Inhaltsübersicht Wechselstromtechnik - lehrer.uni

Wechselstromtechnik
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Karlsruhe
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Inhaltsübersicht Wechselstromtechnik
Wichtiger Hinweis: Dieses Skript wird sowohl im einjährigen Berufskolleg (1BKFH) als auch
im Technischen Gymnasium (TGJ1, 2. Hj. und TGJ2, 1. Hj.) verwendet.
Für das TG gilt:
Alle Kapitel sind relevant!
Für das 1BKFH gilt: Kap. 1 - 4 UND Kap. 7.1 (Kompensation)
(Kap. 5 und Kap. 6 entfallen im 1BKFH!)
1. Kenngrößen und Darstellung einer Wechselspannung
2. Passive Bauelemente im Wechselstromkreis
2.1 Der Wirkwiderstand R im Wechselstromkreis
2.2 Der ideale Kondensator C im Wechselstromkreis
2.3 Die ideale Spule L im Wechselstromkreis
3. Reihenschaltungen aus R, C und L
3.1 RC - Reihenschaltung
3.2 RL - Reihenschaltung (Spulenersatzschaltbild)
3.3 RLC - Reihenschaltung (Reihenschwingkreis)
4. Parallelschaltungen aus R, C und L
4.1 RC - Parallelschaltung (Kondensatorersatzschaltbild)
4.2 RL - Parallelschaltung
4.3 RLC - Parallelschaltung (Parallelschwingkreis)
5. Gemischte Schaltungen (Äquivalente Ersatzschaltung)
6. Einfache Filterschaltungen
6.1 Tiefpässe
6.2 Hochpassschaltungen
6.3 Bandpässe und Bandsperren
6.4 Brückenschaltung als Allpass
6.5 Die Darstellung von Frequenzgängen
7. Anwendungen von gemischten Schaltungen
7.1 Blindleistungskompensation
7.2 Mitkopplungsnetzwerk bei RC-Oszillatoren (Phasenschieber)
7.3 Die Wien - Schaltung
7.4.Beispiele aus Abituraufgaben
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Wechselstromtechnik
1. Kenngrößen und Darstellung einer Wechselspannung
Wir wissen, dass alle Generatoren, bei denen eine Drehbewegung für die Erzeugung der Spannung
verantwortlich ist, sinusförmige Wechselspannungen erzeugen!
(Erklären lässt sich die Sinusform mit dem allgemeinen Induktionsgesetz oder mit Hilfe der
Zerlegung des Geschwindigkeitsvektors)
Überblick: Unterscheidung Gleichspannung - Wechselspannung
Gleichspannung:
Schaltungssymbol
Zeitlicher Verlauf:
Wechselspannung : Schaltungssymbol
Zeitlicher Verlauf:
Typen von Wechselspannungen:
Rechteckwechselspannung
Rechteckspannung
Dreieckwechselspannung
Dreieckspannung
Sinuswechselspannung
Sinusspannung (mit Gleichanteil)
Definition für eine Wechselspannung:
Eine Wechselspannung liegt dann vor, wenn der arithmetische Mittelwert = 0 ist!
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Die mit Abstand wichtigste Wechselspannung ist die sinusförmige Wechselspannung!
• Wie sieht dieser Sinus aus?
• Wie kann man sich die Form erklären?
• Welche Kenngrößen müssen wir kennen?
Bei der Drehbewegung einer Leiterschleife im homogenen Magnetfeld erhält man mit dem
Induktionsgesetz folgende Gleichung für die induzierte Spannung: uind (t) = B*N*A*ω * sin (ω*t)
Den Faktor (B*N*A*ω) bezeichnet man dabei als Maximalwert oder Amplitude û!
Daraus leitet man folgendes Modell für die Erklärung der Sinusform ab:
Ein „Spannungszeiger û“ rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω im Gegenuhrzeigersinn:
„Projeziert“ man den Momentanwert u in Abhängigkeit von α auf die waagrechte Achse,
so erhält man die Funktion u (α) = û * sin(α)!
Bei einer gleichmäßigen Drehbewegung ist α ~ t oder α = const * t.
Diese Konstante nennt man Winkelgeschwindigkeit ω mit ω = α / t oder α = ω*t.
Damit kann man für die Funktion u(α) auch schreiben u(ωt) = u(t) = û * sin (ω*t)
Ein kompletter Umlauf benötigt dabei die Zeit T (Periodendauer).
Vergleich:
0°
90°
180°
270°
360°
Winkel α in Grad
0
α im Bogenmaß:
Zeit t:
0
Momentanwert u:
0
Kenngrößen einer Sinusspannung:
Amplitude
Periodendauer
Momentanwert
Frequenz
Spitze-Spitze-Wert
Kreisfrequenz
Effektivwert
(Erklärung folgt)
Hat der Spannungszeiger zum Zeitpunkt t = 0 schon einen „Vorsprung“ gegenüber der waagrechten
Achse, so spricht man vom „Nullphasenwinkel“ ϕ.
Dies führt schließlich zu folgender Zeitfunktion: u (t) = û * sin (ω*t + ϕ)
Skizze für
ϕ1 > 0:
und
ϕ2 < 0:
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Die Überlagerung (Addition) von Spannungen
U1(t)
Wenn zwei Gleichspannungsquellen in Reihe geschaltet
werden, addieren sich die beiden Spannungen zur
Gesamtspannung U = U1 + U2 !
Die Gesamtspannung ist selbstverständlich wieder eine
Gleichspannung!
U2(t)
U
t
t
4
3
3
2
2
1
1
0
0
U 1 ( t)
u ( t)
G
U 2 ( t)
-1
-2
-2
4
-3
4
-4
0.00
3
G
Überlagerung von phasenverschobenen
Spannungen: û 1 = 4 V, û 2 = 2 V,
ϕ = 60°, u2 eilt u1 nach!
4
-1
U(t)
U2
Wie sieht es aber aus, wenn zwei Wechselspannungsquellen
(Sinusform, gleiche Frequenz) in Reihe geschaltet werden?
• Wie erhält man hier die Gesamtspannung u(t) ?
• Ist sie auch wieder sinusförmig?
• Welchen Wert hat die Amplitude û ?
Im folgenden Beispiel sollen zwei Sinusspannungen addiert
werden! Im Bsp. 1 ist der Phasenwinkel ϕ1 = 0°, im Bsp. 2 eilt die
Spannung u2 der Spannung u1 um ϕ2 = 60 ° nach!
Überlagerung von gleichphasigen
Spannungen: û 1 = 4 V, û 2 = 2 V, ϕ = 0°
t
U1
-3
1.57
3.14
4.71
6.28
3
-4
0.00
2
2
1
1
0
0
-1
1.57
3.14
4.71
6.28
1.57
3.14
4.71
6.28
1.57
3.14
4.71
6.28
-1
-2
-2
-3
-3
-4
6
0.00
5
1.57
3.14
4.71
6.28
6
-4
5
0.00
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
-6
0.00
1.57
3.14
4.71
6.28
Wie groß ist die Amplitude û ?
Wie groß ist der Winkel zwischen u1 und u ?
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-6
0.00
Wie groß ist die Amplitude û ?
Wie groß ist der Winkel zwischen u1 und u
bzw. zwischen u2 und u ?
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Übungsaufgaben zu Wechselstromgrundbegriffen
Aufgabe 1:
Gegeben ist das Schirmbild eines Oszilloskops:
Der Schalter für die x - Ablenkung steht auf
5 msec/cm, der Schalter für die y - Ablenkung steht
auf 2 V/cm.
a) Bestimmen Sie T, f, ω , û, USS und Ueff und
geben Sie jeweils die Namen der Größen an!
b) Geben Sie die Zeitfunktion der
Sinusschwingung an!
c) Berechnen Sie für eine Sinusschwingung i(t) =
1A * sin (2π/20 ms *t) die Momentanwerte des
Stromes in den Zeitpunkten t1 = 5 msec, t2 = 8
msec, t3 = 13 msec und t4 = 19 msec!
d) Die Spannung aus Teil a) liegt an einem Widerstand R = 10 Ohm;
Berechnen Sie die Amplitude des fließenden Stromes und den Effektivwert des Stromes!
f) In Teil a) wird der Schalter für die y - Ablenkung auf 1 V/cm. umgestellt;
Tragen Sie das neue Schirmbild in obiger Skizze ein!
2. Die Netzwechselspannung für unsere Energieversorgung beträgt 230V (Effektivwert).
Berechnen Sie den Scheitelwert und den Wert von Spitze zu Spitze!
3. An einem 120 Ω Widerstand wird eine sinusförmige Wechselspannung von USS = 9,5 mV
gemessen. Wie groß sind die Effektivwerte der Spannung und der Stromstärke?
4. Die Gleichrichterdiode für einen Einweggleichrichter wird nach dem Spitze-Spitze-Wert der
Wechselspannung dimensioniert.
Wie groß ist USS , wenn der Effektivwert der Wechselspannung 100V beträgt?
