Mechanik 2

Physik für Pharmazeuten
und Biologen
MECHANIK II
Arbeit, Energie, Leistung
Impuls
Rotationen
Mechanik II
1.3 Arbeit, Energie, Leistung
• mechanische Arbeit
r r
W = F ∆r
Einheit
[W ] = Nm = kgm2 s2 = J (Joule)
Arbeit ist Skalar (Zahl), kein Vektor, aber abhängig von Winkel
r r r r
zwischen Kraft und Weg
W = F ∆r = F ∆r cosα
für gekrümmte Strecken als Summe
(Integral) über Teilstrukturen.
Änderung der Bewegung
⇔ Arbeit zuführen/entnehmen
⇒ Energie: Fähigkeit Arbeit zu verrichten
z.B. Änderung der Bewegung zu verursachen
Die Arbeit
Die Arbeit W (work) wird definiert als das Produkt aus dem Weg den ein
Körper zurücklegt und der Kraft, die in Richtung dieses Weges wirkt.
v v
W = F ⋅ s = F ⋅ s ⋅ cos(α )
Die Arbeit ist das
Skalarprodukt aus Kraft und Weg
v
F
v
s
α
F cos(α )
Einheit: 1 J(oule)=1 Nm=1 kgm2/s2
Bei veränderlicher Kraft summieren wir
über kleine Wegelemente
r r
v v
W = ∑ F ⋅ ∆s = ∫ F ⋅ ds
v
∆s
v
F
Die elastische Verformungsarbeit
x=0
s
F
Für die Federkraft gilt:
F = −D ⋅ s
v v
D 2
WD = ∫ Fds = ∫ − D ⋅ s ⋅ ds = − s
2
Potentielle Energie
- Energie ist die Fähigkeit, Arbeit zu verrichten.
Ein Körper, an dem mechanische Arbeit geleistet worden ist, hat die
Fähigkeit gewonnen diese Arbeit wieder zurückzugeben. Die von ihm
aufgenommene Energie wird potentielle Energie genannt
D 2
= −WD = s
2
Feder:
E pot
Lage:
E pot = −WH = m ⋅ g ⋅ h
Konservative Kraft und potentielle Energie
Experiment: Potential-Landschaft
F =−
dE pot
dx
Im dreidimensionalen Raum gilt :
r
 dV dV dV 
r
 = − grad V (r )
F = −
,
,
 dx dy dz 
Die Leistung
Die Leistung P ist definiert als die verrichtete
Arbeit pro Zeiteinheit.
dW
P=
dt
Einheit: 1 W(att)=1 J/s=1 kgm2/s3
- Ein Mensch kann ca. 100 W Dauerleistung leisten (Glühbirne).
- 1 PS entspricht 735,5 W
[Tafel]
Mechanik II
Potential, Kraftfeld
• allgemein:r r r
Kraftfeld F = F (r ) r
Kraft hängt nur von r ab.
r ∆E
F = r = grad E Gradient
∆r
⇒Kraft auf MP ergibt sich aus Änderung
der Energie
W=0 für geschlossene Wege
Experiment:
schiefe Ebene – Parabel
Pendel
• allgemeines Konzept: Potential
(Energiefeld)
Mechanik II
Energie
• Energie für Massepunkte (MP)
• MP in Bewegung: v
Zuvor ist Beschleunigung notwendig, d.h. Kraft auf MP während
bestimmter Zeit, bzw. über best. Strecke (z.B. Auto)
r = vt +
at 2
2
, für v0 = 0 gilt t = 2r a
v = at = 2ra = 2r mF =
2W
m
2
mv
• aufgewendete Arbeit: W =
2 = Ekin
kinetische Energie
Mechanik II
Potentielle Energie
• MP in Höhe h (Schwerkraft wirkt)
⇒ potentielle Energie: E pot = mgh
Beispiel: Körper auf Höhe h=0 mit Anfangsgeschwindigkeit v0 nach
r
v
oben (entgegengesetzt zur Kraft) ⇒ Körper wird abgebremst bis = 0
dann gilt:
v = v0 − gt , wenn v = 0 : v0 = gt , bzw. t = v0 g
x = at 2 2 → 2gh = v02
⇒ E pot ,t
mv02
= mgh =
= Ekin ,0
2
wenn Körper zur Ruhe kommt (Zeit t), hat er potentielle Energie (=
kinetische Energie bei t=0). Diese kann ihm wieder zugeführt werden
indem er auf Ausgangshöhe gebracht wird.
