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Inhalt:
1.
Einleitung
2.
Keplersche Gesetze
3.
Das Gravitationsgesetz
4.
Träge Masse und schwere Masse
5.
Potentielle Energie der Gravitation
6.
Beziehung zwischen der Energie und der Bahnbewegung
Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf © Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes;
Physik, WS 2015/2016
1
Literatur
•
M. Alonso, E. J. Finn: Physik; dritte Auflage; Oldenbourg Verlag, 2000.
•
Paul A. Tipler: Physik für Wissenschaftler und Ingenieure; sechste Auflage; Springer
Spektrum Verlag, 2009.
•
Hering, Martin, Stohrer: Physik für Ingenieure; Springer Verlag, 2012.
•
Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1, Mechanik und Wärme; sechste Auflage,
Springer Verlag, 2013.
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Einleitung
Die Planetenbewegung hat Menschen schon lange beschäftigt. Die Griechen meinten die
Erde sei der geometrische Mittelpunkt des Universums und dass sich die Himmelskörper um
die Erde drehten.
Der mittlere Abstand der Himmelskörper zur Erde wurde ermittelt in folgender Reihenfolge:
Mond, Merkur, Venus, Sonne, Mars, Jupiter, Saturn.
Hypothese:
Die Planeten beschreiben konzentrische Kreise und die Erde ist im Mittelpunkt. Das stimmte
aber nicht mit der Beobachtung überein.
Die Planetenbewegung wurde immer komplexer.
Die Griechen beschrieben die Planetenbewegung relativ zu einem mit der Erde
verbundenen Bezugsystem. Erst im 16 Jahrhundert wurde diese Beschreibung revidiert.
Nikolaus Kopernikus (1473-1543):
Planetenbewegung einschließlich der Erde relativ zur Sonne mit der Sonne als Mittelpunkt
der Bewegung.
Nach Kopernikus war die Plantenanordnung folgende: Merkur, Venus, Erde, Mars, Jupiter
und Saturn. Dabei drehte sich der Mond um die Erde. Er schlug als Bezugssystem eins vor
was mit der Sonne verbunden war.
Die Sonne als größter Körper unseres Planetensystems fällt mit dem Schwerpunkt des
Systems zusammen.
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Keplersche Gesetze
Deswegen war die Wahl des Bezugspunktes rechtfertigbar. Dann hat man ein Inertialsystem
vorliegen.
Tycho de Brahes (1546-1601) hatte schon astronomische Messungen zur Analyse der
Planetenbewegung durchgeführt, die Johannes Kepler (1571-1630) auch weiter nutzte.
Keplersche Gesetze:
I:
Die Planeten beschreiben elliptische Bahnen mit der Sonne im Brennpunkt.
II:
Der Ortsvektor jedes Planeten relativ zur Sonne überstreicht in gleichen Zeiten
gleiche Flächen der Ellipse. Dieses Gesetz ist auch als Flächengesetz bekannt.
III:
Die Quadrate der Umdrehungsperioden sind der dritten Potenz des mittleren
Abstands der Planeten von der Sonne proportional. (T2 = kr3mit)
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Das Gravitationsgesetz
Wechselwirkung zwischen zwei Körper: Gravitationsgesetz.
Von Newton erst zwanzig Jahre nach dem er es formuliert
hatte in seine Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
veröffentlicht.
F1
m
F2
m'
Das Flächengesetz oder II. Keplersche Gesetz besagt zunächst, dass die Kraft die mit der
Gravitationswechselwirkung verknüpft ist, eine Zentralkraft ist. Die Kraft wirkt längs einer
Verbindungslinie zwischen den wechselwirkenden Körpern (z.B. Erde - Sonne).
