Technische Universität München Klausur - TUM

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Grundzüge der Diskreten Optimierung
WiSe 2008/2009
B. Langfeld
|
A. Taraz
|
B. Wilhelm
Klausur
Name
Matrikelnummer
• Die Klausur besteht aus 7 Aufgaben auf den 8 folgenden Seiten zu insgesamt 32 Punkten.
• Die Arbeitszeit beträgt 60 Minuten.
• Zum Bestehen der Klausur sind 17 Punkte erforderlich.
• Erlaubte Hilfsmittel: Keine (außer Schreibzeug). Zusätzliches Papier
wird auf Anfrage zur Verfügung gestellt.
• Alle Antworten sind direkt nach der Frage innerhalb des dafür vorgesehenen Kästchens einzutragen.
• Die Rückseiten der Aufgabenblätter und das zusätzliche Papier dürfen
zum Schreiben verwendet werden, wenn kein Platz mehr in den vorgesehenen Kästchen ist.
Viel Erfolg!
Hiermit bestätige ich, dass ich vor Prüfungsbeginn darüber in Kenntnis gesetzt wurde, dass
ich im Falle einer plötzlich während der Prüfung auftretenden Erkrankung das Aufsichtspersonal umgehend informieren muss. Dies wird im Prüfungsprotokoll vermerkt. Danach muss unverzüglich ein Rücktritt von der Prüfung beim zuständigen Prüfungsausschuss beantragt werden.
Ein vertrauensärztliches Attest – ausgestellt am Prüfungstag – kann gegebenenfalls innerhalb
der nächsten Tage nachgereicht werden. Wird die Prüfung hingegen in Kenntnis der gesundheitlichen Beeinträchtigung dennoch regulär beendet, kann im Nachhinein kein Prüfungsrücktritt
aufgrund von Erkrankung beantragt werden.
Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten
Aufgabe 1 Matchings
(2 Punkte)
Sei M ein Matching in einem Graphen G = (V, E). Wie ist ein M -augmentierender Pfad
definiert?
Aufgabe 2 Flüsse in 0-1-Netzwerken
(4 Punkte)
Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? Bei dieser Aufgabe müssen die Antworten
nicht begründet werden.
Pro Teilaufgabe erhalten Sie
bei richtiger Antwort
2 Punkte,
bei fehlender Antwort
0 Punkte
und bei falscher Antwort −1 Punkt.
Eine negative Gesamtpunktzahl ist möglich.
~ s, t, c) ein Netzwerk mit 0-1-Kapazitäten, das heißt, c : E
~ → {0, 1}. Wie
Sei N = (V, E,
~
üblich seien n := |V | und m := |E|.
(a) Ein Fluss maximalen Wertes in N kann in O(n2/3 m) Schritten
berechnet werden.
2 wahr 2 falsch
(b) Der Dinic-Algorithmus kann einen Fluss maximalen Wertes
in N in O(n2/3 m) Schritten berechnen.
2 wahr 2 falsch
Seite 1
Aufgabe 3 Ford-Fulkerson-Algorithmus
Bei dieser Aufgabe müssen die Antworten nicht begründet werden.
(6 Punkte)
Pro Teilaufgabe erhalten Sie
bei richtiger Antwort
2 Punkte,
bei fehlender Antwort
0 Punkte
und bei falscher Antwort −1 Punkt.
Eine negative Gesamtpunktzahl ist möglich.
Betrachten Sie das folgende Netzwerk, in dem die Zahlen an den Kanten die Flusskapazitäten angeben.
3
v5
v8
4
v2
4
3
5
1
v4
s
4
v7
5
2
4
v1
6
1
3
v3
t
v6
7
Welche(s) der folgenden Restnetzwerke könnte(n) durch den ersten Augmentierungsschritt
des Ford-Fulkerson-Algorithmus entstehen?
v2
3
2
3
v5
4
2
4
1
1
v4
s
4
2
1
2
v1
v2
3
v3
1
3
v5
3
1
1
v7
3
5
v2
v3
1
3
v5
3
3
v8
1
4
2
3
1
v4
s
v7
2
v1
v3
7
3
6
1
3
2 ist möglich
2 ist nicht möglich
v6
7
3
t
6
1
3
2 ist möglich
2 ist nicht möglich
v8
2
v1
t
1
6
4
v4
4
v7
v6
7
3
s
2
4
4
1
3
4
v8
v6
Seite 2
t
2 ist möglich
2 ist nicht möglich
Aufgabe 4 Minimal aufspannende Bäume
(5 Punkte)
Sei G = (V, E, l) ein ungerichteter, gewichteter und zusammenhängender Graph.
Seien S = (V, ES ) und T = (V, ET ) zwei aufspannende Bäume von G. Dann schreiben wir
S ∼ T , wenn |ES ∆ ET | = 2, wobei ES ∆ ET := (ES \ ET ) ∪ (ET \ ES ).
(a) Seien S = (V, ES ) und T = (V, ET ) zwei minimal aufspannende Bäume von G mit
S ∼ T und sei ES ∆ ET = {eS , eT } mit eS ∈ ES und eT ∈ ET .
Beweisen Sie, dass l(eS ) = l(eT ).
