7 Zwei- und Dreidimensionale Probleme in kartesischen Koordinaten

7
Zwei- und Dreidimensionale Probleme in
kartesischen Koordinaten
7.1
Slide 120
Das Teilchen im 2-Dimensionalen Kasten
Das Teilchen im Kasten
• Das Teilchen soll sich zwischen x = 0 und x = Lx und y = 0 und
y = Ly frei bewegen können
(frei bedeutet: kräftefrei: ⇒ V = const.
wähle oBdA: V = 0)
• aber nicht außerhalb dieses “Kastens” der Dimension (Fläche) Lx · Ly
gelangen können.
(außerhalb des Kastens ist die potentielle Energie also “unendlich groß”)
Systemskizze
V(x,y)
y
V(x,y)
Ly
V(x,y)=0
0
Slide 121
V(x,y)
Lx
x
Die Schrödingergleichung im zweidimensionalen Kasten
~2 ∂ 2
∂2
• −
+
ψ(x, y) = Eψ(x, y)
2m ∂x2 ∂y 2
72
für 0 ≤ x ≤ Lx und 0 ≤ y ≤ Ly .
• ψ(x, y) = 0 für alle anderen Werte von (x, y).
• Lösung: Produktansatz ψ(x, y) = X (x) · Y(y)
~2 ∂ 2
∂2
X (x) · Y(y) = E · X (x) · Y(y)
−
+
2m ∂x2 ∂y 2
~2 ∂ 2 X (x)
~2 ∂ 2 Y(y)
−Y(y)
−
X
(x)
= E · X (x) · Y(y)
2m ∂x2
2m ∂y 2
1
·
X (x) · Y(y)
−
Slide 122
~2 1 ∂ 2 X (x)
~2 1 ∂ 2 Y(y)
−
= E
2m X (x) ∂x2
2m Y(y) ∂y 2
Faktorisierung
~2 1 ∂ 2 X (x)
~2 1 ∂ 2 Y(y)
−
−
= |{z}
E
2m X (x) ∂x2
2m Y(y) ∂y 2
⇓
|
{z
} |
{z
}
⇓
⇓
Fkt. nur von x
Fkt. nur von y
Konstante
• Die Summe einer Funktion, die nur von x abhängt, und einer anderen
Funktion, die nur von y abhängt, kann nur dann konstant sein, wenn
jede der beiden Funktionen für sich konstant ist.
~2 1 ∂ 2 X (x)
= Ex
2m X (x) ∂x2
~2 1 ∂ 2 Y(y)
−
= Ey
2m Y(y) ∂y 2
−
Slide 123
73
2 Schrödingergleichungen in einer Dimension
~2 ∂ 2 X (x)
= Ex X (x)
2m ∂x2
~2 ∂ 2 Y(y)
−
= Ey Y(y)
2m ∂y 2
Ex + Ey = E
−
• Die Lösungen für diese beiden Gleichungen kennen wir aber schon!
Es sind die gleichen Lösungen wie die des Teilchens im eindimensionalen Kasten.
Slide 124
Lösungen der eindimensionalen Gleichung
=⇒
~2 π 2
· j 2 j = 1, 2, 3, . . .
2mLx 2
~2 π 2
Ey(k) =
· k 2 k = 1, 2, 3, . . .
2mLy 2
j und k sind unabhängig voneinander
r
2
jπ
Xj (x) =
sin
·x
Lx
Lx
s
2
kπ
Yk (y) =
sin
·y
Ly
Ly
Ex(j) =
Slide 125
74
Energieeigenwerte und Eigenfunktionen des zweidimensionalen Problems
~2 π 2
~2 π 2
2
·
j
+
· k2
2mLx 2
2mLy 2
~2 π 2 j 2
k2
=
+
j, k = 1, 2, 3, . . .
2m Lx 2 Ly 2
s
jπ
kπ
4
· sin
· x · sin
·y
ψj,k (x, y) =
Lx · Ly
Lx
Ly
Ej,k =
• Die Lösungen enthalten zwei Quantenzahlen j und k!
• Die Lösungen hängen von der Form des Kastens (via Lx und Ly ) ab!
• Es ist denkbar, dass 2 unterschiedliche Kombinationen (j, k) den gleichen Energiewert liefern!
Dieses Phänomen nennt man (Energie)Entartung
Slide 126
Grundzustand im quadratischen Kasten
• Betrachten wir als Spezialfall einen quadratischen Kasten mit Lx =
Ly = L.
