Größen werden
mit Hilfe von Vektoren dargestellt.
t
[s]
Zeit ist ein Skalar
~s
[m]
Ortsvektor
 
 
 
 
sx
1
0
0
sy  =
~s =
sx 0 + sy 1 + sz 0
sz
0q
0
1
Betrag
a1 · t2
2
t in s
Wurfhöhe
0
−g
0
±v0 − g · t

s0x

g · t2 
s0z ± v0 · t −
2
v02
szmax =
(2 · g)
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1.6 Schräger Wurf (x- und z- Richtung).
ax
=
az v
~v (t) = x =
vz
s
~s(t) = x =
sz
~a(t) =
0
−g
v0 · cos(β)

±v0 · sin(β) − g · t
s0x + v0 · cos(β) · t

g · t2 
s0z ± v0 · sin(β) · t −
2
Winkel β zwischen ~v und der Horizontalen.
v02 · sin2 (β)
Wurfhöhe
szmax =
2·g
2 · v02 · cos(β) · sin(β)
Wurfweite
sxmax =
g
2 Kinematik der Drehbewegung.
2.1 Kinematischen Größen.
Winkel
Umdrehungen
Winkelgeschw.
Drehzahl
Winkelbeschl.
Tangentialbeschl.
Radialbeschl.
Bahngeschw.
Bahnstrecke
φ = [rad] in Bogenmaß
φ
N=
= [umdr]
2π
4φ
dφ
Durchs.: ω =
momen.:
4t
dt
1
ω
=
n=
2π T
4ω
dω
Durchs.: α =
momen.:
4t
dt
at = α · r
v2
ar = ω 2 · r =
r
2π · r
v = ω · r = 2π · n · r =
T
s = φ · r = 2π · N · r
2.2 Gleichförmig beschleunigte Bewegung.
rad
α(t) = [ 2 ]
s
rad
]
ω(t) = [
s
umdr
n(t) = [
]
s
φ(t) = [rad]
N (t) = [umdr]
Wenn N0 = 0 und
denn N (t) =
Wenn N0 = 0 und
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2. Newtonsches Axiom Wirkt auf einen Körper eine resultierende äußere Kraft, dann ist diese proportional der Masse des Körpers und seiner Beschleunigung:
F~res = m · ~ares .
3. Newtonsches Axiom Wirkt ein Körper auf einen anderen Körper mit einer Kraft ein, so wirkt der andere auf
den ersten mit der vom Betrag gleichen Kraft aber mit der
entgegengesetzen Richtung: Factio = −Freactio .
3.2 Kräfte F = [N ] Ursachen der Bewegung
Antriebskräfte:
Gewichtskraft
Hangabtriebskraft
Winkel β zwischen der
Widerstandskraft:
Seilkraft
Federkraft
Federn parallel
Federn in Serie
Reibungsskräfte:
Haftreibung
Gleiteibung
Rollreibung
Trägheitsskraft:
d’Alembert:
Geleistete Arbeit
Mittlere Arbeit
Hubarbeit
Verformungsarb.
Beschleunigungsarb.
Wirkungsgrad
ω0 ± α · t
n0 ±
α·t
2π
F~S
F~D = −D · ~s
D = D1 + D2
D = D1 · D2 /(D1 + D2 )
F~HR = −µHR · m · ~g · cos(β)
F~GR = −µGR · m · ~g · cos(β)
F~RR = −µRR · m · ~g · cos(β)
F~ = −m · ~a
PT r ~
Fi − m · ~a = 0
i
3.3 Arbeit W = [J] = Kraft · Weg.
Reibungsarbeit
const
F~G = m · ~g
F~HA = m · ~g · sin(β)
schiefen Ebene und der Horizontalen.
W = F~ · ~s = F · s · cos(β)
W = F~mittel · 4~s
WH = m · g · h
D · s2
WE =
2
WR = µ · m · g · cos(β) · 4s
m · v2
WB =
2
η = WN utz /WGes
3.4 Energie E = [J] = gespeicherte Arbeit.
2
α·t
2
α · t2
N0 + n 0 · t ±
4π
n0 6= 0, dann:
(n + n0 ) · t
N (t) =
2
Fläche r
im n-t-Diagramm
α·N
n(t) = n20 +
π
n0 = 0, dann:
α · t2
n·t
N (t) =
=
2
r4π
2·α·N
n(t) =
2π
φ0 + ω0 · t ±
EL = m · g · h
D · s2
Spannungsenergie ES =
2
m · v2
Kinetische En.
EKin =
2
J · ω2
Rotationsenergie
ERot =
P 2
dem Satz von d’Alembert i Fi − m · ~a = 0
entspricht: EL − ES − WR − EKin − ERot = const
Lageenergie
3.5 Leistung P = [W ] = [J/s] Arbeit pro Zeit.
Leistung
Falls F = const
4W
(mittlere)
4t
P = F · v (momentane)
P =
3 Dynamik der geradl. Bew.