(b) Beweisen Sie folgende Aussage:
Für zwei minimal aufspannende Bäume S = (V, ES ) und T = (V, ET ) von G existiert
eine Bijektion φ : ES → ET , so dass für alle e ∈ ES gilt: l(e) = l(φ(e)).
Hinweis: Sie dürfen in dieser Aufgabe die Tatsache verwenden, dass für zwei beliebige minimal aufspannende Bäume S und T von G immer eine Folge T1 , . . . , Tk von
minimal aufspannenden Bäumen existiert, so dass S ∼ T1 ∼ . . . ∼ Tk ∼ T .
Aufgabenteil (c) auf der nächsten Seite.
Seite 3
Fortsetzung von Aufgabe 4:
Ist die folgende Aussage wahr oder falsch? Bei dieser Aufgabe muss die Antwort nicht
begründet werden.
Sie erhalten
bei richtiger Antwort
2 Punkte,
bei fehlender Antwort
0 Punkte
und bei falscher Antwort −1 Punkt.
Eine negative Gesamtpunktzahl ist möglich.
(c) Wenn alle Kanten in G paarweise verschiedene Gewichte haben, dann existiert genau ein minimal aufspannender Baum
von G.
Seite 4
2 wahr 2 falsch
Aufgabe 5 Matroide
(3 Punkte)
~ = (V, E,
~ l) ein gerichteter, gewichteter Graph mit Gewichtsfunktion l : E
~ → R>0
Sei G
und sei s ∈ V .
Wir definieren
~ mit Startknoten s}.
P := {P : P ist gerichteter Pfad in G
Außerdem sei
I := {A ⊆ P : (∀P1 , P2 ∈ A mit P1 6= P2 : P1 und P2 haben verschiedene Endknoten)}
das Mengensystem, das eine Menge A von Pfaden aus P genau dann als Element enthält,
wenn alle Pfade aus A verschiedene Endknoten haben.
Zeigen Sie, dass M = (P, I) ein Matroid ist.
Seite 5
Aufgabe 6 Längste Pfade in Bäumen
(5 Punkte)
Sei G = (V, E) ein ungerichteter, ungewichteter Baum. Wir betrachten w ∈ V als Wurzel
des Baumes. Für jeden Knoten v ∈ V sei dist(w, v), also der Abstand von w zu v, gegeben.
Für einen Knoten v ∈ V bezeichne Tv den Teilgraphen von G, der durch die Knoten u ∈ V
induziert wird, für die der eindeutige w, u-Pfad v enthält.
Wir definieren außerdem K(v) := {u | u ist Knoten in Tv und dist(w, u) = dist(w, v)+1}
als die Menge der Kinder“ von v in G.
”
Im Folgenden konstruieren wir einen Algorithmus, der mittels dynamischer Programmierung die Länge eines längsten Pfades in G bestimmt. Der Algorithmus berechnet dazu für
jeden Knoten v ∈ V die beiden Werte d1 (v) und d2 (v), die folgendermaßen definiert sind:
1. d1 (v) ist die Länge eines längsten Pfades in Tv , der in v endet.
2. d2 (v) ist die Länge eines längsten Pfades in Tv , der v enthält, aber nicht in v endet.
(a) Für einen Knoten v ∈ V mit |K(v)| ≥ 2 seien die Werte d1 (u) und d2 (u) für alle
u ∈ K(v) gegeben. Dann berechnen sich die Werte d1 (v) und d2 (v) als
d1 (v) =
und
d2 (v) =
(b) Es seien nun die Werte d1 (v) und d2 (v) für alle v ∈ V gegeben. Dann lässt sich die
Länge L eines längsten Pfades in G bestimmen als
L =
Seite 6
Aufgabe 7 Größte Matchings
(7 Punkte)
∗
Sei G = (V, E) ein Graph. M sei ein größtes Matching in G und x, y ∈ V seien Knoten,
die von M ∗ nicht überdeckt werden.
Zur Erinnerung: Mit N (x) bezeichnen wir die Nachbarschaft von Knoten x in G.
(a) Zeigen Sie:
Die Knoten x und y sind nicht durch eine Kante verbunden und jeder Knoten aus
N (x) ∪ N (y) wird von M ∗ überdeckt.
(b) Zeigen Sie:
M ∗ enthält keine Kante, die zwei Knoten u, v ∈ N (x) ∩ N (y) verbindet.
(c) Zeigen Sie:
M ∗ enthält keine Kante, die einen Knoten u ∈ N (x) \ N (y) mit einem Knoten v ∈
N (y) verbindet.
Aufgabenteil (d) auf der nächsten Seite.
Seite 7
Fortsetzung von Aufgabe 7:
Sei G = (V, E) nun ein Graph mit Minimalgrad δ(G) und n ≥ 2 · δ(G) Knoten.
(d) Zeigen Sie:
Für ein größtes Matching M ∗ in G gilt: |M ∗ | ≥ δ(G).
Hinweis: Beweis durch Widerspruch. Nehmen Sie an, dass |M ∗ | < δ(G) gilt, und
zeigen Sie, dass M ∗ unter dieser Annahme zwei Knoten aus V unüberdeckt lässt.
Die Annahme kann dann mit Hilfe der Aufgaben (a)-(c) zum Widerspruch geführt
werden.
Seite 8