5. An einem Wirkwiderstand wird eine Leistung von 0,1 W in Wärme umgesetzt.
Wie groß darf der Scheitelwert der Stromstärke sein, wenn eine Spannung U=110 V anliegt?
6. Einer Gleichspannung von 12V ist eine Wechselspannung von U = 7,3 V überlagert.
Zwischen welchen Extremwerten schwankt die Spannung? (Skizze)
7. Am Eingangswiderstand eines NF-Verstärkers von 100 kΩ wird mit dem Oszilloskop eine
Spitzenspannung von 5,3 mV gemessen.
Berechnen Sie den Effektivwert des Eingangsstroms und die Wechselstromleistung!
8. Die Scheitelwerte zweier Ströme haben Werte von î1 = 1 mA und î2 = 1,2 mA. Der Strom i1 eilt
dem Strom i2 um 45° voraus. Addieren Sie graphisch die Ströme und ermitteln Sie die
Amplitude des resultierenden Stromes! Berechnen Sie die Amplitude des resultierenden
Stromes und die Phasenverschiebungswinkel zwischen den Strömen!
9. Zwei Wechselspannungsquellen sind in Reihe geschaltet. Die Scheitelwerte betragen û1 = 2,5
V und û2 = 4 V. Die Spannung u1 eilt der Spannung u2 um 2 ms voraus (f = 50 Hz).
Berechnen Sie die Amplitude der Gesamtspannung und die Phasenverschiebungswinkel!
10. Welche Gesamtspannung ergibt sich bei einer Reihenschaltung von 3 Spannungsquellen mit
U1 = 2 V; U2 = 3 V und U3 = 5 V, einem Phasenverschiebungswinkel zwischen U1 und U2
von 45° und einem Phasenverschiebungswinkel zwischen U1 und U3 von 60°?
Wie groß ist der Phasenverschiebungswinkel zwischen U1 und U (zeichnerische Lösung)?
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Lösungen zu „Übungsaufgaben zu Wechselstromgrundbegriffen“
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2. Passive Bauelemente im Wechselstromkreis
2.1 Der Wirkwiderstand R im Wechselstromkreis
Legt man einen Wirkwiderstand R an eine Gleichspannung, so fließt ein Gleichstrom; verändert
man die Gleichspannung, dann verändert sich auch der Gleichstrom!
Es gilt das bekannte Ohmsche Gesetz I ~ U oder I = U / R !
Wie sieht es aus, wenn man einen Widerstand an eine sinusförmige Wechselspannung legt?
Auch hier gilt zu jedem Zeitpunkt u ~ i, d.h. auch der Strom ist sinusförmig!
Liniendiagramm u(t) und i(t)
Zeigerbild für U und I
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0.00
1.57
3.14
4.71
6.28
Wie sieht es mit dem Widerstand aus?
Da Strom und Spannung zeitabhängig sind, könnte man auch einen zeitabhängigen Widerstand
vermuten!? Es gilt aber:
r(t) = u(t) / i(t)
r(t) = û * sin (ω*t) / î * sin (ω*t)
r(t) = û / î
Da û und î jeweils konstant sind, gilt natürlich auch r(t) = const. = R!
Leistungsbetrachtung:
Bei Gleichgrößen gilt für die elektrische Leistung P = U * I = const!
Wie siehts bei sinusförmigen Größen aus?
Mathematischer Ansatz:
p(t) = u(t) * i(t)
p(t) = û * sin (ω*t) * î * sin (ω*t)
p(t) = û * î * sin2 (ω*t)
Diese Gleichung sieht allerdings nicht so konstant aus; p(t) ist zeitabhängig und ändert sich ständig!
Zu einem besseren Verständnis kommt man mit einer zeichnerischen Betrachtung:
Widerstand an Gleichspannung U
Widerstand an Sinusspannung u(t)
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Einschub: Mittelwerte in der Elektrotechnik (mathematisch betrachtet)
In der E-Technik werden vorwiegend zwei Arten von Mittelwerten verwendet:
(die folgenden Definitionen gelten für beliebige Kurvenformen!)
1. Der arithmetische Mittelwert (linearer Mittelwert)
Definition:
U=
1
T
T
∫ u(t) dt
0
Gegeben sei eine zeitabhängige Spannung u(t);
Wie berechnet man nun den arithmetischen Mittelwert ?
• Wer integrieren kann, der integriert !
• Alle andern berechnen elementar die Fläche zwischen der Kurve u(t) und der Zeitachse während
einer Periode und teilen durch die Periodendauer T. Man erhält den arithmetischen Mittelwert.
Man sieht: Der arithmetische Mittelwert ist nichts anderes als der DC - OFFSET
(Gleichanteil) einer Spannung !
Bei reinen Wechselspannungen ist der arithmetische Mittelwert immer Null !
Womit misst man den arithmetischen Mittelwert?
Mit einem Spannungsmesser im DC-Bereich!
Dabei sollte die Frequenz > 10 Hz sein, da sonst der Zeiger dem Momentanwert folgt.
2. Der quadratische Mittelwert (Effektivwert)
Definition:
U
2
eff
=
1
T
∫ {u(t )}
T
2
dt
0
Rezept zur Berechnung des Effektivwertes:
• Mathematische Variante (integrieren, für die, die's können)
• zeichnerisch / rechnerische Variante:
1. gegebene Kurve punktweise quadrieren
2. von der quadrierten Kurve den mittleren Wert (über eine Periode) bestimmen,
man erhält Ueff2
3. Wurzel ziehen, man erhält Ueff
Nur bei reinen Sinuswechselspannungen gilt:
U
eff
=
ˆ
u
2
Wie misst man den Effektivwert?
Mit einem Spannungsmesser im AC-Bereich (bei Frequenzen > 10 Hz)!
Dabei wird jedoch nur bei reinen Sinusspannungen der richtige Wert angezeigt.
Will man den Effektivwert von anderen Kurvenformen messen, so sollte man ein Gerät benutzen,
das speziell dafür geeignet ist (Dreheiseninstrument, echter Effektivwertmesser)!
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2.2 Der (ideale) Kondensator im Wechselstromkreis
Beginnen wir mal ganz vorne:
Wir haben einen elektrischen Leiter, durch den sich Ladungen gleichmäßig bewegen.
Es gilt:
Zeitpunkt t0 = 0 s
Zeitpunkt t1 = 1 s
Zeitpunkt t2 = 2 s
usw...
transportierte Ladung Q0 = 0 C
transportierte Ladung Q1 = 1 C
transportierte Ladung Q2 = 2 C
Somit gilt für den Strom:
I1 = Q1/t1= 1 A
I2 = Q2/t2 =1 A
I3 = Q3/t3 =1 A
Wir sehen: Wenn Ladungen gleichmäßig durch den Leiter transportiert werden, können wir den
Strom mit I = Q / t berechnen, weil die Steigung von Q(t) konstant ist!
Fließen die Ladungen dagegen nicht gleichmäßig durch den Leiter, so ist die Steigung von Q(t)
nicht konstant. Wir haben zu unterschiedlichen Zeiten unterschiedliche Stromstärken und müssen
also mit I = ∆Q / ∆t rechnen!
Betrachten wir jetzt mal einen Kondensator und fassen zusammen, was wir wissen:
• Ein Kondensator besteht prinzipiell aus zwei Platten.
• Er kann Ladungen speichern.
• Die unterschiedliche Polarität auf den Platten entsteht durch Ladungstrennung.
• Wenn auf den Platten unterschiedliche Ladungen existieren, entsteht eine Spannung.
• Ein Kondensator kann Energie speichern.
• Die gespeicherte Energie steckt im elektrischen Feld zwischen den Platten.
• Zwischen den Platten haben wir ein homogenes Feld.
Bekannte Formeln:
Welches Gesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen Strom und Spannung?
Gibt es ein „Ohmsches Gesetz“ für den Kondensator?
Damit haben wir das „Gesetz des Kondensators“:
Beim Kondensator fließt nur dann ein Strom, wenn sich die Spannung ändert!
Interpretation für einige Spannungen:
Jetzt legen wir natürlich unsere beliebte Sinusspannung
u(t) = û * sin (ω*t) an den Kondensator und klären folgende Fragen:
1. Wie sieht der Verlauf des Stromes i(t) aus? (Linienbild und Zeigerbild)
2. „Hat ein idealer Kondensator einen Widerstand?“
3. Setzt ein idealer Kondensator Leistung um?
Müssen wir für den Betrieb eines Kondensators was zahlen?
4. Wozu braucht man Kondensatoren?
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2.3 Die (ideale) Spule im Wechselstromkreis
Vorbemerkung: Vom Induktionsgesetz her ist bekannt, daß in einer Leiterschleife (Spule) eine
Spannung induziert wird, wenn sich der Strom in der Leiterschleife ändert ! Die induzierte
Spannung ist ihrer Ursache (Änderung des Stromes) entgegengerichtet (Lenzsche Regel).
Es gilt:
u L (t) = L *
d
( i(t)
dt
)
L: Induktivität!