Mechanik II
Energiesatz
• Pendel:
Umwandlung potentielle Energie
kinetische Energie
• Energiesatz:
Energie ist in abgeschlossenem System konstant
Energiesatz der Mechanik
Wenn nur konservative Kräfte wirken,
also keine Reibung auftritt, dann gilt:
Die Summe aus potentieller und kinetischer Energie
eines abgeschlossenen Systems ist unveränderlich.
E pot + Ekin = E ges = konstant
Kann man Arbeit sparen?
Goldene Regel der Mechanik:
Bei reibungsfreien (idealen) Maschinen gilt: Die dem Kraftwandler
zugeführte Arbeit Wzu ist gleich der von ihm abgegebenen Arbeit Wab.
Wzu = Wab
Geleistete “Zugarbeit” : Wzu = F⋅s
Erbrachte Hub-Arbeit : Wab = FG⋅h
Da am Flaschenzug mit einer losen Rolle FG=
2⋅F und h = s/2 gilt,
ergibt sich daraus
Wzu = Wab.
Beispiel Energieumwandlung:
Die schiefe Ebene (ohne Reibung)
Epot+Ekin=const
m 2
m⋅ g ⋅h = v
2
h
α
v max = 2 gh
Mechanik II
Beispiel : Pendel
• Versuch: Pendel
asymmetrisches Pendel
P0 : Ekin = 0, E pot = mgh
P1 : E pot = 0, Ekin = mv 2 /2
Höhe links und rechts gleich
⇔ Energie bleibt erhalten
aus Energieerhaltung: mgh = mv 2 /2 ⇒ vmax = 2ghmax
Beispiel Energieumwandlung:
Das Pendel
Epot+Ekin=const
Es gibt 2 ausgezeichnete Punkte
1. ϑ=ϑmax mit Ekin=0 und
E ges = E pot (ϑmax ) = mgh
2. ϑ=0
mit Epot=0 und
mv 2max
Ekin (0) =
2
1.)+2.)
v max = 2 gh
Experiment: Das asymmetrische Pendel
links und rechts gilt
E ges = E pot (ϑmax ) = mgh
Der allgemeine Energieerhaltungssatz
- In einem abgeschlossenen System ist Gesamtenergie konstant.
- Energie kann man weder vernichten noch erzeugen.
- Die Energieformen können nur ineinander umgewandelt werden.
- Dies schließt alle Formen von Energie ein. (Elektrische, mechanische,
chemische Energie, Wärmeenergie, etc.)
Perpetuum mobile
Die von nicht-konservativen Kräften verrichtete Arbeit,WNK entspricht der
Änderung der mechanischen Gesamtenergie
∆E ges = ∆E pot + ∆Ekin = Wdissipativ
Mechanik II
• Pendel:
Umwandlung potentielle Energie
kinetische Energie
• Energiesatz:
Energie ist in abgeschlossenem System konstant
• Leistung: Energieänderung pro Zeiteinheit
r r
rr
P = W t = F ∆r t = F v
2
3
Einheit [P ] = J s = kg m s = W (Watt)
Energiebilanz für endotherme und
Mechanik II
exotherme Reaktionen
Die elastische Federkraft
Experiment: Federwaage
Kräfte können über das dynamische Grundgesetz gemessen werden:
1 N ist die Kraft, die eine Masse von 1 kg mit 1 m/s2 beschleunigt.
oder auch über ihre Deformationswirkung auf einen Festkörper (Feder):
FD = − D ⋅ ( x − x0 )
Federkonstante
Federauslenkung
Hook‘sches Gesetz
F
Das Kraftmikroskop
D = 10
x=
−3
N
m
F 1nN ⋅ m
=
= 10 −6 m
D 0,001N
Mechanik II
1.4 Impuls
inr Kräfte
r freiemr System:
F = ma = m dv
dt = 0
(Geschwindigkeit konst.)
allgemeiner:
r
r
F = d (dtmv ) = 0
r
r
• Impuls: p = mv
(es kann sich auch Masse ändern)
r
mehrere Massen m1, m2, .... p =
∑
i =1... n
r
pi =
∑
r
mi vi
i =1... n
⇒ ohne äußere Kräfte bleibt Impuls konstant
für Analyse von Stößen definiere
Schwerpunkt: “Zentrum“ vieler Massen
r
mrS =
r
∑ mi ri
i =1.. n
Mechanik II
Elastischer-inelastischer Stoß
• Versuch: elastischer – inelastischer Stoß
v1
v2
vorher
nachher
m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2
Vorzeichen beachten !
v1
v2
u1 =u2=u
vorher
nachher
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2 )u
Mechanik II
Stoßgesetze
Stoß: vorher m1, v1, m2, v2,....
nachher m1, u1, m2, u2,....