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Das Gravitationsgesetz: Beweis Flächengesetz
Das Teilchen bewegt sich längs C. Zur Zeit t befindet es
sich in A. Zur Zeit t + dt in B. Zur Zeit dt beschreibt der
Radiusvektor r = OA die Fläche OAB mit dr = AB. OAB
wird durch den Vektor dA dargestellt.
v : Geschwindigkeit Teilchen
L
r 1r r
dA = r × dr
2
O
Die Fläche die pro Zeiteinheit von r überstrichen wird ist dann:
r
r
dA 1 r dr 1 r r
= r×
= r ×v
dt 2
dt 2
B
C
Wenn das Flächengesetz angewandt wird, dann überstreicht
r
r in gleiche Zeiten gleiche Flächen:
dA
= const
dt
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A dr
r r
r × v = const
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Das Gravitationsgesetz: Beweis Flächengesetz
Der Drehimpuls L ist konstant:
r r r
r r
L = r × p = m( r × v ) = const
Das Flächengesetz besagt, dass der Drehimpuls des Teilchens konstant ist, was wiederum
bedeutet, dass die Kraft eine Zentralkraft ist (siehe Kapitel 2).
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Gravitationswechselwirkung: Kraft in Abhängigkeit vom Ort
Experimentell bestimmt:
Die Abhängigkeit von F zu r wurde durch Messungen bestimmt. Dabei waren die Versuche
nicht einfach, da die Gravitationswechselwirkung eine schwache Wechselwirkung ist und die
Gravitationskraft sehr klein ist, wenn die beteiligten Massen nicht groß sind oder wenn der
Abstand sehr klein ist.
Die Versuche ergaben, dass die Gravitationskraft proportional zu 1/r2 ist.
F =γ
mm'
r2
γ wurde experimentell bestimmt.
γ = 6,67·10-11 Nm2 kg-2
Die Gravitationswechselwirkung zwischen zwei Körpern kann durch eine zentrale
Anziehungskraft beschrieben werden, die den Massen direkt proportional und dem Quadrat
der Entfernung zwischen ihnen umgekehrt proportional ist.
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Gravitationswechselwirkung: Ableitung des Kraftgesetzes
(I)
F =γ
mm'
r
2
(I)
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Quelle:. Alonso, Finn
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Gravitationswechselwirkung: Ableitung des Kraftgesetzes
Ableitung des Kraftgesetzes nach Newton:
Nach Kepler ist die Bahn eines Planeten eine Ellipse. Ein
Spezialfall einer Ellipse ist der Kreis bei dem beide
Brennpunkte im Mittelpunkt zusammenfallen. Die Kraft F ist
eine Zentralkraft (zweites Keplersche Gesetz).
v
r
v2
F =m r
r
mit
r r r
v =ω×r
m' r
ω=
2π
T
F
m
folgt:
r
4π 2 r
2
F = mω r = m 2
T
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Gravitationswechselwirkung: Ableitung des Kraftgesetzes
r
4π 2 r
4π 2 r 1
F =m 2 =m 3 ~ 2
T
kr
r
Die Gravitationskraft muss um die Keplerschen Gesetze zu gehorchen, zentral und
umgekehrt proportional dem Quadrat des Abstandes sein.
Newton wollte die Richtigkeit der Gleichung überprüfen und dies tat er mit Hilfe der Daten
der Zentripetalbeschleunigung des Mondes. Er verglich die Zentripetalbeschleunigung
des Mondes mit der Gravitationsbeschleunigung g = 9,81 ms-2.
v 2 4π 2 r
a=
= 2
r
T
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Gravitationswechselwirkung: Ableitung des Kraftgesetzes
Mit r = 3,84·108 m (Bahnradius) und T = 2,36 ·106 s ist dann a = 2,72 ·10-3 m/s2
g
= 3602 ≈ ( 60 )2
a
Mit dem Radius R der Erde: R = 6,37 ·106 m
2
2
 r   384 
2
 ≈ ( 60 )
  =
 R   6 ,37 
g r
= 
a R
2
Innerhalb der Genauigkeit der Berechnung sind die Beschleunigungen umgekehrt proportional
den Abständen der Punkte vom Erdmittelpunkt.
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Gravitationswechselwirkung: Beispiele
Beziehung zwischen Gravitationsbeschleunigung und Masse der Erde
Berechnung der Masse eines Planeten mit einem Satelliten.
