3. Impuls und Drall - Ing. Johannes Wandinger

23.09.16
3. Impuls und Drall
●
●
●
●
Die Integration der Bewegungsgleichung entlang der
Bahn führte auf die Begriffe Arbeit und Energie.
Die Integration der Bewegungsgleichung bezüglich der
Zeit führt auf die Begriffe Kraftstoß und Impuls.
Wie bei konservativen Systemen die Energie eine Erhaltungsgröße ist, so ist bei Systemen, auf die keine resultierende äußere Kraft wirkt, der Impuls eine Erhaltungsgröße.
Die Suche nach einer weiteren Erhaltungsgröße für Systeme, auf die kein resultierendes äußeres Moment wirkt,
führt auf den Begriff des Dralls.
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-1
3. Impuls und Drall
23.09.16
3.1 Impuls
3.2 Drall
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-2
23.09.16
3.1 Impuls
●
Impuls eines Massenpunktes:
–
–
dv
=F
Das Newtonsche Grundgesetz lautet: m a=m
dt
Integration über die Zeit ergibt
tB
tB
A
A
dv
∫ m dt dt =m v B −m v A=∫ F dt
t
t
–
Die Größe
p=m v
wird als Impuls des Massenpunkts bezeichnet.
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-3
23.09.16
3.1 Impuls
–
Das Newtonsche Grundgesetz besagt, dass die zeitliche
Änderung des Impulses gleich der resultierenden äußeren
Kraft ist:
ṗ= F
–
Es wird daher auch als Impulssatz bezeichnet.
–
Die Gleichung
tB
m v B−m v A=∫ F dt
tA
wird als integrierter Impulssatz bezeichnet.
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-4
3.1 Impuls
–
Die Größe
23.09.16
tB
F =∫ F dt
tA
heißt Kraftstoß. Sie hat die Einheit Ns.
–
Wenn der Kraftstoß null ist, gilt der Impulserhaltungssatz:
m v B=m v A
–
Insbesondere gilt:
●
Wenn keine Kräfte auf einen Massenpunkt einwirken, ändert
sich sein Impuls nicht. Sein Impuls bleibt erhalten.
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-5
23.09.16
3.1 Impuls
●
Beispiel: Bremsendes Fahrzeug
–
–
–
Ein Fahrzeug der Masse m
fährt mit konstanter Geschwindigkeit v eine geneigte Straße hinunter.
B
Der Fahrer tritt heftig auf die
Bremse, so dass das Fahrzeug mit blockierten Rädern
rutscht.
Nach welcher Zeit kommt
das Fahrzeug zum Stillstand?
Prof. Dr. Wandinger
v
g
z
2. Kinetik des Massenpunktes
A
α
n
α
mg
s
R
N
TM 3 2.3-6
23.09.16
3.1 Impuls
–
Kräfte in Fahrtrichtung:
●
–
Gewichtskraft:
p B − p A= G S −R  t B −t A 
G s =m g sin 
●
Reibungskraft:
R= m g cos 
–
Zeitpunkt tA: Bremsbeginn
●
–
Impuls:
p A=m v
Zeitpunkt tB: Bremsende
●
Impuls:
Prof. Dr. Wandinger
p B =0
Integrierter Impulssatz in
Fahrtrichtung:
–
Ergebnis:
t B −t A=
p B− p A
G S −R
−m v
=
m g sin − m g cos 
v
=
g   cos −sin  
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-7
23.09.16
3.1 Impuls
●
Impuls eines Systems von Massenpunkten:
–
Der Gesamtimpuls eines Massenpunktsystems ist definiert
durch
p=∑ p i =∑ m i v i =∑ m i ṙ i
i
–
i
Mit der Definition des Schwerpunktes folgt:
∑ mi ṙ i =m ṙ S =m v S
→
i
–
i
p=m v S
Unter Berücksichtigung des Schwerpunktsatzes folgt durch
zeitliche Differenziation des Gesamtimpulses:
ṗ= F
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-8
23.09.16
3.1 Impuls
–
Wie bei einem einzelnen Massenpunkt lautet der integrierte
Impulssatz für den Schwerpunkt:
tB
m vSB −m vSA=∫ F dt = F
tA
–
Wenn der resultierende Kraftstoß der äußeren Kräfte null
ist, dann bleibt der Gesamtimpuls eines Systems von Massenpunkten konstant:
m vSB =m vSA
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-9
23.09.16
3.1 Impuls
●
Beispiel: Stufentrennung einer Rakete
A: vorher
m2
B: nachher
2
2
v2B
vA
m1
Prof. Dr. Wandinger
1
2. Kinetik des Massenpunktes
1
v1B
TM 3 2.3-10
23.09.16
3.1 Impuls
–
Aufgabenstellung:
●
●
●
●
●
Die 2. Stufe einer Rakete wird von der 1. Stufe abgetrennt.