• Die Energieeigenwerte lauten dann
~2 π 2 j 2
k2
E =
+
2m L2 L2
~2 π 2 2
2
=
j
+
k
= ε[j 2 + k 2 ]
2
2mL
• Der Grundzustand (1, 1) ist gegeben durch E1,1 = 2ε, da j, k ≥ 1 sein
müssen.
• Der Grundzustand ist nicht entartet, d.h., es gibt nur eine Kombination
von j und k (beide = 1).
75
r
• Die Wellenfunktion des Grundzustandes ist ψ1,1 (x, y) =
π sin
·y
L
Slide 127
π 4
·x ·
·sin
L2
L
Angeregte Zustände im quadratischen Kasten
E = ε[j 2 + k 2 ]
• Der 1. angeregte Zustand ist gegeben durch E = 5ε.
• Er ist zweifach entartet.
• Energie des Zustandes (1, 2): j = 1, k = 2 =⇒ E1,2 = ε[1 + 4] = 5ε
r
π 4
2π
• Wellenfunktion ψ1,2 (x, y) =
· sin
· x · sin
·y
L2
L
L
• Energie des Zustandes (2, 1): j = 2, k = 1 =⇒ E2,1 = ε[4 + 1] = 5ε
r
π 4
2π
• Wellenfunktion ψ2,1 (x, y) =
·
sin
·
x
·
sin
·y
L2
L
L
Slide 128
Entartung
• Man erkennt leicht, dass alle Zustände, in denen j = k ist, nicht oder
einfach entartet sind.
• Alle anderen Zustände, für die j 6= k ist, sind zweifach entartet.
Slide 129
76
Wellenfunktionen im quadratischen Kasten
ψ11(x,y)
x
y
ψ21(x,y)
x
ρ11(x,y)
x
y
y
ψ12(x,y)
x
ρ21(x,y)
x
y
y
ψ22(x,y)
x
ρ12(x,y)
x
y
y
ρ22(x,y)
x
y
• Es gibt Knotenlinien.
• Die Wellenfunktionen zu entarteten Zuständen lassen sich durch Rotation ineinander überführen.
Slide 130
Rechteckiger Kasten
• Der allgemeine Fall ist der, für den Lx 6= Ly ist.
• Der Grundzustand ist immer durch ψ1,1 und E1,1 gegeben.
• Die Reihenfolge der angeregten Zustände hängt von der Form des Kastens ab.
Slide 131
Energieniveaus im Rechteck-Kasten mit Ly = 2Lx
k2
~2 π 2 j 2
k2
~2 π 2 j 2
+
=
+
E =
2m L2x L2y
2m L2x 4L2x
~2 π 2 2
2
=
= ε̃ 4j 2 + k 2
2 4j + k
8mLx
77
j
k
4j 2 + k2
1
1
1
1
1
2
2
2
1
2
3
4
5
1
2
3
5
8
13
20
29
17
20
25
...
• Anregung in y-Richtung ist leichter.
• Die Zustände (j, k) = (2, 2) und (1, 4) sind entartet. Man nennt dies auch
zufällige Entartung.
• Es gibt weniger entartete Energieniveaus als für den quadratischen Kasten.
• Entartung ist eine Konsequenz der Symmetrie. Die hier beobachtete zufällige Entartung ist die Konsequenz einer “versteckten” Symmetrie.
Slide 132
Slide 133
Wellenfunktionen im Rechteck-Kasten mit Ly = 2Lx
x
ψ11(x,y)
y
x
ρ11(x,y)
y
x
ψ21(x,y)
y
x
ρ21(x,y)
y
x
ψ12(x,y)
y
x
ρ12(x,y)
y
Zufällige Entartung von ψ1,4 und ψ2,2
78
x
ψ22(x,y)
y
x
ρ22(x,y)
y
x
ψ14(x,y)
y
x
ρ14(x,y)
y
x
ψ22(x,y)
y
x
ρ22(x,y)
y
x
ψ12(x,y)
y
x
ρ12(x,y)
y
x
ψ22(x,y)
y
x
ρ22(x,y)
y
• Versteckte Symmetrie: Man kann durch Rotation der Hälften der Wellenfunktion um 90◦ die beiden Wellenfunktionen ineinander überführen.
(Eine Knotenlinie geht mitten durch den Kasten, und die Wellenfunktion verschwindet auch an den Rändern.)