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Träge Masse und schwere Masse
Wenn wir annehmen, dass die Gravitation eine allgemeine
Eigenschaft aller Arten der Materie ist, dann ist die schwere
Masse proportional zur trägen Masse:
M
r
F
m
schwere Masse mg
K=
träge Masse m
M
r
F'
m'
Alle Körper nahe der Erdoberfläche fallen mit der gleichen
Beschleunigung. Dies ist ein Hinweis dafür, dass schwere
Masse und träge Masse gleich sind. Es gilt:
mg =
γ mM
R2
g=
γM
R2
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Träge Masse und schwere Masse
g=
γM
R
M
2
Die Beschleunigung g ist unabhängig von der Masse des
fallenden Körpers, somit ist dann:
 mg
g = 
 m
γ M

2
 R
M
r
r
F
m
F'
m'
Wenn das Verhältnis beider Massen (träge und schwere) nicht gleich
wäre, dann wäre die Beschleunigung g für jeden Körper verschieden.
Eine Möglichkeit Massen zu messen ohne sie miteinander zu vergleichen, ist eine dritte
Masse zu nehmen. Diese dient als Referenz.
Masse m sei von der Referenzmasse M um r entfernt.
Auch Masse m' sei um den gleichen Abstand von M entfernt. Dann gilt:
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Träge Masse und schwere Masse
F =γ
Mm
r2
F' = γ
Mm'
r2
Das Verhältnis zwischen den beiden Kräften F unf F' ist:
F m
=
F' m'
Wenn wir Kräfte vergleichen können ohne sie einzeln zu messen, dann erlaubt uns die
Gleichung oben, Massen zu messen oder auch sie miteinander zu vergleichen.
Prinzip der Waage funktioniert wie oben beschrieben, dabei ist M die Masse der Erde.
Die Waage ist im Gleichgewicht, wenn die Massen gleich groß sind.
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Potentielle Energie der Gravitation
Die Gravitationswechselwirkung hängt nur von der Entfernung ab
und ist zentral gerichtet. Sie ist also eine konservative Kraft.
Wir verbinden deshalb mit ihr eine potentielle Energie der Gravitation.
v
r
mm' r
F = −γ 2 u
r
m'
r
u
r
F A
m
Die potentielle Energie Ep der Gravitation, die mit den Massen m
und m' verbunden ist lautet somit:
EP ( r ) = −γ
mm'
r
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Potentielle Energie der Gravitation
Bringt man einen ruhenden Körper vom Punkt P0 zum Punkt P,
dann hängt die aufgewendete oder gewonnene Arbeit nur vom Ort P ab.
Dabei ist die wirkende Kraft F eine konservative, ortsabhängige Kraft.
Es gilt:
∞
∞
r r
1
 1
W = ∫ F ⋅ dr = −γ m m' ∫ 2 dr = −γ m m' − 
r
 r r
r
r
v
∞
m'
r
u
r
F A
m
1 Definition
W = −γ m m' ⋅
= EP ( r ) − EP ( ∞ )
r
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Potentielle Energie der Gravitation
Nullpunkt der potentiellen Energie:
Der Nullpunkt der potentiellen Energie, ist durch die obere Gleichung (Folie vorher)
nicht festgelegt, da nur die Differenz von ∆EP durch die Gleichung definiert wird.
Die untere Abbildung zeigt zwei Möglichkeiten zur Wahl des Nullpunktes der
potentiellen Energie a) EP(z=0) oder b) EP(r =∞)=0.
a)
b)
Epot
z
h
m
EP2 = mgh
0
r
R
h
0
Ep( z = 0 ) = 0
EP1 = 0
E p ( R ) = −γ
m
mm'
= mgR
R
Ep( r = ∞ ) = 0
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Potentielle Energie der Gravitation
Nullpunkt der potentiellen Energie:
Man wählt für den Nullpunkt des Koordinatensystems im Fall von Experimenten bei
denen die Schwerkraft beteiligt ist mit F={0,0,mg} EP = 0 für z = 0.
