Grundlagen der Algorithmen und Datenstrukturen

Grundlagen der Algorithmen
und Datenstrukturen
Kapitel 8
Christian Scheideler + Helmut Seidl
SS 2009
12.06.09
Kapitel 8
1
Graphen
Graph G=(V,E) besteht aus
• Knotenmenge V
• Kantenmenge E
ungerichteter Graph
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gerichteter Graph
Kapitel 8
2
Graphen
• Ungerichteter Graph: Kante repräsentiert durch
Teilmenge {v,w} ½ V
• Gerichteter Graph: Kante repräsentiert duch
Paar (v,w) 2 V£ V (bedeutet v
w)
ungerichteter Graph
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Kapitel 8
gerichteter Graph
3
Graphen
Anwendungen:
• Ungerichtete Graphen: Symmetrische
Beziehungen jeglicher Art (z.B. {v,w} 2 E
genau dann, wenn Distanz zwischen v
und w maximal 1 km)
• Gerichtete Graphen: asymmetrische
Beziehungen (z.B. (v,w) 2 E genau dann,
wenn Person v Person w mag)
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Kapitel 8
4
Graphen
Im folgenden: nur gerichtete Graphen.
Modellierung eines ungerichteten Graphen
als gerichteter Graph:
Ungerichtete Kante ersetzt durch zwei gerichtete Kanten.
• n: aktuelle Anzahl Knoten
• m: aktuelle Anzahl Kanten
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Kapitel 8
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Operationen auf Graphen
G=(V,E): Graph-Variable
• Node: DS für Knoten, Edge: DS für Kanten
Operationen:
• G.insert(Edge e): E=E [ {e};
• G.remove(Key i, Key j): E=En{e}; für die Kante e=(v,w)
mit Key(v)=i und Key(w)=j
• G.insert(Node v): V=V [ {v};
• G.remove(Key i): sei v2V der Knoten mit Key(v)=i.
V:=Vn{v}, E:=En{(x,y) | x=v _ y=v}
• G.find(Key i): gib Knoten v aus mit Key(v)=i
• G.find(Key i, Key j): gib Kante (v,w) aus mit Key(v)=i und
Key(w)=j
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Kapitel 8
6
Operationen auf Graphen
Anzahl der Knoten oft fest. In diesem Fall:
• V={0,…,n-1} (Knoten hintereinander
nummeriert, identifiziert durch ihre Keys)
Relevante Operationen:
• G.insert(Edge e): E=E [ {e};
• G.remove(Key i, Key j): E=En{e}; für die
Kante e=(i,j)
• G.find(Key i, Key j): gib Kante e=(i,j) aus
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Kapitel 8
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Operationen auf Graphen
Anzahl der Knoten variabel:
• Hashing kann verwendet werden, um
Keys von n Knoten in den Bereich {0,
…,O(n)} zu hashen.
• Damit kann variabler Fall auf den Fall
einer statischen Knotenmenge reduziert
werden. (Nur O(1)-Vergrößerung
gegenüber statischer Datenstruktur)
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Kapitel 8
8
Operationen auf Graphen
Im folgenden: Konzentration auf statische
Anzahl an Knoten.
