Kapitel VIII in pdf - Server der Fachgruppe Physik der RWTH Aachen

149
8
Mikroskopische Theorie der Supraleitung
In dieser Vorlesung sollen die Grundlagen der mikroskopischen Theorie der Supraleitung, der BCS-Theorie, behandelt werden und zwei spezielle Kapitel, Leitfähigeit und Eliashberg-Theorie, welche in die Technik der Greenschen Funktionen
für Supraleiter einführen.
8.1
Cooper-Instabilität
Cooper hat 1956 gezeigt, dass der Grundzustand eines Elektronengases mit beliebig schwacher attraktiver Wechselwirkung nicht durch eine Fermiverteilung
mit scharfer Fermikante beschrieben werden kann. Diese Entdeckung bildet die
Grundlage der BCS-Theorie, der ersten gültigen mikroskopischen Theorie der
Supraleitung. Diese Cooper-Instabilität kann man am einfachsten mit folgendem
künstlichen Modell verstehen: Man betrachtet eine Wechselwirkung, die konstant
und attraktiv ist für Elektronenzustände in einem endlichen Energiebereich oberhalb der Fermikante und sonst verschwindet, d.h. man verwendet eine HamiltonOperator der Form
H=
X
kσ
k c†kσ ckσ +
1 X
hk1 + q, k2 − q|V |k1 k2 ic†k1 +qσ1 c†k2 −qσ2 ck2 σ2 ck1 σ1 (8.1)
2 k k qσ σ
1 2
1 2
mit
(
v < 0 für F < k1 , · · · < F + h̄ωc
hk1 + q, k2 − q|V |k2 k1 i =
0
sonst
(8.2)
Beweis der Cooper-Instabilität: Sei
|F i =
Y
kσ,k ≤F
c†kσ |0i
(8.3)
der Fermi-Grundzustand, dann gilt
H|F i = H0 |F i = E0 |F i,
E0 =
X
k
(8.4)
kσ,k ≤F
Wir fügen nun zwei Elektronen mit entgegengesetztem Impuls und Spin hinzu
und definieren:
| − ~k ↓, ~k ↑i := c†−k↓ c†k↑ |F i,
(8.5)
8 Mikroskopische Theorie der Supraleitung
150
dann erhält man:
H| − ~k ↓, ~k ↑i = (2k + E0 )| − ~k ↓, ~k ↑i + v
mit
0
X
0
X
k0
| − ~k 0 ↓, ~k 0 ↑i
(8.6)
X
=
k
k,F <k ≤F +h̄ωc
Durch die Wechselwirkung wird das Paar | − ~k ↓, ~k ↑i in das Paar | − ~k 0 ↓
, ~k 0 ↑i gestreut. Dieser Zustand ist demnach kein Eigenzustand zu H. Um einen
Eigenzustand zu finden, machen wir den Ansatz:
| ↓, ↑i :=
0
X
k
g(~k)| − ~k ↓, ~k ↑i
(8.7)
mit noch zu bestimmender Funktion g(~k). Wir suchen eine Lösung von
H| ↓, ↑i = E| ↓, ↑i:
0
X
k1
g(~k1 )(2k1 + E0 )| − ~k1 ↓, ~k1 ↑i + v
=E
0
X
k3
0
X
g(~k1 )
k1
0
X
k2
| − ~k2 ↓, ~k2 ↑i
g(~k3 )| − ~k3 ↓, ~k3 ↑i
(8.8)
Durch Ausnützung der Orthonormalität der Zustände | − ~k ↓, ~k ↑i finden wir:
g(~k)(2k + E0 ) + v
0
X
g(~k1 ) = Eg(~k)
(8.9)
k1
Für eine konstante Wechselwirkung v lässt sich diese Integralgleichung leicht
lösen. Setzt man
0
X
g(~k1 )
(8.10)
C = −v
k1
dann ist
g(~k) =
C
,
2k + E0 − E
und für C 6= 0 gilt
1 = −v
0
X
k
C = −v
0
X
k
C
2k + E0 − E
1
2k + E0 − E
(8.11)
(8.12)
8.1 Cooper-Instabilität
151
Für ein diskretes k-Spektrum hat diese Eigenwert-Gleichung eine Unzahl von
Lösungen für E, die im Allgemeinen leicht verschobenen Zweiteilchen-Anregungsenergien entsprechen (das sieht man, wenn man die rechte Seite als Funktion von
E zeichnet). Wir suchen die Lösung mit E < E0 +2F , der Mindestenergie für zwei
zusätzliche Teilchen an der Fermikante. Wir setzen ξ = k − F , ∆E = E − (E0 +
2F ). Nach Umwandlung der k-Summe in ein Integral (N (F ) Zustandsdichte an
der Fermikante) erhalten wir
Z h̄ωc
1
1
h̄ωc − ∆E/2
1 = −vN (F )
dξ
= −vN (F ) ln |
|
2ξ − ∆E
2
−∆E/2
0
h̄ωc
1
, h̄ωc |∆E|
(8.13)
' −vN (F ) ln
2 | − ∆E/2|
Hier sieht man: eine Lösung exisitiert nur für v < 0. Die Auflösung nach ∆E < 0
liefert für die Energieabsenkung:
∆E = −2h̄ωc e−2/λ ,
E = E0 + 2F − 2h̄ωc e−2/λ
(8.14)
d.h., ein Paarzustand gebildet aus Elektronzuständen mit Wechselwirkung oberhalb der Fermikante hat niedrigere Energie als ein Zustand mit zwei zusätzlichen
Elektronen ohne Wechselwirkung an der Fermikante. Das hat die Konsequenz,
dass die Gesamtenergie des Elektronensystems abgesenkt wird, wenn man zwei
Elektronen direkt unterhalb der Fermikante in einen Paarzustand oberhalb der
Fermikante bringt. Damit ist die Instabilität der Fermiverteilung gegenüber einer
(beliebig kleinen) attraktiven Wechselwirkung für dieses Modell nachgewiesen.
Damit ist allerdings noch nicht gezeigt, was passiert, wenn sich mehrere Paarzustände bilden. Diese Paarbilding bildet die Grundlage der BCS-Theorie, bei der
man von einer Wechselwirkung ausgeht, die attraktiv oberhalb und unterhalb der
Fermikante ist.
Da exp(−2/λ) keine analytische Funktion von λ bei λ = 0 ist, kann man dieses
Resultat nicht durch eine störungstheoretische Entwicklung nach der Wechselwirkung v erhalten. Das ist sicherlich ein Grund dafür, warum es 50 Jahre nach der
Entdeckung der Supraleitung gedauert hat, bis eine gültige mikroskopische Theorie gefunden wurde.
Zwei Fragen stellen sich noch: 1. Warum paart man Elektronen mit entgegengesetztem Impuls? 2. Warum verwendet man entgegengesetzte Spins? Paart
man Elektronen mit einem endlichen Schwerpunktsimpuls q~, dann ist die EnergieAbsenkung durch die Paar-Wechselwirkung nicht so groß. Andererseits braucht
8 Mikroskopische Theorie der Supraleitung
152
man solche Paarzustände, um eine Zustand mit endlichem Suprastrom zu beschreiben. Die Antwort auf die zweite Frage ist nicht so offensichtlich. Auf den
ersten Blick spielt die Spinorientierung bei der Berechnung der Energieabsenkung
keine Rolle. Dass trotzdem eine Paarung mit parallelem Spin (für diese Form der
Wechselwirkung) nicht möglich ist, ist eine Konsequenz des Pauliprinzips. Das
sieht man folgendermaßen: Definiert man
| ↑, ↑i :=
0
X
k
g(~k)| − ~k ↑, ~k ↑i
(8.15)
dann erhält man für die Funktion g(~k) die gleiche Formel wie oben. Insbesondere
ist für eine konstante Wechselwirkung g(−~k) = g(~k). Andererseits gilt für den Zustand nach Konstruktion |− ~k ↑, ~k ↑i = −|+ ~k ↑, −~k ↑i. Deshalb ist g(~k) = 0. Für
eine k-abhängige Wechselwirkung der Form v(~k~k 0 ) mit v(−~k, −~k 0 ) = −v(~k, ~k 0 )
wäre auch g(−~k) = −g(~k), und damit eine Paarung mit parallelem Spin möglich.
Diese Art von Paarung findet man bei supraflüssigem
8.2
3
He.