Im Fall von Problemen bei denen der Körper ins Unendliche gelangt, wird EP(∞) = 0
gesetzt. Daraus folgt:
b)
∞
W = ∫ Fdr
Definition
=
E P ( P ) − EP ( ∞ )
Epot
P
0
Die potentielle Energie im Punkt P ist die
Arbeit, die aufzuwenden ist, wenn der
Massenpunkt von P ins Unendliche
gebracht wird.
r
R
E p ( R ) = −γ
m
mm'
= mgR
R
Ep( r = ∞ ) = 0
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Potentielle Energie der Gravitation
E p = −γ
mm'
r
Gesamtenergie des Systems aus zwei Teilchen, die der Gravitationswechselwirkung
unterliegen ist:
Ek + E p =
1 2 1
mm'
mv + m' v' 2 −γ
2
2
r
Für ein System mit mehreren Teilchen gilt:
mi m j'
1
2
E = ∑ mi vi + ∑ − γ
2
rij
i
alle Paare
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Potentielle Energie der Gravitation: Beweis
Die Gravitationskraft ist:
Fs = −
dE p
ds
Richtungsableitung von Ep
r
F = − gradE p
Da die Kraft zentral ist, hängt sie nur von r ab:
Fr = −
dE p
mit
dr
r
mm' r
F = −γ 2 u
r
dE p
dr
=γ
mm'
r2
Integration der potentiellen Energie in großer Entfernung (r →∞):
Ep
r
r
 1
dE
mm
'
=
γ
=
γ
mm
'
− 
∫ p
∫ r2
 r ∞
0
∞
dr
potentielle Energie der Gravitation des Systems bestehend aus m und m':
Ep = −
γ mm'
r
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Beziehung zwischen der Energie und der Bahnbewegung
Für die gesamte Energie des Systems gilt:
Ek + E p =
1 2
mm'
mv − γ
2
r
m
m'
Wenn sich m im Kreis um m' dreht gilt:
mv2
mm'
FN =
=γ 2
r
r
Somit ist die kinetische Energie Ek:
Ek =
1 2 1 mm'
mv = γ
2
2
r
Die gesamte Energie des Systems:
E=−
γ mm'
2r
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Beziehung zwischen der Energie und der Bahnbewegung
Betrachtet werden zwei Massen m und m'. Für diese gilt:
m' >> m. Also fällt m' mit dem Schwerpunkt des Systems zusammen. Die Masse m' befindet
sich in Ruhe im Schwerpunkt (SP) mit v' = 0.
Quelle: Alonso, Finn
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24
Beziehung zwischen der Energie und der Bahnbewegung
Die gesamte Energie des Systems ist negativ.
E=−
γ mm'
2r
Alle elliptische Bahnen oder gebundene Bahnen haben eine gesamte negative Energie
(E< 0), wenn die potentielle Energie für große Entfernungen zu Null definiert wird.
Gebundene Natur der Energie heißt, dass die kinetische Energie an irgend einem Punkt
der Bahn nicht ausreicht, um das Teilchen ins Unendliche zu befördern. Seine kinetische
Energie wird in potentielle Energie umgewandelt.
In großer Entfernung gilt:
Ek =
1 2
mv
2
Wenn die gesamte Energie E negativ ist, kann diese Gleichung
nicht erfüllt werden.
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Beziehung zwischen der Energie und der Bahnbewegung
v∞ : Geschwindigkeit des Teilchens in großer
Entfernung
Ist die gesamte Energie E > 0, kann das Teilchen das Unendliche erreichen und noch
kinetische Energie haben. Dann gilt:
E=
1
mv∞ 2
2
v∞ = 2 E / m
Wenn m weit von m' ist, hat es die Energie wie oben beschrieben. Nähert sich m an m' verliert
es an potentielle Energie (Energie wird negativer), seine kinetische Energie wird größer, bis sie
beim Punkt der größten Annäherung den höchsten Wert erreicht hat. Der Wert hängt vom
Drehimpuls des Teilchens ab. Anschließend beginnt sich das Teilchen zu entfernen und
verliert kinetische Energie und erreicht in sehr großer Entfernung v∞.
Die Bahn ist eine Hyperbel.
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Beziehung zwischen der Energie und der Bahnbewegung
Ist die gesamte Energie E = 0, dann ruht das Teilchen im Unendlichen und v∞ = 0.
Die Bahn ist zwar offen, beschreibt aber eine Parabel.
Das Teilchen mit Masse m wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit auf m' losgelassen, dabei
sind seine kinetische- und potentielle Energie gleich groß (wie abgestimmt).