Parameter für Laufzeitanalyse:
• n: Anzahl Knoten
• m: Anzahl Kanten
• d: maximaler Knotengrad (maximale
Anzahl ausgehender Kanten von Knoten)
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Graphrepräsentationen
Kapitel 8.1: Sequenz von Kanten
(0,1)
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(1,2)
0
1
3
2
(2,3)
Kapitel 8
(3,0)
null
10
Sequenz von Kanten
(0,1)
(1,2)
(2,3)
(3,0)
null
Zeitaufwand:
• G.find(Key i, Key j): Θ (m) im worst case
• G.insert(Edge e): O(1)
• G.remove(Key i, Key j): Θ (m) im worst case
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Graphrepräsentationen
Kapitel 8.2: Adjazenzfeld
n-1
0
0
3
1
V
0
2
4
5
offsets in E
E
1
2
2
3
3
2
0
(0,1),(0,2)
0
m-1
(2,3)
Hier: nur Zielkeys
in echter DS Edge [] E;
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Kapitel 8
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Adjazenzfeld
0
1
3
2
V
0
2
4
5
offsets in E
E
1
2
2
3
3
0
Zeitaufwand:
• G.find(Key i, Key j): Zeit O(d)
• G.insert(Edge e): Zeit O(m) (worst case)
• G.remove(Key i, Key j): Zeit O(m) (worst case)
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Kapitel 8
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Graphrepräsentationen
Kapitel 8.3: Adjazenzliste
0
0
1
n-1
V
3
2
1
2
2
3
3
0
Hier: nur Zielkeys
In echter DS: DList<Edge> [] V;
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Adjazenzliste
0
3
V
1
2
1
2
2
3
3
0
Zeitaufwand:
• G.find(Key i, Key j): Zeit O(d)
Problem: d kann
• G.insert(Edge e): Zeit O(d)
groß sein!
• G.remove(Key i, Key j): Zeit O(d)
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Graphrepräsentationen
Kapitel 8.4: Adjazenzmatrix
0
0 1 1 0
1
A=
0 0 1 1
0 0 0 1
3
2
1 0 0 0
• A[i][j] 2 {0,1} (bzw. Zeiger auf Edge)
• A[i][j]=1 genau dann, wenn (i,j) 2 E
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Adjazenzmatrix
0
0 1 1 0
1
A=
0 0 1 1
0 0 0 1
3
2
1 0 0 0
Zeitaufwand:
• G.find(Key i, Key j): Zeit O(1)
Aber: Speicher• G.insert(Edge e): Zeit O(1)
aufwand O(n2)
• G.remove(Key i, Key j): Zeit O(1)
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Graphrepräsentationen
Besser: Adjazenzliste + Hashtabelle
0
e1
e2
1
e4
e6
3
V
e5
e3
2
0,1
e1
e3
e2
e4
0,2
1,2
e5
1,3
e6
2,3
3,0
Hashtabelle
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Adjazenzliste+Hashtabelle
Zeitaufwand:
• G.find(Key i, Key j):
O(1) (worst case)
• G.insert(Edge e):
O(1) (im Mittel)
• G.remove(Key i, Key j): 0,1
O(1) (im Mittel)
• Speicher: O(n+m)
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Kapitel 8
V
e1
e3
e2
e4
0,2
1,2
e5
1,3
e6
2,3
3,0
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Graphrepräsentationen
Kapitel 8.5: Implizite Repräsentationen
(k,l)-Gitter G=(V,E):
• V=[k]£ [l] ([a]={0,…,a-1} für a2IN)
• E={((v,w),(x,y)) | (v=x ^ |w-y|=1) _
(w=y ^ |v-x|=1)}
Beispiel: (5,4)-Gitter
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Kapitel 8
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Graphrepräsentationen
Kapitel 8.5: Implizite Repräsentationen
(k,l)-Gitter G=(V,E):
• V=[k]£ [l] ([a]={0,…,a-1} für a2IN)
• E={((v,w),(x,y)) | (v=x ^ |w-y|=1) _
(w=y) ^ |v-x|=1)}
• Speicheraufwand: O(log k + log l)
(speichere Kantenregel sowie k und l)
• Find-Operation: O(1) Zeit (reine Rechnung)
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Kapitel 8
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Zusammenfassung
Verschiedene Graphrepräsentationen:
• Kantenliste
• Adjazenzfeld
• Adjazenzliste
• Adjazenzmatrix
• Adjazenzliste + Hashtabelle
• Implizite Graphrepräsentation
Weiter mit Graphdurchlauf (Kapitel 9)
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Kapitel 8
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