Das anomale magnetische Moment des Myons - A1

Handout zum Vortrag
6. Februar 2012
Das anomale magnetische Moment des
Myons
Peter Micke
Das vorliegende Handout stellt eine Zusammenfassung meines Seminarvortrags dar, den ich
im Rahmen des Masterstudiengangs Physik im Modul Seminar I (M.Sc.) bei Herrn Dr. Patrick Achenbach an der Johannes Gutenberg-Universität Mainz gehalten habe. Der Vortrag
fand am 6.2.2012 statt. Die inhaltliche Betreuung oblag Herrn Prof. Dr. Achim Denig.
wobei q die Ladung und m die Masse bezeichnen sowie g der g-Faktor auch Landé-Faktor genannt Die Bestimmung des anomalen magnetischen Mo- ist.
mentes des Myons erfolgt im Rahmen der Präzisi- Klassisch, im Falle einer kreisenden Ladung mit
onsphysik und bietet die Möglichkeit komplemen- Drehimpuls #„
s , errechnet man den Wert g = 1. Allertär zur Forschung bei höchsten Energien Eek- dings ist der Spin natürlich keine klassische Gröÿe,
te bisher unbekannter Physik zu beobachten. Das sondern Folge der Quantentheorie. Unter relativistianomale magnetische Moment des Myons ist zum scher Betrachtung ergibt sich in der Dirac-Theorie
einen eine extrem präzise vermessene Gröÿe und (1928) ein Wert von g = 2 für den Spin. Tatsächlich
kann zum anderen gemäÿ dem Standardmodell ge- liegt der Wert aber etwas über 2, da Strahlungsnauso präzise berechnet werden. Der anschlieÿende korrekturen höherer Ordnung, die im Rahmen eiVergleich von Messergebnis und Standardmodellvor- ner Quantenfeldtheorie ausgerechnet werden, weitehersage ermöglicht die Überprüfung der Gültigkeit re Beiträge liefern.
des Standardmodells. Eine dabei auftretende Abwei- Man deniert zweckmäÿig
chung ist ein Hinweis auf eine vorhandene Unvollg := 2 (1 + a)
(2)
ständigkeit.
Historisch konnte das anomale magnetische Moment
zunehmend genauer vermessen werden. Das erfor- und erhält umgestellt
derte gleichzeitig eine immer genauere theoretische
g−2
a=
.
(3)
Berechnung, da der Vergleich nur dann sinnvoll ist,
2
wenn experimenteller und theoretischer Fehler von
Die dimensionslose Gröÿe a wird als die Anomalie
ähnlicher Gröÿenordnung sind.
bezeichnet und ist das Maÿ für die Abweichung des
g-Faktors vom Dirac-Wert 2 und damit auch gleich2 Das anomale magnetische
zeitig das Maÿ für den anomale Beitrag zum magnetischen Moment. Die Anomalie lässt sich unter
Moment
Betrachtung von Termen höherer Ordnung im StanDas magnetische Moment ist das Maÿ für die Stär- dardmodell berechnen. Der sich aus ihr ergebende
ke eines magnetischen Dipols. Für ein Teilchen mit Anteil zum magnetischen Moment wird anomales
magnetisches Moment genannt. Häug wird auch
Spin #„
s errechnet es sich gemäÿ
einfach, gemäÿ Gleichung (3), von (g − 2) gesproq #„
#„
µ =g
s,
(1) chen.
2m
1 Einleitung
1
Peter Micke
Das anomale magnetische Moment des Myons
Um eine möglichst hohe Empndlichkeit für solche
unbekannten Prozesse zu bekommen, misst man mit
Das Myon gehört zu den geladenen Leptonen und einem Lepton möglichst groÿer Masse ml , da der
bendet sich eine Generation über dem Elektron. relative Anteil dann gröÿer ist. Es folgt sofort ei 2
Es besitzt, wie das Elektron, die Ladung q = −e
m
≈ 4 × 104 höhere Empndlichkeit
ne um mµe
und den Spin s = 1/2, hat allerdings eine deutlich
gröÿere Masse von m ≈ 207 me und eine endliche für das Myon verglichen mit dem Elektron. Obwohl
die Empndlichkeit für das Tauon nochmal deutlich
Lebensdauer von τ ≈ 2,2 µs.