BCS-Theorie
In der BCS-Theorie der Supraleitung verwendet man einen Hamilton-Operator
H=
X
kσ
k c†kσ ckσ +
1
2
X
k1 k2 qσ1 σ2
hk1 +q, k2 −q|V |k1 k2 ic†k1 +qσ1 c†k2 −qσ2 ck2 σ2 ck1 σ1 (8.16)
mit einer effektiven 2-Teilchen-Wechselwirkung, die attraktiv für Elektronenzustände in der Nähe der Fermikante ist, und zwar für Zustände oberhalb und unterhalb der Fermikante. Seit Cooper weiß man, daß die Fermiverteilung bei einer
attraktiven Wechselwirkung instabil gegenüber der Bildung von Paarzuständen
(~k ↑, −~k ↓) ist. Wir erwarten deshalb, daß Matrixelemente der Form hN −
2, G|ck2 σ2 ck1 σ1 |N, Gi im Grundzustand makroskopisch groß sind für k2 = −k1 , σ2 =
−σ1 . Die Existenz solcher Matrixelemente lässt sich am einfachsten im Rahmen
einer Hartree-Fock-änlichen Meanfield-Theorie behandeln. Zweckmäßig ist es außerdem, ein großkanonisches Ensemble zu verwenden, weil sich dann diese Matrixelemente, bei der die Teilchenzahl nicht erhalten ist, als Erwartungswerte
schreiben lassen. Man ersetzt K = H − µN durch den Meanfield-Operator
KM F =
X
kσ
ξk c†kσ ckσ +
X
k
(∆k c†−k↓ c†k↑ + ∆∗k ck↑ c−k↓ )
(8.17)
8.2 BCS-Theorie
153
Die Parameter dieses Meanfield-Hamiltonians lassen sich selbstkonsistent bestimmen, indem man je zwei Operatoren des ursprünglichen Hamilton-Operators
durch ihren Erwartungswert ersetzt. Berücksichtigt man nur die anomalen Erwartungswerte (der Rest ergibt Hartree-Fock-Korrekturen zu den EinteilchenEnergien), dann erhält man die Selbstkonsistenz-Gleichung:
X
V(k, k 0 )hck0 ↑ c−k0 ↓ i
(8.18)
∆k =
k0
mit
V(k, k 0 ) = h−k, k|V | − k 0 , k 0 i
(8.19)
ξk = k − µ
(8.20)
und
Die Details der Herleitung wollen wir hier nicht weiter diskutieren, da wir später
mit der Greenfunktions-Technik einen systematischeren Weg kennenlernen werden. Bevor wir den allgemeinen Fall mit der echten 2-Teilchen-Wechselwirkung
behandeln, wollen wir die Struktur der Anregungen mit Hilfe des MeanfieldHamiltonians analysieren. Dazu müssen wir KM F diagonalisieren, d.h. in folgende
Form bringen:
X
diag
†
KM
=
Ekσ γkσ
γkσ
(8.21)
F
kσ
Die Operatoren γkσ sind Linear-Kombinationen der urspünglichen elektronischen
Operatoren ckσ und müssen ebenfalls die Fermi-Vertauschungsregeln erfüllen. Die
eleganteste Weise, diese Diagonalisierung durchzuführen, besteht in der Analyse
der Bewegungsgleichungen der Operatoren. Für KM F in Diagonalform gilt:
diag
[KM
F , γkσ ] = −Ekσ γkσ
(8.22)
†
Hier kann Ekσ kann als Quasiteilchen-Energie interpretiert werden, γkσ
als Erzeuger für ein Quasiteilchen. In der ursprünglichen Form von KM F erhalten wir
für den Kommutator mit ck↑ :
[KM F , ck↑ ] = −ξk ck↑ + ∆k c†−k↓
(8.23)
Hier werden Operatoren mit entgegengesetztem Spin und Impuls gemischt. Für
den Kommutator mit c†−k↓ finden wir analog:
[KM F , c†−k↓ ] = +ξk c†−k↓ + ∆∗k ck↑
(8.24)
8 Mikroskopische Theorie der Supraleitung
154
Daher machen wir folgenden Ansatz für die Quasiteilchen-Operatoren
γ = xck↑ + yc†−k↓
(8.25)
[KM F , γ] = −λγ
(8.26)
und fordern
Mit dem obigen Ansatz finden wir
[KM F , γ] = x(−ξk ck↑ + ∆k c†−k↓ ) + y(ξk c†−k↓ + ∆∗k ck↑ )
= −λ(xck↑ + yc†−k↓ )
(8.27)
Vergleicht man die Koeffizienten der elektronischen Operatoren, dann erhält man
das folgende Gleichungssystem
(λ − ξk )x + ∆∗k y = 0
(8.28)
∆k x + (λ + ξk )y = 0
(8.29)
Die Eigenwerte sind
λ = ±Ek ,
Ek = +
q
ξk2 + |∆k |2
(8.30)
die zwei Lösungen für die Quasiteilchen-Operatoren sind:
1. λ1 = +Ek :
2. λ2 = −Ek :
γ1 = γk↑ = uk ck↑ − vk c†−k↓
(8.31)
†
γ2 = γ−k↓
= vk∗ ck↑ + u∗k c†−k↓
(8.32)
mit
ξk
1
1+
,
|uk | =
2
Ek
2
1
|vk | =
2
2
ξk
1−
Ek
,
uk v k =
∆k
2Ek
(8.33)
Wegen des Vorzeichens des Eigenwertes ist γ1 ein Vernichter, γ2 ein Erzeuger.
Die Bezeichung ist so gewählt, dass sie weit oberhalb der Fermikante mit der
Bezeichnung der Elektronen-Operatoren übereinstimmt.
Die Absolutwerte der Koeffizienten uk , vk sind durch die Forderung bestimmt
dass die Quasiteilchen-Operatoren Fermi-Vertauschungsregeln genügen müssen:
†
†
γkσ
γk0 σ0 + γk0 σ0 γkσ
= δkk0 δσσ0
(8.34)
γkσ γk0 σ0 + γk0 σ0 γkσ = 0
(8.35)
8.2 BCS-Theorie
155
Daraus folgt
|uk |2 + |vk |2 = 1
(8.36)
O.B.d.A kann uk reell und positiv gewählt werden. Die Phase von vk ist dann
durch die Phase von ∆k = |∆k | exp(ϕk ) bestimmt. Beachte: durch die Selbstkon-
sistenz-Gleichung sind die Phasen ϕk miteinander gekoppelt. Für s-Wellen-Supraleiter sind alle Phasen gleich. Für einen einzelnen Supraleiter (ohne äußeres Magnetfeld und Ströme) kann diese globale Phase Null gesetzt werden.
Im Allgemeinen kann die Transformation zwischen Elektronen-Operatoren
und Quasiteilchen-Operatoren in der kompakten Form geschrieben werden:
γkσ = uk ckσ − vk sign(σ)c†−k,−σ
(8.37)
†
ckσ = u∗k γkσ + vk∗ sign(σ)γ−k,−σ
(8.38)
Damit schreibt sich der MF-Hamiltonian
X
†
γkσ − 1)
KM F =
Ek (γkσ
(8.39)
kσ
Die Konstante (−1) wird meist weggelassen, da sie für das Anregungsspektrum
nicht von Bedeutung ist. In diesem Hamiltonian (der H − µN entspricht) kom-
men nur positive Energien Ek vor. Das sind die Energien der Quasiteilchen
(Einteilchen-Anregungen). Der Grundzustand ist ein Zustand ohne Anregungen,
d.h. ohne Quasiteilchen.
Das Anregungsspektrum ist in Fig. 8.1 für konstantes ∆ gezeigt. Es hat eine Energielücke von ∆ an der Fermikante. Fig. 8.1 zeigt auch die sogenannten Kohärenzfaktoren uk , vk . Für k-Werte weit oberhalb der Fermikante hat die
Anregung Teilchen-Charakter, für k-Werte weit unterhalb der Fermikante LochCharakter und in der Nähe der Fermikante gemischten Teilchen-Loch-Charakter
(genau so lassen sich auch Anregungen des Fermisees im Normalzustand charakterisieren, dann sind uk , vk Stufenfunktionen).
