Modellierung 3 - Humboldt

Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Modellierungskonzepte 3
Elke Warmuth
Humboldt-Universität Berlin
WS 2008/09
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
1
Unabhängigkeit von Ereignissen
Bedeutung der Unabhängigkeit
Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
Unabhängigkeit von 3 Ereignissen
Unabhängigkeit von n Ereignissen
2
Unabhängigkeit von Experimenten
Bernoulli-Ketten
Überbuchungsproblematik
3
Zufallsgrößen
Verteilung einer Zufallsgröße
Erwartungswert von Zufallsgrößen
Modellierung mit Zufallsgrößen
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Bedeutung der Unabhängigkeit
Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
Unabhängigkeit von 3 Ereignissen
Unabhängigkeit von n Ereignissen
Kolmogorow: The concept of mutual independence of two or
”
more experiments holds, in a certain sense, a central position in
the theory of probability.
...
Historically, the independence of experiments and random variables
represents the very mathematical concept that has given the theory
of probability its peculiar stamp.“
Quelle: A. N. Kolmogorov: Foundations of the Theory of Probability. New York: Chelsea Publishing Company, 1950.
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Bedeutung der Unabhängigkeit
Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
Unabhängigkeit von 3 Ereignissen
Unabhängigkeit von n Ereignissen
Was soll erfasst werden?
Ereignisse A und B haben folgende Eigenschaft:
Information über das Eintreten von A beeinflusst unsere Bewertung
der Chancen für das Eintreten von B nicht.
Prototypen: Ziehen mit und ohne Zurücklegen
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Bedeutung der Unabhängigkeit
Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
Unabhängigkeit von 3 Ereignissen
Unabhängigkeit von n Ereignissen
R1 – rote Kugel im 1. Zug, R2 – rote Kugel im 2. Zug
ohne Zurücklegen
P(R2 ) =
3
10
P(R2 |R1 ) =
mit Zurücklegen
P(R2 ) =
2
9
<
3
10
3
10
P(R2 |R1 ) =
3
10
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Bedeutung der Unabhängigkeit
Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
Unabhängigkeit von 3 Ereignissen
Unabhängigkeit von n Ereignissen
Ziehen ohne Zurücklegen:
P(R1 |R2 ) =
P(R1 ∩ R2 )
=
P(R2 )
3
10
·
3
10
2
9
=
2
9
Die Information darüber, dass die zweite Kugel rot ist, verändert
die Chancen für eine rote Kugel im ersten Zug. Es ist
wahrscheinlicher, dass die erste Kugel weiß war.
Real ist R1 unbeeinflusst von R2 , aber stochastisch, im Sinne der
Chancen, schon.
Provisorische Festlegung: Das Ereignis A ist stochastisch
unabhängig vom Ereignis B mit P(B) > 0, falls
P(A|B) = P(A)
gilt.
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Bedeutung der Unabhängigkeit
Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
Unabhängigkeit von 3 Ereignissen
Unabhängigkeit von n Ereignissen
Folgerungen aus der provisorischen Festlegung für P(A) und P(B)
positiv:
A unabhängig von B
⇔
P(A|B)
P(A ∩ B)
⇔
P(B)
⇔
P(A ∩ B)
P(A ∩ B)
⇔
P(A)
⇔
P(B|A)
= P(A)
= P(A)
= P(A) · P(B)
= P(B)
= P(B)
A unabhängig von B genau dann, wenn B unabhängig von A,
stochastische Unabhängigkeit ist symmetrisch in A und B
⇒ endgültige Definition
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Bedeutung der Unabhängigkeit
Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
Unabhängigkeit von 3 Ereignissen
Unabhängigkeit von n Ereignissen
Definition: Unabhängigkeit zweier Ereignisse
Zwei Ereignisse A und B heißen (stochastisch) unabhängig, falls
die Produktformel
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
gilt.
Symmetrie
ohne Voraussetzung P(A) > 0 bzw. P(B) > 0.