Die Spule wird nun von einem Wechselstrom durchflossen. Dieser Strom soll folgenden zeitlichen
Verlauf haben:
i (t ) = - iˆ * cos(ωt )
Gesucht ist der zeitliche Verlauf der Spannung an der Spule:
Dieser mathematische Zusammenhang liefert folgendes Liniendiagramm:
6
5
i(t)
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
0.00
1.57
3.14
Im Zeigerdiagramm erhält man diese Darstellung:
4.71
6.28
in Worten:
BEI DER IDEALEN SPULE EILT DER STROM
DER SPANNUNG UM 90° NACH!
DER PHASENWINKEL ZWISCHEN I UND U
IST NEGATIV !
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Im Liniendiagramm erkennt man, daß der Quotient aus u(t) und i(t) nicht konstant ist;
d. h. auch bei der Spule ist der Widerstand zeitabhängig (wie beim Kondensator).
Unter Vernachlässigung der Phasenbeziehung läßt sich auch hier ein Quotient U/I angeben.
Dieser Quotient wird als INDUKTIVER BLINDWIDERSTAND XL bezeichnet !
Es gilt:
Auch eine Spule verhält sich im Wechselstromkreis wie ein (frequenzabhängiger) Widerstand.
Grenzwertbetrachtung:
ω → 0:
ω → ∞:
Behauptung: Eine ideale Spule setzt keine Wirkleistung um !
Die Behauptung ist richtig, wenn der Mittelwert der Leistungskurve p(t) = 0 wird.
Nachweis rechnerisch:
Nachweis grafisch:
Beide Varianten führen schließlich zu
folgender Leistungskurve p(t)!
6
5
4
3
Man sieht, dass der arithmetische
Mittelwert = 0 ist;
Wir haben auch hier eine „Pendelleistung“,
was bedeutet, dass sich die ideale Spule
leistungsmäßig prinzipiell wie ein Kondensator
verhält.
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
0.00
1.57
3.14
4.71
6.28
Wie kann man hier pos. und neg. Leistung interpretieren ?
pos. Leistung: Energietransport von der Quelle zum Verbraucher, diese Energie wird zum Aufbau
des Magnetfeldes benötigt.
neg. Leistung: Energietransport vom Verbraucher zur Quelle, d. h. die im Magnetfeld gespeicherte
Energie wird an die Quelle zurückgeliefert.
Multipliziert man die Effektivwerte von Strom und Spannung, so erhält man hier die
INDUKTIVE BLINDLEISTUNG:
QL = U * I
[QL] = 1 var
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Übungsaufgaben zu: Bauteile im Wechselstromkreis
1. Zerlegen Sie die Wechselspannung u(t) = 26,5 V * sin (ωt + 41°) in zwei frequenzgleiche
Wechselspannungen u1 und u2, deren Phasenverschiebungswinkel 90 ° beträgt!
Lösungshinweis: Zeichnen Sie zunächst das Zeigerdiagramm und ermitteln Sie die gesuchten
Spannungen grafisch. Dem Zeigerdiagramm können Sie den Ansatz für die rechnerische Lösung
entnehmen.
2. Gegeben sind zwei in Reihe geschaltete Wechselspannungsquellen der gleichen Frequenz.
ˆ 2 = 4 V , u1 eilt u2 um 30° voraus.
u
Für die Amplituden gilt: uˆ1 = 3 V,
Geben Sie Amplitude und Effektivwert der Gesamtspannung sowie die Phasenlage von u
gegenüber u1 und u2 an!
3. Zwei Kondensatoren mit C1 = 5 µF und C2 = 12 µF sind parallel geschaltet.
Der Effektivwert der anliegenden Spannung ist UC = 230 V / 50 Hz.
Berechnen Sie XC, I1, I2, den Gesamtstrom I und die Gesamtblindleistung QC!
4. Wie verändert sich der kapazitive Widerstand einer Schaltung von gleichen Kondensatoren,
wenn zunächst zwei, dann drei und später vier Kondensatoren parallel geschaltet werden ?
5. Bei welcher Frequenz der Wechselspannung u(t) = 30 V * sin (ωt) zeigt ein Zeigerinstrument
den Strom IC = 3 mA an, wenn die Kapazität des Kondensators C = 0,1 µF ist?
6. Welche gemeinsamen Eigenschaften haben ein Wirk- und ein Blindwiderstand des
gleichen Betrages bei konstanter Frequenz?
In welchen Eigenschaften unterscheiden sie sich?
7. Warum ist folgende Behauptung falsch:
"Werden zwei Kondensatoren mit gleicher Kapazität in Reihe geschaltet, so beträgt der
Phasenverschiebungswinkel 2 * 90° = 180 °!"
8. Durch eine ideale Spule mit der Induktivität L = 48 mH fließt bei einer Frequenz von 200 Hz
ein Strom von 50 mA. Berechnen Sie die Blindleistung und die anliegende Spannung U!
9. Zwei ideale Spulen liegen in Reihe und werden von einem Wechselstrom mit der Frequenz
f = 3 kHz durchflossen.
Folgende Messergebnisse liegen vor: IL = 10 mA, UL1 = 5 V, UL2 = 11 V.
a) Berechnen Sie die Induktivitäten L1 und L2!
b) Welche Werte nehmen Strom und Teilspannungen an, wenn bei konstanter Gesamtspannung
die Frequenz auf 8 kHz erhöht wird?
Lösungen (Zahlenwerte):
1. u1 (t) = 20 V * sin (ωt)
2. Ueff = 4,77 V
3. XC = 187,24 Ω
4. 1/2 1/3 1/4
5. f = 225 Hz
8. QL = 0,15 var
9. a) L1 = 26,52 mH
9. b) I = 3,75 mA
u2 (t) = 17,4 V * cos (ωt)
u eilt u2 um 13 ° vor
I = 1,22 A I1 = 0,36 A
6. s. Mitschrift!
U=3V
L2 = 58,35 mH
UL1 = 5 V, UL2 = 11 V
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u eilt u1 um 17 ° nach
I2 = 0,866 A
QC = 283,1 var
7. Erklärung über Ersatzkapazität
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Übersicht: R, C und L im Wechselstromkreis
Schaltsymbol:
Liniendiagramme
für u(t) (gegeben)
und i(t) (eintragen):
L
6
5
du
dt
u(t)
u(t)
iC = C
u(t)
Beziehung
zwischen Strom
und Spannung:
C
R
6
5
6
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
0
0
0
-1
-1
-1
-2
-2
-2
-3
-3
-3
-4
-4
-5
-5
-6
0.00
1.57
3.14
4.71
-6
0.00
6.28
1
-4
-5
1.57
3.14
4.71
-6
0.00
6.28
1.57
3.14
4.71
6.28
Zeigerdiagramm
für U und I:
U
Zeitfunktionen u(t)
und i(t):
u ( t ) = u *sin( ω t )
i ( t ) = i *sin( ω t )
Phasenbeziehung
zwischen u und i:
i und u verlaufen
gleichphasig,
zeitabhängiger
Widerstand:
u( t )
= const. für alle t
i( t )
Wirk- bzw.
Blindwiderstand:
U
= R
I
Wirkwiderstand
U
U
u(t)
ϕi,u = 0
6
5
4
Leistungskurve
p(t):
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
0.00
1.57
3.14
4.71
6.28
reine Wirkleistung, es
entsteht Wärme!
Wirk- bzw.
Blindleistung:
P=U*I
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QC =
QL=
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3. Reihenschaltungen aus R, C und L
3. 1. Die RC-Reihenschaltung
Vom Widerstand R wissen wir:
• Keine Verschiebung zwischen Strom und Spannung
• Der Widerstand ist konstant
• Der Widerstand setzt Wirkleistung um (Wärme, es entstehen Kosten)
Vom idealen Kondensator wissen wir:
• Der Strom eilt der Spannung um 90° vor
• Der „Widerstand“ eines Kondensators ist zeitabhängig
• Unabhängig von der Phasenverschiebung können wird den frequenzabhängigen
„Blindwiderstand“ XC = 1 / (ω*C) definieren.
• Der Kondensator setzt keine Wirkleistung um (nur „kostenlose“ Blindleistung!)
Wir betrachten jetzt eine Reihenschaltung aus R und C
an einer Sinusspannung mit dem Effektivwert U!
Die Spannungen UR und UC seien gleich groß.
R
U
I
UR
UC
Folgende Fragen sollen geklärt werden:
• Wie berechnet / ermittelt man die Gesamtspannung U?
• Welche Phasenverschiebung besteht zwischen dem Strom I und der Spannung U?
• Wie groß ist der Gesamtwiderstand der Schaltung? Ist dies ein Wirk- oder Blindwiderstand?
• Wie kann man den Strom berechnen?
• Welchen Wert hat die Gesamtleistung? Ist dies eine Wirk- oder eine Blindleistung?
Bevor wir loslegen, denken wir kurz nach:
• Beim Widerstand gilt ϕi,u = 0, beim Kondensator gilt ϕi,u = + 90°;
man könnte also erwarten, dass ϕi,u irgendwo dazwischen liegt?
