Studiengang: PT/LOT Semester: WS 10/11 Analysis IV

Studiengang:
PT/LOT
Analysis IV
Semester: WS 10/11
Serie 4
Thema: Partielle DGL,Besselfunktion, mehrdimensionale Fouriertransformation
1. Aufgabe
Wir betrachten die Funktion Φ (x, y) = ln (|~r − ~r0 |) , wobei ~r und ~r0 die Ortsvektoren zu
den Punkten P (x, y) und P0 (x0 , y0 ) der Ebene bezeichnen. Zeigen Sie
△Φ = 0, für ~r 6= ~r0
2. Aufgabe
Zeigen Sie, dass der zweidimensionale Laplace-Operator ∆ =
ist.
∂2
∂2
+
rotationsinvariant
∂x2 ∂y 2
Bemerkung:
Eine Drehung (Rotation) des Koordinatensystems in der Ebene um den Winkel ϕ wird
durch
!
!
!
x
cos (ϕ) − sin (ϕ)
u
=
y
sin (ϕ) cos (ϕ)
v
beschrieben. Es ist also
∂2Φ ∂2Φ
∂2Φ ∂2Φ
+
=
+
, zu zeigen.,wobei Φ (u, v) = Φ (x (u, v) , y (u, v))
∂x2 ∂y 2
∂u2 ∂v 2
3. Aufgabe
Wir betrachten eine Flüssigkeit (z.B. Wasser), die mit konstanter Geschwindigkeit c durch
eine horizontale Röhre fließt. Bezeichne u (x, t) die Konzentration einer mitgeführten Substanz (z.B. Schadstoff) am Ort x zum Zeitpunkt t. Vernachlässigt man die Diffusion, kann
man annehmen, daß auch diese Substanz mit der Geschwindigkeit c transportiert wird.
Demnach gilt für die Konzentration:
u (x, t) = u (x + c∆t, t + ∆t)
Zeigen Sie, daß u (x, t) die Differentialgleichung
c·
∂u
∂u
(x, t) +
(x, t) = 0
∂x
∂t
erfüllt.
4. Aufgabe
Wir betrachten das Rand-Anfangswertproblem für die Wellengleichung:
utt = c2 uxx
0≤x<∞
AB
:
u (x, 0) = ϕ (x)
RB
:
u (0, t) = 0
ut (x, 0) = ψ (x)
Lösen Sie das Problem unter Verwendung Reflektionsmethode, d.h. Sie setzen die Funktionen ϕ (x) und ψ (x) auf der reelle x-Achse ungerade fort und bestimmen die zugehörige
d’Alembertsche Lösung. der Wellengleichung. Die gesuchte Lösung ergibt sich dann
durch Einschränkung auf 0 ≤ x < ∞
1
5. Aufgabe
Zeigen Sie, dass die Wellengleichung folgende Invarianzeigenschaft hat:
a) Jede Translation u (x − x0 , t) mit festem x0 ist Lösung, wenn u (x, t) Lösung ist
∂u
b) Jede Ableitung, etwa
, einer Lösung ist wieder Lösung.
dx
c) Jede Streckung u (ax, at) einer Lösung ist wieder Lösung
6. Aufgabe
Lösen Sie Laplace-Gleichung ∆u = 0 in einer sphärischen Schale 0 < R0 < r < R1 unter
den Randbedingungen u (~x) = A für |~x| = R0 und u (~x) = B für |~x| = R1
7. Aufgabe
Die Funktion u (r, t) beschreibe eine sphärische Welle, d.h. sie erfüllt die dreidimensionalen
Wellengleichung utt = c2 △u, und ist nur vom Abstand r zum Ursprung und der Zeit t
abhängig. In Kugelkoordinaten nimmt daher der Laplace-Operator eine besonders einfache
Form an
"
1 ∂
∂u
△u = 2
r2
r ∂r
∂r
1 ∂
∂u
+
sin ϑ
sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
#
1 ∂2u
1 ∂
∂u
= 2
+
r2
2
2
sin ϑ ∂ϕ
r ∂r
∂r
Die sphärische Wellegleichung hat somit die Form
c2 ∂
∂u
utt = 2
r2
r ∂r
∂r
a) Wir betrachten die Funktion v (r, t) = r · u (r, t) ,
Zeigen Sie, daß v die Gleichung vtt = c2 vrr erfüllt.
b) Unter Verwendung der Lösung der Gleichung für v löse man die sphärische Wellengleichung.