Aspekte von Unabhängigkeit
Unabhängigkeit als Modellannahme
Unabhängigkeit in einem Modell nachweisen
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Bedeutung der Unabhängigkeit
Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
Unabhängigkeit von 3 Ereignissen
Unabhängigkeit von n Ereignissen
gutes Beispiel:
Quelle: Barth, Haller: Stochastik Leistungskurs. München: Oldenbourg Schulbuchverlag, 1998
Sehr empfehlenswertes Lehrbuch
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Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Bedeutung der Unabhängigkeit
Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
Unabhängigkeit von 3 Ereignissen
Unabhängigkeit von n Ereignissen
schlechtes Beispiel:
Quelle: Mathematik. Band 2. Sachsen-Anhalt. Berlin: Cornelsen Verlag, 2005
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Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Bedeutung der Unabhängigkeit
Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
Unabhängigkeit von 3 Ereignissen
Unabhängigkeit von n Ereignissen
Begriff Unabhängigkeit festigen
Unabhängigkeit und Unvereinbarkeit
Beispiele und Gegenbeispiele
Unabhängigkeit in Vierfeldertafel
Verallgemeinerung auf n Ereignisse
Unabhängigkeit von Vorgängen
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Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Bedeutung der Unabhängigkeit
Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
Unabhängigkeit von 3 Ereignissen
Unabhängigkeit von n Ereignissen
Unabhängigkeit und Unvereinbarkeit
i.A. krasse Abhängigkeit:
Eintreten von A macht Eintreten von B unmöglich und umgekehrt.
Nagelprobe
Verständnis
für
inhaltliches
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Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Ausnahme:
Bedeutung der Unabhängigkeit
Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
Unabhängigkeit von 3 Ereignissen
Unabhängigkeit von n Ereignissen
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
0 = P(A) · P(B)
P(A) = 0 oder P(B) = 0
Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit 0 sind von allen Ereignissen
unabhängig.
Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit 1 auch. Sei nämlich
P(A) = 1
P(A) · P(B) = P(B) = P(B ∩ A) + P(B ∩ A) = P(B ∩ A)
Entspricht das inhaltlichem Verständnis?
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Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Bedeutung der Unabhängigkeit
Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
Unabhängigkeit von 3 Ereignissen
Unabhängigkeit von n Ereignissen
Unabhängigkeit in Vierfeldertafel
A
A
B P(A) · P(B)
P(B)
B
P(B)
P(A)
P(A)
1
P(B) − P(A) · P(B) = P(B) [1 − P(A)] = P(B) · P(A)
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Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Bedeutung der Unabhängigkeit
Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
Unabhängigkeit von 3 Ereignissen
Unabhängigkeit von n Ereignissen
Unabhängigkeit in Vierfeldertafel
A
A
B P(A) · P(B) P(A) · P(B) P(B)
B P(A) · P(B) P(A) · P(B) P(B)
P(A)
P(A)
1
Aus der Unabhängigkeit für ein Pärchen“ folgt die
”
Unabhängigkeit für alle anderen.
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Bedeutung der Unabhängigkeit
Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
Unabhängigkeit von 3 Ereignissen
Unabhängigkeit von n Ereignissen
Beispiele und Gegenbeispiele
1. Zweimaliges Würfeln mit einem fairen Würfel
A – erster Wurf 6, B – zweiter Wurf 3
Unabhängigkeit als Modellierungselement:
Argumentation: Das Eintreten von A beeinflusst die Chancen
für das Eintreten von B nicht.
1 1
⇒ P(A ∩ B) = ·
6 6
Unabhängigkeit in einem Modell nachprüfen:
Ω = {(w1 , w2 ) : w1 , w2 ∈ {1, 2, . . . , 6}}
Annahme: gleichwahrscheinlich, |Ω| = 36
|A| = |B| = 6, |A ∩ B| = 1 ⇒ P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
⇒ A und B unabhängig
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Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Bedeutung der Unabhängigkeit
Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
Unabhängigkeit von 3 Ereignissen
Unabhängigkeit von n Ereignissen
2. Zweimaliges Würfeln mit einem fairen Würfel
A – Augensumme gerade, B – zweite Augenzahl gerade
Was sagt die Intuition?