• R hat einen Wirkwiderstand, C hat einen Blindwiderstand;
Also könnte der Gesamtwiderstand ein „Mittelding“ zwischen Wirk- und
Blindwiderstand sein?
• R setzt Wirkleistung um, beim Kondensator gibt es nur Blindleistung;
Ist die Gesamtleistung also eine „Mischung“ aus Wirk- und Blindleistung?
Rezept zur Lösung der Probleme (gilt für alle Reihenschaltungen aus R, L, C)
•
•
•
Zeigerdiagramm der Spannungen zeichnen (Spannungsdreieck);
dabei immer mit der in der Reihenschaltung gemeinsamen Größe I beginnen!
Aus dem Spannungsdreieck kann man den Winkel ϕi,u ermitteln bzw. berechnen.
Aus dem Spannungsdreieck das (kongruente) Widerstandsdreieck ableiten
(Division der Spannungen durch die gemeinsame Größe I)
Aus dem Spannungsdreieck das (kongruente) Leistungsdreieck ableiten
(Multiplikation der Spannungen mit der gemeinsamen Größe I)
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3. 2. Die RL-Reihenschaltung
R
Gegeben ist eine Reihenschaltung aus einem
Wirkwiderstand R und einer idealen Spule L:
(Die ideale Spule besteht aus einer reinen Induktivität):
U
UR
1. Erarbeiten Sie sich das
Spannungsdreieck und geben
Sie die trigonometrischen
Beziehungen in allgemeiner
Form an !
I
L
UL
cos ϕ =
sin ϕ =
tan ϕ =
Berechnen Sie U und ϕ, wenn
folgende Spannungen
gemessen wurden:
UR = 2 V
UL = 4 V
2. Leiten Sie aus dem
Spannungsdreieck in das
Widerstandsdreieck ab und
bestimmen Sie alle
Widerstandswerte
zahlenmäßig, wenn der
Gesamtstrom
I = 0,5 A ist!
3. Skizzieren Sie das
Leistungsdreieck und
bestimmen Sie die
verschiedenen Leistungen und
den Leistungsfaktor cos ϕ !
4. Welche Induktivität hat die
Spule, wenn die Frequenz der
anliegenden Spannung
f = 50 Hz ist?
5. Die Frequenz wird nun bei
konstanter Spannung U auf
f2 = 200 Hz erhöht;
Welche Werte nehmen I, UR,
UL , Z, S und ϕ an?
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Übungsaufgaben zu: Reihenschaltungen aus (zwei) Wechselstromwiderständen
1. Ein (idealer) Kondensator mit C = 5,6 µF und ein Widerstand mit R = 680 Ω liegen in Reihe an
einer Wechselspannung von 230 V / 50 Hz. Berechnen Sie:
Scheinwiderstand, Strom, Spannung UR, kapazitive Blindspannung und den Phasenwinkel!
2. Eine Reihenschaltung aus einem Widerstand R und einem Kondensator von C = 10 pF liegt an
einer Wechselspannung von 40 V / 100 MHz. Der Scheinwiderstand der Gesamtschaltung ist
300 Ω. Berechnen Sie Wirkwiderstand, Strom, Wirkspannung und die Blindspannung!
3. Ein Lötkolben nimmt am Netz (230 V / 50 Hz) eine Leistung von 100 W auf.
Durch Reihenschaltung eines Kondensators soll erreicht werden, daß dem Lötkolben in den
Lötpausen nur noch eine Spannung von 150 V zugeführt wird.
Skizzieren Sie die Schaltung und berechnen Sie die Kapazität des Kondensators sowie die
Wirkleistung des Lötkolbens in den Pausen!
4. An einer Wechselspannung von 106 V / 50 Hz liegen eine (ideale) Spule mit 2,4 H und ein
Widerstand mit R = 560 Ω in Reihe. Berechnen Sie:
Scheinwiderstand, Strom, Wirkspannung, Blindspannung und den Phasenverschiebungswinkel!
5. Wenn eine Spule an einer Gleichspannung U = 2 V liegt, wird eine Stromstärke I = 0,25 A
gemessen. Legt man diese Spule an eine Wechselspannung von 3 V / 10 kHz, so fließt ein Strom
von 0,955 mA. Berechnen Sie Wirkwiderstand, Scheinwiderstand und die Induktivität der Spule!
6. Zwei (reale) Spulen sind in Reihe geschaltet und liegen an einer Spannungsquelle mit einer
Frequenz von 50 Hz. Es gilt: R1 = 60 Ω, L1 = 100 mH, R2 = 120 Ω, L2 = 400 mH
Berechnen Sie den Scheinwiderstand und den Leistungsfaktor der Gesamtschaltung!
7. Eine Glühlampe (100 W) liegt an der Netzspannung U = 230 V / 50 Hz.
a) Berechnen Sie die Stromstärke I !
b) Die Stromstärke soll durch Vorschalten eines Widerstandes auf I = 300 mA reduziert werden;
Welcher Widerstand (Wert und Leistung) ist nötig und welche Gesamtleistung wird
umgesetzt?
c) Die Stromreduzierung auf 300 mA soll jetzt mit Hilfe eines Kondensators realisiert werden.
Berechnen Sie die Kapazität des Kondensators!
d) Welche der beiden Versionen ist „kostengünstiger“ ? Begründen Sie mit Hilfe der Leistungen!
Lösungen (Zahlenwerte in der Reihenfolge der Fragestellungen)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
886,2 Ω
253 Ω
5,15 µF
939,2 Ω
8Ω
239 Ω
435 mA
0,259 A
0,133 A
42,5 W
0,112 A
3,14 kΩ
0,753
237 Ω / 21,3 W
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176,5 V
33,83 V
147,5 V
21,33 V
39,88°
63,2 V
49,95 mH
85,1 V
53,4 °
69 W
5,74 µF
Kondensator
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3. 3. Die RLC-Reihenschaltung (Reihenschwingkreis)
Gegeben ist eine Reihenschaltung
aus einem Wirkwiderstand R,
einer idealen Spule L und einem
idealen Kondensator C:
Folgende Daten sind bekannt:
R = 10 Ω
L = 5 mH
C = 6 µF
f = 1 kHz
I=1A
R
U
UR
I
L
UL
C
UC
1. Berechnen Sie aus den
angegebenen Werten die
Spannungen UL, UR und UC!
Zeichnen Sie das Zeigerbild
der Spannungen! (evtl. auf der
Rückseite, Maßstab angeben!)
2. Ermittlen Sie die
Gesamtspannung U und den
Phasenwinkel ϕ zeichnerisch
und rechnerisch!
Welchen Wert hat der
Scheinwiderstand Z der
Gesamtschaltung?
3. Bei konstanter Stromstärke I
wird jetzt die Frequenz f
halbiert;
Welche Werte nehmen UR, UC,
UL, U und ϕ an ?
Skizzieren Sie das Zeigerbild
der Spannungen und
vergleichen Sie mit Teil 2!
4. Bei genau einer Frequenz ist
die Kondensatorspannung
genauso groß wie die
Spannung an der Spule!
Welche Bedingung muß dabei
erfüllt sein?
Berechnen Sie diese Frequenz
und geben Sie die allgemeine
Bestimmungsgleichung an !
Diese Frequenz heißt
Resonanzfrequenz f0 !
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4. Parallelschaltungen aus R, C und L
4.1 Die RC-Parallelschaltung (Kondensator-Ersatzschaltbild)
Vom idealen Kondensator wissen wir:
• Der Strom eilt der Spannung um 90° vor
• Der Kondensator setzt keine Wirkleistung um (nur „kostenlose“ Blindleistung!)
• Ein idealer Kondensator speichert die Ladung (Energie) unendlich lang.
• Ein idealer Kondensator entlädt sich nie!
Aus der Praxis wissen wir:
• Ein realer Kondensator entlädt sich irgendwann doch, also kein ideales Speichern!
• In der Schaltung wird er gelegentlich ein bisschen warm, also doch Verlustleistung!
Wie kann man sich einen realen Kondensator im Modell vorstellen (Ersatzschaltbild)?
Folgende Fragen sollen nun geklärt werden:
• Wie berechnet / ermittelt man den Gesamtstrom I?
• Welche Phasenverschiebung besteht zwischen dem Strom I und der Spannung U?
• Wie groß ist der Gesamtwiderstand der Schaltung? Ist dies ein Wirk- oder Blindwiderstand?
• Welchen Wert hat die Gesamtleistung? Ist dies eine Wirk- oder eine Blindleistung?
• Warum rechnet man bei Parallelschaltungen lieber mit den „Leitwerten“?
• Wodurch entstehen bei einem realen Kondensator Verluste?
• Was bedeutet der Verlustfaktor tan δ ?
Bevor wir loslegen, denken wir kurz nach (wie auch schon bei der RC-Reihenschaltung!):
• Beim Widerstand gilt ϕi,u = 0, beim Kondensator gilt ϕi,u = + 90°;
man könnte also erwarten, dass ϕi,u irgendwo dazwischen liegt?
Da nur R und C vorhanden sind, MUSS der Strom der Spannung voreilen!