Bei dem Zerfall des Pions wird das Myon erzeugt gröÿer wäre, sind solche Experimente technisch bis(siehe Abb. 1), da der Zerfall des Pions in ein e+ her nicht möglich, da seine Lebensdauer mit weniger
bzw. e− aus Helizitätsgründen stark eingeschränkt als 1 ps zu gering ist.
ist. Das entstandene Myon besitzt eine denierte
Spinrichtung bzgl. der Richtung seines Impulses, 4 Experiment am BNL
d.h., es ist hoch polarisiert. Dies wird im Experiment bei der Messung der Anomalie ausgenutzt.
Die bisher genauste Messung des anomalen magneDer Zerfall des Myons erfolgt durch schwache Wech- tischen Moments des Myons wurde am Brookhaselwirkung. Es entsteht unter anderem ein e+ bzw. ven National Laboratory (BNL) mit einem relatie− , das in Spinrichtung des Myons emittiert wird.
ven Fehler von 0, 54 ppm um das Jahr 2000 durchObwohl auch das Elektron und das Tauon ein an- geführt. Für eine solche Genauigkeit sind enormer
omales magnetisches Moment besitzen, ist das My- experimenteller Aufwand und eine groÿe Statistik
on das geeignete Teilchen zum Überprüfen des Stan- notwendig.
dardmodells. Einen Grund gibt Gleichung (4) an.
Abb. 1 stellt den Aufbau des Experimentes dar. Protonen aus einem Beschleuniger treen auf ein Tarm2l
δal
(4) get, in dem Pionen erzeugt werden. Diese zerfallen
∼ 2
al
M
in hoch polarisierte Myonen, die in einen Speicherring gelangen. Dort bewegen sie sich im homogenen
l
Dabei ist δa
al der relative Anteil, den ein Beitrag Magnetfeld auf einer Kreisbahn. Gleichzeitig kommt
δal zur Gesamtanomalie al des Leptons l liefert, es zur Präzession ihres Spins, wobei diese durch die
ml ist die Masse des Leptons und M die Mas- Anomalie etwas schneller ist als die Präzession des
se eines bei der Theorievorhersage nicht berück- Impulses (vgl. Abb. 2). Diese relative Präzession mit
sichtigten Teilchens, das in einem Schleifenprozess der Kreisfrequenz
dargestellt über ein Feynman-Diagramm ent#„
#„ = a e B
halten ist. Je gröÿer die Masse eines unbekannten
(5)
ω
a
µ
m
µ
Teilchens ist, desto kleiner ist dieser relative Anteil.
3 Das Myon
Abbildung 1:
kann präzise gemessen und daraus die Anomalie
aµ bestimmt werden. Damit Gleichung (5) auch
unter Verwendung der technisch notwendigen elektrostatischen Fokussierung des Myonenstrahls gültig bleibt, ist ein genau eingestellter Impuls von
pµ ≈ 3,09 GeV/c notwendig. Durch die relativistische Zeitdilatation ist dabei die Lebensdauer der
Myonen im Laborsystem 30-fach verlängert.
Tatsächlich kommt Gleichung (5) bei der Bestimmung von aµ so gar nicht zum Einsatz, sondern
kann zweckmäÿiger umgeschrieben werden. Das Magnetfeld wird dann durch die Lamorfrequenz des
Protonenspins aus NMR-Messungen bestimmt und
Messungen der Hyperfeinstruktur vom MyoniumAtom sind notwendig um das Verhältnis meµ durch
ein genauer bestimmbares Verhältnis von Naturkonstanten auszudrücken.
Aufbau des Experiments am BNL und
Erzeugung hoch polarisierter Myonen aus dem Pionzerfall. Aus [1].
2
Peter Micke
Das anomale magnetische Moment des Myons
Abbildung 3: Feynman-Diagramme aus der QED. (a)
liefert den Dirac-Wert g
der mehr als
Abbildung 2:
tonische Vakuumpolarisation dar, einen Term der zwei-
Es ist die relative Präzession des
ten Ordnung. Aus [2].
Spins bzgl. des Impulses dargestellt. Sie liegt im BNLExperiment bei rund
12◦
α kann durch die Messung der Anomalie des Elektrons sehr genau bestimmt werden. Die Entwicklung (7) entspricht einer Entwicklung in FeynmanDiagrammen mit n Schleifen. Es existieren massenunabhängige und massenabhängige Beiträge. Für
die aktuelle Berechnung ieÿen Terme bis zur Ordliefert den mit Abstand donung N = 5 ein. aQED
µ
minierenden Beitrag zu aµ bei einem relativ kleinen
Fehler.