Unmittelbar vor der Stufentrennung hat die Rakete die Geschwindigkeit vA .
Unmittelbar nach der Stufentrennung gilt: v2B = v1B + Δv
Bekannt sind die Massen m1 und m2 , die Geschwindigkeit vA
sowie die Trennungsgeschwindigkeit Δv.
Gesucht sind die Geschwindigkeiten v1B und v2B .
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-11
23.09.16
3.1 Impuls
–
Lösung:
●
●
Die Zeit der Stufentrennung ist so kurz, dass der Kraftstoß
von äußeren Kräften während dieser Zeit vernachlässigt werden kann.
Daher gilt der Impulserhaltungssatz:
 m1m2  v A=m1 v1 B m 2 v2 B
●
Mit v2B = v1B + Δv folgt:
 m1m2  v A=m1 v1 B m 2  v1 B  v = m1m2  v1 B m2  v
●
Auflösen ergibt:
v1 B =v A−
Prof. Dr. Wandinger
m2
m1m 2
 v , v2 B =v A
2. Kinetik des Massenpunktes
m1
m1m 2
v
TM 3 2.3-12
3.1 Impuls
–
23.09.16
Zahlenwerte für Trennung der Oberstufe von der Hauptstufe
der Ariane 5:
●
m1 = 14 t (Leermasse der Hauptstufe)
●
m2 = 18 t (Vollmasse der Oberstufe + Nutzlast)
●
vA = 6800 m/s, Δv = 1 m/s
18
v1 B =6800 m /s−
⋅1 m /s=6799,4 m /s
14+18
14
v2 B =6800 m /s+
⋅1 m /s=6800,4 m /s
14+18
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-13
23.09.16
3.1 Impuls
●
Beispiel: Raketenantrieb
–
z
Aufgabenstellung:
●
●
●
Ein Raketentriebwerk stößt den verbrannten Treibstoff mit dem konstanten Massendurchsatz b und der konstanten
Strahlgeschwindigkeit cS relativ zur Rakete
aus.
Auf das aus Rakete und Treibstoff bestehende System sollen keine äußeren Kräfte wirken.
vR
b
cS
Gesucht ist die Beschleunigung der Rakete.
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-14
23.09.16
3.1 Impuls
–
Zur Lösung wird der Impuls des Gesamtsystems, bestehend aus der Rakete und dem ausgestoßenen Treibstoff,
betrachtet.
–
Der Gesamtimpuls setzt sich zusammen aus dem Impuls
der Rakete und dem Impuls des ausgestoßenen Treibstoffs.