• R hat einen Wirkwiderstand, C hat einen Blindwiderstand;
Der Gesamtwiderstand wird also wieder ein Scheinwiderstand sein!
• R setzt Wirkleistung um, beim Kondensator gibt es nur Blindleistung;
Die Gesamtleistung wird also eine Scheinleistung sein!
Rezept zur Lösung der Probleme (gilt für alle Parallelschaltungen aus R, L, C)
•
•
•
Zeigerdiagramm der Ströme zeichnen (Stromdreieck);
dabei immer mit der in der Parallelschaltung gemeinsamen Größe U beginnen!
Aus dem Stromdreieck kann man den Winkel ϕi,u ermitteln bzw. berechnen.
Aus dem Stromdreieck das (kongruente) Leitwertdreieck ableiten
(Division der Ströme durch die gemeinsame Größe U)
Wichtig: Für eine Parallelschaltung niemals ein Widerstandsdreieck zeichnen!
Aus dem Stromdreieck das (kongruente) Leistungsdreieck ableiten
(Multiplikation der Ströme mit der gemeinsamen Größe U)
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4.2 Die RL-Parallelschaltung
I
Ein Wirkwiderstand und eine (ideale) Spule sind parallelgeschaltet
und liegen an der Spannung U:
IR
IL
1. Erarbeiten Sie das Strom-Spannungszeigerbild und geben Sie
U
R
die trigonometrischen Beziehungen in allgemeiner Form an!
(Tipp: Beginnen Sie mit der Größe, die beiden Bauteilen
gemeinsam ist.)
Bestimmen Sie I und ϕ zahlenmäßig, wenn IR = 2 A und
IL = 3 A gemessen wurde!
2. Zeichnen Sie das Leitwertdiagramm und berechnen Sie alle Leitwerte, wenn die
Gesamtspannung U = 10 V ist!
3. Berechnen Sie alle Widerstände!
4. Zeichnen Sie das Leistungsdreieck und berechnen Sie die verschiedenen Leistungen und den
Leistungsfaktor cos ϕ !
5. Welche Frequenz hat die anliegende Wechselspannung, wenn die Induktivität
der Spule L = 30 mH ist ?
6. Wie ändert sich der Gesamtstrom I, wenn die Frequenz um 100 Hz erhöht wird ?
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L
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4. 3. Die RLC – Parallelschaltung (Parallelschwingkreis)
I
Bei einer RLC - Parallelschaltung liegen alle
drei Bauteile an der gleichen Spannung U.
IR
U
R
IL
IC
L
C
1. Skizzieren Sie das Strom-Spannungszeigerbild für die Spannung U und die Ströme
IR, IC, IL und den Gesamtstrom I ! (der Strom IC soll größer sein als IL)
Es gilt: Die Schaltung wirkt
kapazitiv (d.h. I vor U) wenn:
induktiv (d.h. I nach U) wenn:
ohmsch (d.h. I und U gleichphasig) wenn:
2. Erarbeiten Sie aus dem Stromdreieck das Leitwertdreieck und geben Sie die
Berechnungsformel für Y und die Winkelfunktionen an !
3. Welche Bedingung muß erfüllt sein, damit IL genauso groß wird wie IC ?
Ermitteln Sie aus dieser Bedingung die Formel für die Resonanzfrequenz f0 !
4. Wie groß sind bei der Resonanzfrequenz I, Y und Z ?
5. Wie läßt es sich erklären, daß bei der Resonanzfrequenz die Ströme IL und IC größer sein
können als der Gesamtstrom I ?
6. Skizzieren und begründen Sie die Z(f), I(f) und ϕ(f), wenn die Frequenz
von f = 0 Hz bis ∞ Hz durchgestimmt wird!
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Übungen zu: Parallelschaltungen von Wechselstromwiderständen
1) Ein Kondensator mit C = 1 µF und ein Widerstand R = 1 kΩ sind parallelgeschaltet und liegen an
einer Spannung U = 10 V.
a) Welche Frequenz muss eingestellt werden, damit der Blindwiderstand XC = 1 kΩ wird?
b) Berechnen Sie Blindleitwert, Wirkleitwert, Scheinleitwert und den Phasenwinkel !
c) Berechnen Sie alle Ströme und Leistungen in der Schaltung!
2) Ein Elektrolytkondensator hat bei 50 Hz einen Verlustfaktor tan δ = 200 * 10 -3;
die Kapazität ist C = 470 µF. (Hinweis: ϕ = 90° - δ)
Berechnen Sie Blindwiderstand, Blindleitwert, Wirkwiderstand, Wirkleitwert, Scheinleitwert
und den Phasenwinkel !
3) Ein (realer) Kondensator mit C = 2,2 nF, tan δ = 10 * 10 -3 und ein zusätzlicher Widerstand
R = 820 kΩ werden bei f = 1 kHz parallelgeschaltet.
a) Skizzieren Sie die Schaltung und ermitteln Sie Blindwiderstand und Blindleitwert des
Kondensators!
b) Ermitteln / berechnen Sie von der Gesamtschaltung den Wirkleitwert, den Scheinleitwert,
den Scheinwiderstand und den Phasenwinkel !
4) Eine (ideale) Spule mit L = 0,7 H und ein Widerstand R = 250 Ω liegen parallel
an 230 V / 50 Hz. Wie groß sind:
Wirkstrom, Blindstrom, Gesamtstrom, Phasenwinkel, Scheinleitwert und Scheinwiderstand?
5) Eine Parallelschaltung aus R = 100 Ω und L = ? nimmt einen Gesamtstrom von 2,4 A auf;
der Leistungsfaktor ist 0,75. Ermitteln Sie:
den Phasenwinkel, den Blindstrom, den Wirkstrom, alle Leitwerte und den Scheinwiderstand!
6) Ein Kondensator mit C = 5 µF, eine Spule mit L = 2,5 H und ein Widerstand mit
R = 560 Ω liegen parallel an 230 V / 50 Hz.
Berechnen Sie alle Ströme, alle Leitwerte, den Scheinwiderstand und alle Leistungen!
7) Eine Spule (L = 400 mH), ein Kondensator (C = 20 µF) und ein Widerstand (R = 1 kΩ)
liegen parallel an 24 V / 50 Hz.
Wie groß sind: Gesamtstrom, Scheinleitwert und Scheinleistung der Schaltung?
Lösungen: (Reihenfolge wie in den Fragestellungen)
(Je nach Lösungsweg können sich bei den Zahlenwerten geringfügige Abweichungen ergeben)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
f = 159 Hz
IR = 10 mA
XC = 6,77 Ω
XC = 72,34 kΩ
IR = 0,92 A
ϕ = 41,4°
IR = 0,41 A
Z = 552 Ω
I = 47,5 mA
BC = 1 mS
IC = 10 mA
BC = 147,6 mS
BC = 13,82 µS
IL = 1,05 A
IL = 1,58 A
IL = 0,29A
S = 96,6 VA
Y = 1,98 mS
G = 1 mS
I = 14,1 mA
R = 33,8 Ω
G = 1,35 µS
I = 1,41 A
IR = 1,8 A
IC = 0,36A
P = 96 W
S = 1,14 VA
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Y = 1,41 mS ϕ = 45°
P = 100 mW QC = 100 mvar
G = 29,5 mS Y = 150,5 mS
Y = 13,88 µS Z = 72,04 kΩ
Y = 6,06 mS
ϕ = 48,7°
G = 10mS
BL = 8,81mS
I = 0,41 A
G = 1,78mS
Q = 15,41 var kapazitiv)
S=141 mVA
ϕ = 78,69°
ϕ = 84,42°
Z = 165,1 Ω
Y =13,32mS Z=75 Ω
BL = 1,27mS BC=1,57mS
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5. Gemischte Schaltungen (äquivalente Ersatzschaltung)
Übungsaufgabe zu: GEMISCHTEN SCHALTUNGEN
Eine reale Spule und ein realer Kondensator sind in Reihe geschaltet.
Folgende Werte sind bekannt:
Spule:
RV = 200 Ω
XL = 500 Ω
Kondensator:
XC = 400 Ω
RP = 1 k Ω
Die Frequenz der anliegenden Spannung ist 1 kHz,
die gesamte Schaltung wird von einem Strom I = 10 mA durchflossen.
Gesucht sind: rechnerisch:
• Scheinwiderstand Z
• Phasenwinkel ϕ zwischen I und U
• Gesamtspannung U
• Welches Bauteil müßte man in Reihe dazu schalten, damit die
Schaltung rein ohmsch wirkt ?
zeichnerisch:
• komplettes maßstäbliches I-U-Zeigerdiagramm
( Maßstab: 1 V = 2 cm, 1 mA = 1 cm )
Lösungshinweise:
rechnerisch:
1. Wandeln Sie die Parallelschaltung in die äquivalente Reihenersatzschaltung um und berechnen
Sie die Bauteile der Reihenschaltung ! ( Zp = 371 Ω, ϕp = 68,2 °, RR = 138 Ω, XCR = 344 Ω )
2. Berechnen Sie in der RLC - Reihenschaltung den Phasenwinkel und die
Gesamtspannung U ! ( Z = 372 Ω, ϕ = 24,8 °, U = 3,72 V )
3. Im Widerstandsdreieck der RLC - Reihenschaltung können Sie erkennen,
welches Bauteil nötig ist. ( C = 1 µF )
zeichnerisch:
4. Fertigen Sie vor der exakten zeichnerischen Lösung zunächst eine Prinzipskizze
des Zeigerbildes an !