79
7.2
Slide 134
Das Teilchen im 3-Dimensionalen Kasten
Das Teilchen im Kasten
• Das Teilchen soll sich zwischen x = 0 und x = Lx und y = 0 und
y = Ly und z = 0 und z = Lz frei bewegen können
(frei bedeutet: kräftefrei: ⇒ V = const.
wähle oBdA: V = 0)
• aber nicht außerhalb dieses “Kastens” der Dimension (Volumen) Lx ·
Ly · Lz gelangen können.
(außerhalb des Quaders ist die potentielle Energie also “unendlich groß”)
Systemskizze
V(x,y,z)
z
Lz
y
V(x,y,z)
Ly
V(x,y,z)=0
0
Slide 135
V(x,y,z)
x
Lx
Die Schrödingergleichung im dreidimensionalen Kasten
~2 ∂ 2
∂2
∂2
• −
+
+
ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z)
2m ∂x2 ∂y 2 ∂z 2
für 0 ≤ x ≤ Lx , 0 ≤ y ≤ Ly und 0 ≤ z ≤ Lz .
• ψ(x, y, z) = 0 für alle anderen Werte von (x, y, z).
80
• Lösung: Produktansatz ψ(x, y) = X (x) · Y(y) · Z(z)
~2 ∂ 2
∂2
∂2
X YZ = E · X YZ
−
+
+
2m ∂x2 ∂y 2 ∂z 2
~2 ∂ 2 X
~2 ∂ 2 Y
~2 ∂ 2 Z
−YZ
−
X
Z
−
X
Y
= E · X YZ
2m ∂x2
2m ∂y 2
2m ∂z 2
1
·
X YZ
−
Slide 136
~2 1 ∂ 2 X
~2 1 ∂ 2 Y
~2 1 ∂ 2 Z
−
−
2m X ∂x2
2m Y ∂y 2
2m Z ∂z 2
= E
Faktorisierung
~2 1 ∂ 2 X
−
X ∂x2}
| 2m {z
~2 1 ∂ 2 Y
−
2m Y ∂y 2
|
{z
}
⇓
⇓
~2 1 ∂ 2 Z
=E
−
Z ∂z 2}
| 2m{z
⇓
Fkt. nur von x Fkt. nur von y Fkt. nur von z
• Die Summe dreier Funktionen, von denen eine nur x, eine nur von y und
eine nur von z abhängt, kann nur dann konstant sein, wenn jede der drei
Funktionen für sich konstant ist.
~2 1 ∂ 2 X
2m X ∂x2
~2 1 ∂ 2 Y
−
2m Y ∂y 2
~2 1 ∂ 2 Z
−
2m Z ∂z 2
−
Slide 137
= Ex
= Ey
= Ez
Energieeigenwerte und Eigenfunktionen des dreidimensionalen Problems
81
Die Lösungen sind bekannt, und können analog zu denen in einer und
zwei Dimensionen konstruiert werden:
~2 π 2
~2 π 2
~2 π 2
2
2
·
j
+
·
k
+
· l2
2mLx 2
2mLy 2
2mLZ 2
~2 π 2 j 2
k2
l2
=
+
+
j, k, l = 1, 2, 3, . . .
2m Lx 2 Ly 2 Lz 2
s
jπx
kπy
lπz
8
ψj,k,l (x, y, z) =
· sin
sin
sin
Lx Ly Lz
Lx
Ly
Lz
Ej,k,l =
• Die Lösungen enthalten drei Quantenzahlen j, k, und l!
• Die Lösungen hängen von der Form des Quaders (via Lx , Ly und Lz )
ab!
• Es ist denkbar, dass mehrere unterschiedliche Kombinationen (j, k, l)
den gleichen Energiewert liefern!
Slide 138
Energieniveaus im Würfel Lx = Ly = Lz = L
E =
j
k
l
j 2 + k 2 + l2
1
1
1
3
1
1
2
1
2
1
2
1
1
6
6
6
1
2
2
2
1
2
2
2
1
1
1
2
2
3
3
2
3
1
3
1
2
3
2
3
1
2
1
9
9
9
...
14
14
14
14
14
14
...
~2 π 2 2
j + k 2 + l2 = ε̃ j 2 + k 2 + l2
2
2mL
82
j
k
l
j 2 + k 2 + l2
4
6
4
2
3
1
...
41
41
...
(3 Permutationen)
(6 Permutationen)
• Aufgrund der kubischen Symmetrie beobachtet man regelmäßig Entartung.