–
Mit der Raketenmasse mR(t) gilt für den Impuls der Rakete:
p R t =m R t v R t 
–
Für den Impuls des zum Zeitpunkt t < t im Zeitintervall dt
ausgestoßenen Treibstoffs gilt:
dp T t =  v R t −c S  b d t
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-15
23.09.16
3.1 Impuls
–
Damit gilt für den Impuls des Gesamtsystems:
t
p t =m R t v R t ∫  v R t −c S  b d t
0
–
Da am Gesamtsystem keine äußeren Kräfte angreifen,
bleibt der Impuls konstant:
p (t )=const . → ṗ (t )=0
→ ṁ R (t )v R (t )+ m R (t ) v̇ R (t )+ v R (t )b−c S b=0
–
Mit ṁ R t =−b folgt:
cS b
m R (t ) v̇ R (t )−c S b=0 → v̇ R (t )=
m R (t )
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-16
23.09.16
3.1 Impuls
m R (t ) v̇ R (t )=S
–
Mit der Schubkraft S =c S b gilt:
–
Ist die Rakete anfangs in Ruhe, so folgt für die Geschwindigkeit:
t
t
ṁ R d t
b d t
v R t =c S ∫
=−c S ∫
=−c S
t
t
0 m R 
0 m R 
m R =m R  t 
=−c S [ ln  m R  ] m =m
R
R0
m R t 
∫
mR 0
dm R
mR
   
m R t 
mR 0
=−c S ln
=c S ln
mR 0
m R t 
(Raketenformel von Ziolkowsky)
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-17
3.2 Drall
●
●
23.09.16
Der Impuls ändert sich nicht, wenn die Summe der äußeren Kräfte null ist. In diesem Fall ist der Impuls eine so
genannte Erhaltungsgröße.
Es wird nun eine weitere Erhaltungsgröße gesucht für den
Fall, dass das resultierende Moment der äußeren Kräfte
bezüglich eines geeignet gewählten Bezugspunkts null
ist.
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-18
23.09.16
3.2 Drall
●
Ebene Bewegung:
–
y
Definitionen:
●
Sei B ein ortsfester Punkt.
●
Moment bezüglich B:
Fy
P
yP
M
Fx
B
B
M =x P F y− y P F x
●
Prof. Dr. Wandinger
vy
y
B
L =x P p y−y P p x
= x P m v y −y P m v x
=m  x P v y −y P v x 
xP
B
Drall bezüglich B:
x
vx
P
yP
m
LB
B
2. Kinetik des Massenpunktes
xP
x
TM 3 2.3-19
23.09.16
3.2 Drall
–
Zeitliche Änderung des Dralls:
d
B
L̇ =m  x P v y − y P v x  =m  ẋ P v y − ẏ P v x   x P m v̇ y − y P m v̇ x
dt
=m  v x v y −v y v x   x P F y −y P F x = M B
–
Drallsatz für die ebene Bewegung:
●
L̇ B =M B
Die zeitliche Änderung des Dralls bezüglich eines beliebigen
ortsfesten Bezugspunkts B ist gleich dem Moment der am
Massenpunkt angreifenden Kraft um den gleichen Bezugspunkt B.
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-20
3.2 Drall
–
23.09.16
Drallerhaltungssatz für die ebene Bewegung:
●
Wenn das Moment der an einem Massenpunkt angreifenden
Kraft bezüglich eines beliebigen ortsfesten Bezugspunkts B
verschwindet, dann ändert sich der Drall bezüglich dieses
Bezugspunkts nicht:
M B =0 → L B (t 1 )=L B (t 2 )
–
Der Drall wird auch als Drehimpuls oder Impulsmoment bezeichnet.
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-21
23.09.16
3.2 Drall
●
Räumliche Bewegung:
–
Definitionen:
F
MB
●
Sei B ein ortsfester Punkt.
●
Moment bezüglich B:
rBP
B
B
M =r BP ×F
●
Drall bezüglich B:
P
v
LB
P
B
L =r BP × p=r BP ×m v
m
rBP
B
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-22
23.09.16
3.2 Drall
–
Eigenschaften:
●
●
●
Der Drallvektor steht
senkrecht auf der von
den Vektoren r und v
aufgespannten Ebene.