Randbedingungen:
Impulserhaltung: m1v1 + m2v2 + ... = m1u1 + m2u2 + ...
Energieerhaltung: m1v12 + m2v22 + ... = m1u12 + m2u22 + ...
= 1 , sonst <1
für elastische Stöße:
r
r r
∆p = m ( v − u ) = 2mv sin θ2
Impulsübertrag:
• z.B.: Rakete (Düsenantrieb):
u2
v2
stößt während ∆t Masse ∆µ mit Geschwindigkeit
w aus, d.h. mit Impuls ∆µw. Gesamtimpuls konst.
⇒ Rakete nimmt Impuls auf, der ihr v erhöht:
−w ( ∆µ ∆t ) = m ( ∆v ∆t ) = ma
Mechanik II
Chemische Reaktionen
• auch reaktive Stöße müssen den Impulssatz erfüllen
K
A + BC 
→ AB + C
r
r
r
r
p A + pBC = p AB + pC
Ekin ( A) + Ekin ( BC ) =
Ekin ( AB) + Ekin (C ) + ∆Echem
Die kinetische Energie ist nicht
erhalten, sondern hängt von der
Umwandlung „innerer Energie“ ab.
Mechanik II
1.5 Rotationen
r r
• Kreisbahn: v ⊥ r
r
v .... Bahngeschwindigkeit
θ.... Winkel unter dem Massepunkt gesehen
wird, ändert sich mit der Zeit t.
r
θ (t2 )−θ (t1 )
dθ
⇒

→ dt = ω Winkelgeschwindigkeit
t2 −t1
t2 →t1
r r r
v = ω r v = ω × r (Drei-Finger-Regel)
Umlaufzeit (Zeit innerhalb der Winkel von 2π überstrichen wird)
T = 2πv r = 2ωπ
Einschub: Winkel
60° π/3
90° π/2
Einheit: Radiant (° Grad)
(Bogenmaß: Länge des Kreisbogens mit Einheitsradius)
120° 2π/3
180° π
360° 2π
Einschub: Kreisbewegung
y
s
ϕ (t) = ω ⋅t
 r ⋅ cos(ω t ) 
v
s (t ) = 

 r ⋅ sin(ω t ) 
 − ω r ⋅ sin(ω t ) 
r
r
v (t ) = ds / dt = 

 ω r ⋅ cos(ω t ) 
 − ω 2 r ⋅ cos(ω t ) 
r
r
2 v

a (t ) = dv / dt = 
=
−
ω
⋅ s (t )
2

 − ω r ⋅ sin(ω t ) 
ϕ
y = r ⋅ sin ϕ
x = r ⋅ cosϕ
Zentripetalkraft
x
Kreisbahnen
Mechanik II
[Tafel]
FG = m a
v = ω r = ( 2π / T ) r
2
m⋅M
v
2
−G
=
−
m
ω
r = −m
2
r
r
(Gravitationskraft = Zentripetalkraft)
2
4
π
T2 =
⋅ r3
G⋅M
Dritte Keplersche Gesetz
(Kreisbahn ist Spezialfall des allgemeinen
Falls: Ellipse)
Mechanik II
Zentripetalkraft
r
• v evtl. konstant, aber nicht geradlinig
r
⇒ Änderung von vimmer nur durch Kraft,
bzw. Beschleunigung
Analyse über ähnliche Dreiecke
v ∆v ∆v ∆t a
= ∆r = ∆r =
AB
∆r
=
=
=
∆t
r
r
r
v
⇒ Beschleunigung durch eine, auf das Zentrum gerichtete Kraft
v2
a = r = ω 2r
F = mω 2 r Zentripetalkraft
r
∆v
r
v
r
∆v
v
nach actio = reactio gibt es eine Gegenkraft: Zentrifugalkraft
in rotierendem Bezugssystem weitere Kraft:
Kugel aus Zentrum kommend bewegt sich geradlinig,
im rot. System wird sie aber abgelenkt ⇒ Kraft
vergleiche Ablenkung mit at 2 /2 = v ωt 2 ⇒
ac = 2vK ω
K
Corioliskraft
Fc = 2mωv
Resumee
Mechanik II
• Kreisbahnen erfordern Zentripetalkraft
• Gravitationskraft wirkt als Zentripetalkraft
(Planeten)
Mechanik II
• Zentripetalkraft nicht Ursache für Rotation, andere Größe !