Aus der zeichnerischen Lösung sollten Sie die gleichen Werte erhalten wie aus der rechnerischen !
Auch hier können Sie erkennen, welche Spannung UC an dem zusätzlichen Bauteil abfallen muss,
damit die Schaltung rein ohmsch wirkt !
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Seite: 23 / 37
Beispiel zur äquivalenten Ersatzschaltung
Eine reale Spule (Verlustwiderstand
R = 100 Ω, Induktivität L = 40 mH)
und ein idealer Kondensator mit
C = 1 µF sollen bei f = 800 Hz
parallelgeschaltet werden.
I
IR
UR
IC
R
U
Zu bestimmen sind Scheinleitwert und
Phasenwinkel der Gesamtschaltung.
C
UL
L
Zur Lösung des Problems muß zuerst die RL-Reihenschaltung in die äquivalente
RL-Parallelschaltung umgewandelt werden.
Dazu müssen die beiden Äquivalenzbedingungen erfüllt sein:
1.
2.
Schaltskizze und Zeigerbild der
RL-Reihenschaltung:
Schaltskizze und Zeigerbild der
RL-Parallelschaltung:
Berechnung von ZR und ϕR:
Berechnung von G und BL:
Man erhält folgende RLC-Parallelschaltung:
Leitwertdreieck der RLC-Parallelschaltung:
Berechnung von Y und ϕ der Gesamtschaltung:
Die Gesamtschaltung wirkt kapazitiv / induktiv / ohmsch, weil:
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Seite: 24 / 37
Übungsaufgabe zu gemischten Schaltungen:
Aufgabe 1 aus der Abitur-Nachprüfung 1981/82 (W8)
An der abgebildeten Schaltung soll die
Spannung U jeweils so eingestellt werden,
daß bei unterschiedlichen Frequenzen f immer
ein konstanter Strom I = 10 mA fließt. Das
Verhalten der Schaltung ist zu untersuchen!
I
U1
U
R1
IR
IL
R2
U2
L
1. Durch Messung wurden folgende Werte ermittelt:
I = 10 mA; f = 20 kHz;
U1 = U2 = 10 V;
U = 18,48 V
a) Berechnen Sie R1 !
0,5
b) Zeichnen Sie das maßstäbliche Zeigerdiagramm für alle eingezeichneten Spannungen und
Ströme ! Maßstab: 1 cm = 2 V; 1 cm = 2 mA
4
c) Berechnen Sie den Winkel ϕ zwischen U1 und U,
sowie den Winkel ϕ1 zwischen U1 und U2 !
3
d) Berechnen Sie die Werte von R2 und L !
5
2. Ermitteln Sie U für die Sonderfälle f = 0 Hz und f → ∞ !
Skizzieren Sie den Verlauf der Spannung U in Abhängigkeit der Frequenz f in ein
Koordinatensystem !
3
3. Ermitteln Sie den Winkel ϕ zwischen I und U für die Sonderfälle f = 0 Hz und f → ∞ !
Skizzieren Sie den Verlauf des Phasenwinkels ϕ in Abhängigkeit der Frequenz f in ein
Koordinatensystem !
Hinweis: Der Verlauf ϕ(f) hat bei f = 20 kHz einen Extremwert.
3
4. Berechnen Sie IL für den Fall f = 100 kHz und I = 10 mA !
4
Lösungen: (Zahlenwerte)
1. a) R1 = 1 kΩ
d) R2 = 1,41 kΩ
2. f = 0: U = 10 V
3. f = 0: ϕ = 0°
4. IL = 1,96 mA
c) ϕ = 22,5°
L = 11,25 mH
f -> ∞: U = 24,1 V
f= 20 kHz: ϕ = 22,5°
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ϕ1 = 45°
f -> ∞: ϕ = 0°
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Seite: 25 / 37
6. Einfache Filterschaltungen
6. 1 Einfache Tiefpass-Schaltungen
Forderungen an einen Tiefpass:
Die Ausgangsspannung UA soll bei kleinen Frequenzen → UE, bei großen Frequenzen → 0 gehen!
Allgemeine Struktur eines Tiefpasses:
Bedingungen:
f → 0:
f→∞:
Zwei praktische Realisierungsmöglichkeiten:
1. Schaltung aus R und C:
2. Schaltung aus L und R:
Grenzfrequenz fg für RC-TP:
Grenzfrequenz fg für LR-TP:
Spannungsverhältnis UA / UE:
Spannungsverhältnis UA / UE:
UA
=
UE
UA
=
UE
Verlauf des "Amplitudengangs" UA / UE über der Frequenz (für beide Tiefpässe gleich):
Zeigerbild für den RC-TP:
Verlauf des Phasengangs ϕUA, UE(f)
(für beide Schaltungen gleich)
Zeigerbild für den LR-TP:
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Beispiel zu Tiefpass-Schaltungen
Gegeben ist ein RC-Tiefpass mit R = 10 kΩ und C = 15,9 nF.
1. Bestimmen Sie die Grenzfrequenz des TP´s!
2. Am Eingang dieses TP liegt eine Sinusspannung mit UE = const. = 5 V an (Effektivwert!).
Welche Werte nimmt UA an, wenn folgende Frequenzen eingestellt werden:
100 Hz, 500Hz, 1 kHz, 5 kHz, 10kHz?
Zeichnen Sie ein Diagramm, in dem der prinzipielle Verlauf von UA / UE über der Frequenz
aufgetragen ist !
3. Bestimmen Sie für obige Frequenzen jeweils den Phasenwinkel zwischen UA und UE !
(Vorsicht: Der Winkel zwischen UA und UE entspricht nicht dem Winkel zwischen I und U !
Hilfe bringt ein prinzipielles Zeigerdiagramm!)
Zeichnen Sie ein Diagramm, in dem der prinzipielle Verlauf von ϕUA, UE über der Frequenz
aufgetragen ist ! (Vorzeichen beachten: "Welche Phasenlage hat UA gegenüber UE ?")
Der RC-Tiefpass soll nun durch einen RL-Tiefpass ersetzt werden !
Zeichnen Sie die entsprechende Schaltung und geben Sie die Beziehung für die Grenzfrequenz
eines RL-TP in allgemeiner Form an !
Berechnen Sie die Induktivität der Spule, wenn der TP bei R = 10 kΩ die gleiche Grenzfrequenz
wie der RC-TP haben soll !
Vergewissern Sie sich durch prinzipielle Überlegungen, daß dieser TP den gleichen Amplitudenund Phasengang hat wie der RC-TP !
(z. B. f → 0 ⇒ XL → ... usw. .)
Reiner LC- Tiefpass:
7. Welchen Vorteil gegenüber den bisher genannten Schaltungen hätte ein TP, der nur aus Spule
und Kondensator besteht ?
8. Wie lautet hier die Beziehung für die Grenzfrequenz ?
9. Was würde passieren, wenn man diese Schaltung an eine konstante Spannung legen würde ?
10.
Warum kann es in der Praxis also keine reinen LC-Tiefpässe geben ?
Lösungen: (Zahlenwerte)
1. 1 kHz
2. 4,975 V / 4,472 V / 3,535 V / 0,98 V 0,497 V
3. -5,7° / -26,5° / -45° / -78,7° / -84,28°
4. fG = R / 2πL
5. L = 1,59 H
8. f 0 =
1
2π
LC
(entspricht Resonanzfrequenz!)
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6.2 Einfache Hochpass-Schaltungen
Forderungen an einen Hochpass:
Die Ausgangsspannung UA soll bei kleinen Frequenzen → 0, bei großen Frequenzen → UE gehen!
Allgemeine Struktur eines Hochpasses:
Bedingungen:
f → 0:
f→∞:
Praktische Realisierungsmöglichkeiten:
Schaltung aus R und C:
Schaltung aus R und L:
Grenzfrequenz fg für CR-HP:
Grenzfrequenz fg für RL-HP:
Spannungsverhältnis UA / UE:
Spannungsverhältnis UA / UE:
UA
=
UE
UA
=
UE
Verlauf des "Amplitudengangs" UA / UE über der Frequenz (für beide Hochpässe gleich):
Zeigerbild für den CR-HP:
Verlauf des Phasengangs ϕUA, UE(f)
(für beide Schaltungen gleich)
Zeigerbild für den RL-HP:
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6. 3. Bandpässe und Bandsperren
Bandpässe sollen einen bestimmten Frequenzbereich gut durchlassen ("passieren lassen"),
Bandsperren sollen einen festgelegten Bereich stark abschwächen (dämpfen)!