4 Impuls p = Masse · Geschw.
3.1 Newtonsche Axiome.
4.1 Definition.
1. Newtonsches Axiom Wirkt auf einen Körper keine resultierende äußere Kraft, dann verharrt dieser im Zustand
der geradlinigen gleichförmigen Bewegung (d.h. ~v = const
oder = 0.)
p~ = m · ~v = [kg · m/s]
Impulserhaltung:
Wirkt keine äußere Kraft, so bleibt Impuls erhalten.
P
F~ = p~˙ = 0 ⇒ p~ = i p~i = const
Impuls
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4.2 Kraftstoß.
d~
p d(m~v )
Verallg. 2. Newtonsches Axiom: F~ =
=
dt
dt
4~
p
Kraftstoß F~ (t) =
4t
Impulsübertrag 4~
p = p~Ende − p~Anf ang = F · 4t
R
~
4~
p = F (t)dt = Flächen in Fx − t, Fy − t, Fz − t Diag.
4.3 Gerader zentraler elastischer Stoß.
~u1s = ~v1s
~u2s = ~v2s
m1 − m2
2 · m2
· ~v1p +
· ~v2p
m1 + m2
m1 + m2
2 · m1
m2 − m1
=
· ~v1p +
· ~v2p
m1 + m2
m1 + m2
~u1p =
~u2p
5 Dynamik der Rotation.
5.1 Definitionen.
Impuls vor dem Stoß = Impuls nach dem Stoß
Radialbeschl.
m1 · ~v1 + m2 · ~v2 = m1 · ~u1 + m2 · ~u2
Ekin vor dem Stoß = Ekin nach dem Stoß
m1 · ~u21 m2 · ~u22
m1 · ~v12 m2 · ~v22
+
=
+
2
2
2
2
Aus den beiden oberen Gleichungen ergeben sich die Geschwindigkeiten der Körper nach dem Stoß:
m1 − m2
2 · m2
· ~v1 +
· ~v2
m1 + m2
m1 + m2
2 · m1
m2 − m1
~u2 =
· ~v1 +
· ~v2
m1 + m2
m1 + m2
~u1 =
4.4 Gerader zentraler unelastischer Stoß.
Impuls vor dem Stoß = Impuls nach dem Stoß
m1 · ~v1 + m2 · ~v2 = m1 · ~u1 + m2 · ~u2
Tangentialbeschl.
Zentripetalkraft
Zentrifugalkraft
Corioliskraft
Richtung: ~ar ⊥ ~v
v2
Betrag |~ar | =
= ω2 · r
r
Richtung: ~at k~v
Betrag |~at | = α · r
m · v2
= m · ω2 · r
|F~ZP | =
r
F~ZF = −F~ZP (Trägheitskraft)
F~Cor = −2 · m · ω
~ × ~v (Trägheitskraft)
5.2 Rotierender starrer Körper.
Dichte
Schwerpunkt
Massenträgheitsmoment
R
R
(J = r2 dm = r2 ρdV )
Rotationsenergie
Ekin vor dem Stoß = (Ekin + 4W ) nach dem Stoß
m1 · ~u21 m2 · ~u22
m1 · ~v12 m2 · ~v22
+
=
+
+ 4W
2
2
2
2
4W ist die Deformationsenergie.
4.5 Ger. zentr. vollständig unel. Stoß.
Eine gemeinsame Geschwindigkeit nach dem Stoß:
Impuls vor dem Stoß = Impuls nach dem Stoß
m1 · ~v1 + m2 · ~v2 = (m1 + m2 ) · ~u
kg
m
= [ 3]
V
m
P
ri
i mi · ~
~s = P
m
P i i
J = i mi · ri2 = [kg · m2 ]
ρ=
ERot =
J · ω2
= [Joule]
2
5.3 Massenträgheitsmom. versch. Körper.
Massenpunkt J = mR2
Vollylinder
J = mR2 /2
Hohlzylinder J = mR2 , wenn dünne Wände
Hohlzylinder J = m(R2 + r2 )/2, wenn dicke Wände
Dünner Stab J = ml2 /12 (quer durch die Mitte)
Dünner Stab J = ml2 /3 (Rotationsachse am Ende)
Kugel
J = 2mR2 /5
Steiner
J = JSchwerpunkt + m · s2
wobei s = Abstand zw. Schwerpunkt- und Rotationsachse
Ekin vor dem Stoß = (Ekin + 4W ) nach dem Stoß
m1 · ~v12 /2 + m2 · ~v22 /2 = (m1 + m2 ) · ~u2 /2 + 4W
4.6 Schräger elastischer Stoß.
Impuls vor dem Stoß = Impuls nach dem Stoß
m1 · ~v1 + m2 · ~v2 = m1 · ~u1 + m2 · ~u2
Ekin vor dem Stoß = Ekin nach dem Stoß
m1 · ~v12 m2 · ~v22
m1 · ~u21 m2 · ~u22
+
=
+
2
2
2
2
Zerlege die Geschwindigkeitsvektoren in zwei Komponenten: eine parallel zur Verbindungslinie der beiden Schwerpunkte ~v1p und andere Komponente senkrecht ~v1s dazu.
Die senkrechten Komponenten sind vor und nach dem Stoß