Berechnung der Ordnungsparameter-Funktion ∆k
Der Ordnungsparameter ∆k , der in diesem Fall (keine magnetischen Felder,
keine magnetischen Störstellen) auch die Energielücke bestimmt, erhält man aus
der Selbstkonsistenz-Gleichung
X
∆k =
V(k, k 0 )hck0 ↑ c−k0 ↓ i
(8.40)
k0
8 Mikroskopische Theorie der Supraleitung
156
Ek
εk- µ
∆
0
k
kF
vk2
1
u 2k
kF
k
Abbildung 8.1: Anregungsspektrum für Quasiteilchen und Kohärenzfaktoren im supraleitenden Zustand
Den Erwartungswert auf der rechten Seite berechnet man mit Hilfe des MFHamiltonians, der diagonal in den Quasiteilchen-Operatoren ist. Drückt man die
Elektron-Operatoren durch die QT-Operatoren aus und verwendet deren FermiStatistik:
†
< γkσ
γk0 σ0 >= δkk0 δσσ0 f (Ek ),
f (Ek ) =
1
eβEk
+1
< γkσ γk0 σ0 >= 0
(8.41)
(8.42)
dann findet man (wir beschränken uns im Folgenden auf reelle ∆k , uk , vk ):
†
†
< ck↑ c−k↓ >= −uk vk < γk↑ γk↑
> +uk vk < γ−k↓
γ−k↓ >= −uk vk (1 − 2f (Ek ))
(8.43)
oder
< ck↑ c−k↓ >= −
βEk
∆k
tanh
2Ek
2
(8.44)
Die Gap-Gleichung lautet dann
∆k = −
mit Ek =
X
k0
V(k, k 0 )
p
ξk2 + |∆k |2 , ξk = k − µ.
βEk0
∆k 0
tanh
0
2Ek
2
(8.45)
Diese Gleichung hat immer die triviale Lösung ∆k = 0. Dies entspricht dem
Normalzustand. Nichtriviale Lösungen sind möglich für tiefe Temperaturen, falls
die Wechselwirkung V(k, k 0 ) < 0 ist in der Nähe der Fermikante. Je nach Form
8.2 BCS-Theorie
157
und Symmetrie dieser Wechselwirkung findet man unterschiedliche Paarzustände
(s-Wellen, p-Wellen, d-Wellen-Paarung).
Das einfachste Modell erhält man für eine in einer Umgebung ±h̄ωc um die
Fermikante konstante attraktive Wechselwirkung (oder etwas allgemeiner: für eine
in ~k, ~k 0 faktorisierbare Wechselwirkung):
(
v < 0 für |ki − µ| < h̄ωc
(8.46)
V(k, k 0 ) =
0
sonst
Für eine durch Phononen induzierte Wechselwirkung entspricht der cut-off h̄ωc
der Debye-Energy. Dann lautet die Selbstkonsistenz-Gleichung
0
X
βEk0
∆
∆ = −v
tanh
2Ek0
2
0
(8.47)
k
Hier bedeutet der Akzent ein Abschneiden der Summe bei der Cut-off Energie.
Innerhalb diese Energiebereichs ist ∆ unabhängig von k, außerhalb Null. Eine
nichttriviale Lösung findet man offenbar nur für v < 0.
Wir nehmen an, dass die cut-off Energie klein gegenüber der Bandbreite der
Elektronenzustände ist und die Zustandsdichte der Elektronen in diesem Bereich
durch eine Konstante N (F ) approximiert werden kann, dann erhalten wir:
Z h̄ωc
βE(ξ)
1
1=λ
tanh
dξ
(8.48)
E(ξ)
2
0
p
mit E(ξ) = ξ 2 + ∆2 and λ = N (F )|v|. Diese Gleichung bestimmt ∆ als Funk-
tion von T (siehe Fig. 8.2).
In den folgenden beiden Fällen findet man eine analytische Lösung:
a) T = 0, ∆(T = 0) = ∆0 .
Dann ist
1=λ
Z
h̄ωc
0
1
dξ p
ξ 2 + ∆20
h̄ωc
q
2 2
= λ ln ξ + ξ + ∆0 (8.49)
0
Meist ist die cut-off Energie groß im Vergleich zu ∆0 . Dann gilt
2h̄ωc
1 = λ ln
∆0
(8.50)
woraus man den Gap-Wert bei T = 0 erhält:
∆0 = 2h̄ωc exp(−1/λ)
(8.51)
8 Mikroskopische Theorie der Supraleitung
158
∆(T)
∆0
Tc
Abbildung 8.2: Temperaturabhängigkeit der Energielücke
b) T → Tc , ∆ → 0.
In diesem Grenzfall gilt
1=λ
Z
h̄ωc
0
βc ξ
1
dξ tanh
ξ
2
(8.52)
mit βc = 1/(kB Tc ). Eine grobe Näherung für das Integral erhält man, wenn man
die tanh-Funktion durch eine Konstante für ξ > kB Tc approximiert:
Z h̄ωc
h̄ωc
1
)
1=λ
dξ = λ ln(
ξ
k B Tc
kB T c
(8.53)
Das exakte Resultat im Limes h̄ωc kB Tc ist
2γ h̄ωc
1 = λ ln(
)
(8.54)
π k B Tc
mit der Eulerschen Konstanten γ = 1.78. Dies ergibt den Wert von Tc :
1
(8.55)
kB Tc = 1.13h̄ωc exp(− )
λ
Man beachte, dass in der BCS-Theorie das Verhältnis 2∆0 /kB Tc = 3.54 unabhängig von den Material-Parametern ist. ∆0 kann nicht durch Störungstheorie
in v berechnet werden, weil das Resultat nicht-analytisch in v ist.
8.3
BCS-Theorie mit Greenschen Funktionen
Im Falle einer frequenzabhängigen Wechselwirkung, wie sie der Austausch von
Phononen darstellt, und bei Verunreinigungs-Streuung, kann man die elementaren Anregungen nicht mehr durch reelle Quasiteilchen-Energien ausdrücken. Zur
8.3 BCS-Theorie mit Greenschen Funktionen
159
Behandlung solcher Effekte braucht man eine Greenfunktions-Technik, die im
Folgenden eingeführt werden soll. Ein weiterer Vorteil dieser Methode ist, dass
wir nach Einführung sogenannter anomaler Greenfunktionen die Paarwechselwirkung störungstheoretisch als Selbstenergie berechnen können. Wir können damit
auf die Mean-field-Faktorisierung verzichten und diese durch eine Auswahl von
Graphen ersetzen.
Wir starten von der Einteilchen-Greenfunktion
G(k, t) = −iΘ(t)h[ck↑ (t), c†k↑ ]+ i = hhck↑ ; c†k↑ iit
und deren Laplace-Transformierten
Z ∞
dteizt G(k, t) = hhck↑ ; c†k↑ iiz ,
G(k, z) =
Imz > 0
(8.56)
(8.57)
0
Die Bewegungsgleichung hat im Frequenzraum die allgemeine Form
zhhA; Bii + hhLA; Bii = h[A, B]+ i
(8.58)
In unserem Fall ergibt der Kommutator mit dem Meanfield-Hamiltonian:
LM F ck↑ = [KM F , ck↑ ]− = −ξk ck↑ + ∆k c†−k↓
(8.59)
Die Bewegungsgleichung lautet damit (wir beschränken uns im folgenden auf
reelle ∆k :
(z − ξk )hhck↑ ; c†k↑ ii + ∆k hhc†−k↓ ; c†k↑ ii = 1
(8.60)
Damit koppelt die normale Greenfunktion an eine anomale Greenfunktion mit
zwei Erzeugern. Stellt man dafür die analoge Bewegungsgleichung auf, dann
erhält man:
LM F c†−k↓ = +ξk c†−k↓ + ∆k ck↑
(8.61)
(z + ξk )hhc†−k↓ ; c†k↑ ii + ∆k hhck↑ ; c†k↑ ii = 0
(8.62)
Hier wird man also wieder auf die normale Greenfunktion zurückgeführt. Durch
Einsetzen erhält man die Lösung:
hhck↑ ; c†k↑ ii =
z2
hhc†−k↓ ; c†k↑ ii = −
z + ξk
− ξk2 − ∆2k
z2
∆k
− ξk2 − ∆2k
(8.63)
(8.64)
8 Mikroskopische Theorie der Supraleitung
160
Kompakter lassen sich die Bewegungsgleichungen formulieren, wenn man die
Operatoren ck↑ , c†−k↓ zu einem Nambu-Spinor zusammenfaßt:
Ψk =
ck↑
c†−k↓
!
