1 Einleitung und Grundlagen - WWW-Docs for B-TU

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Einleitung und Grundlagen
Die Technische Mechanik I befasste sich im Wesentlichen mit Fragen der Statik, d.h. der
Lösung von Gleichgewichtsaufgaben. Viele technische Vorgänge sind aber nicht statisch
und können nur durch zeitveränderliche Größen beschrieben und verstanden werden. Die
Technische MechanikII behandelt daher dynamische Probleme und Schwingungen.
Das grundsätzliche Vorgehen in der Statik lässt sich auf die Dynamik übertragen und erweitern. Bei der Modellbildung wird das betrachtete technische System zunächst in Gleichungen überführt. Betrachtet man nur die Bewegung der Maschinenteile relativ zueinander und
vernachlässigt deren kleine Verformungen, kann man sich auf Methoden der Stereomechanik beschränken. Die Gleichgewichtsbedingungen der Statik werden dabei durch die
Axiome der Kinetik, den Impuls- und Drallsatz, ersetzt. Zuvor muss allerdings die Bewegung mit den Hilfsmitteln der Kinematik beschrieben werden.
Als Ergebnis der Modellbildung erhält man Bewegungsgleichungen in Form von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Im Allgemeinen können diese nur numerisch gelöst werden
und bilden die Grundlage des sogenannten Virtual Prototyping. Für bestimmte Problemstellungen wie Stoßaufgaben oder Energiemethoden ist die Integration jedoch allgemein
durchführbar und vereinfacht die Modellgleichungen. Auch für lineare Differentialgleichungen kann die Lösung geschlossen analytisch angegeben werden.
Wegen des analogen Vorgehens sind die in der Technischen Mechanik I entwickelten
Grundbegriffe und Lösungsstrategien auch Grundlage der Technischen Mechanik II, z.B.
Kraft, Moment, Kräftesystem, Kraftwinder, Bindung, Freischneiden, Schwerpunkt und Massenmittelpunkt sowie Haft- und Gleitreibung. Dazu kommen geschwindigkeitsabhängige
Elemente wie Dämpfer und Luftwiderstand.
Als mathematische Hilfsmittel werden zusätzlich zu der bereits in der Statik benutzten Vektoralgebra die Methoden der Differential- und Integralrechnung benötigt. Diese lassen sich
auf vektorielle und tensorielle Größen durch komponentenweise Anwendung erweitern. Neben den Vektoren spielen die Tensoren zur Beschreibung von Drehbewegungen und Trägheitseigenschaften von Körpern im Raum eine große Rolle. Ihre Koordinatendarstellung
führt auf eine 3×3−Matrix, die den üblichen Rechenregeln der Matrizenalgebra gehorcht.
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1 Einleitung und Grundlagen
1.1 Einordnung der Vorlesung
Einteilung der Technischen Mechanik nach Materialeigenschaften
Mechanik
Stereomechanik
Kontinuumsmechanik
Elastomechanik
Fluidmechanik
Plastomechanik
Einteilung der Technischen Mechanik nach physikalischen Vorgängen (Kirchhoff)
Mechanik
Kinematik
Dynamik
Statik
Kinetik
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1.2 Stereomechanik: Wiederholung und Ausblick
Mechanische Größen
Größe
Geometrische Darstellung
Koordinatendarstellung
(unabhängig vom Koordinatensystem)
(abhängig vom Koordinatensystem)
Skalar
einzelne Größe gekennzeichnet durch Zahl und Einheit
Bsp:
Zeit, Masse, Energie, Leistung,...
Notation: Klein− und Großbuchstaben
Vektor
gekennzeichnet durch Betrag und Richtung
Bsp: Lage, Geschwindigkeit, Beschleunigung,
Kraft, Moment, Impuls, Drall,...
3 Elemente
Notation: unterstrichene (oder fette) Klein− und
Großbuchstaben
z
x
y
Tensor
vermittelt lineare Abbildung zwischen zwei
Vektoren
Bsp: Trägheitstensor, Drehtensor,...
9 Elemente
Notation: doppelt unterstrichene (oder fette)
Großbuchstaben
z
y
x
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Kräfte und Momente
Eigenschaften:
Freischneiden:
Kraft ´ linienflüchtiger Vektor, Einheit 1[N] + ƪkgmńs 2ƫ
Moment ´ freier Vektor, Einheit [Nm]
Freistellen von Körpern oder Teilsystemen, Ersetzen der entfernten
Elemente durch äqivalente Schnittkräfte und -momente
Cy
Cx
F
Cy
Cx
F
Fc
Fc
G2
G1
R
N
Ax
Ay
Unterscheidung: eingeprägte Kräfte/Momente ´ physikalisches Gesetz
G Gewicht
G Feder
l0
G Drehfeder
s + l * l0
ö
G + mg
F + cs
l
M + cö
G Gleitreibung
v rel u 0
R + mN
(N)
Reaktionskräfte ´ Bindungskräfte
G feste Einspannung
Fy
G Haftreibung
v rel + 0
R
N
G Loslager
Fy
Mz
Fx
r
G Gelenklager
Fx
Fx
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Kräftesystem:
³
9
³
F1
³
Fn
O1
R
On
P
³
Mm
³
MP
³
M1
allgemeines Kräftesystem
äquivalenter Kraftwinder NJR, M PNj
³
X
mit
R + ȍ F i
n
³
³
i+1
n
³
MP +
ȍ rPOi
³
³
Fi )
i+1
³
³
R+0
³
³
Momentengleichgewicht: M P + 0
Mittelpunkte
Schwerpunkt und Massenmittelpunkt fallen
bei terrestrischen Problemen zusammen: m +
ŕ dm ,
1
r OC + m
³
B
zusammengesetzte Körper:
m+
ȍ mi ,
ŕ rdm
³
B
1
r OC + m
³
ȍ M j
m
j+1
Gleichgewichtsbedingungen
Kräftegleichgewicht:
³
ȍ rOCimi
³
³
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1 Einleitung und Grundlagen
1.3 Mathematische Hilfsmittel
Differentiation
Ableitung:
.
