Kap. 1.2 - Mengenlehre

1.2 Mengenlehre
Grundlagen der Mathematik
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1.2 Mengenlehre
Definition: Menge, Element, Variablenraum
Eine Menge A ist die Zusammenfassung gleichartiger Elemente zu einer Gesamtheit.
Eine Menge kann definiert werden durch
a.) Aufzählung der Elemente der Menge : A = { a, b, c, ...
Dabei ist die Reihenfolge der Elemente ohne Bedeutung
},
b.) Definition durch eine Aussageform p(x) : A = { x ∈ V | p(x) }
Alle Lösungen x der Aussageform p(x) definieren die Menge A. Als Variablenraum V
bezeichnet man die Menge der zulässigen Variablen x.
Schreibweise:
Mengen werden mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet,
die Elemente mit kleinen Buchstaben.
Elementbeziehung:
a∈A
bedeutet : "a ist Element der Menge A"
a∉A
bedeutet : "a ist kein Element der Menge A"
Beispiele für Mengen:
1.)
A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
2.)
Menge der natürlichen Zahlen ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, .....}
3.)
Menge der ganzen Zahlen
4.)
B = { x ∈ ℕ | x enthält die Ziffer 3 }
5.)
F = { x ∈ S | x ist eine Straße in Osnabrück }
ℤ = { 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, +7, +8, +9, +10, ... }
Dabei ist S die Menge aller Straßen in Deutschland
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Definition : Untermenge/Teilmenge, Echte Untermenge/Teilmenge, Gleichheit
von Mengen, Obermenge, Echte Obermenge, Leere Menge,
Disjunkte Mengen
Seien A und B zwei Mengen.
A heißt Untermenge/Teilmenge von B, in Zeichen A ⊆ B, wenn jedes Element von A auch in
B enthalten ist. B heißt dann auch Obermenge von A.
A heißt echte Untermenge/Teilmenge von B, in Zeichen A ⊂ B, wenn jedes Element von A
auch in B enthalten ist, aber mindestens ein Element von B nicht Element von A ist. B heißt
dann auch echte Obermenge von A.
Die Gleichheit der Mengen A und B, in Zeichen A = B, bedeutet, dass jedes Element von A
auch Element von B ist und umgekehrt. Es gilt: (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)
Eine leere Menge, in Zeichen {} oder ∅, ist eine Menge, die keine Elemente besitzt.
Die Mengen A und B heißen disjunkt, wenn sie keine gemeinsamen Elemente besitzen.
Schreibweise mit log. Aussageformen:
A ⊆ B ⇔ ∀ x ( x ∈ A ⇒ x ∈ B ) ⇔ ∀ x ( p(x) ⇒ q(x) )
A = B ⇔ ∀ x ( x ∈ A ⇔ x ∈ B ) ⇔ ∀ x ( p(x) ⇔ q(x) )
Venn'sche Diagramme leisten die Darstellung von Mengenmodellen in grafischer Form
A
B
Mögliche Lagen von zwei Mengen A und B zueinander:
1.) A und B haben keine gemeinsame Elemente, d. h. sie sind disjunkt
2.) A und B besitzen gemeinsame Elemente
3.) A ist in B enthalten bzw. B ist in A enthalten
4.) A und B sind gleich
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Definition : Vereinigungsmenge, Durchschnittsmenge, Restmenge,
Komplementmenge
Seien A und B zwei Mengen mit dem gemeinsamen Variablenraum V.
Dann definiert man die folgenden Mengen
Vereinigungsmenge
A∪B ={x∈V |x∈A∨ x∈B}
Durchschnittsmenge
A∩B ={x∈V |x∈A ∧x∈B}
Restmenge
A \ B ={x∈V |x∈A ∧x∉B}
Komplementmenge
A ={x∈V |x∉A}
Rechenregeln für Mengenoperationen
Für beliebige Mengen A, B und C gelten die folgenden Gesetze
1.) Assoziationsgesetze
(A∪B)∪C = A∪(B∪C)= A∪B∪C
(A∩B)∩C = A∩(B∩C)=A∩ B∩C
2.) Distributivgesetze
A∩(B∪C)= (A∩B)∪ (A∩C)
A∪(B∩C)= (A∪B)∩ (A∪C)
3.) Gesetze von de Morgan
A∪B
= A ∩ B
A∩B
= A∪ B
4.) Darstellung der Restmenge
A \ B
= A ∩B
B \ A
= B ∩A
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Darstellung einer Menge durch disjunkte Teilmengen
Bei der Lage mehrerer Mengen A1, A2, A3, A4, …, An zueinander entstehen 2n disjunkte
Teilmengen bezüglich der Lage von Elementen zu diesen n Teilmengen.
Für 3 Mengen A, B und C existiert z. B. eine Zerlegung in 8 disjunkte Teilmengen bzgl. der 3
Aussageformen p(x) ⇔ x ∈ A, q(x) ⇔ x ∈ B und r(x) ⇔ x ∈ C.