(8.65)
mit Ψ1k = ck↑ , Ψ2k = c†−k↓ und eine entsprechende Matrix-Greenfunktion definiert:
Ĝµν (k, z) = hhΨµk , Ψ†νk iiz
(8.66)
Der Meanfield-Hamiltonian läßt sich mit Hilfe der Pauli-Matrizen
1 0
0 1
1 0
τ0 =
, τ1 =
, τ3 =
,
0 1
1 0
0 −1
(8.67)
umschreiben in:
KM F =
X
k
ξk Ψ†k τ3 Ψk −
X
∆k Ψ†k τ1 Ψk
(8.68)
k
Damit erhält man die Bewegungsgleichungen in kompakter Form:
(zτ0 − ξk τ3 + ∆k τ1 )Ĝ(k, z) = τ0
(8.69)
mit der Lösung:
Ĝ(k, z) =
zτ0 + ξk τ3 − ∆k τ1
z 2 − ξk2 − ∆2k
(8.70)
Die oben hergeleitete normale Greensche Funktion ist die (11)-Komponente, die
anomale Greenfunktion die (21)-Komponente dieser Matrix. Alle Komponenten
p
haben Pole bei den Quasiteilchenenergien ±Ek , mit Ek = ξk2 + ∆2k , wobei ∆k
die Rolle einer Energielücke spielt.
Für die normale Greensche Funktion erhält man insbesondere die Partialbruch-Zerlegung:
G11 (k, z) =
mit
u2k
1
1
z + ξk
= u2k
+ vk2
2
2
z − Ek
z − Ek
z + Ek
1
ξk
=
1+
,
2
Ek
vk2
1
=
2
ξk
1−
Ek
(8.71)
(8.72)
Die Koeffizienten uk , vk sind ein Maß für den Teilchen- bzw. Loch-Charakter der
Anregung.
8.3 BCS-Theorie mit Greenschen Funktionen
161
Bisher haben wir nur die Bewegungsgleichungen für den Ersatz-Hamiltonian
untersucht. Im Folgenden soll nun die echte 2-Teilchen-Wechselwirkung verwendet werden. Von den Ergebnissen mit dem Ersatz-Hamiltonian übernehmen wir
nur die Struktur der Greenschen Funktionen, d.h, die Existenz einer anomalen
Greenschen Funktion mit Paarung zwischen Elektronen mit entgegengesetztem
Impuls und Spin.
Die Bewegungsgleichung für den echten Hamiltonian K = H − µN lautet (für
eine konstante Wechselwirkung v):
[K, ck↑ ]− = −(k − µ)ck↑ −
X
vc†k0 −qσ0 ck0 σ0 ck−q↑
(8.73)
k 0 qσ 0
Nähern wir diese in Meanfield-Manier, indem wir 2 Operatoren durch ihre Erwartungswerte ersetzen, dann finden wir:
[K, ck↑ ]− ' −(k − µ)ck↑ −
X
k0
vhc†k↓ ck0 ↓ ick↑ −
X
k0
vhc−k0 ↓ ck0 ↑ ic†−k↓
(8.74)
Durch Vergleich mit der entsprechenden Bewegungsgleichung für den ErsatzHamiltonian lassen sich die Parameter des letzteren selbstkonsistent bestimmen:
ξk = k − µ +
∆k =
X
k0
X
k0
vhc†k↓ ck0 ↓ i
(8.75)
vhck0 ↑ c−k0 ↓ i
(8.76)
Diese Herleitung ist etwas unbefriedigend, da wir eine unkontrollierte Näherung in der Bewegungsgleichung machen. Viel systematischer gehen wir vor,
wenn wir eine formale Entwicklung nach Feynman-Graphen in der 2-TeilchenWechselwirkung vornehmen und uns dann auf eine bestimmte Graphenklasse
konzentrieren.
Der Hamilton-Operator K = H − µN lautet in Nambu-Notation für eine
konstante Wechselwirkung:
K=
X
k
(k − µ)Ψ†k τ3 Ψk +
X
v Ψ†k1 +q τ3 Ψk1
k1 ,k2 ,q
Ψ†k2 −q τ3 Ψk2
(8.77)
Wir definieren die Matrix-Green-Funktion:
Ĝµν (k, τ ) = −hT Ψµk (τ )Ψ†νk (0)i
(8.78)
8 Mikroskopische Theorie der Supraleitung
162
und deren Fourier-Transformierte:
1
Ĝ(k, iωn ) =
β
Z
β
dτ eiωn τ Ĝ(k, τ )
(8.79)
0
Für die Zweiteilchen-Wechselwirkung soll im Folgenden die Selbstenergie Σ̂ berechnet werden. Mit dieser Selbstenergie erhalten wir eine Dyson-Gleichung für
die Nambu-Matrizen der Greenschen Funktion:
Ĝ = Ĝ0 + Ĝ0 Σ̂Ĝ
(8.80)
Ĝ−1 = Ĝ−1
0 − Σ̂
(8.81)
beziehungsweise
deren Struktur wir zunächst analysieren wollen. Für die Greensche Funktion ohne
Wechselwirkung Ĝ0 gilt:
Ĝ−1
0 = iωn τ0 − (k − µ)τ3
(8.82)
Die Selbstenergie zerlegen wir nach Anteilen der Pauli-Matrizen:
Σ̂ = Σ0 τ0 + Σ3 τ3 + Σ1 τ1
(8.83)
Damit erhalten wir
Ĝ−1 = (iωn − Σ0 )τ0 − (k − µ + Σ3 )τ3 − Σ1 τ1 = iω̃n τ0 − ξk τ3 + ∆(k, iωn )τ1 (8.84)
wobei ∆(k, iωn ) lediglich eine andere Bezeichnung für −Σ1 ist und iω̃n , ξk Abkürzungen für die entsprechenden Ausdrücke sind.
Zur Berechnung der Selbstenergie können wir die üblichen Feynman-Graphenregeln verwenden. Wir müssen nur an geeigneter Stelle die Nambu-Matrizen τi
einfügen. Wir beschränken wir uns hier auf die Berechnung der Hartree-Fockähnlichen Graphen (siehe Fig. 4.3c, die ersten beiden Diagramme). Der HartreeGraph, welcher die Wechselwirkung des propagierenden Teilchen mit der TeilchenDichte der anderen Teilchen enthält, ergibt im supraleitenden Zustand kein wesentlich anderes Ergebnis als im Normalzustand. Wir lassen diesen Beitrag hier
weg. Interessanter ist der Fock-Graph. Die Auswertung nach den Graphenregeln
ergibt
1 XX
Σ̂(k, iωn ) = −
vτ3 Ĝ(k 0 , iωm )τ3
(8.85)
β ω k0
m
8.3 BCS-Theorie mit Greenschen Funktionen
163
Setzen wir
τ3 Ĝ(k 0 , iωm )τ3 =
iω̃m τ0 + ξk0 τ3 + ∆(k 0 , iωm )τ1
(iω̃n )2 − ξk20 − ∆2 (k 0 , iωm )
(8.86)
in den Ausdruck für die Selbstenergie ein, dann stellen wir fest, daß die Beiträge zu
Σ0 verschwinden. Σ3 gibt nur einen kleinen konstanten Beitrag, der bei TeilchenLoch-Symmetrie ebenfalls verschwindet, d.h. ξk = k − µ. Für ∆ = −Σ1 erhalten
wir dagegen:
∆(k, iωn ) =
X 1X
∆(k 0 , iωm )
v
β ω (iωm )2 − ξk20 − ∆2 (k 0 , iωm )
k0
(8.87)
m
Dies ist die Selbstkonsistenz-Gleichung zur Bestimmung des Gap-Parameters
∆(k, iωn ).
Zunächst erkennen wir, daß ∆(k, iωn ) nicht von ωn abhängt. Bei konstanter Wechselwirkung V ist auch die k-Abhängigkeit nicht vorhanden, bis auf den
cut-off in der Wechselwirkung im k-Raum, den wir bei der Auswertung berücksichtigen müssen.
Auswertung der Frequenz-Summe mit Hilfe der Poissonschen Summenformel
ergibt
∆k = −
0
X
k0
v
βEk0
∆
tanh
2Ek0
2
(8.88)
wobei sich die Summe nur über Zustände mit |k −µ| < h̄ωc erstreckt. Damit sind
wir wieder bei bekannten Resultaten angelangt. Die Auswertung der Greenschen
Funktion im Nambu-Raum in Hartree- Näherung ist damit äquivalent zu der
vorher verwendeten MF-Näherung.