Ω = {(w1 , w2 ) : w1 , w2 ∈ {1, 2, . . . , 6}}
Annahme: gleichwahrscheinlich, |Ω| = 36
P(A) =
18
36
, P(B) =
1
2
A ∩ B = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}
⇒ P(A ∩ B) =
9
36
=
1
4
= P(A) · P(B)
⇒ A und B stochastisch unabhängig,
obwohl reale gegenseitige Beeinflussung von A und B.
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Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Bedeutung der Unabhängigkeit
Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
Unabhängigkeit von 3 Ereignissen
Unabhängigkeit von n Ereignissen
3. Zwei Merkmale
In einem Kurs sind 80% Männer und 20% Frauen. Davon sind
15% Anfänger und 85% Fortgeschrittene. Ein Kursteilnehmer wird
zufällig ausgewählt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es eine weibliche
Anfängerin ist?
0, 20 · 0, 15?
Anfänger
weibl.
männl.
x
0, 15 − x
0, 15
0, 65 + x
0, 85
0, 80
1
Fortgeschr. 0, 20 − x
0, 20
unendlich viele Lösungen
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Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Bedeutung der Unabhängigkeit
Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
Unabhängigkeit von 3 Ereignissen
Unabhängigkeit von n Ereignissen
Test auf Unabhängigkeit
Verunglückte Verkehrsteilnehmer bei Verkehrsunfällen in Berlin von
Januar bis Juli 2006
Quelle: http://www.statistik-berlin.de/home.htm
unter 15 ab 15
√1
9106
männlich
369
4716
5085
weiblich
288
3733
4021
657
8449
9106
≈ 0, 01, sinnvoll runden
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Bedeutung der Unabhängigkeit
Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
Unabhängigkeit von 3 Ereignissen
Unabhängigkeit von n Ereignissen
unter 15 ab 15
männlich
0, 04
0, 52
0, 56
weiblich
0, 03
0, 41
0, 44
0, 07
0, 93
1, 00
0, 07 · 0, 56 ≈ 0, 04
Spricht für Unabhängigkeitsannahme
Frage: Wie große Abweichungen von der Produktformel sind noch
mit Zufallsschwankungen verträglich?
Typische Fragestellung bei statistischem Test.
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Bedeutung der Unabhängigkeit
Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
Unabhängigkeit von 3 Ereignissen
Unabhängigkeit von n Ereignissen
Was soll erfasst werden?
Information über das Eintreten von A beeinflusst unsere
Bewertung der Chancen für das Eintreten von B bzw. C
nicht.
Analog B und C . Kurz paarweise Unabhängigkeit:
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
P(A ∩ C ) = P(A) · P(C )
P(B ∩ C ) = P(B) · P(C )
Aber auch: Information über das Eintreten von A ∩ B
beeinflusst unsere Bewertung der Chancen für das Eintreten
von C nicht:
P((A ∩ B) ∩ C ) = P(A ∩ B) · P(C )
P(A ∩ B ∩ C )
= P(A) · P(B) · P(C )
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Bedeutung der Unabhängigkeit
Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
Unabhängigkeit von 3 Ereignissen
Unabhängigkeit von n Ereignissen
Definition: Vollständige Unabhängigkeit von drei Ereignissen
Drei Ereignisse A, B und C heißen (vollständig stochastisch)
unabhängig, falls die folgenden Produktformeln
P(A ∩ B)
P(A ∩ C )
P(B ∩ C )
P(A ∩ B ∩ C )
=
=
=
=
P(A) · P(B)
(1)
P(A) · P(C )
(2)
P(B) · P(C )
(3)
P(A) · P(B) · P(C ) (4)
gelten.
Weder die Gleichungen (1) bis (3) zusammen, noch die Gleichung
(4) alleine reichen aus für vollständige Unabhängigkeit.
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Bedeutung der Unabhängigkeit
Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
Unabhängigkeit von 3 Ereignissen
Unabhängigkeit von n Ereignissen
Verallgemeinerung der Überlegungen bei drei Ereignissen führen
zur Definition
Definition: Vollständige Unabhängigkeit von n Ereignissen
Die Ereignisse A1 , A2 , . . . , An heißen (vollständig stochastisch)
unabhängig, falls für jede Auswahl Ak1 , Ak2 , . . . , Akj mit
1 ≤ k1 < k2 < . . . < kj ≤ n die Produktformel
P(Ak1 ∩ Ak2 ∩ . . . ∩ Akj ) = P(Ak1 ) · P(Ak2 ) · . . . · P(Akj )
gilt.
