Übung zur Vorlesung Algorithmische Geometrie
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Übung zur Vorlesung Algorithmische Geometrie Dipl.-Math. Bastian Rieck Dipl.-Math. Jens Fangerau Arbeitsgruppe Computergraphik und Visualisierung Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen 17. Juli 2012 B. Rieck (CoVis) Algorithmische Geometrie 17. Juli 2012 1 / 10 Vorherige Aufgaben Aufgabe 1 Zeichnen Sie den Graphen D der Suchstruktur für die unten angegebene Menge von Segmenten. Sie dürfen dabei von einer beliebigen Einfügereihenfolge der Segmente ausgehen. B. Rieck (CoVis) Algorithmische Geometrie 17. Juli 2012 2 / 10 Vorherige Aufgaben Aufgabe 2 Sei P ein einfaches Polygon mit n Knoten und q ein beliebiger Punkt in der Ebene. Um zu überprüfen, ob q ∈ P schicken wir nun einen horizontalen Strahl von q ausgehend nach rechts. Wir überprüfen nun für jede Kante, ob der Strahl sie schneidet. Falls wir eine ungerade Anzahl von Schnittpunkten haben, so ist q ∈ P, andernfalls q ∈ / P. Begründen Sie (informell), warum der Algorithmus korrekt arbeitet. Sie dürfen zunächst davon ausgehen, dass Sie immer nur einen Schnittpunkt mit einer Kante haben. Degenerierte Fälle müssen nicht betrachtet werden (siehe nächste Aufgabe). B. Rieck (CoVis) Algorithmische Geometrie 17. Juli 2012 3 / 10 Vorherige Aufgaben Aufgabe 3 (a) Im zuvor vorgestellten Algorithmus können degenerierte Situationen auftreten. Eine degenerierte Situation liegt beispielsweise vor, wenn der Strahl keine Kante des Polygons schneidet, sondern einen Knoten. Beschreiben Sie, wie dieser Fall korrekt behandelt werden kann. (b) Gibt es weitere degenerierte Fälle? Wenn ja, wie können diese behandelt werden? B. Rieck (CoVis) Algorithmische Geometrie 17. Juli 2012 4 / 10 Vorherige Aufgaben Aufgabe 4 Geben Sie für n > 3 eine Menge von n Punkten in der Ebene an, sodass es im zugehörigen Voronoidiagramm eine Zelle gibt, die genau n − 1 Knoten hat. Tip Die Punkte müssen offenbar gleichmäßig verteilt angeordnet werden. B. Rieck (CoVis) Algorithmische Geometrie 17. Juli 2012 5 / 10 Vorherige Aufgaben Aufgabe 5 Verwenden Sie Theorem 4.4, um zu zeigen, dass die durchschnittliche Anzahl von Knoten einer Voronoizelle ≤ 6 ist. B. Rieck (CoVis) Algorithmische Geometrie 17. Juli 2012 6 / 10 Klausurvorbereitung Klausurvorbereitung Klausurvorbereitung B. Rieck (CoVis) Algorithmische Geometrie 17. Juli 2012 7 / 10 Klausurvorbereitung Allgemeines Klausurtermin: Dienstag, 31.07.2012, 10:00 - 11:00 Uhr, OMZ Raum U013, Dauer: 60 min Bleistift, Radierer und Lineal mitbringen Definitionen sollen inhaltlich klar sein, aber werden nicht abgefragt B. Rieck (CoVis) Algorithmische Geometrie 17. Juli 2012 8 / 10 Klausurvorbereitung Beweise, die nicht für die Klausur relevant sind Kapitel 5 5 5 7a 7b 7b 8a 8a 8b 8b 8b 8b 8b Seite 5 9 24 24 9 20 8 14 16 19 30 31 33 B. Rieck (CoVis) Typ Theorem 2.15 Theorem 2.17 Lemma 2.23 Lemma 3.2 Lemma 3.10 Theorem 3.12 Theorem 4.5 Lemma 4.7 Theorem 4.18 Theorem 4.22 Lemma 4.25 Satz 4.26 Lemma 4.27 Bezeichnung Nur erster Teil Art Gallery Theroem Korrektheitsbeweis von MakeMonotone Bereichssuche auf kd-Bäumen Seiten von Facetten Trapezkarte - Komplexität Eigenschaften der Vertices und Kanten Punktereignisse Planarität des Delaunaygraphen Legale Triang. und Delaunaytriang. Anzahl Dreiecke Komplexität der Delaunaytriang. Laufzeit Algorithmische Geometrie 17. Juli 2012 9 / 10 Klausurvorbereitung 5 - Triangulierung von Polygonen 7a - Punktsuche (Teil 1) 7b - Punktsuche (Teil 2) 8a - Voronoidiagramme 8b - Delaunay-Triangulierung B. Rieck (CoVis) Algorithmische Geometrie 17. Juli 2012 10 / 10