Alternativ können wir auch zunächst die Integration über ~k ausführen und
dann die Frequenz-Summation durchführen. Mit ∆n := ∆(iωn ) erhalten wir:
Z
1X
1X
∆m
∆m
∆n = −
=
−
v dξN (ξ) 2
vπN (F ) p
(8.89)
2
2
2 + ∆2
β ω
ξ + ωm + ∆m
β ω
ωm
m
m
m
Nun müssen wir einen cut-off in der Frequenz einführen. Mit |ωm | ≤ ωc erhalten
wir das gleiche Resultat für ∆ wie oben. Eine Verallgemeinerung dieser Formel
für eine frequenzabhängige Wechselwirkung (v(iωn −iωm ) mit frequenzabhängiger
Gap-Funktion werden wir in der Eliashberg-Theorie kennenlernen.
8 Mikroskopische Theorie der Supraleitung
164
8.4
Leitfähigkeit und Meißner-Effekt
Für ein elektrisches Feld der Form
~ x, t) = Ee
~ i~q~x−iωt
E(~
ist eine Leitfähigkeit definiert durch die Antwort des Stromes auf das elektrische
Feld
hJα (~x)it =
X
σαβ (~q, ω)Eβ (~x, t)
(8.90)
β
Für isotrope Systeme ist der Tensor diagonal. Da das elektrische Feld im Hamiltonian nicht direkt vorkommt, schreiben wir das um als Antwort auf die Potenziale.
~ x, t) = −∇Φ(~
~ x, t) − ∂ A(~
~ x, t)
E(~
∂t
(8.91)
~A
~ = 0 beschreibt der Gradient des Potenzials die longitudinale
In der Eichung ∇
Komponente, die Zeitableitung des Vektorpotenzials die transversale Komponente des elektrischen Feldes bezüglich des Wellenvektors ~q. Entsrechend unterscheidet man eine longitudinale und eine transversale Leitfähigkeit. Sei ~qkẑ, dann ist
hJx (~x)it = σT (~q, ω)Ex (~t) =: −K(~q, ω)Ax (~q, ω)
(8.92)
mit K(~q, ω) = −iωσT (~,ω). Es genügt hier die transversale Leitfähigkeit zu be-
trachten. Im Supraleiter beschreibt sie die Antwort auf ein zeitabhängiges magnetisches Feld und damit den Meißnereffekt, im Normalfall sind σT und σL gleich
für kleine q.
Ergebnisse:
Im normalen Metall erhalten wir für q → 0 ein Drude-Verhalten für die
Leitfähigkeit (τ Streuzeit)
σ(ω) =
τ
ne2
m 1 − iωτ
(8.93)
d.h. Limω→0 K(~q, ω) = 0. Im Supraleiter ist dagegen Limω→0 K(~q, ω) 6= 0) und
man erhält (für kleine q und ω) die London-Gleichung
~ x, t) = K(~q, ω)A(~
~ x, t) = − 1 A(~
~ x, t)
J(~
µ 0 λ2
(8.94)
Für ein Vektor-Potenzial, das langsam eingeschaltet wird und dann auf einem
konstanten Wert stehenbleibt, erhält man während des Einschaltvorgangs ein
8.4 Leitfähigkeit und Meißner-Effekt
165
elektrisches Feld und damit einen Induktionsstrom, der im Normalzustand während
der Zeit τ wieder abklingt. Im supraleitenden Zustand bleibt dagegen der induzierte Strom erhalten: man erhält einen Dauerstrom.
Da die London-Geichung insbesondere auch für ein zeitlich konstantes Feld
gilt, liefert sie den Meißnereffekt: ein magnetisches Feld wird teilweise aus dem
Supraleiter verdrängt. Das sieht man so: Mit Hilfe der Maxwell-Gleichung
~ ×B
~ = µ0 J
∇
erhält man aus der London-Gleichung
~ × (∇
~ × B)
~ =− 1B
~
∇
λ2
Für ein Feld in x-Richtung, das in z-Richtung variiert, erhält man
1
∂2
Bx (z) = 2 Bx (z)
2
∂z
λ
mit der Lösung für eine supraleitenden Halbraum z > 0
~ x) = B0 x̂e−z/λ
B(~
d.h. λ beschreibt die Eindringtiefe des magnetischen Feldes. Mit dem magnetischen Feld sind entsprechende Abschirmströme verknüpft.
1
ŷB0 e−z/λ
J~ = −
µ0 λ
Achtung: Ein Metall mit unendlicher Leitfähigkeit würde durch Induktion beim
Einschalten des Magnetifeldes nach der Lenzschen Regel ähnliche Abschirmströme erzeugen. Im Supraleiter findet die Feldverdrängung auch beim Abkühlen
im konstanten Feld (also ohne Induktion) beim Phasenübergang statt und ist
deshalb ein unabhängiger Effekt.
Als Ergebnis dieser Diskussion sehen wir, dass es sich lohnt, die ResponseFunktion K(~q, ω) genauer anzuschauen.
Response-Theorie:
Der Hamilton-Operator für Elektronen im Magnetfeld lautet:
Z
1 X
~ + eA(~
~ x, t))2 Ψ(~x)
d3 xΨ†σ (~x)(−ih̄∇
H =
2m σ
= H0 + H1 + H2
(8.95)
8 Mikroskopische Theorie der Supraleitung
166
~ Für den Strom-Operator erhalten wir:
dabei ist H1 linear, H2 quadratisch in A.
X
~ x) = −e
~ + eA)Ψ
~ σ (~x)
J(~
Ψ† (~x) −ih̄∇
2m σ σ
= ~jp (~x) + ~jd (~x)
(8.96)
mit der sogenannten paramagnetischen Stromdichte
X
† ~
†
~
~jp (~x) = eih̄
Ψσ (∇Ψ) − (∇Ψσ )Ψσ
2m σ
und dem diamagnetischen Anteil
2
~
~jd (~x) = − e A
m
X
σ
Ψ†σ Ψσ = −
e2 ~
A(~x, t)n(~x)
m
Bei der Berechnung des Stromes müssen wir beide Anteile berücksichtigen.
Für den diamagnetischen Anteil brauchen wir nur die Elektronendichte im Gleichgewichtszustand. Für den paramagnetischen Anteil müssen wir die Antwort auf
die Störung durch das Vektorpotenzial ausrechnen. Hier genügt uns der lineare
Term H1 als Störoperator, der sich durch den paramagnetischen Strom-Operator
ausdrücken lässt:
H1 = −
Z
~ x, t)
d3 x~jp (~x)A(~
(8.97)
Damit erhalten wir für den Strom-Response mit der anfangs genannten Orts- und
Zeitabhängigkeit
hJα (~q)it =
mit
i
χ(~q, ω) =
h̄
Z
X
β
χαβ (~q, ω) −
∞
dtei(ω+iδ)t
0
e2 n δαβ Aβ (~x, t)
m
1
h[jαp (~q, t), jβp (−~q, 0)]i
V ol
(8.98)
(8.99)
Drücken wir die Strom-Suszeptiblität durch die entsprechende retardierte GreenFunktion aus, dann erhalten wir schließlich für isotrope Systeme:
K(~q, z) = [
1
e2 n
jx (~q); jx (−~q) z +
]
V ol
m
(8.100)
Im Normalzustand wird der konstante diamagnetische Term e2 n/m durch einen
gleich großen konstanten Term in der Korrelationsfunktion gerade kompensiert.
Das ist nicht so im supraleitenden Zustand.
8.4 Leitfähigkeit und Meißner-Effekt
167
Berechnung der Strom-Korrelationsfunktion im Normalzustand
Im Falle ~q = 0 erhält man:
jα (0) =
−eh̄ X
kα c†kσ ckσ
m
(8.101)
kσ
Wir wollen die Leitfähgikeit für ein System mit statistisch verteilten Verunreinigungen berechnen. Durch die Streuung an Verunreinigungen ist die EinTeilchen-Greenfunktion nicht mehr diagonal in ~k. Durch Mittelung über die Position der Verunreinigung wird die Translationsinvarianz wieder hergestellt und
wir erhalten
1
¯0
G(~k, ~k , iωn )= δk,k0 G(~k, iωs ) =
(8.102)
iωn + iγs(n) − ξk
mit ξk = k − µ, γ = 1/2τ = πN (F )V 2 bei Streuung in Bornscher Näherung an
einem punktförmigen Störstellenpotenzial V und s(n) := sign(ωn ).