• Man beobachtet unterschiedliche Entartungsgrade g.
• z.B. ist g = 1 für den Grundzustand.
• g = 3 für die Zustände E = 6ε̃ und E = 9ε̃.
• g = 6 für den Zustand E = 14ε̃.
• g = 9 für den Zustand E = 41ε̃! (normale und zufällige Entartung)
83
7.3
Slide 139
Der harmonische Oszillator in 3 Dimensionen
Potentielle Energie
I
• Bei der Lösung des Harmonischen Oszillators in einer Dimension war
1
die potentielle Energie der Masse an der Feder durch Epot (x) = kx2
2
gegeben.
Die Feder konnte sich nur in x-Richtung bewegen.
• Man kann dies auf 3 Dimensionen verallgemeinern.
Dazu nimmt man an, dass die Feder an einem Punkt fixiert ist, und in
alle Raumrichtungen ausgelenkt werden kann.
Slide 140
Potentielle Energie
II
Die potentielle Energie lautet allgemein (wieder mit der Annahme, dass
das Hookesche Gesetz erfüllt ist)
1
1
1
V (x, y, z) = kx x2 + ky y 2 + kz z 2
2
2
2
Diese Gleichung nimmt an, dass die Federkraft in unterschiedlichen
Richtungen unterschiedlich stark wirkt.
Nimmt man dagegen an, dass kx = ky = kz = k, dann gilt
1
1
V (x, y, z) (x2 + y 2 + z 2 ) = V (r) = kr2
2
2
wobei r2 = x2 +y 2 +z 2 das Abstandsquadrat der Masse von der Gleichgewichtslage im Raum ist.
Slide 141
84
Hamilton Operator
Ĥ =
Ĥ =
=
+
+
~2 ∂ 2
∂2
−
+
+
2m ∂x2 ∂y 2
~2 ∂ 2
∂2
−
+
+
2m ∂x2 ∂y 2
~2 ∂ 2
1 2
−
+ kx
2m ∂x2 2
~2 ∂ 2
1 2
−
+ ky
2m ∂y 2 2
1 2
~2 ∂ 2
+ kz
−
2m ∂z 2 2
∂2
+
∂z 2
∂2
+
∂z 2
1 2
kr
2
1
k(x2 + y 2 + z 2 )
2
• Ĥ zerfällt aufgrund der speziellen Form der potentiellen Energie (∝ r2 )
in die Summe aus drei harmonischen Oszillatoren.
Slide 142
Schrödingergleichung
• Man kann wieder einen Produktansatz machen: ψ(x, y, z) = X (x)Y(y)Z(z).
• Die Schrödingergleichung lautet dann
1 2
~2 ∂ 2
+ kx X YZ
Ĥψ(x, y, z) = −
2m ∂x2 2
1 2
~2 ∂ 2
+ ky X YZ
+ −
2m ∂y 2 2
~2 ∂ 2
1 2
+ −
+ kz X YZ
2m ∂z 2 2
= E · X YZ
• Man dividiert wieder durch X YZ und erhält die
Slide 143
85
Faktorisierte Schrödingergleichung
1 ~2 ∂ 2 X
1 2
−
+ kx
X 2m ∂x2
2
1 ~2 ∂ 2 Y 1 2
+ −
+ ky
Y 2m ∂y 2
2
2
2
1 ~ ∂ Z 1 2
+ −
+ kz
Z 2m ∂z 2
2
= E
1
ĤX YZ =
X YZ
• Wieder ist die Summe von drei Funktionen, von denen jede von genau
einer unabhängigen Variable abhängt, eine Konstante.
⇒ Jeder der Klammerausdrücke für sich muss wieder konstant sein.
Slide 144
Eindimensionale Schrödingergleichung
• Man erhält also, z.B. für die x-Richtung
1 2
1 ~2 ∂ 2 X
+ kx
−
= Ex
X 2m ∂x2
2
Multiplikation mit X
2
2
~ ∂ X
1
+ kx2 X
= Ex · X
−
2
2m ∂x
2
• Dies ist wieder die Schrödingergleichung eines harmonischen Oszillators.
• Analoges gilt für die y und die z-Richtung
• Das Problem des kugelsymmetrischen Harmonischen Oszillators kann
also in drei eindimensionale harmonische Oszillatorprobleme transformiert werden.