In Abb. 3 sind beispielhaft drei FeynmanDiagramme dargestellt. Diagramm (a) liefert den
Dirac-Wert 2 und damit keinen Beitrag zur Anomalie. Diagramm (b), der sogenannte Schwinger-Term,
der 1948 berechnet werden konnte, ist die Strahlungskorrektur erster Ordnung und ergibt mit mehr
als 99 % den Hauptbeitrag zur Anomalie. Seine alleinige Berücksichtigung zusammen mit dem DiracWert führt zum Wert g ≈ 2, 0023. Häug wird hier
von der Berücksichtigung der Wechselwirkung des
Myons mit seinem eigenen Strahlungsfeld gesprochen.
Der Beitrag der schwachen WW berücksichtigt Prozesse mit den Bosonen W± , Z0 und dem HiggsBoson. Es ieÿen die Terme bis zur zweiten Ordist sehr klein, kann aber durch die
nung ein. aweak
µ
Präzision im Experiment beobachtet werden.
Im hadronischen Beitrag werden Quarks in den
Fermionen-Schleifen berücksichtigt. Da dieser nicht
störungstheoretisch behandelbar ist, macht er die
gröÿten Probleme bei der präzisen Vorhersage von
aµ und dominiert den theoretischen Fehler. Man zerlegt ahad
gemäÿ
µ
pro Umkreis. Aus [1].
Die Detektion der Spinrichtung der Myonen im Speicherring erfolgt über ihren Zerfall in Elektronen
bzw. Positronen, die, wie oben erwähnt, in Spinrichtung emittiert werden. Da die Spinrichtung bzgl. der
Impulsrichtung und damit auch bzgl. der Detektoren, die sich an der Innenseite des Speicherrings benden, mit ωa präzediert, sehen die Detektoren eine
periodische Änderung der Zerfälle pro Zeit. Das Signal enthält demnach den exponentiellen Zerfall der
Myonen, der mit der Kreisfrequenz ωa moduliert ist.
Durch das Fitten der Messkurve wird ωa bestimmt.
5 Standardmodellvorhersage
Zur theoretischen Berechnung der Anomalie aµ gemäÿ dem Standardmodell, tragen mehrere Terme
bei, die sich in ihrer Gröÿe und in ihrem Fehler teilweise deutlich voneinander unterscheiden.
aµ = aQED
+ aweak
+ ahad
µ
µ
µ
(6)
Bei den Summanden handelt es sich um den Beitrag
aus der QED (aQED
), dem Beitrag der schwachen
µ
Wechselwirkung (WW) (aweak
) und einem hadroniµ
had
schen Beitrag (aµ ).
Der QED-Beitrag berücksichtigt Prozesse mit Leptonen sowie Photonen und ist störungstheoretisch
behandelbar mit Entwicklung in der Feinstrukturkonstante α:
aQED
≈
µ
N
X
n=1
cn
α n
π
= 2, (b) ist der Schwinger-Term,
99 % der Anomalie ausmacht, (c) stellt lep-
ahad
= ahvp
+ ahlbl
µ
µ
µ
(7)
(8)
in den Summanden der hadronischen VakuumPolarisation (ahvp
µ ) und den Summanden der ha-
3
Peter Micke
Das anomale magnetische Moment des Myons
dronischen Licht-Licht-Streuung (hadronic light-bylight scattering, ahlbl
µ ).
Die Berechnung von ahvp
erfolgt über ein Dispersiµ
onsintegral, in das experimentell ermittelte hadronische Wirkungsquerschnitte einieÿen. Diese Beziehung kann über das optische Theorem hergeleitet
werden. Obwohl der experimentelle Fehler für die
Wirkungsquerschnitte mit einer Gröÿenordnung von
1 % nicht sehr groÿ ist, ist der daraus folgende theoretische Fehler für aµ dennoch dominierend.
Für ahlbl
existieren unterschiedliche Berechnungen,
µ
die auf unterschiedlichen eektiven Feldtheorien basieren. Die Abschätzung eines Fehlers liefert trotz
der relativ geringen Gröÿe von ahlbl
einen weiteren
µ
erheblichen Beitrag zum theoretischen Fehler.
In Tab. 1 sind die verschiedenen Beiträge mit ihren Fehlern aus einer aktuellen Veröentlichung vom
Oktober 2011 dargestellt. In der letzten Zeile benAbbildung 4: Vergleich verschiedener Standarddet sich deren Summe und damit die Standardmo- modellvorhersagen mit dem experimentell bestimmten
dellvorhersage.