Einen einfachen Bandpass erhält man, indem man einen Tief- und Hochpass in Kette schaltet:
R
UE
C
C
UA
UE
R
UA
Verlauf UA / UE für den Tiefpass:
Verlauf UA / UE für den Hochpass:
zusammengeschaltet erhält man:
für die Grenzfrequenzen muß gelten:
Mit Hilfe einer RLC-Reihenschaltung läßt sich ebenfalls ein Bandpass realisieren:
C
Bei UE = const. gilt für Z und I: Verlauf von Z und I über f:
L
UE
R
Wenn man die Ausgangsspannung UA über R abgreift, erhält man folgenden Amplitudengang:
Begriffe bei einem Bandpass:
f0:
fgu:
fgo:
∆f:
I-U-Zeigerbild der
RLC-Reihenschaltung:
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Für den Phasengang ϕUA, UE erhält man:
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6.4 Die Brückenschaltung als ALLPASS
Die nebenstehende Brückenschaltung stellt einen
sog. ALLPASS dar. Bei gleichmäßiger
Veränderung der beiden Widerstände verändert sich
nur der Phasenwinkel zwischen U2 und U1,
während die Ausgangsspannung U2 konstant bleibt.
C
U1
R
A
Gegeben sind folgende Werte:
U1 = 12 V
f=
700 Hz
R=
C=
470 nF
330 Ω
R
B
U2
C
1. Berechnen Sie die Teilspannungen UR und UC !
2. Zeichnen Sie ein maßstäbliches Zeigerdiagramm für alle Teilspannungen, sowie für die
Eingangsspannung U1 und Ausgangsspannung U2!
(Maßstab: 1 V = 1 cm, vorher Prinzipskizze anfertigen!).
Ermitteln Sie daraus den sog. Übertragungsfaktor A = U2 / U1 der Schaltung !
3. Wie hängt der Übertragungsfaktor A von der Frequenz ab ?
Zeichnen Sie für die beiden Fälle f → 0 und f → ∞ die Ersatzschaltbilder und ermitteln Sie
jeweils den Übertragungsfaktor!
Begründen Sie ihre Überlegungen mit dem Zeigerdiagramm !
4. Zeigen Sie mit Hilfe des Zeigerdiagramms, daß für den Phasenwinkel ϕ zwischen U1 und U2
gilt: tan (ϕ/2) = ω R C !
5. Welche Grenzwerte des Phasenwinkels ϕ ergeben sich für f → 0 und f → ∞ ?
Bei welcher Frequenz f0 beträgt der Winkel ϕ = 90° ?
6. Obige Schaltung wird als Phasenschieber in der Meßtechnik eingesetzt.
Dabei werden beide Widerstände R gleichmäßig verstellt. Der Übertragungsfaktor A soll dabei
angeblich konstant bleiben ? Überprüfen Sie diese Behauptung!
7. Warum könnten u1(t) und u2(t) nicht gleichzeitig auf dem Oszilloskop dargestellt werden ?
(Man könnte dann die Veränderung des Phasenwinkels beim Verändern der Frequenz
beobachten)
8. Welche grundlegende Änderung ergibt sich im Zeigerdiagramm, wenn nur ein Widerstand
verändert wird ? Welche Auswirkung hat dies auf den Übertragungsfaktor ?
Lösungen: (Zahlenwerte)
1. UR = 6,8 V, UC = 9,9 V
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6.5 Die Darstellung von Frequenzgängen
Im Bild sehen Sie die
Darstellung der sog.
Dämpfungskurven im
Tonregelteil eines
HiFi-Verstärkers:
(Dabei geht es hier
weniger um die
Kurven, als viel mehr
um die Teilung der
Achsen!)
Auffallend sind zwei Tatsachen:
1. Die waagrechte Achse ist nicht linear geteilt!
2. Auf der senkrechten Achse ist eine bis jetzt unbekannte Einheit „dB“ aufgetragen!
Da diese Art der Darstellung bei Frequenzgängen (im Zusammenhang mit Filtern, Verstärkern oder
allgemein bei Vierpolen) sehr häufig verwendet wird, wollen (sollen) wir uns mit ihr etwas
intensiver beschäftigen!
IE
IA
Gegeben sei ein beliebiger Vierpol. Dies kann
sowohl ein Verstärker als auch irgendeine
unbekannter
UE
UA
Filterschaltung sein! (Ein Vierpol ist eine
Vierpol
Schaltung mit zwei Eingangs- und zwei
Ausgangsklemmen!)
Die (Spannungs-) Verstärkung V können wir
Betrachtet man das umgekehrte Verhältnis der
definieren als:
Spannungen, so erhält man die Dämpfung D!
U
U
V= A
D= E
UE
UA
In der Praxis geläufig ist allerdings eine logarithmische Darstellung. Man erhält dann das
Verstärkungsmaß:
Dämpfungsmaß:
U
v
= 20 * lg A
dB
UE
U
a
= 20 * lg E
dB
UA
„dB“ steht dabei für „Dezibel“ (dezi-Bel, d.h. 1/10 Bel!), lg ist der Zehnerlogarithmus!
Ein kleines Beispiel: UE = 10 V
UA = 5 V (d.h. dieser Vierpol schwächt das Signal ab!)
V = 0,5 (keine Verstärkung!)
D = 2 (Signal wird gedämpft!)
v
= 20 * lg(0,5) = − 6
dB
a
= 20 * lg(2) = 6
dB
Man sieht:
v = -a
V = 1/D
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Beispiel zur Darstellung des Frequenzgangs in logarithmischer Darstellung
Gegeben ist ein einfacher RC-Tiefpass.
Für diesen TP soll der Frequenzgang in allen möglichen
Formen dargestellt werden!
UA
Die normierte Darstellung des „Amplitudengangs“
:
UE
R
UE
C
UA
Tabelle zur Berechnung von:
f
fg
0,001
0,01
0,1
1
10
100
1000
UA
UE
v in dB
UE
UA
a in dB
Erstellung einer logarithmisch geteilten Skale:
Logarithmisches Papier kauft man sich in der Papierhandlung oder man fertig es selbst an !
Beispiel: Es sollen 6 Dekaden dargestellt werden.
Dazu wählt man 6 gleich große Abschnitte, z.B. 6 * 4 cm
Zwischenwerte erhält man folgendermaßen:
z. B. f/fg = 2:
lg 2 * 4 cm = 1,2 cm
z. B. f/fg = 5:
lg 5 * 4 cm = 2,8 cm
z. B. f/fg = 8:
lg 8 * 4 cm = 3,6 cm
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7. Anwendungen von gemischten Schaltungen
7.1 Blindleistungskompensation
Bei einer haushaltsüblichen Leuchtstofflampe hat die „Röhre“ eine sog. Brennspannung von
ca. 110 V; dies bedeutet, dass die Lampe natürlich nicht direkt ans 230 V – Netz angeschlossen
werden kann. Man verwendet üblicherweise eine Vorschaltdrossel, um die überflüssige Spannung
zu „verbraten“. Diese Drossel hat natürlich eine Induktivität und setzt somit eine induktive
Blindleistung um. Dies ist von den EVU’s nicht gewünscht; sie verlangen in den technischen
Anschlussbedingungen, dass „pro Außenleiter lediglich ca. 130 W unkompensiert betrieben werden
dürfen“. Diesen Wert hat man mit zwei Leuchtstofflampen schon erreicht, also muss man
kompensieren!
Was bedeutet eigentlich „Kompensation“? Was bewirkt sie? Welche Vorteile bringt sie?
Versuch:
Eine Leuchtstofflampe mit Drossel wird am
Netz 230 V / 50 Hz angeschlossen;
Bei verschiedenen parallel geschalteten Kondensatoren
wird der Gesamtstrom gemessen und die Wirkung auf die
Helligkeit der Lampe beobachtet.
Ergebnisse:
C in µF:
230 V / 50 Hz
L
L
Spule 1
Spule 2
RV
RV
Leuchtstofflampe
mit Starter
Leuchtstofflampe
mit Starter
C
I in A:
U*I
induktiver Zweig
kapazitiver Zweig
Erkenntnisse aus dem Versuch:
Definition „Kompensation“:
Das Ausgleichen einer vorhandenen (induktiven) Blindleistung (z. B. Leuchtstofflampe, Maschine)
mit Hilfe eines parallel geschalteten Kondensators bezeichnet man als „Parallelkompensation“!
Wenn der Kondensator den richtigen Wert hat, wird die induktive Blindleistung „voll kompensiert“;
die Gesamtschaltung setzt dann reine Wirkleistung um!
Ist die Kapazität des Kondensators zu klein, spricht man von „Teilkompensation“, wird der Wert zu
groß gewählt, hat man eine „Überkompensation“!
Wie berechnet man den richtigen Kapazitätswert?
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Übungsaufgaben zur Blindleistungskompensation
Aufgabe 1
Eine Leuchtstofflampe mit 65 W wird mit einer Drosselspule an 230 V / 50 Hz betrieben.