Eine analoge Näherung machen wir auch bei der Berechnung der Strom-
Korrelationsfunktion und erhalten dann (bei Vernachlässigung der Vertex-Korrekturen):
1
jx (~q); jx (−~q) iωs
V ol
e2 1 X 2 X 2 ~
k G(k, iωn + iωs )G(~k, iωn )
≈
m2 β ω V ol k z
Π(iωs ) =
(8.103)
n
einen ganz ähnlichen Ausdruck wie die Dichte-Korrelations-Funktion. Im Folgenden werden wir unter dem Integral kx2 durch k 2 /3 ersetzen und die k-Summe
durch ein Integral über die Energie ξk ersetzen.
Am einfachsten wäre es, wenn wir zuerst über ξk integrieren. Das ist aber
gefährlich, wenn wir dabei die Integration von −∞ bis +∞ erstrecken wegen der
schlechten Kovergenz des Integrals. Das sieht man an folgendem Beispiel:
Z
1X
1
(8.104)
dξ
β ω
(iωn − ξ)2
n
Wenn wir zuerst über ξ integrieren, erhalten wir 0, weil die Pole auf der gleichen
Seite der rellen Achse liegen. Summieren wir zuerst über ωn , dann erhalten wir
mit der Poissonschen Summenregel:
Z
Z
1
1
1X
1X
dξ
dξ
= lim
2
→0 β
β ω
(iωn − ξ)
(iωn − ξ − )(iωn − ξ + )
ωn
n
Z
f (ξ + ) − f (ξ − )
= −1
(8.105)
= lim dξ
→0
2
8 Mikroskopische Theorie der Supraleitung
168
und sehen gleichzeitig, dass nur das Verhalten an der Fermikante wichtig ist.
Korrekt ist es, wenn wir zuerst über ωn summieren. Das ist umständlich bei
endlicher Verunreinigungsstreuung. Wir können das umgehen, indem wir in dem
Integranden einen Term mit dem gleichen asymptotischen Verhalten subtrahieren
und dessen exaktes Ergebnis wieder dazu adddieren.
2e2 kF2
Π(iωs ) =
N (F )
3m2
Z
h1 X
1
dξ
β ω
(iωn + iωs + iγs(n + s) − ξ)(iωn + iγs(n) − ξ)
n
i
1
−
−1
(8.106)
(iωn − ξ)(iωn − ξ)
Dann können wir sorglos zuerst über ξ mit dem Residuensatz integrieren und
erhalten mit (für ωs > 0)
XZ
1
dξ
(iωn + iωs + iγs(n + s) − ξ)(iωn + iγs(n) − ξ)
ωn
X
1
iωs
=
2πi
=
(8.107)
iωs + 2iγ
iωs + 2iγ
−iω <ω <0
s
n
das Resultat:
Π(iωs ) =
h iω
i
2e2 kF2
s
N
(
)
−
1
F
3m2
iωs + 2iγ
(8.108)
h ω
i
2e2 kF2
N
(
)
−
1
F
3m2
ω + i/τ
(8.109)
oder nach analytischer Fortsetzung auf die reelle Achse (von oben):
Π(ω) =
Nun ist N (F ) = mkF /2π 2 , n = kF3 /3π 2 , damit ist der Vorfaktor genau
2e2 kF2
e2 n
N
(
)
=
F
3m2
m
(8.110)
und hebt den diamagnetischen Term weg. Für die Response-Funktion erhalten
wir damit
K(0, ω) =
e2 n ω
,
m ω + i/τ
σ(ω) =
ne2 τ
1
m 1 − iωτ
Berechnung der Strom-Korrelationsfunktion im supraleitenden Zustand
Zunächst ohne Verunreinigungsstreuung für ω = 0, ~q = 0:
(8.111)
8.4 Leitfähigkeit und Meißner-Effekt
169
Wir schreiben den Strom-Operator für q~ = 0 im Nambu-Raum:
jα (0) =
−eh̄ X
−eh̄ X
kα c†kσ ckσ =
kα Ψ† (~k)τ0 Ψ(~k)
m kσ
m k
(8.112)
Dann erhalten wir für die Strom-Korrelationsfunktion bei der Frequenz iωs = 0:
Π(0) =
e2 1 X 2 X 2
~k, iωn )G11 (~k, iωn ) + G12 (~k, iωn )G21 (~k, iωn )
k
G
(
11
3m2 β ω V ol k
n
(8.113)
Mit Hilfe der Partialbruch-Zerlegungen
G11 (~k, iωn ) = u2k
1
1
+ vk2
iωn − Ek
iωn + Ek
1
1
+ uk vk
iωn − Ek
iωn + Ek
und mit Hilfe der Poissonschen Summenformel
G12 (~k, iωn ) = −uk vk
(8.114)
(8.115)
1X
1
1
1X
= lim
β ω (iωn − Ek )(iωn − Ek ) →0 β ω (iωn − Ek − )(iωn − Ek + )
n
n
∂f (Ek )
f (Ek + ) − f (Ek − )
=
= lim
→0
2
∂Ek
(8.116)
und ähnlichen Termen erhalten wir das einfache Resultat (die uk , vk kombinieren
sich zu 1)
2e2 1 X ∂f (Ek )
Π(0) =
(8.117)
3m2 V ol k ∂Ek
und damit
Z
e2 n
∂f (E) K(0, 0) =
1 + dξ
m
∂E
Z ∞
2
en
E
∂f (E) =
1−2
dE √
(−
)
(8.118)
m
∂E
E 2 − ∆2
∆
√
ausgedrückt durch die Tunnel-Zustandsdichte Ns (E) = (Re)E/ E 2 − ∆2 . Bei
T = 0 ist der zweite Term 0. Bei T → Tc verschwindet der gesamte Ausdruck.
Der Term in der Klammer kann auch als temperaturabhägige Kondensat-dichte
interpretiert werden
e2 ns (T )
1
K(0, 0) =
=
(8.119)
m
µ0 λ2 (T )
Damit erhalten wir die Temperaturabhängigkeit der magnetischen Eindringtiefe.
8 Mikroskopische Theorie der Supraleitung
170
Bei Streuung an statistisch verteilten Verunreinigungen ändert sich an dem
Verhalten der Strom-Korrelationsfunktion qualtiativ nichts. Zur Berechnung müssen
wir die Greenschen Funktionen mit Verunreinigungsstreuung verwenden:
˜ n τ1
iω̃n τ0 + ξk τ3 − ∆
Ĝ(~k, iωn ) =
˜2
(iω̃n )2 + ξk2 + ∆
n
(8.120)
mit
iωn
˜ = ∆ + γp ∆
ω̃n = iωn + γ p
, ∆
ωn2 + ∆2
ωn2 + ∆2
dann können wir nicht mehr so leicht zuerst die ωn -Summe ausführen. Bei Ingegration über ξk erhalten wir
X
∆2
e2 n
p
(8.121)
πT kB
K(0, 0) =
m
(ωn2 + ∆2 )( ωn2 + ∆2 + γ)
ωn
8.5
Elektron-Phonon-Wechselwirkung in Metallen
Zunächst leiten wir einen Ausdruck für die Elektron-Phonon-Wechselwirkung in
Metallen her. Wir betrachten dabei insbesondere einatomige Metalle.
Wir starten mit der Wechselwirkung der elektronischen Dichte mit dem Potenzial der Ionen-Rümpfe in Feld-Darstellung
XZ
XZ
3
~ l )n(~x) =
~ l )Ψσ (~x) (8.122)
Hion,el =
d xU (~x − X
d3 xΨ†σ (~x)U (~x − X
l
σl
~ l , dann bilden Sie
Befinden sich die Ionen in ihren Gleichgewichtspositionen R
ein periodisches Potenzial für die Leitungselektronen, das deren Bandstruktur
bestimmt. Zur eigentlichen Elektron-Phonon-Wechselwirkung tragen deshalb nur
die Verschiebungen der Potenziale bei. Entwickeln wir das Potenzial bis zur 1.