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Bernoulli-Ketten
Überbuchungsproblematik
Unabhängige Experimente
Was heißt eigentlich unabhängige Wiederholungen eines
”
Experiments“ oder auch unabhängige Teilexperimente“?
”
Vorstellung: Gesamtexperiment besteht aus n Teilexperimenten.
Welche Eigenschaft müsste das Modell dieses Gesamtexperiments
haben, wenn die Teilexperimente unabhängig heißen sollen?
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Bernoulli-Ketten
Überbuchungsproblematik
Halbformale Definition: Unabhängigkeit von n Teilexperimenten
Teilexperimente heißen unabhängig, wenn beliebige Ereignisse, die
etwas über die Ausgänge verschiedener Teilexperimente aussagen,
unabhängig sind.
Wenn A1 zum ersten, A2 zum zweiten, ..., An zum n-ten von n
unabhängigen Teilexperimenten gehört, dann gilt die
Produktformel
P(A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An ) = P(A1 ) · (A2 ) · . . . · P(An ).
Genau diese Situation liegt bei Bernoulli-Ketten vor.
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Bernoulli-Ketten
Überbuchungsproblematik
Quelle: Mathematik. Band 2. Sachsen-Anhalt. Berlin: Cornelsen Verlag, 2005
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Bernoulli-Ketten
Überbuchungsproblematik
Was heißt in exakt gleicher Weise“
”
Warum wird der eingeführte Begriff Unabhängigkeit“ nicht
”
benutzt?
Bernoulli-Kette
Vorgänge mit zufälligem Ergebnis, bei denen nur zwischen Erfolg
(1) und Misserfolg (0) unterschieden wird, heißen
Bernoulli-Experimente oder Bernoulli-Versuche.
Wird ein Bernoulli-Experiment mit derselben
Erfolgswahrscheinlichkeit n mal unabhängig voneinander
ausgeführt, so entsteht eine Bernoulli-Kette der Länge n mit der
Erfolgswahrscheinlichkeit p.
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Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Bernoulli-Ketten
Überbuchungsproblematik
Jakob Bernoulli (1654-1705)
Ars conjectandi (1713)
Schweizer Briefmarke 1994
Quelle: www.fh-friedberg.de/.../marke04 09 bild01.jpg”
Bernoulli-Ketten als Rahmen für den Beweis des Gesetzes der
großen Zahlen
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Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Bernoulli-Ketten
Überbuchungsproblematik
Modell einer Bernoulli-Kette
Ergebnismenge: Ω = {(w1 , . . . , wn ) : wi ∈ {0, 1}}
Einzelwahrscheinlichkeiten:
P((w1 , . . . , wn )) = p Anzahl der Einsen ·(1−p)Anzahl der Nullen
Produktformel wegen Unabhängigkeit
Verteilung der Anzahl der Erfolge:
n k
P(genau k Erfolge) =
p (1 − p)n−k
k
Bernoulli-Experimente zeitlich parallel oder nacheinander
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Bernoulli-Ketten
Überbuchungsproblematik
Beispiele und Gegenbeispiele
Würfeln, Erfolg – 6
Ziehen mit Zurücklegen, Erfolg – rote Kugel
Tageshöchsttemperatur an aufeinanderfolgenden Tagen im
Juli in Berlin, Erfolg – Sommertag
Multiple-Choice-Test, Erfolg – richtige Antwort
Totoschein 13er-Wette, Erfolg – richtiger Tipp
kleine Stichproben ohne Zurücklegen aus großen
Grundgesamtheiten, Erfolg – Merkmal liegt vor
1000 Buchstaben eines Textes auswerten, Erfolg – Vokal
Elfmeterschüsse, Erfolg – Tor
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Bernoulli-Ketten
Überbuchungsproblematik
realer Vorgang als Bernoulli-Kette:
Unabhängigkeit der Teilvorgänge
gleichbleibende Erfolgswahrscheinlichkeit
in der Regel idealisierende Annahmen, deshalb Modellkritik
wichtig
aber
auch einfache Modelle können helfen Einsichten zu gewinnen
einfache Modelle als erster Schritt
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Bernoulli-Ketten
Überbuchungsproblematik
Einheitliche Prüfungsanforderungen in der Abiturprüfung –
”
Mathematik“ (Beschluss der KMK vom 24.05.2002):
Auf einer bestimmten Strecke verwendet eine Fluggesellschaft
Flugzeuge mit 100 Plätzen. Die Belegungsstatistik weist aus, dass
die Flüge auf dieser Strecke vorab stets ausgebucht sind. Allerdings
werden dann im Mittel 10% der gebuchten Plätze kurzfristig
storniert. Für die Fluggesellschaft ist die Anzahl der Passagiere von
Interesse, die bei Schließung der Passagierliste den Flug tatsächlich
antreten wollen.