identisch. Die parallelen Komponenten verhalten sich genau
wie im Fall des geraden zentralen elastischen Stoßes.
5.4 Drehmomente M = [N · m] Ursachen der
Bewegung
Richtung
Betrag
Antriebsmomente:
Gewichtsdrehmoment
Hangabtriebsdrehmom.
Widerstandsmom.:
Seilmoment
Federmoment
Federn parallel
Federn in Serie
Reibungsmom.:
Reibungsdrehmom.
Trägheitssmom.:
d’Alembert
~ = ~r × F~
M
~ | = r · F · sin(β)
|M
MG = r · m · g
MHA = r · m · g · sin(β)
~ Seil = P F~Si · R
M
i
MD = −D∗ · φ
D∗ = D1∗ + D2∗
D∗ = D1∗ · D2∗ /(D1∗ + D2∗ )
MReib = −µReib · r · m · g · cos(β)
M
PT r = −J · α
i Mi − J · α = 0
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5.5 Arbeit W = [J] = Drehmoment · Winkel.
geleistete Arbeit
Spannungsarb.
Reibungsarbeit
Rotationsarbeit
Wirkungsgrad
W = Mdurchs. · 4φ
D ∗ · φ2
WE =
2
WReib = MReib · 4φ
J · ω2
WRot =
2
WN utz
η=
WGes
5.6 Energie E = [J] = gespeicherte Arbeit.
P
Dem Satz von d’ Alembert i Mi − J · α = 0 entspricht
Energieerhaltungssatz: EL −ES −WR −EKin −ERot = const
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7 Gravitation und Planetenbewegung.
7.1 Gravitationskraft
= G · M · m/r2
= 6, 67 · 10−11 N m2 /kg 2 (Gravitationskonstante)
= G · MErde · m · [1/RErde − 1/(RErde + h)]
2
= m · (G · MErde /RErde
)=m·g
2
= 9, 81m/s (Erdbeschleunigung)
FGrav.
G
Epot
FG
g
7.2 Raketengleichung
Änderung des Impulses der Rakete (Ra) = - Änderung des
Impulses des Treibstoffs (Tr)
4~
pRa = −4~
pT r
mRa · 4~vRa = −4mT r · ~vT r
5.7 Leistung P = [W ] = Arbeit pro Zeit.
Leistung
4W
(mittlere)
4t
P = M · ω (momentane)
P =
Falls M = const
6 Drehimpulserhaltung.
6.1 Drehimpuls L = [kg · m2 /s]
~ = ~r × p~ = ~r × m~v
Richtung
L
~ = r · m · v · sin(β) = J · ω
Betrag
|L|
Drehimpulsänderung = Drehmoment
(LEnd − LAnf )
M = r · F · sin(β) = J · α =
4t
~ =L
~˙ = J˙ · ω
M
~ +J ·ω
~˙
Drehimpulserhaltung:
Kein äußeres Drehmoment ⇒ Drehimpuls erhalten.
~ End − L
~ Anf )
(L
~ End = L
~ Anf
=0 ⇒ L
4t
~vRa = −~vT r · ln(m0 /mRa ) + ~v0
7.3 Keplersche Gesetze
1. Keplersches Axiom: Planetenbahnen sind Ellipsen
mit Sonne in einem der Brennpunkte.
2. Keplerssches Gesetz: Die Verbindungsgerade vom
Planeten zur Sonne überstreicht in gleicher Zeit gleiche
Flächen.
3. Keplersches Gesetz: T12 /T22 = r13 /r23 , wobei T1 und T2
Umlaufzeiten der Planeten um die gleiche Sonne. r1 und r2
sind große Halbachsen der Ellipsen.
8 Verschiedenes.
8.1 Volumina verschiedener Körper
Kugel
Zylinder
Kegel
6.2 Vollständig unelastischer ”Stoß”.
Pyramide
Eine gemeinsame Winkelgeschwindigkeit nach dem Stoß:
Drehimpuls vor dem Stoß = Drehimpuls nach dem Stoß
J1 · ω
~ 1 + J2 · ω
~ 2 = (J1 + J2 ) · ω
~3
Erot vor dem Stoß = (Erot + 4W ) nach dem Stoß
J1 · ω12 J2 · ω22
(J1 + J2 ) · ω32
+
=
+ 4W
2
2
2
Quader
4
VKugel = πR3
3
VZylinder = πR2 · h
1
VKegel = πR2 · h
3
1
VP yramide = Breite · T ief e · Hoehe
3
VQuader = Breite · T ief e · Hoehe
8.2 pq-Formel (Lsg. quadratischer Gleichung).
2
Lösung einer quadratischen Gleichung
rx + p · x + q = 0 ist
p
p
bekannt als pq-Formel: x1,2 = − ± ( )2 − q
2
2