Übungen zu Experimentalphysik 2 - Technische Universität München

Physik Department, Technische Universität München, PD Dr. W. Schindler
Übungen zu Experimentalphysik 2
SS 13 - Lösungen zu Übungsblatt 9
1 Planparallele Platte
Ein monochromatischer Lichtstrahl der Wellenlänge 600 nm treffe, wie in der Abbildung dargestellt, unter einem Winkel α auf eine von
Luft (n = 1) umgebene, planparallele Glasplatte und werde durch die Platte um einen
Abstand a versetzt. Der Brechungsindex der
Platte für diese Wellenlänge betrage n = 1.5.
α
d
a
(a) Zeigen Sie, dass die Richtung des Lichtstrahls nach Austritt aus der Platte die gleiche
ist wie vor dem Eintritt.
(b) Wie groß muss α sein, dass beim Austritt Totalreflexion auftritt?
(c) Die Brechzahl n ist eine Funktion der Wellenlänge. Blaues Licht wird dabei stärker gebrochen als rotes Licht. Was passiert qualitativ, wenn man die Glasplatte mit einem
weißen Lichtstrahl durchleuchtet?
(Tipp: Zeichnung für blauen, roten Lichtstrahl)
(a) Beim Übergang vom optisch dünneren zum optisch dichteren Medium (Eintritt in die
Platte) erfolgt Brechung zum Lot hin.
sin (α)
n
=
sin (β)
nLuft
Beim Übergang vom dichteren zum optisch dünneren Medium (Austritt) erfolgt Brechung vom Lot weg.
sin (β)
nLuft
=
sin (α0 )
n
Gleichsetzen und Auflösen nach sin (α0 ) ergibt:
sin α0 = sin (α) .
Da 0 < α < 90◦ und 0 < α0 < 90◦ (Strahl verlässt Medium), folgt α0 = α.
(b) Totalreflexion beim Austritt würde bedeuten, dass α0 > 90◦ ist. Nach Teilaufgabe (a)
bedeutet dies, dass auch α > 90◦ ist. Totalreflexion ist bei dieser Anordnung (bei einer
Einstrahlung von oben) nicht möglich.
(Anmerkung: Totale Reflexion ist nur möglich wenn α > 90◦ , d. h. wenn der Lichtstrahl
seitlich auf die Platte trifft - vgl. Lichtleiter/ Wellenleiter)
1
(c)
sin (α)
n
=
sin (β)
nLuft
α
d
rot
werden die blauen Anteile des weißen Lichts
stärker gebrochen, da für kleine Wellenlängen
die Brechzahl größer ist. Umgekehrt werden die
roten Anteile weniger gebrochen. Da für alle
Wellenlängen α0 = α gilt, verläuft der Strahl
auch nach dem Austritt in der gleichen Richtung wie vor dem Eintritt in die Platte, aber
mit einem breiteren Strahlquerschnitt und in
seine Spektralfarben aufgefächert.
blau
Nach
2 Reflexion und Brechung
Ein mit Wasser gefülltes Aquarium wird mit einer Unterwasserlampe beleuchtet. Der Lichtstrahl trifft die (glatte) Wasseroberfläche in der Mitte des Beckens unter dem Winkel
α = 30°. Skizzieren Sie den Strahlengang, bis der Strahl
an den möglichen Grenzflächen Wasser-Luft, Wasser-Glas und
Glas-Luft gebrochen bzw. reflektiert wurde. Berechnen Sie alle Ein- und Ausfallwinkel, die an den optischen Grenzflächen
auftreten. Geben Sie jeweils an, ob und warum der Strahl gebrochen oder total reflektiert wird.
Grenzfläche A (Wasser-Luft):
Der Grenzwinkel für Totalreflexion beträgt:
nL
nW
θc = 50.3°
sin (θc ) =
Da θc < θA1 = 60◦ gibt es Totalreflexion.
Der Ausfallwinkel beträgt:
θA2 = θA1 = 60◦ .
Grenzfläche B (Wasser-Glas):
keine Totalreflexion möglich, da nW < nG .
Mit dem Einfallwinkel θB1 = 30◦ folgt:
nW sin (θB1 ) = nG sin (θB2 )
nW
θB2 = arcsin
sin (θB1 ) = 25.7°
nG
2
Grenzfläche C (Glas-Luft):
Der Grenzwinkel für Totalreflexion beträgt:
nL
nG
θc = 41.8°
sin (θc ) =
Da θc > θC1 = 25.7° gibt es keine Totalreflexion.
Der Ausfallwinkel beträgt:
nG sin (θC1 ) = nL sin (θC2 )
nG
sin (θC1 ) = 40.6°.
θC2 = arcsin
nL
3 Beugungsgitter
Für Beugungsexperimente wird ein Gitter mit 2000 Linien pro Zentimeter verwendet, um das
Spektrum von Quecksilber zu untersuchen.
(a) Berechnen Sie die Winkeldifferenz in 1. Ordnung zweier Spektrallinien mit den Wellenlängen 579.0 nm und 577.0 nm.
(b) Bis zu welcher maximalen Beugungsordnung können für die größere Wellenlänge 579.0 nm
Maxima auftreten?
(c) Das Gitter werde nun mit sichtbarem Licht der Wellenlängen 400 nm ≤ λ ≤ 700 nm
beleuchtet. Zeigen Sie, dass sich die Spektren 2. und 3. Ordnung überlappen.
(a) Der Abstand der Linien bzw.Spalte voneinander ist
d=
0.01 m
= 5 · 10−6 m.
2000
Die Winkel berechnen sich aus der Gittergleichung
d · sin (θ) = n · λ
mit n = 1 zu:
λ1
θ1 = arcsin
= 6.6498◦
d
λ2
θ2 = arcsin
= 6.6267◦ .
d
Daraus folgt eine Winkeldifferenz von
∆θ = θ1 − θ2 = 0.0231◦ .
(b) Der Beugungswinkel kann maximal 90° betragen, d.h. sin(θ) ≤ 1. Aus der Gittergleichung erhält man damit
n≤
5 · 10−6 m
d
=
≈ 8.6 .
λ
579 · 10−9 m
Das heißt es können nur Maxima bis zur maximal 8. Ordnung auftreten.
3
(c) Für die Winkel zu Ränder des Spektrums 2. Ordnung gilt gemäß der Gittergleichung
sin θ2 =
2λ
,
d
wobei für die Wellenlänge λ einmal 400 nm und einmal 700 nm einzusetzen ist. Damit
erhält man
−9 m
−1 2 · 400 · 10
≈ 9.2°
θ2,400 nm = sin
5 · 10−6 m
−9 m
−1 2 · 700 · 10
θ2,700 nm = sin
≈ 16.2°
5 · 10−6 m
Für das Spektrums 3. Ordnung gilt analog
sin θ3 =
3λ
.
d
Wir betrachten direkt die kleinere Wellenlänge, da diese den kleineren Winkel ergibt:
−9 m
−1 3 · 400 · 10
θ3,400 nm = sin
≈ 13.9°
5 · 10−6 m
Das Spektrum 3. Ordnung fängt also bereits bei einem Winkel von 13.9° an, während
das Spektrum 2. Ordnung erst bei 16.2° aufhört, d.h. im Winkelbereich dazwischen
überlappen die beiden Spektren.
4