a) Unter welchen Annahmen sind die möglichen Anzahlen dieser
Passagiere binomialverteilt?
Nennen Sie Fälle, in denen diese Annahmen nicht zutreffen.
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Bernoulli-Ketten
Überbuchungsproblematik
Im Folgenden wird angenommen, dass die möglichen Anzahlen
dieser Passagiere binomialverteilt sind. Durch eine Person, die
tatsächlich fliegt, nimmt die Fluggesellschaft 200 Euro ein, bei
einer Stornierung nur 100 Euro.
b) Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass beim
nächsten Flug
- genau 84 Plätze,
- höchstens 84 Plätze,
- mindestens 90 Plätze
tatsächlich genutzt werden?
Welche Einnahmen kann die Fluggesellschaft pro Flug
erwarten?
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Bernoulli-Ketten
Überbuchungsproblematik
Um die Flugzeuge besser auszulasten, bietet die Fluggesellschaft
stets 8% mehr Plätze als verfügbar zum Verkauf an. Da auch diese
Plätze alle im Voraus gebucht werden, geht die Fluggesellschaft
damit das Risiko einer Überbuchung ein.
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es zu
Überbuchungen kommt?
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Bernoulli-Ketten
Überbuchungsproblematik
d) Für jeden Fluggast, der wegen Überbuchung abgewiesen
werden muss, entstehen der Fluggesellschaft negative
Einnahmen (Unkosten) in Höhe von 1000 Euro. Wie groß sind
die Einnahmen der Fluggesellschaft, wenn bei Schließung der
Passagierliste genau 105 Personen den Flug antreten
möchten?
Formulieren Sie einen Term, mit dem sich berechnen lässt,
welche Einnahmen die Fluggesellschaft pro Flug erwarten
kann.
Erklären Sie die Bedeutung der auftretenden Teilterme.
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Verteilung einer Zufallsgröße
Erwartungswert von Zufallsgrößen
Modellierung mit Zufallsgrößen
Idee: Beschreibung von zahlenmäßigen Merkmalen, die mit einem
zufälligen Vorgang verbunden sind.
Sei (Ω, P) ein diskreter Wahrscheinlicheitsraum. Dann heißt jede
Funktion
X :Ω→R
eine Zufallsgröße (Zufallsvariable).
ω 7→ X (ω)
Der Zufall steckt im ω. Steht das Ergebnis ω des
Zufallsexperiments fest, dann steht auch der Wert X (ω) fest.
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Verteilung einer Zufallsgröße
Erwartungswert von Zufallsgrößen
Modellierung mit Zufallsgrößen
Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Die Funktion X transportiert“ die Wahrscheinlichkeitsverteilung P
”
auf die reelle Achse. Es entsteht die Verteilung von X :
Werte von X
P(X = xk )
x1 x2 . . . xr
p1 p2 . . . pr
Beispiel Binomialverteilung B(3; p)
X – Anzahl der Erfolge
X ((0, 1, 1) = 2
P(X = 2) = P({(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}) = 3 · p 2 (1 − p)
Allgemein
n k
P(genau k Erfolge) = P(X = k) =
p (1 − p)n−k
k
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Verteilung einer Zufallsgröße
Erwartungswert von Zufallsgrößen
Modellierung mit Zufallsgrößen
Zufallsgrößen ermöglichen eine natürliche und zweckmäßige
Darstellung von Ereignissen.
