2.2.7. Beispiel: Paarweise Unabhängigkeit von Ereignissen.

2.2.7. Beispiel: Paarweise Unabhängigkeit von Ereignissen. Sei (Ω, F, P) ein
Wahrscheinlichkeitsraum. Ereignisse A1 , A2 , . . . ∈ F sind paarweise (stochastisch)
unabhängig, wenn
P[Ak1 ∩ Ak2 ] = P[Ak1 ] · P[Ak2 ],
1 ≤ k1 < k2 < ∞.
(14)
Offensichtlich impliziert die Unabhängigkeit von Ereignissen ihre paarweise Unabhängigkeit. Wie das folgende Beispiel zeigt, gilt der umgekehrte Schluß nicht 1.
Wir betrachten den 2-fachen, unabhängigen Wurf einer fairen Münze, d.h., wir
arbeiten mit dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) mit
Ω = {0, 1}2 ,
1
P[{ω}] = ,
4
F = Pot(Ω),
ω ∈ Ω.
Für die Ereignisse
A=
2
{(1, 0), (1, 1)},
B=
3
{(0, 1), (1, 1)},
C=
4
{(0, 0), (1, 1)}
beobachten wir
P[A] = P[B] = P[C] =
1
,
2
(15)
1
= P[A] · P[C],
(16)
4
1
P[A ∩ B] = P[{(1, 1)}] = = P[A] · P[B],
(17)
4
1
P[B ∩ C] = P[{(1, 1)}] = = P[B] · P[C],
(18)
4
1
1
P[A ∩ B ∩ C] = P[{(1, 1)}] = 6= = P[A] · P[B] · P[C].
(19)
4
8
Die Beziehungen (16) - (18) zeigen, daß die Ereignisse A, B und C paarweise
unabhängig sind. Aufgrund von (19) sind sie allerdings nicht unabhängig.
P[A ∩ C] = P[{(1, 1)}] =
Bemerkung. Die Unabhängigkeit zweier Ereignisse bedeutet nicht, daß sie nichts
”
miteinander zu tun haben“. So sind wegen (16) die Ereignisse A und C zwar unabhängig, allerdings kann, wenn bekannt ist, daß A geschieht, das Ereignis C nur
eintreten, wenn der zweite Wurf Zahl“ , 1 ergibt 5.
”
1Beachte, daß die Ereignisse A , A , . . . unabhängig sind, wenn die in (14) beschriebene Fak1
2
torisierungseigenschaft nicht nur für zwei sondern für jeweils endlich viele A... ’s gilt, vgl. (13).
2A beschreibt das Ereignis, daß der erste Wurf Zahl“ , 1 ergibt.
”
3
B beschreibt das Ereignis, daß der zweite Wurf Zahl“ ergibt.
”
4
C beschreibt das Ereignis, daß die Ergebnisse der beiden Würfe übereinstimmen.
5Von einem intuitiven Standpunkt aus sind zwei Ereignisse D und E stochastisch unabhängig,
wenn das Wissen über das Eintreten von D (bzw. E) die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von
E (bzw. D) nicht ändert. Mathematisch rigoros bedeutet dies, daß
P[E|D] = P[E]
(bzw. P[D|E] = P[D]),
wobei P[E|D] die bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E unter der Bedingung D bezeichnet, vgl. . . . .
1