Diese Ergebnisse sind wichtig, um beispielsweise Satelliten in eine Umlaufbahn zu bringen,
ohne dass sie gleich wieder durch die Gravitation angezogen werden und abstürzen.
1
mM
Ek + E p = mv0 2 − γ
2
R+h
Die Bahn des Satelliten wird eine Ellipse, Hyperbel
oder Parabel je nach dem ob E < 0, E > 0 oder E = 0
ist.
Ist die Energie zu gering, schneidet die Ellipse die Erde
und der Satellit stürzt ab.
Sonst beschreibt der Satellit eine geschlossene Bahn
oder er entfernt sich von der Erde je nach dem wie die
Werte von v0 und h sind.
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Quelle: Alonso, Finn
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Beziehung zwischen der Energie und der Bahnbewegung
vk : Geschwindigkeit die ein Körper mindestens
haben muss, um die Erde zu umkreisen.
γ ⋅ m'
vk =
R
vp : Fluchtgeschwindigkeit die ein Körper haben
muss, um das Gravitationsfeld der Erde zu
verlassen.
vp =
2 ⋅ γ ⋅ m'
= 2 ⋅ vk
R
v : Geschwindigkeit die der Körper haben muss,
Quelle: Stöcker; Taschenbuch der Physik
um sich vom Sonnensystem zu entfernen.
v=
2 ⋅ γ ⋅ m'
r
r : Abstand zwischen Erde und Sonne.
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Beziehung zwischen der Energie und der Bahnbewegung
Die gleiche Überlegungen gelten bei
der Bewegung vom Mond um die Erde.
Im allgemeinen wird ein Mechanismus
zur Lenkung der Bahn des Satelliten
benötigt, um die Bahn nach dem
Abschuss korrigieren zu können.
Man beachte, dass die Hyperbel zwei
Zweige besitzt (Abbildung):
Bei einer Abstoßung ist E >0 und es
gibt keine gebundenen Bahnen.
Bahn von m unter
Abstoßung
Bahn von m unter
Anziehung
m'Mittelpunkt der Kraft
E >0
1
C
E = mv2 +
2
r
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E <0
1
C
E = mv2 −
2
r
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Störungen der Planetenbewegungen
Berücksichtigt man die Beeinflussung der andern Himmelskörper auf das Sonnensystem und
die Planeten innerhalb des Sonnensystems, dann müssen die äußeren wirkenden Kräfte auf
das nicht isolierte System mitbestimmt werden. Somit sind die Bahnen keine reine Ellipsen.
Diese Störungen auf die Bewegung der Planeten des Sonnensystems kann man mit Hilfe der
Himmelsmechanik sehr genau berechnen.
Effekt 1:
Die elliptische Bahn eines Planeten ist nicht geschlossen, die Hauptachse der Ellipse dreht
sich langsam um den Brennpunkt, in dem sich die Sonne befindet. Dieser Effekt heißt
Periheldrehung.
Effekt 2:
Periodische Schwankung der Exzentrizität der elliptischen Bahn.
Beide Effekte sind sehr langsam. Bei der Periheldrehung ist ihre Periode 105 Jahre (21
Bogenminuten pro Jahrhundert in der Perihelbewegung).
Diese Effekte sind aber zum Teil verantwortlich für Klimaänderungen der Erde. Dies wurde
bei Untersuchungen der Erdkruste von Geophysikern nachgewiesen.
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Störungen der Planetenbewegungen
Quelle: Alonso, Finn
Effekt 1:
Die elliptische Bahn eines Planeten ist nicht geschlossen, die Hauptachse der Ellipse dreht
sich langsam um den Brennpunkt, in dem sich die Sonne befindet. Dieser Effekt heißt
Periheldrehung.
Effekt 2:
Periodische Schwankung der Exzentrizität der elliptischen Bahn.
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Gravitationswechselwirkung: Beispiele
Beispiel: Fluchtgeschwinigkeit eines Körpers: Mindestgeschwindigkeit, mit der ein Körper
von der Erde abgefeuert werden muss, um die unendliche Weite zu erreichen.
Beispiel: Geschwindigkeit eines Körpers, der im Abstand r vom Mittelpunkt der Erde
losgelassen wird, wenn er auf die Erdoberfläche auftrifft.
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