LB
Seine Richtung ergibt
sich aus der RechteHand-Regel.
rN
r
Sein Betrag ist
B
L =m r N v
Prof. Dr. Wandinger
m
v
B
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-23
23.09.16
3.2 Drall
●
●
Im Zeitintervall dt überstreicht der
Ortsvektor die Fläche
1
dA= ∣r×v dt∣
2
Für den Betrag des Dralls gilt also:
v dt
dA
dA
L =2 m
dt
B
●
Die Größe
r
B
dA
dt
wird als Flächengeschwindigkeit
bezeichnet.
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-24
23.09.16
3.2 Drall
–
Zeitliche Änderung des Dralls:
d
L̇ =  r BP × p  = ṙ BP × p r BP × ṗ=v×m v r BP ×F = M B
dt
B
–
Drallsatz:
●
L̇ B = M B
Die zeitliche Änderung des Dralls bezüglich eines beliebigen
ortsfesten Bezugspunkts B ist gleich dem Moment der am
Massenpunkt angreifenden Kraft um den gleichen Bezugspunkt B.
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-25
3.2 Drall
–
23.09.16
Drallerhaltungssatz:
●
Wenn das Moment der an einem Massenpunkt angreifenden
Kraft bezüglich um einen beliebigen ortsfesten Bezugspunkt
B verschwindet, dann ändert sich der Drall bezüglich dieses
Bezugspunkts nicht:
M B =0 → L B (t 1)= L B (t 2 )
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-26
23.09.16
3.2 Drall
●
Beispiel: Geradlinige Bewegung
–
Ein Massenpunkt, auf den keine Kräfte einwirken, führt eine
geradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit aus.
–
Da das Moment verschwindet, muss der Drall zeitlich konstant sein.
m
v
L B = r×m v=r N ×m v
rN
r
B
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-27
23.09.16
3.2 Drall
●
Beispiel: Kreisbewegung
–
–
–
LB
Der Geschwindigkeitsvektor steht senkrecht auf
dem Ortsvektor.
Der Drallvektor bezüglich
des Kreismittelpunkts
steht senkrecht auf der
Kreisbahn.
Er hat den Betrag
L B =m r v=m r   r  =m r 2 
Prof. Dr. Wandinger
B
r
v
m
–
Die Größe JB = mr2
wird als Massenträgheitsmoment des Massenpunkts bezüglich
Punkt B bezeichnet.
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-28
23.09.16
3.2 Drall
–
Der Drallsatz lautet:
–
Beispiel: Pendel
●
Moment:
●
Drall:
●
Drallsatz:
B
L̇ B =J B ω̇=J B ϕ̈=M B
B
M =−r sin(ϕ) mg
B
B
ϕ
2
L =m r ϕ̇
m
2
L̇ =m r ϕ̈=−mg r sin(ϕ)
mg
g
→ ϕ̈+ sin (ϕ)=0
r
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-29
23.09.16
3.2 Drall
●
Beispiel: 2. Keplersches Gesetz:
Erde
Perihel
F
Sonne
rp
ra
va
Aphel
vp
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-30
3.2 Drall
23.09.16
–
Die Wirkungslinie der Anziehungskraft zwischen der Sonne
und einem Planeten geht durch den Mittelpunkt der Sonne.
–
Das Moment dieser Kraft in Bezug auf den Mittelpunkt der
Sonne verschwindet daher.
–
Deshalb ist der Drall des Planeten bezüglich der Sonne auf
seiner Bahn um die Sonne konstant.
–
Damit ist auch die Flächengeschwindigkeit konstant.
–
Daraus folgt unmittelbar das 2. Keplersche Gesetz:
InIngleichen
gleichenZeiten
Zeitenüberstreicht
überstreicht
der
derFahrstrahl
Fahrstrahlgleiche
gleicheFlächen.
Flächen.
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-31
23.09.16
3.2 Drall
–
–
Im Perihel und im Aphel ist der Geschwindigkeitsvektor
senkrecht zum Ortsvektor.