~l − R
~ l =: ~ul :
Ordnung in den Auslenkungen X
~ l ) − U (~x − R
~ l) ' ∇
~ l U (~x − R
~ l )~ul = −∇
~ x U (~x − R
~ l )~ul
U (~x − X
dann erhalten wir für die Elektron-Phonon-Wechselwirkung:
XZ
~ (~x − R
~ l )~ul Ψ (~x)
Hep = −
d3 xΨ†σ (~x)∇U
σ
(8.123)
(8.124)
lσ
Zur weiteren Analyse zerlegen wir die elektronischen Feldoperatoren nach
Bloch-Funktionen
X
Ψσ (~x) =
ϕnk (~x)cnkσ
(8.125)
nk
8.5 Elektron-Phonon-Wechselwirkung in Metallen
171
und die ionischen Auslenkungen nach Phononen-Operatoren:
X
1
~
~ul =
(
)1/2~e(qλ)ei~qRl Aqλ
2N M ωqλ
qλ
(8.126)
mit Aqλ = bqλ + b†−qλ . Setzt man diese Ausdrücke in Hep ein, dann erhält man:
XXZ
XX
~ (~x − R
~ l )ϕnk (~x)
ϕ∗n0 k0 (~x)∇U
d3 x
Hep = −
σl
× (
n0 k 0 nk
qλ
1
~
)1/2~e(qλ)ei~qRl Aqλ c†n0 k0 σ cnkσ
2N M ωqλ
(8.127)
Dabei sollen sich die Frequenzen und Operatoren der Phononen auf die realen
Phononen im Metall beziehen, deren dynamische Matrix eine durch die Leitungselektronen abgeschirmte ionische Wechselwirkung enthält. Geht man von einem
Ionensystem ohne die Leitungselektronen aus, dann erhält man als Eigenschschwingungen ionische Plasmaschwingungen. Realistische akustische Phononen,
deren Frequenz für ~q → 0 verschwindet, erhält man erst durch die elektronische
Abschirmung (siehe z.B. Schrieffer, Superconductivity).
Das elektronische Matrixelement kann man noch weiter auswerten, wenn man
die elektronischen Wellenfunktionen in ebene Welle und gitterperiodischen Anteil
zerlegt:
~
ϕnk (~x) = eik~x unk (~x),
(8.128)
dann findet man:
Z
Z
~ (~x − R
~ l )ϕnk (~x)
d3 xϕ∗n0 k0 (~x)∇U
~ (~x − R
~ l )unk (~x)e−i~k0 ~x+i~k~x
d3 xu∗n0 k0 (~x)∇U
Z
~l
−i(~k 0 −~k)R
~ (~x)unk (~x)e−i(~k0 −~k)~x
= e
d3 xu∗n0 k0 (~x)∇U
=
Die Ausführung der Gittersumme ergibt:
X ~
~0 ~ ~
ei~qRl e−i(k −k)Rl = N ∆(~q − ~k 0 + ~k)
(8.129)
(8.130)
l
mit ∆(~q) = 1, falls q~ reziproker Gitter-Vektor, ∆(~q) = 0 sonst. Damit erhält man
schließlich
Hep = −
X
kk 0 σqλ
N
Z
~0
~
~ (~x)unk (~x)e−i(k −ik)~x
d3 xu∗n0 k0 (~x)∇U
1
∆(~q − ~k 0 + ~k)Aqλ c†n0 k0 σ cnkσ
× ~e(~qλ) p
2N M Ωqλ
(8.131)
8 Mikroskopische Theorie der Supraleitung
172
Hier sieht man, dass die Elektron-Phonon-Wechselwirkung bis auf Umklapp-Prozesse den Impuls erhält, d.h. der Impuls ~q wird von dem Phonon auf das Elektronensystem übertragen.
Beschränkt man sich auf ein Band und ebene Wellen für die Leitungselek√
tronen (d.h. setzt unk (~x) = 1/ V ol und vernachlässigt Umklapp-Prozesse, dann
vereinfacht sich das Matrixelement noch weiter und läßt sich durch die Fouriertransformierte U (~q) des Potenzials ausdrücken:
Z
Z
3
−i(~k 0 −~k)~
x~
~ −i~k0 −~k)~x U (~x) = i(~k 0 − ~k)U (~k 0 − ~k) (8.132)
d xe
∇U (~x) = − d3 x∇e
Damit erhält man schließlich für die Elektron-Phonon-Wechselwirkung:
Hep = √
1 X
gk+q,k (~qλ)Aqλ c†k+qσ ckσ
V ol kqλ
mit
gk+q,k (~qλ) = g(~qλ) = −i~q~e(~qλ)U (~q)
und der Massendichte ρ = M N/V ol.
1
N
p
V ol 2ρωqλ
(8.133)
(8.134)
Man sieht, dass in dieser Näherung nur longitudinale Phononen ankoppeln.
Das liegt aber u. a. an den vernachlässigten Umklapp-Prozessen. Man könnte
meinen, dass die Elektron-Phonon-Wechselwirkung wegen der Singularität des
Coulomb-Potenzials, U (~q) ∼ 1/q 2 bei kleinen q-Werten besonders groß ist. In
der hier verwendeten Theorie der renormierten Phononen werden alle Potenziale
durch die Elektronen abgeschirmt. Daher ist die nackte Coulomb-Wechselwirkung
durch eine abgeschirmte Wechselwirkung U (~q) → U (~q)/(~q) zu ersetzen. Für
√
akustische Phononen mit ωq ∼ q wird dann g(q) ∼ q.
8.6
Berechnung der elektronischen Selbstenergie im Normalzustand
Zunächst wollen wir als Vorbereitung auf die Behandlung der Elektron-PhononWechselwirkung im supraleitenden Zustand die elektronische Selbstenergie im
Normalzustand berechnen. In 2. Ordnung in der Elektron-Phonon-Wechselwirkung
ist diese durch den Graphen in Fig. gegeben:
1
Σ(~k, iωn ) = −
β
X 1 X
|g(~q, λ)|2 G(~k − q~, iωm )D(~qλ, iωn − iωm )
V ol qλ
ω
m
(8.135)
8.6 Berechnung der elektronischen Selbstenergie im Normalzustand
173
Dabei ist
D(~qλ, iωs ) = Aqλ ; A−qλ 1
1
2ωqλ
=
−
=
iωs − ωqλ iωs + ωqλ
(iωs )2 − ωqλ
(8.136)
der Propagator für ein Phonon mit Wellenvekor ~q und Polarisation λ, ωs ist eine
gerade Matsubara-Frequenz. Im Folgenden werden lassen wir den Polarisationsindex weg.
Die Poisson-Summen über die ungerade Matsubara-Frequenz ωm lassen sich
leicht ausführen:
1
f (k−q − µ) − f (iωn ∓ ωq )
1
1X
=
(8.137)
β ω iωm − k−q + µ iωn − iωm ∓ ωq
iωn − k−q + µ ∓ ωqλ
m
Mit exp(iωn ) = −1 folgt
(
1 + n(ωqλ )
f (iωn ∓ ωqλ ) =
−n(ωqλ )
(8.138)
mit der Bosefunktion n(x) = 1/(exp(βx) − 1). Damit erhält man für die Selbstenergie der Elektronen:
1 + nq − fk−q
nq + fk−q
1 X
|g(~q)|2
+
(8.139)
Σ(~k, iωn ) =
V ol q
iωn − k−q + µ − ωq iωn − k−q + µ + ωq
die Terme der Selbstenergie entsprechen den 4 verschiedenen Streuprozessen in
Fig. von Elektronen mit Erzeugung und Vernichtung von Phononen mit Wellenvektor ±~q. Das wir deutlicher, wenn wir die Zähler in der Form
1 + nq − fk−q = (1 + nq )(1 − fk−q ) + nq fk−q ,
nq + fk − q = (1 + nq )fk−q + nq (1 − fk−q )
(8.140)
schreiben und den Imaginärteil der Selbstenergie betrachten, welche zu einer endichen Lebensdauer des Elektronenzustandes ~k führt. Hierzu tragen nur reelle
Prozesse mit Energie-Erhaltung bei:
1 X
−=Σ(~k, ω + iδ) =
|g(~q)|2
V ol q
h
(1 + nq )(1 − fk−q ) + nq fk−q δ(ω − k−q + µ − ωq )
i
(1 + nq )fk−q + nq (1 − fk−q ) δ(ω − k−q + µ + ωq )
(8.141)
8 Mikroskopische Theorie der Supraleitung
174
Für ω = k − µ beschreibt der erste Prozess eine Streuung des Elektrons von ~k
nach ~k−~q mit Erzeugung eines Phonons. Dieser Prozess ist nur möglich, wenn der
elektronische Endzustand unbesetzt (Faktor (1 − fk−q ) ist und ist auch möglich
bei T = 0, wenn keine Phononen vorhanden sind (Faktor (1 + nq )). In entsprechende Weise lassen sich die anderen Prozesse interpretieren. Der Realteil der
Selbstenergie beschreibt eine Energieverschiebung der Elektronenzustände.