• Betrachte Energie eines rotierenden Körpers (Summe von MP):
MP Ekin=mv2/2, vi=ωri,
(allgemeiner: Integral über Masseverteilung)
Erot = 12 ∑ mi vi2 = 12 ω 2 ∑ mi ri2
i
i
wenn ω mit v identifiziert wird, muss Summe mit Masse identifiziert werden.
• Trägheitsmoment:
J = ∑ mi ri
(= ∫ r 2 ρ (r )dV )
Mechanik II
Trägheitsmomente, Satz von Steiner
• Zentripetalkraft nicht Ursache für Rotation, andere Größe !
• Betrachte Energie eines rotierenden Körpers (Summe von MP):
MP Ekin=mv2/2, vi=ωri,
(allgemeiner: Integral über Masseverteilung)
Erot = 12 ∑ mi vi2 = 12 ω 2 ∑ mi ri2
i
i
wenn ω mit v identifiziert wird, muss Summe mit Masse identifiziert werden.
• Trägheitsmoment:
J = ∑ mi ri2 (= ∫ r 2 ρ (r )dV )
Massenteile wirken sich bei Rotation umso mehr aus, je weiter sie von
Drehachse entfernt sind
Satz von Steiner: Trägheitsmoment um bel. Achse ist Summe des TM
um Achse durch Schwerpunkt und Trägheitmoment eines Massepunkts
mit Gesamtmasse im Schwerpunkt JA = JS + Md uur
AS
r r r
• Drehmoment: T = rF
( T = r × F)
r
r r
r
r r r
r
2
• Drehimpuls: L = mi ri × vi = ∑ mi ri × (ω × ri ) = ω ∑ mi ri = Jω
∑
Mechanik II
Mechanik II
Drehmoment und Starre Körper
• Ungleiche Gewichte stehen im
Gleichgewicht in Abständen, die
sich umgekehrt verhalten wie
die Gewichte. (Archimedes, um 250 v. Chr.)
⇒ Ist eine belasteter Hebel im
Gleichgewicht, so liegt sein
Schwerpunkt über der Achse
stabiles Gleichgewicht:
SP unter Achse (sonst labil)
(Stehaufmännchen)
Mechanik II
Hebelgesetze
• Gleichgewicht (Körper in Ruhe), wenn Summe aller
angreifenden Kräfte und Drehmomente verschwindet
r
r
∑ Fi = 0 und ∑ Ti = 0
i =1.. n
i =1.. n
• "Kraft x Kraftarm = Last x Lastarm"
• z.B.: Drehmomente beim Fahrrad
• Bizeps gebeugt – gestreckt
Mechanik II
es fehlt
• Relativitätstheorie
Äquivalenz von Masse und Energie
Änderung der Masse bei vc
Längenkontraktion, Zeitdilatation (Zwillingsparadox)
• Kreisel, Planetenbahnen
• deformierbare Körper
Dehnung (siehe Feder,
Hookesches Gesetz)
Kontraktion
etc.
Mechanik II
Zusammenfassung
• Arbeit, Energie, Leistung
unterschiedliche Energieformen (kinetische, potentielle ...)
Energieerhaltung in abgeschlossenen Systemen (Pendel)
• Impuls
Impulserhaltung
Stoßgesetze, Rückstoß
• Rotation
Winkel – Winkelgeschwindigkeit – Drehmoment
Trägheitsmoment
Drehimpuls
Mechanik II
Kraftmoment
Mechanik II
Drehmoment
Mechanik II
Gleichgewicht
Mechanik II
Anwendung : Hebelgesetz
Mechanik II
Beispiel aus der Anatomie : Bizeps-Sehne
Mechanik II
Drehmomente beim Fahrrad
Mechanik II
Untersetzung der Zahnräder
Mechanik II
Resultierende Kräfte/Drehmomente
Mechanik II
Schwerpunkt
Mechanik II
Standfestigkeit/Gleichgewicht
Mechanik II
Verallgemeinerte Gleichgewichtsbedingung
Mechanik II
Beispiel : Stabilität