8. Aufgabe
Man zeige
ν
Jν (x) + Jν′ (x) = Jν−1
x
9. Aufgabe
Zeigen Sie unter Verwendung von Aufgabe 8
a)
b)
[xν Jν (x)]′ = xν Jν−1 (x)
ν
ν
0 t Jν−1 (t) dt = x Jν (x)
Rx
10. Aufgabe
Man berechne lim
x→0
J1 (x)
x
11. Aufgabe
Beugung an einer Rechteckblende:
Seien x0 die Breite und y0 die Höhe einer Rechteckblende. Dann ist die Transmissionsfunktion
(
1 , |x| < x0 /2, |y| < y0 /2
t (x, y) =
0 ,
sonst
2
a)
Bestimmen Sie Fouriertransformierte T (kx , ky ) von t (x, y)
und stellen Sie das Ergebnis mittels der Spaltfunktion sinc(x) =
b)
Zur Berechnen der Beugungsmaxima, benötigt man die
Extremwertstellen der Spaltfunktion sinc(x)
Berechen Sie diese unter Verwendung des Newton Verfahrens
sin x
dar.
x
12. Aufgabe
Ein Schirm hat vier kreisförmige Löcher mit dem Radius r0 , die auf den Ecken eines
Quadrates mit der Seitenlänge 2a liegen. Es gilt r0 < a/3.
a)
b)
c)
Berechnen Sie das Beugungsbild des Schirms.
Im Zentrum des Quadrates wird ein 5. Loch mit dem
gleichen Radius r0 gebohrt. Wie änder sich das Beugungsbild?
Wie verändert sich das in Teil b) berechnete Beugungsbild,
wenn man die Amplitude des Lichts, das durch die Löcher an
den Ecken des Quadrates geht, um den Faktor 4 schwächt?
13. Aufgabe
Berechnen Sie die Beugungsfigur einer ellipsenförmigen Öffnung in einem Schirm.
Hinweis: Stellen Sie die Ellipse durch Streckung eines Kreises dar.
14. Aufgabe
Berechnen Sie die zweidimensionale Fourier-Transformationder der Funktion
circR (x1 , x2 ) =
(
1 , x21 + x22 ≤ R2
0 ,
sonst
Hinweis: Vgl. Vorlesung, Beugung an der Kreisblende
15. Aufgabe
Unter Verwendung des Ergebnisses aus Aufgabe 14 leite man die eindimenisionale FourierTransformation folgender Funktion her:
)
√
J1 (ωR)
R2 − x2 , |x| ≤ R
πR2 ·
0
, sonst
ωR
Hinweis. Wegen der Rotationssymmetrie kann ~k in Aufgabe 14 beliebig (also möglichst
geschickt) gewählt werden.
Lösungen:
Aufgabe 4: u (x, t) =
(
1
2
1
2
[ϕ (ct + x) − ϕ (ct − x)] +
[ϕ (x + ct) + ϕ (x − ct)] +
Aufgabe 6: u (~x) = B + (A − B)
1 R ct+x
2c Rct−x ψ (ξ) dξ
1 x+ct
2c x−ct ψ (ξ) dξ
R0 R1 − r
wobei r = |~x|
R1 − R0 r
, 0 < x < ct
,
x > ct
1
Aufgabe 7: b) u (r, t) = [f (r − ct) + g (r + ct)],wobei f, g beliebige 2x differenzierbare Funkr
tionen einer Variablen
Aufgabe 10:
1
2
3
Aufgabe 11: a)T (kx , ky ) = x0 y0 sinc kx x20 sinc ky y20
b) Extremwerte von x0 = 0; x1 = 4, 49; x2 = 7, 73, x3 = 10, 90, · · · , xn ≈ (2n + 1) π/2 für
n groß.
2J1
Aufgabe 13: TEll (kx , ky ) = πab
förmigen Öffnung beschreibt.
q
(akx )2 + (bky )2
q
(akx )2 + (bky )2
, wobei
2J1 (r0 k)
cos akx cos aky ,
r0 k
2J1 (r0 k)
b) T (kx , ky ) = 4πr02
[1 + 4 cos akx cos aky ]
r0 k
c) die ungradzahligen Maxima verschwinden.
Aufgabe 12: a) T (kx , ky ) = 4πr02
Aufgabe 14: circR (x1 , x2 )
πR2 ·
2J1 (kR)
kR , mit
4
k = ~k 2
ξ
a
k = ~k
+
2
η
b
= 1 die ellipsen-