Beispiel Überbuchungsproblematik: Flugzeug hat 100 Plätze, 108
werden verkauft, 10% werden im Mittel storniert.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es zu Überbuchungen
kommt?
Was ist eine geeignete Zufallsgröße?
X – Anzahl der Buchungen, die in Anspruch genommen
werden
X ∼ B(108; 0, 9) gemäß Aufgabenstellung
Überbuchungswahrscheinlichkeit: P(X > 100)
Wenn die Verteilung von X klar ist, spielt der Abbildungscharakter
oft keine Rolle mehr.
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Verteilung einer Zufallsgröße
Erwartungswert von Zufallsgrößen
Modellierung mit Zufallsgrößen
E (X ) = x1 · p1 + x2 · p2 + . . . + xr · pr
Motivation dieser Definition?
Bezug zur Beobachtungsebene und x:
Die Zufallsgröße X wurde n-mal beobachtet.
Werte von X
rel. Häufigk.
Häufigkeitsvert.:
x1
x2
...
xr
hn (x1 ) hn (x2 ) . . . hn (xr )
arithm. Mittel:
x = x1 · hn (x1 ) + x2 · hn (x2 ) + · · · + xr · hn (xr )
stabile Werte:
x
x1 · p(x1 ) + x2 · p(x2 ) + · · · + xr · p(xr )
Deutung: E (X ) ist der stabile Wert des arithmetischen Mittels
aus vielen unabhängigen Beobachtungen der Zufallsgröße X .
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Verteilung einer Zufallsgröße
Erwartungswert von Zufallsgrößen
Modellierung mit Zufallsgrößen
Beispiel Bernoulli-Kette mit Parametern n, p
k-ter Einzelversuch:
0 falls k − ter Versuch Misserfolg
Xk =
1 falls k − ter Versuch Erfolg
E (Xk ) = p, Var (Xk ) = p(1 − p)
Die Zufallsgrößen Xk sind (vollständig) unabhängig!
Anzahl der Erfolge X = X1 + X2 + · · · + Xn
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Verteilung einer Zufallsgröße
Erwartungswert von Zufallsgrößen
Modellierung mit Zufallsgrößen
Ein Vorteil des Arbeitens mit Zufallsgrößen:
E (X )
= E (X1 ) + E (X2 ) + · · · + E (Xn ) = np
(wegen genereller Additivität)
Var (X ) = Var (X1 ) + Var (X2 ) + · · · + Var (Xn ) = np(1 − p)
(wegen Additivität bei Unabhängigkeit)
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Verteilung einer Zufallsgröße
Erwartungswert von Zufallsgrößen
Modellierung mit Zufallsgrößen
Fixpunkte zufälliger Permutationen
Möglicher Kontext: Julklapp
n Personen {1, 2, . . . , n}
Ergebnismenge Ω: Menge aller Permutationen von
{1, 2, . . . , n}
Gleichverteilung auf Ω, d.h. jede Permutation tritt mit der
1
auf
Wahrscheinlichkeit
n!
k ist Fixpunkt heißt: Person Nr. k erhält Geschenk Nr. k
X – Anzahl der Fixpunkte einer zufälligen Permutation
Beispiel: X ((1, 3, 2, 4)) = 2
Frage: Etwa wie viele Personen bekommen ihr eigenes Geschenk?
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Verteilung einer Zufallsgröße
Erwartungswert von Zufallsgrößen
Modellierung mit Zufallsgrößen
E (X ) = 1 · P(X = 1) + 2 · P(X = 2) + . . . + n · P(X = n) =?
Wir brauchen die (komplizierten) P(X = k) gar nicht!
Schlüssel: Additivität
des Erwartungswertes
1 k ist Fixpunkt
Hilfsgrößen: Xk =
0 k ist kein Fixpunkt
E (Xk ) = 1 · P(X = 1) =
1
n
X = X1 + X2 + . . . + Xn
E (X ) = E (X1 ) + E (X2 ) + . . . + E (Xn )
1 1
1
+ + ... + = 1
n n
n
Unabhängig von n im Mittel ein Fixpunkt.