Für die Geschwindigkeiten folgt daraus: m r p v p =m r a v a
vp ra
=
va r p
–
Zahlenwerte:
●
●
Für die Erde ist rp = 147,1·106 km und ra = 152,1·106 km.
Damit gilt für die Geschwindigkeiten:
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
v p 152,1
=
=1,034
v a 147,1
TM 3 2.3-32
3.2 Drall
●
23.09.16
Massenpunktsysteme:
–
Für ein System von Massenpunkten ist der Drall in Bezug
auf einen ortsfesten Bezugspunkt B definiert durch
L B =∑ r i ×mi v i =∑ r i × p i
i
i
–
Die Summe erstreckt sich über alle Massenpunkte des Systems.
–
Für die zeitliche Ableitung des Dralls gilt zunächst
L̇ B =∑ ṙ i × p i ∑ r i × ṗ i
i
Prof. Dr. Wandinger
i
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-33
23.09.16
3.2 Drall
–
Die erste Summe berechnet
sich zu
∑ ṙ i × p i=∑ v i×m i v i=0
i
–
i
Mit dem Impulssatz für die
einzelnen Massen folgt für
die zweite Summe:
∑ r i × ṗ i=∑ r i× F i∑ F ij 
i
i
j
=∑ r i× F i ∑ ∑ r i ×F ij
i
Prof. Dr. Wandinger
i
j
F2
F12
m1
m2
F21
r2
F1
2. Kinetik des Massenpunktes
r1
B
TM 3 2.3-34
23.09.16
3.2 Drall
–
Zu jeder inneren Kraft Fij gibt es eine entgegengesetzt
gleich große Kraft Fji , die die gleiche Wirkungslinie hat.
–
Die Summe der Momente der inneren Kräfte ist daher null.
–
Also gilt:
∑ r i × ṗ i =∑ r i×F i= M B
i
i
–
Dabei ist MB das resultierende Moment der äußeren Kräfte.
–
Damit ist die Gültigkeit des Drallsatzes für Massenpunktsysteme gezeigt.
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-35
23.09.16
3.2 Drall
–
Drallsatz für ein Massenpunktsystem:
L̇ B = M B
●
–
Die zeitliche Änderung des Dralls eines Massenpunktsystems
in Bezug auf einen ortsfesten Bezugspunkt B ist gleich dem
resultierenden Moment der äußeren Kräfte bezüglich desselben Punktes.
Drallerhaltungssatz für ein Massenpunktsystem:
●
Wenn das resultierende Moment der äußeren Kräfte verschwindet, dann ist der Drall konstant.
M B =0 → L B (t 1)= L B (t 2 )
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-36
23.09.16
3.2 Drall
●
Beispiel:
–
–
Zwei Massenpunkte der
Masse m sind verschiebbar
auf einer starren Stange angebracht, die sich um die zAchse dreht.
Wie ändert sich die Winkelgeschwindigkeit, wenn der
Abstand der Massen von rA
auf rB verändert wird?
Prof. Dr. Wandinger
z
m
ω
r
O
mg
2. Kinetik des Massenpunktes
m
r
mg
TM 3 2.3-37
23.09.16
3.2 Drall
–
–
–
–
O
2
L
=2
m
r
Zustand A:
zA
A A
–
Winkelgeschwindigkeiten:

rA
O
2
Zustand B: L zB =2 m r B  B
Die z-Komponente des
Moments der äußeren
Kräfte um Punkt O ist
null.
Drallerhaltungssatz:
rB
–
B
=
A
Arbeit der inneren Kräfte:
●
●
Die Arbeit der äußeren
Kräfte ist null.