Slide 145
86
Eigenwerte und Eigenfunktionen des Harmonischen Oszillators in
drei Dimensionen
Ej,k,l
ψj,k,l
1
1
1
= ~ω j +
+ ~ω k +
+ ~ω l +
2
2
2
3
= ~ω j + k + l +
2
j, k, l = 0, 1, 2, . . .
x
y z 2
2
2
2
= Njkl Hj
Hk
Hl
e−(x +y +z )/2a
a
a
a
Hj , Hk , Hl sind wieder Hermitesche Polynomen, und a und ω sind wie
zuvor definiert. Njkl ist ein Normierungsfaktor.
• Die Nullpunktsenergien sind additiv!
Slide 146
Energieeigenwerte E = ~ω j + k + l +
j+k+l+
3
2
Permutationen
j
k
l
0
0
0
3/2
1
1
0
0
5/2
3
2
1
0
1
0
0
7/2
7/2
3
3
3
2
1
0
1
1
0
0
1
9/2
9/2
9/2
3
6
1
4
3
2
2
0
1
2
1
0
0
0
1
11/2
11/2
11/2
11/2
3
6
3
3
...
• Entartungsgrad g steigt rasch mit der Energie an.
• g(3/2) = 1 (GZ)
• g(5/2) = 3
87
3
2
und Entartung
• g(7/2) = 6
• g(9/2) = 10
• g(11/2) = 15
Slide 147
Symmetrie und Entartung
• Man nennt einen Energieeigenwert der Schrödingergleichung n-fach
entartet, wenn er durch n unterschiedliche Kombinationen der zugehörigen Quantenzahlen realisiert werden kann.
• Weist das zu lösende Problem und damit der zugehörige Hamiltonoperator eine oder mehrere Symmetrien auf, so finden sich in seinem
Energiespektrum entartete Eigenwerte.
• Der Umkehrschluß (Entartung ⇒ Symmetrie) gilt nicht. Es kann zu
zufälligen Entartungen kommen.
7.4
Slide 148
Erweiterung auf mehr als ein Teilchen
Schrödingergleichung für 1 Teilchen
• Produktansatz: ψ(x, y, z) = X (x)Y(y)Z(z).
• Schrödingergleichung:
Ĥψ(x, y, z) =
+
+
=
~2 ∂ 2
1 2
−
+ kx X YZ
2m ∂x2 2
~2 ∂ 2
1 2
+ ky X YZ
−
2m ∂y 2 2
~2 ∂ 2
1 2
−
+ kz X YZ
2m ∂z 2 2
E · X YZ
• E = Ex + Ey + Ez = ~ω (j + 12 ) + (k + 21 ) + (l + 12 )
Slide 149
88
Schrödingergleichung für 2 Teilchen
• Produktansatz: ψ(x1 , y1 , z1 , x2 , . . .) = X1 (x1 )Y1 (y1 )Z1 (z1 )X2 (x2 )Y2 (y2 )Z2 (z2 ).
• Schrödingergleichung:
=
+
+
+
+
=
Slide 150
Hψ(x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 )
1 2
~2 ∂ 2
+ kx X1 Y1 Z1 X2 Y2 Z2
−
2m ∂x21 2 1
~2 ∂ 2
1 2
−
+ ky X1 Y1 Z1 X2 Y2 Z2
2m ∂y12 2 1
~2 ∂ 2
1 2
−
+ kz X1 Y1 Z1 X2 Y2 Z2
2m ∂z12 2 1
.. .
1 2
~2 ∂ 2
+ kz X1 Y1 Z1 X2 Y2 Z2
−
2m ∂z22 2 2
E · X 1 Y 1 Z1 X 2 Y 2 Z2
Schrödingergleichung für 2 Teilchen
• E = Ex1 + Ey1 + Ez1 + Ex2 + Ey2 + Ez2
• E = ~ω (j1 + 21 ) + (k1 + 12 ) + (l1 + 21 ) +
(j2 + 12 ) + (k2 + 12 ) + (l2 + 12 )
Slide 151
Schrödingergleichung für N Teilchen
E = Ex1 + Ey1 + Ez1 + Ex2 + Ey2 + Ez2 + Ex3 + . . .
E = ~ω (j1 + 21 ) + (k1 + 12 ) + (l1 + 21 )+
(j2 + 12 ) + (k2 + 12 ) + (l2 + 12 ) + (j3 + 21 ) + . . .
E=
n=3N
X
n=1
1
~ω(n + )
2
89