f (t ) Dt) * f (t)
f + d f (t) + lim Dt
dt
Dt³0
..
.
f + d f(t)
dt
Regeln
Linearität:
Produkt
Quotient
Verkettung
d ǒ f " g Ǔ + f. " g. , d ǒ cf (t) Ǔ + cf., c + const.
dt
dt
.
.
d ǒ fg Ǔ + fg ) fg
dt
.
.
f
f
g * fg
d
+
dt g
g2
d f ǒ g(t) Ǔ + ēf g. (t) + f Ȁǒ g(t) Ǔg. (t)
ēg g(t)
dt
ǒǓ
Ť
Integration
Stammfunktion:
unbestimmtes Integral:
.
F(t) ist Stammfunktion von f (t), wenn F(t) + f (t)
ŕ f (t)dt + F(t) ) c, c + const.
ŕ f (t)dt + F(b) * F(a)
b
Bereichsintegration:
a
Regeln
ŕ fdt + * ŕ fdt , ŕ fdt ) ŕ fdt + ŕ fdt
b
Bereich
a
a
b
Linearität
b
b
c
a
b
ŕ (f " g)dt + ŕ fdt " ŕ gdt
b
a
b
b
a
a
ŕ cfdt + c ŕ fdt, c + const.
b
a
ŕ fgdt + ǒfg Ǔ Ť * ŕ fgdt
b
Produkt
a
.
a
b
Substitution
b
b
a
a
g(b)
.
ŕ ƪf ǒg(t) Ǔg(t) ƫdt + ŕ
.
a
g(a)
f (u)du
c
a
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Vektoralgebra
Vektor x Ů 9 n :
ȱx 1ȳ
x +ȧL ȧ ,
Ȳxn ȴ
Matrix A Ů 9
ȱa11 AAA a1n ȳ
A +ȧL
L ȧ ,
AAA
a
Ȳ m1 amnȴ
m n
:
x T + ƪx 1AAAx nƫ ,
xi Ů 9 ,
a ij Ů 9 .
Elementare Operationen
Operation
Schreibweise
Komponenten
C +A)B
c ij + a ij ) b ij
Multiplikation
mit Skalar
C+mA
Transponieren
Differentiation
Addition
n
9m
n
³ 9m
n
c ij + m a ij
9
9m
n
³ 9m
n
C + AT
c ij + a ji
9m
n
³ 9n
m
C+ dA
dt
c ij + d a ij
dt
9m
n
³ 9m
n
y + Ax
Matrizenmultiplikation
Abbildung
yi +
9m
ȍ aik xk
9m
n
9n ³ 9m
ȍ aik bkj
9m
n
9n
k
C + AB
c ij +
p
³ 9m
k
Inneres Produkt
(Skalarprodukt)
a + xT y
Äußeres Produkt
(Dyadisches Produkt)
A + x yT
a+
ȍ xk yk
k
a ij + x i y j
9n
9m
9n ³ 9
9n ³ 9m
n
p
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Regeln
Addition:
A ) (B ) C) + (A ) B) ) C
A)B + B)A
Multiplikation mit Skalar:
a(AB) + (aA)B + A(aB)
a(A ) B) + aA ) aB
(A T) T + A
Transposition:
(A ) B) T + A T ) B T
(aA) T + aA T
(AB) T + B TA T
d (A ) B) + d A ) d B
dt
dt
dt
d (AB) + d A B ) A d B
dt
dt
dt
Differentiation:
ǒ Ǔ
Matrizenmultiplikation:
ǒ Ǔ
A(B ) C) + AB ) AC
A(BC) + (AB)C
AB 0 BAi. allg.
x Ty + y Tx
Skalarprodukt:
x Tx w 0ôx ,
x Tx + 0 à x + 0
x Ty + 0 à x, y orthogonal
Quadratische Matrizen
Einheitsmatrix
ȱ1
ȳ
E +ȧ ... ȧ
1ȴ
Ȳ
Inverse Matrix
A *1A + AA *1 + E
Orthogonale Matrix
A *1 + A T,
Symmetrische Matrix
A + AT
Schiefsymmetrische Matrix
A + * AT
speziell: 3
3 Matrix
³
³
ab ^
+ a
~
~
b
~
ab + * ba
~~
ab + ba T * (a Tb)E
X
(a~b) + ba T * ab T
A TA + AA T + E
ȱ 0 * a3 a2 ȳ
a +ȧ a 3
0 * a 1ȧ
Ȳ* a2 a1 0 ȴ
~
Rösselsprung
ȱa1ȳ
a +ȧa 2ȧ
Ȳa3ȴ