6 Wahrscheinlichkeitsrechnung und

6 Wahrscheinlichkeitsrechnung und -verteilungen
Lösung
Abb. 6.10 zeigt das Baumdiagramm des Zufallsvorganges. Da der Zufallsvorgang zu Ende
ist, wenn man die rote Kugel gezogen hat, endet ein Pfad, wenn die rote Kugel gezogen
wurde.
1
3
Zu a) P (Rot beim ersten Mal) = ​ __ ​ .
1 1 1 1 1
3 2 3 2 3
1 1
1 1
1
Zu c) P (Rot beim dritten Mal) = ​ __ ​ ∙ ​ __ ​ ∙ 1  + ​ __ ​ ∙ ​ __ ​ ∙ 1  = ​ __ ​ .
3 2
3 2
3
Zu b) P (Rot beim zweiten Mal) = ​ __ ​ ∙ ​ __ ​  + ​ __ ​ ∙ ​ __ ​  = ​ __ ​ .
Begründe die Kontrolle: Die Summe der drei Wahr­
schein­
lichkeiten aus a), b) und c) muss 1 sein!
Die Wahrscheinlichkeit, die rote Kugel beim ersten Mal, zweiten Mal
oder dritten Mal zu ziehen, ist gleich! Ähnlich beantwortet man auch die
dritte Frage von Seite 248: Die Wahrscheinlichkeit, den Herz-König
beim ersten Mal zu ziehen, ist gleich wie beim zweiten Mal.
Beispiel 6.19: Dreistufiger Zufallsvorgang
1
3
1
3
1
3
G
R
1
2
R
W
1
2
1
2
W R
1
R
1
2
G
1
R
Abb. 6.10
A, B
Bei der Herstellung von Trinkgläsern aus Kristall treten drei Fehlerarten auf:
F1: Materialfehler; F2: fehlerhafter Schliff; F3: Bruch
Es wird angenommen, dass die drei Fehlerarten unabhängig voneinander auftreten. Ihre
Wahrscheinlichkeiten sind: P (F1) = 15 %, P (F2) = 5 %, P (F3) = 10 %.
Ermittle den erwarteten Anteil der Trinkgläser, die
a) alle drei Fehlerarten besitzen,
b) die fehlerhaft sind (d. h. irgendeinen der drei Fehlerarten besitzen),
c) höchstens eine Fehlerart,
d) nur den Fehler F1 besitzen.
Lösung
Die in den Aufgabenstellungen gefragten Anteile, die zu erwarten sind, werden den im
Folgenden errechneten Wahrscheinlichkeiten gleich gesetzt.
Man kann sich das mögliche Auftreten der drei Fehlerarten in einem dreistufigen Zufalls­
vorgang vorstellen. Da die Fehlerarten unabhängig voneinander auftreten, ist es gleich­
gültig, wie man die drei Fehlerarten den drei Stufen zuordnet. Auf der 1. Stufe tritt die
Fehlerart F1 auf oder sie tritt nicht auf usw. Abb. 6.11 zeigt das Baumdiagramm.
0,15
0,85
_
F1
F1
0,05
0,95
0,05
_
F2
F2
0,95
_
F2
F2
0,1
0,9 0,1
0,9 0,1
0,9 0,1
0,9
F3
_
F3 F3
_
F3 F3
_
F3 F3
_
F3
Abb. 6.11
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