Um die Selbstenergie auszurechnen, muss über das Phononenspektrum summiert werden. Im Falle der Wechselwirkung mit longitudinalen akustischen Phonone können wir einen Trick verwenden, welcher für dreidimensionale Systeme
faktisch zu einer Entkopplung der Integration über die Energien der Elektronen
und Phononen führt und auch im supraleitenden Zustand verwendet wird.
Wir schreiben ~k 0 := ~k − q~ und ersetzen die Summe über q~ durch eine Summe
über ~k 0 bei festem ~k. Diese zerlegen wir in eine Integration über den Betrag k 0
von ~k 0 und die beiden Winkel θ (zwischen ~k 0 und ~k) und ϕ (um ~k):
Z
Z
1 X
1
1
2
3 0
=
d k =−
dk 0 k 0 dϕd(cos θ)
2
3
V ol 0
(2π)
(2π)
(8.142)
~k
Den Winkel θ können wir durch den Betrag von ~q mitrtels
2
q 2 = k 2 + k 0 − 2kk 0 cos θ,
qdq 0
kk 0
(8.143)
dϕ
(8.144)
d(cos θ) = −
ausdrücken. Damit erhalten wir:
1 X
1
=
V ol 0
(2π)3
~k
Z
k 0 dk 0
k
Z
qmax
qdq
qmin
Z
mit qmax = k+k 0 , qmin = |k−k 0 |. Diese Umformung ist soweit exakt. Die Näherung
besteht darin, dass für kleine Frequenzen und k ' kF die wichtigen Beiträge zum
Integral auch von der Fermikante kommen. Deshalb setzen wir
qmax ' 2kF , qmin ' 0
(8.145)
Ferner verwenden wir
dξ 0 = k 0 dk 0 m,
N (F ) =
mkF
2π 2
und erhalten damit für die Selbstenergie für k ' kF und kleine Frequenzen (und
8.7 Eliashberg-Theorie
175
falls die Phononen nicht von der Richtung von ~q abhängen):
Z
1X
~
Σ(k, iωn ) = −
N (F ) dξ 0 G(~k 0 , iωm )
β ω
m
Z 2kF
qdq
|g(q)|2 D(q, iωn − iωm )
∗
2kF2
0
(8.146)
Für den Imaginärteil der Selbstenergie finden wir damit bei T = 0 und für
ω>0:
1 X
|g(q)|2(1 − fk0 )δ(ω − k0 + µ − ωq )
=Σ(~k, ω + iδ) = −π
V ol vecq
Z Z
N (F ) ∞ 2kF
dqq|g(q)|2δ(ω − ξ 0 − ωq )
= −π
2
2kF 0
Z ∞ 0Z ω
N (F )
1
= −π
dωq ωq |g(q)|2 ∼ −aω 3
2
2kF 0 v 2 0
(8.147)
Hierbei haben wir ωq = vq und |g(q)|2 ∼ q für akustische Phonen verwendet. Die
Streurate der Elektronen wächst wie ω 3 und ist damit proportional zur itegrierten Zustandsdichte der Phononen. Beachte: Bei der Berechnung des elektrischen
Widerstandes muss man Vertex-Korrekturen berücksichtigen. Dann erhält man
einen Beitrag proportional zu ω 5 bzw T 5 zum Widerstand.
8.7
Eliashberg-Theorie
Für die Elektron-Phonon-Wechselwirkung in Nambu-Schreibweise erhält man:
Hs = √
1 X
γq Ψ†k+q τ3 Ψk Aq
V ol kq
Aq = bq + b†−q
mit
Ψk =
ck↑
,
c†−k↓
(8.148)
(8.149)
Die Dyson-Gleichung lautet:
~
~
Ĝ−1 (~k, iωn ) = Ĝ−1
0 (k, iωn ) − Σ̂(k, iωn )
(8.150)
~
Ĝ−1
0 (k, iωn ) = iωn − τ3 (k − µ)
(8.151)
mit
8 Mikroskopische Theorie der Supraleitung
176
Der Beitrag der Phononen zur Selbstenergie ist
1
Σ̂(~k, iωn ) = −
β
X 1 X
|γq |2 τ3 Ĝ(~k 0 , iωm )τ3 D(~q, iωs )
V ol 0
ω
(8.152)
k
n
mit ωs = ωn − ωm , ~q = ~k − ~k 0 .
Wir zerlegen die Selbstenergie nach Beiträgen der einzelnen Nambu-Matrizen
Σ̂ = Σ0 τ0 + Σ1 τ1 + Σ3 τ3
(8.153)
Für die meisten Systeme kann man die k-Abhängigkeit der Selbstenergie vernachlässigen, außerdem ist Σ1 klein. Mit
iω̃n := ωn − Σ0 ,
˜ n := −Σ1
∆
kann man für die volle Greenfunktion schreiben:
˜ n τ1
Ĝ−1 (~k, iωn ) = iω̃n τ0 − (k − µ)τ3 + ∆
(8.154)
Für den Phonon-Beitrag zur τ1 -Komponente der Selbstenergie findet man dann
X 1 X
˜m
∆
˜n = 1
|γq |2
∆
D(~q, iωs )
2 − ξ2 − ∆
˜ 2m
β ω V ol k0
(iω̃
)
0
m
k
n
(8.155)
mit ~q = ~k − ~k 0 und ωs = ωn − ωm .
Zur Ausführung der ~k 0 -Summation verwenden wir den gleichen Trick zur Separation der elektronischen und phononischen Energie wie im Normalzustand:
˜n = −1
∆
β
X
ωm
N (F )
Z
Z 2kF
˜m
∆
qdq
2ωq
dξ
|γq |2
2
2 + ξ2 + ∆
˜2 0
2kF
(iωs )2 − ωq2
ω̃m
m
(8.156)
Nach Integration über die Elektronenergie erhält man schließlich die SelbstkonsistenzGleichung für die Ordnungsparameter-Funktion
˜ n = −πN (F ) 1
∆
β
X
ωm
˜m
∆
q
v(iωn − iωm )
2 +∆
˜ 2m
ω̃m
mit der effektiven Wechselwirkung
Z 2kF
2ωq
qdq
|γq |2
v(iωs ) =
2
2kF
(iωs )2 − ωq2
0
(8.157)
(8.158)
8.7 Eliashberg-Theorie
177
Dies Ergebnis ist zu vergleichen mit der entsprechenden Gleichung im Rahmen der BCS-Theorie. Dort haben wir eine konstante attraktive Wechselwirkung
in einem begrenzten Energie-Intervall. Ein ähnliches Resultat erhalten wir auch
hier: die durch Phononen vermittelte Wechselwirkung v(iωs ) ist attraktiv (< 0)
für alle Frequenzen (auf der imaginären Achse). Sie geht stark gegen Null für
ωs > (ωq )max . Ein ähnliches Resultat wie in der BCS-Theorie erhalten wir insbesondere dann, wenn die wesentlichen Beiträge von Phononen mit hohen Frequenzen kommen.
Was kann man mit dem Ergebnis anfangen? Man kann damit die Übergangstemperatur berechnen. Man kann damit Tunnelspektren berechnen und mit
dem Experiment vergleichen. Auf diese Weise erhält man detaillierte Informationen über den Beitrag der verschiedenen Phononen zur Paar-Wechselwirkung.
Um einigermaßen realistische Ergebnisse zu erhalten, ist es allerdings notwendig,
den kurzreichweitigen Beitrag U der abstoßenden Coulomb-Wechselwirkung zu
berücksichtigen. An und für sich ist die Coulomb-Wechselwirkung U sehr stark,
wirkt aber nur über kurze Distanz, bzw. über die kurze Zeit, in der sich zwei
Elektronen nahekommmen. Projeziert man die Coulomb-Wechselwirkung auf den
Frequenzraum der Phonon-Wechselwirkung, dann erhält man (Details siehe Buch
von Schrieffer) eine effektive Wechselwirung U ∗ der Stärke µ∗ := N (F )U ∗ ' 0.1.
178
8 Mikroskopische Theorie der Supraleitung