E (X ) =
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Verteilung einer Zufallsgröße
Erwartungswert von Zufallsgrößen
Modellierung mit Zufallsgrößen
Beispiel (Gestalt einer Bernoulli-Kette und faires Spiel):
Karl und Karoline spielen ein Spiel, bei dem es kein Unentschieden
”
gibt und Karolines Gewinnchancen 0,6 betragen. Sie wollen das
Spiel 10mal spielen. Karoline überlegt: Am wahrscheinlichsten ist
”
es, dass ich 6 Spiele gewinne. Da ich bei jedem Spiel im Vorteil bin,
werde ich eher noch mehr als 6 Spiele gewinnen.“ Sie bietet Karl
eine Wette an: Wetten, dass ich mindestens 6 Spiele gewinne?“ ...
”
Karoline setzt 3 Euro. Wie viel sollte Karl dagegen setzen, damit
die Wette fair/gerecht ist?“
Quelle: Stochastik. Berlin: Volk und Wissen, 1997.
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Verteilung einer Zufallsgröße
Erwartungswert von Zufallsgrößen
Modellierung mit Zufallsgrößen
S – Sie gewinnt ein Spiel
Annahme: 10 unabhängige Spiele und immer P(S) = 0, 6
X – Anzahl der Siege von Karoline, X ∼ B(10; 0, 6)
E (X ) = 6 – wahrscheinlichster Wert, P(X ≥ 6) = 0, 633
N – Nettogewinn von Karoline, e – Karls Einsatz
Wert von N
−3
e
Wahrscheinlichkeit 0, 367 0, 633
Erwartungswert:
E (N) = −3 · 0, 367 + e · 0, 633 := 0
gerechter Einsatz: e = 1, 74 Euro.
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Verteilung einer Zufallsgröße
Erwartungswert von Zufallsgrößen
Modellierung mit Zufallsgrößen
Verdeckte Befragung (Randomized Response Technique)
Prozentsatz sozial unerwünschter, peinlicher oder strafbarer
Handlungen soll geschätzt werden
ehrliche Antworten auf direkte peinliche Fragen nicht zu
erwarten
S. L. Warner (1965): RRT, Idee: verstärke das Gefühl von
Anonymität
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Verteilung einer Zufallsgröße
Erwartungswert von Zufallsgrößen
Modellierung mit Zufallsgrößen
Verdeckte Befragung – Beispiel
Gesucht: Prozentsatz der Studierenden, die schon einmal bei
einer Prüfung betrogen haben
Befragungsdesign: 10 Kärtchen, davon 7 mit der Aufforderung
Sagen Sie Ja!“ (Typ A) und 3 mit der Frage Haben Sie
”
”
schon einmal bei einer Prüfung betrogen?“ (Typ B)
Die Kärtchen sehen auf der Rückseite gleich aus.
Die befragte Person zieht eine Karte.
Annahme: Die Befragten folgen der Aufforderung bzw.
antworten wahrheitsgemäß.
Was spricht dafür, dass Befragte bei dieser Form eher ehrlich
antworten?
Worin bestehen Nachteile dieses Verfahrens?
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Verteilung einer Zufallsgröße
Erwartungswert von Zufallsgrößen
Modellierung mit Zufallsgrößen
Verdeckte Befragung – Modell
π – Anteil der Typ-B-Karten, p – unbekannter Anteil der
Betrüger
P(Ja) = 1 − π + π · p
p̂ – Schätzwert für p aus einer großen Anzahl n von Befragten
hn (Ja) − 1 + π
Ansatz P(Ja) = hn (Ja) liefert p̂ =
π
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Verteilung einer Zufallsgröße
Erwartungswert von Zufallsgrößen
Modellierung mit Zufallsgrößen
Eigenschaften des Schätzers p̂
Arbeiten im Modell, Nutzen von Zufallsgrößen, Eigenschaften von
Erwartungswert und Varianz
p̂ ist eine Zufallsgröße, E (p̂) =?, Var (p̂) =?