Weltmittelwert der Anomalie. Aus [6].
Beiträge ×1011
Der Unterschied in den theoretischen Vorhersagen
ergibt sich im Wesentlichen aus unterschiedlichen
Berechnungen des Beitrags ahad
aweak
154(3)
µ . Insbesondere zur
µ
Berechnung von ahvp
wurden
teils unterschiedlihvp
µ
aµ
6825(43)
che experimentelle Daten für die hadronischen Wir105(26)
ahlbl
kungsquerschnitte verwendet, zum einen aus e+ e− µ
Annihilationen, zum anderen aus τ -Zerfällen. Auch
aµ
116 591 802(49)
der theoretische Gesamtfehler wird durch ahad
doµ
miniert.
Tabelle 1: Werte entnommen aus Berechnungen von Insgesamt ist festzustellen, dass das StandardmoOktober 2011 [6]. Die Fehler sind in Klammern angegedell eine gute Vorhersage für das anomale magnetiben.
sche Moment des Myons liefert, wodurch spekulative Theorien Einschränkung nden. Allerdings kann
aufgrund der hohen Präzision, mit der sowohl die
6 Theorie vs. Experiment
Vorhersage gemacht als auch im Experiment gemessen wurde, eine Abweichung von mehreren Stanist
ein
mit
den
Fehlern
geDer Weltmittelwert aexp
µ
wichteter Mittelwert aus den experimentellen Be- dardabweichungen ermittelt werden. Dies ist ein
Hinweis auf Physik jenseits des Standardmodells,
stimmungen der Anomalie des Myons:
auf eine Unvollständigkeit, um die das Standardaexp
= 116 592 089(64) × 10−11
(9) modell möglicherweise ergänzt werden muss, damit
µ
es zur Übereinstimmung von Theorievorhersage und
aexp
µ und die Vorhersage aµ aus Tab. 1 stimmen nicht Experiment kommen kann.
miteinander überein. Die aktuell ermittelte Abweichung liegt nach [6] bei 3, 6 σ , wobei σ die Standardabweichung bezeichnet. Abb. 4 stellt einen Ver- 7 Ausblick
gleich des experimentell bestimmten Weltmittelwertes mit unterschiedlichen Standardmodellvorhersa- Es sind sowohl Verbesserungen der Genauigkeit der
gen dar. Auf der x-Achse ist die Dierenz der An- Theorievorhersage, durch genauere Messungen haomalie zum Weltmittelwert in Einheiten von 10−11 dronischer Wirkungsquerschnitte und zuverlässigere
aufgetragen. Der blaue Streifen repräsentiert den Schätzungen des Beitrags der hadronischen LichtLicht-Streuung, erwünscht als auch eine NeuauaFehlerbereich um den Weltmittelwert.
aQED
µ
116 584 718,09(15)
4
Peter Micke
Das anomale magnetische Moment des Myons
ge eines Experiments am Fermilab und J-PARC geplant, um den experimentellen Fehler auf bis zu 0, 1
ppm zu reduzieren. Durch eine Verkleinerung von
experimentellen und theoretischen Fehlern würde
die Abweichung zwischen den Ergebnisse von Theorie und Experiment möglicherweise noch deutlicher
und damit der Hinweis auf eine Unvollständigkeit
des Standardmodells bekräftigt.
Auch in Zukunft wird die genaue Bestimmung des
anomalen magnetischen Momentes des Myons aktuelles Forschungsthema sein.
[2]
J. P. Miller, E. de Rafael und B. L. Ro-
[3]
Bennett
F. Jegerlehner:
arXiv, Jul 2007.
Muon (g − 2): Experiment and Theory.
arXiv, Apr 2007.
et al.: Measurement of the Negative Muon Anomalous Magnetic Moment to 0.7
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[4] The KLOE Collaboration: Measurement of
σ(e+ e−
→ π + π − γ) and extraction of
σ(e+ e− → π + π − ) below 1 GeV with the KLOE
detector. arXiv, Jan 2005.
[5]
A. Denig:
[6]
M. Davier
Literatur
[1]
berts:
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The Radiative Return: a review of
experimental results. arXiv, Nov 2006.
et al.: Reevaluation of the Hadronic
2
Contributions to the Muon g −2 and to α(MZ
).
arXiv, Okt 2011.
5