Die 8 möglichen disjunkten Teilmengen sind dann
A∩ B∩C , A∩ B∩C , A∩ B∩C , A∩ B∩C ,
A∩ B∩C , A∩ B∩C , A∩ B∩C , A∩ B∩C
Aus diesen Teilmengen lassen sich alle Teilmengen, die aus A, B und C durch
Mengenoperationen entstehen, durch Vereinigung zusammensetzen.
Beispiele für Mengenoperationen
Seien die Mengen A, B und C definiert durch
A = { x ∈ ℕ | x ist eine Primzahl
}
=
{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... }
B = { x ∈ ℕ | x ≥ 5 ∧ x ≤ 70 }
=
{ 5, 6, 7, 8, 9, .... , 68, 69, 70 }
C = { x ∈ ℕ | x = 2n mit n ∈ ℕ }
=
{ 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ..... }
Dann ergeben sich die folgenden Mengen aus Mengenoperationen
1.) ( A ∩ B ) \ C = { 5, 7, 11, ...
, 61, 67 }
2.) B ∪ C = { 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , .... , 68, 69, 70, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, ...... }
3.) A ⋂ C = { 2 }
4.) ( A \ B ) ⋂ C = { 2 }
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Definition : Mächtigkeit von Mengen
Für Mengen mit endlich vielen Elementen bezeichnet man die Anzahl ihrer Elemente als
Mächtigkeit der Menge, in Zeichen | A | = n. Für Mengen mit einer nicht endlichen Anzahl
von Elementen wird ihre Mächtigkeit als unendlich definiert, in Zeichen | A | = ∞ .
Beispiele :
1.) Die Menge W = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } besitzt die Mächtigkeit 6 ,
2.) Die Menge C = { a, b, f, g, k, p, u, q } besitzt die Mächtigkeit 8, in Zeichen | C | = 8.
3.) Die Mengen ℕ und ℤ besitzen unendliche Mächtigkeit.
Definition : Kartesisches Mengenprodukt
Seien A und B zwei Mengen. Als kartesisches Produkt A x B bezeichnet man die Menge aller
geordneten Elementepaare ( a ; b ) mit a ∈ A und b ∈ B
AxB = { (a;b) | a∈A ∧ b∈B}
Sind n Mengen A1, A2, ..., An gegeben, so ist das mehrfache kartesische Produkt definiert durch
A1 x A2 x .... x An = { ( a1, a2, …, an ) | a1 ∈ A1 ∧ a2 ∈ A2 ∧ ....∧ an ∈ An }
Beispiele :
1.) Die Menge W = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } und die Menge F = { r, g, b } besitzen das kartesische
Produkt
W x F = { (1 ; r), (2 ; r), (3 ; r), ... ,(6 ; r), (1 ; g) , (2 ; g), (3 ; g), ... ,(6 ; g),
(1 ; b) , (2 ; b), (3 ; b), ... ,(6 ; b) }
mit der Mächtigkeit 18 in Zeichen | W x F | = 18
2.) Die Menge ℝ der reellen Zahlen besitzt die kartesischen Produkte
ℝ
2
= ℝ xℝ
= { (x;y) | x∈ℝ ∧ y∈ℝ }
ℝ
3
= ℝ xℝ xℝ
= { (x;y;z) | x∈ℝ ∧ y∈ℝ ∧ z∈ℝ }
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Definition : Potenzmenge
Die Potenzmenge P(A) einer Menge A ist die Menge aller Teilmengen von A. Sie enthält auch
die leere Menge und die Menge A als Elemente.
Beispiele :
1.) Die Menge L = { 0, 1 } besitzt die Potenzmenge P(L) = { {}, {0}, {1}, {0,1} } mit der
Mächtigkeit 4.
2.) Die Menge X = { 'A' , 'E' , 'I' , 'O' , 'U' } aller Vokale besitzt als Potenzmenge
P(X) = { {} ,
{'A'},{'E'} ,{'I'} ,{'O'}, {'U'},
{'A','E'},{'A','I'}, {'A','O'},{'A','U'},......,{'O','U'},
{'A','E','I'}, {'A','E','O'},{'A','E','U'},....,{'I','O','U'},
{'A','E','I','O'},{'A','E','I','U'},{'A','E','O','U'},{'A','I','O','U'},{'E','I','O','U'},
{'A','E','I','O','U'} }
Es gibt 5 Mengen mit 1 bzw. 4 Elementen und10 Mengen mit 2 bzw. 3 Elementen. Somit
besitzt die Potenzmenge P(X) die Mächtigkeit 32
3.) Die Menge ℝ der reellen Zahlen besitzt eine Potenzmenge P(ℝ ) unendlicher Mächtigkeit:
Darin sind Mengen enthalten, die aus einem oder mehreren Punkten der Zahlengeraden
bestehen, darüber hinaus alle Intervalle und deren Vereinigungen und Durchschnitte, etc.