E (p̂)
= E hn (Ja)−1+π
= E (hn (Ja))−1+π
π
π
hn (Ja)−1+π
Var (hn (Ja))
Var (p̂) = Var
=
π
π2
hn (Ja) =
Sn
n ,
Sn – Anzahl
1
E (hn (Ja)) = n E (Sn )
Var (hn (Ja)) = n12 Var (Sn )
der Ja-Antworten
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Experimenten
Zufallsgrößen
Verteilung einer Zufallsgröße
Erwartungswert von Zufallsgrößen
Modellierung mit Zufallsgrößen
Verteilung von Sn ?
Annahmen:
1. Befragungen der n Personen sind unabhängige Teilexperimente
2. Jede Person antwortet mit Wahrscheinlichkeit p auf eine
B-Frage mit Ja“
”
Dann Sn ∼ B(n, 1 − π + πp)
E (Sn ) = n(1 − π + πp),
Var (Sn ) = n(1 − π + πp)(π − πp) = nπ(1 − π + πp)(1 − p)
Einsetzen in die bereitgestellten Formeln liefert
E (p̂) = p
Var (p̂) =
p(1 − p) (1 − π)(1 − p)
+
n
πn
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Zufallsgrößen
Verteilung einer Zufallsgröße
Erwartungswert von Zufallsgrößen
Modellierung mit Zufallsgrößen
Diskussion der Eigenschaften des Schätzers
E (p̂) = p – im Mittel schätzen wir richtig
Var (p̂) =
p(1 − p) (1 − π)(1 − p)
+
n
πn
π = 1 bedeutet direkte Befragung
Varianz erhöht sich durch RRT
p, n fest: Erhöhung um so größer, je kleiner π
psychologisch gut ist π = 0, 5
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Verteilung einer Zufallsgröße
Erwartungswert von Zufallsgrößen
Modellierung mit Zufallsgrößen
Zahlenbeispiel
n = 200, π = 0, 5
h200 (Ja) − 0, 5
= 2 · h200 (Ja) − 1
0, 5
p(1 − p) 1 − p
1 − p2
1
Var (p̂) =
+
=
≤
200
200
200
200
Genauigkeit der Schätzung: σ(p̂) ≤ 0, 07
p̂ =
Beispiel: hn (Ja) = 0, 67 liefert p̂ = 2 · 0, 67 − 1 = 0, 34
mit mindestens etwa 68% Sicherheit enthält das Intervall
0, 34 ± 0, 07 das unbekannte p.
Literaturhinweis:
K.Krüger: Wahrheit oder Pflicht. In: mathematik lehren, Heft 125, August 2004
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Erwartungswert von Zufallsgrößen
Modellierung mit Zufallsgrößen
Sunday, November 16, 2008
Lieber Steini,
als wir dieses Wochenende ein Spiel namens Abenteuer Menschheit“ (ähnlich wie
”
Siedler von Catan“) spielten, beschwerte
”
sich mein kleiner Bruder ,dass mein Vater
viel mehr Karten bekam als er. Nach dem
Spiel berechnete ich aber die Wahrscheinlichkeit für jede Farbe (rot, orange, blau, weiß
) eine Karte zu bekommen (bei einen mal
würfeln, mit zwei Würfeln). Eine Karte bekommt man, wenn ein Stamm (sieht so aus,
wie eine Flamme; s. Bild) deiner Farbe an einem Feld steht, worauf die Zahl zusehen ist,
die gewürfelt wurde. Mein keiner Bruder hatte blau und mein Vater rot. Aber nach der
Ausrechnung kam raus, dass WEISS (Mama)
27 3
( 4 ) hatdie beste Wahrscheinlichkeit von 36
te und alle anderen Farben eine von 26
( 13 )
36 18
hatten, eine Karte bei einen mal würfeln
zu bekommen. Ab jetzt an, kann ich wegen
der Wahrscheinlichkeitsrechnung viel strategischer gegen meine Familie spielen.
Danke. Gruss Florian
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Zugehörige Unterlagen

Typische Klausuraufgaben 1: Kommentare

2.2.7. Beispiel: Paarweise Unabhängigkeit von Ereignissen.

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