Damit lautet der Arbeitssatz:
L OzA =L OzB :
2
2
2 m r A ω A =2 m r B ω B
Prof. Dr. Wandinger
2
2. Kinetik des Massenpunktes
K
K
I 
E B −E A =W AB
TM 3 2.3-38
23.09.16
3.2 Drall
●
●
Kinetische Energie im
Zustand A:
1
1
K
2
2
E A = m v1 A m v 2 A
2
2
2 2
=m  A r A
Arbeitssatz:
●
Kinetische Energie im
Zustand B:
1
1
K
2
2
E B = m v1 B  m v2 B
2
2
2 2
=m  B r B
W AB=m  r B  B −r A  A 
2
I 
2
2
  [ ]
[  ] [  ]
2
2
2
=m r A  A
2
2
r B B
=m r 
Prof. Dr. Wandinger
2
A
2
2
−1 =m r A  A
2
r 2A  A
2
2
A
2
4
rB rA
−1
2
rA rB
2
rA
rA
K
−1 = E A
−1
rB
rB
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-39
23.09.16
3.2 Drall
●
Beispiel:
–
–
z
Zwei durch eine masselose starre Stange verbundene Massen drehen
sich mit der konstanten
Winkelgeschwindigkeit ω
um die durch den
Schwerpunkt verlaufende
z-Achse.
Welches Moment muss
dazu an der Stange angreifen?
Prof. Dr. Wandinger
m
ω
α
1
r
O
2
m
–
Ortsvektoren:
r 1 =L ( cos (α) e r +sin (α) e z )
r 2 =−r 1 → v 2 =−v 1
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-40
23.09.16
3.2 Drall
–
Für den Drallvektor gilt:
O
L = r 1×m v1 r 2 ×m v 2 =m r 1×  v1 −v 2  =2 m r 1×v1
–
Der Drallsatz lautet:
O
O
M = L̇ =2 m v1×v12 m r 1 ×a1 =2 m r 1×a1
–
2
a
=−ω
L cos (α) e r
Mit der Zentripetalbeschleunigung 1
folgt:
M O =2 m L ( cos (α) e r +sin (α) e z ) ×(−ω 2 L cos (α) e r )
=−2 m ω 2 L 2 sin (α)cos (α)e z ×e r
=−m ω 2 L 2 sin (2 α)e ϕ
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-41
23.09.16
3.2 Drall
●
Drall bezüglich eines beweglichen Bezugspunkts
B:
v
L
–
L̇ B = ṙ× p r× ṗ
–
B
P
r
vB
B
rB
O
Aus r =r P −r B folgt nun:
ṙ= ṙ P − ṙ B =v−v B
m
rP
Für die zeitliche Ableitung
des Dralls gilt:
–
Mit p=m v und ṗ= F
folgt weiter:
L̇ B =  v−v B  ×m v r×F
=−v B× p M B
L B = r× p
Prof. Dr. Wandinger
2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-42
23.09.16
3.2 Drall
–
Damit lautet der Drallsatz bezüglich eines beweglichen Bezugspunkts:
L̇ B +v B × p=M B
–
Für ein System von Massenpunkten gilt
d
L̇ = ∑ r i × p i =∑ ṙ i × p i + ∑ r i × ṗ i =∑ ( v i −v B )× p i + M B
dt i
i
i
i
=−v B ×∑ p i + M B =−v B × p S + M B
B
i
mit dem Gesamtimpuls p S =∑ p i des Massenpunktsysi
tems.
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2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-43
3.2 Drall
–
23.09.16
Damit ist gezeigt:
L̇ B v B × p S =M B
–
Wird als Bezugspunkt der Schwerpunkt S gewählt, dann
vereinfacht sich der Drallsatz des Massenpunktsystems zu
L̇ S =M S
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2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-44
23.09.16
3.2 Drall
–
Beispiel:
●
●
Wird eine Hantel, bestehend aus zwei starr verbundenen
Massenpunkten, geworfen, dann beschreibt der Schwerpunkt
eine Wurfparabel.
Das Moment der Schwerkraft bezüglich des Schwerpunkts ist
null. Daher bleibt der Drall bezüglich des Schwerpunkts konstant.
g
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2. Kinetik des Massenpunktes
TM 3 2.3-45