Ein Wirkleistungsmesser zeigt dabei eine Gesamtleistung von 80 W bei einem
Strom von I = 0,68 A an.
a) Skizzieren Sie die gesamte Schaltung!
b) Berechnen Sie die Schein- und die Blindleistung! Welchen Wert hat der Leistungsfaktor?
c) Berechnen Sie die Spannungen an allen Bauteilen!
d) Berechnen Sie den Widerstand der Lampe, sowie Verlustwiderstand und Induktivität der Spule!
e) Die Blindleistung der Spule soll voll kompensiert werden.
Berechnen Sie den benötigten Parallelkondensator!
f) Welcher Kondensator ist nötig, wenn nur eine Kompensation auf cos ϕ = 0,85 verlangt wird?
g) Der Kondensator aus e) wird versehentlich in Reihe zur Lampe geschaltet?
Welcher Strom fließt jetzt in der Schaltung und welche Wirkleistung wird dabei in der Lampe
umgesetzt?
Aufgabe 2
Die elektrischen Eigenschaften einer
Handbohrmaschine sollen ermittelt werden.
Dazu wird sie mit einem ohmschen
Widerstand R1 = 40 Ω in Reihe geschaltet und
an 230 V / 50 Hz angeschlossen. Legt man für
die Bohrmaschine die Reihenersatzschaltung
aus R2 und L2 zugrunde, so erhält man
nebenstehende Schaltung und Spannungen:
UR1 = 85 V
UR2
UL2
R1 = 40 Ohm
R2
L2
U = 230 V
U2 = 160 V (Maschine)
a) Zeichnen Sie das Zeigerbild und ermitteln Sie die Spannungen UR2 und UL2 !
Maßstab: 1 cm = 20 V
b) Berechnen Sie die Spannungen UR2 und UL2 !
c) Wie groß sind R2 und L2 ?
d) Welche Schein- Wirk- und Blindleistung nimmt die Bohrmaschine auf, wenn sie ohne den
Vorwiderstand R1 an 230 V / 50 Hz betrieben wird?
Mit Hilfe eines Parallelkondensators soll die Blindleistungsaufnahme der Maschine so verringert
werden, dass der Gesamtstrom der Gesamtspannung nur noch um 15° nacheilt.
e) Zeichnen Sie ein maßstäbliches Zeigerdiagramm für die Spannungen und den Strom!
Maßstab: 1 cm = 20 V 1 cm = 0,25 A
f) Entnehmen Sie dem Zeigerdiagramm den Wert des Gesamtstromes, der in der Zuleitung fließt!
g) Berechnen Sie Schein- Wirk- und Blindleistung der Gesamtschaltung!
h) Welchen Wert muss der Parallelkondensator haben?
Lösung Aufgabe 1:
a) Skizze!
UR = 95,6 V
f) C = 5,11 µF
b) S = 156,4 VA
d) R = 140,6 Ω
g) I = 1,14 A
QL = 134,4 var
RV = 32,5 Ω
P = 181,9 W
cos ϕ = 0,51
XL = 290,6 Ω
c) URV = 22,1 V
L = 926 mH
UL = 197,6 V
e) C = 8 µF
UL2 = 109 V
P = 515 W
P=
W
b) UR2 = 117 V
Q = 471 var
Q=
var
UL2 = 109 V
e) Zeichnen!
h) C = 20 µF
c) R2 = 55 Ω
f) I = 2,3 A
L2 = 0,16 H
Lösung Aufgabe 2:
a) UR2 = 117 V
d) S = 705 VA
g) S =
VA
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Beispiel zur Kompensation:
DUO-SCHALTUNG VON LEUCHTSTOFFLAMPEN
Wenn eine einzelne Leuchtstofflampe am Netz betrieben wird, so tritt der sog. Stroboskop-Effekt
auf: Die Lichtintensitat der Lampe nimmt alle 10 msec ein Maximum an und geht dazwischen auf
Null zurück. So kann es vorkommen, daß mit gleicher Frequenz umlaufende Maschinen scheinbar
stillstehen! Dies kann z. B. in Maschinenhallen zu erheblichen Gefahren führen Um diesen Effekt
zu verhindern, gibt es mehrere Möglichkeiten:
1. Die Lampen werden abwechselnd auf die drei Außenleiter des Drehstromnetzes verteilt. Da die
drei Außenleiterspannungen eine Phasenverschiebung von jeweils 120 ° gegeneinander haben
erhält man somit eine nahezu gleichbleibende Lichtintensität!
2. Verwendung der DUO-SCHALTUNG: Dabei werden in einer Leuchte zwei Lampen betrieben;
die eine wird mit einem induktiven, die andere mit einem kapazitiven Vorschaltgerät betrieben!
Die Duoschaltung sieht wie folgt aus:
230 V /50 H z
L
L
S pu el 1
RV
S pu el 2
RV
C
Leu ch ts ot ffalm pe
m itS ta r te r
ni du k tvi e rZw e gi
Leu ch ts to ffalm pe
m itS at r et r
kapa z itvi e rZw e gi
Die Lampen können im Betrieb als Wirkwiderstände aufgefaßt werden!
Folgende Daten sind bekannt:
L = 1,467 H
RV = 50 Ω
Bei einer Brennspannung von 100 V nehmen die
Lampen jeweils 42 W auf.
1. Bestimmen Sie für den induktiven Zweig:
Z1, I1, UXL1, URv1, den Phasenwinkel und den Leistungsfaktor!
2. Welcher Kondensator C ist nötig, damit der Phasenwinkel ϕ2 im kapazitiven Zweig
gleich -ϕ1 im induktiven Zweig wird ? Wie groß sind dabei: UC, UXL2, URv2 und I2 ?
3. Zeigen Sie mit Hilfe des vollständigen Zeigerdiagramms, daß die Gesamtschaltung keinen
weiteren Kompensationskondensator mehr braucht!
Maßstab: 0,1 A = 2 cm
20 V = 1 cm
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7.2 Beispiel zu gemischten Schaltungen: Die WIEN-Schaltung
Aufgabe 1 Wien-Brückengenerator mit Operationsverstärker
Die nebenstehende Schaltung wird in
der Elektrotechnik als Sinusoszillator
verwendet.
R1
U1
C1
Näheres zum Operationsverstärker
erfahren Sie im E-Technik-Studium,
hier geht es lediglich um die RCSchaltung aus R1, C1 und R2, C2!
R3
R2
C2
Diese RC-Schaltung wird als WIENGLIED bezeichnet!
U3
U2
R4
GND
Damit am Ausgang U3 eine Sinusspannung entsteht, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
1. die Amplitudenbedingung K * V >= 1 und
2. die Phasenbedingung ϕ U2, U3 = 0!
( V ist die Verstärkung, die sich durch die Beschaltung des Operationsverstärkers mit R3 und R4
ergibt, K ist die Dämpfung (Abschwächung), die durch die beiden RC-Glieder verursacht wird. Die
Dioden verhindern, daß die Ausgangsspannung zu groß wird.)
a) Erarbeiten Sie das prinzipielle Zeigerdiagramm für die Spannungen U1, U2 und U3
(Gesamtspannung) sowie für die Ströme IR2, IC2 und I (Gesamtstrom)!
b)“Wenn R1 = R2 und C1 = C2 ist, dann ist der Winkel zwischen U2 und U3 0° !"
Stimmt diese Behauptung?
c) Berechnen Sie den Gesamtwiderstand Z, wenn XC1 = 2 kΩ, XC2 = 4 kΩ,
R1 = 1 kΩ und R2 = 3 kΩ ist!
d) Wie groß ist der Phasenwinkel ϕ I, U3 (zwischen I und U3) ?
Aufgabe 2 Berechnung eines Wien-Gliedes
An nebenstehendem Wien-Glied sind folgende Daten bekannt:
R1 = R 2 =
27 kΩ
XC2 =
20 kΩ
C1 =
15 µF
Die Frequenz ist so eingestellt, daß U3 und U2
phasengleich sind.
a) Berechnen Sie die Spannung U3, wenn U2 = 6 V ist!
b) Berechnen Sie f und C2 !
c) Wie ändert sich die Phasenlage zwischen U2 und U3
prinzipiell, wenn die Frequenz erhöht bzw. reduziert wird?
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R1
U1
C1
U3
R2
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C2
U2
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7.3 Beispiel zu gemischten Schaltungen:
Mitkopplungsnetzwerk als Phasenschieber in einer Schwingschaltung
Oszillatoren arbeiten nach dem Prinzip der Mitkopplung, d. h. ein Teil der Ausgangsspannung muß
auf den Eingang zurückgeführt werden, um die Verluste durch reale Bauteile auszugleichen. Dabei
müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
1. die Amplitudenbedingung K * V >= 1 und
2. die Phasenbedingung ϕ = 0!
Ein einstufiger Verstärker macht von sich aus eine Phasendrehung von 180 ° (das Eingangssignal
wird invertiert, vgl. Transistorschalter!). Damit diese Phasendrehung wieder rückgängig gemacht
wird, muß das aus RC-Gliedern aufgebaute Mitkopplungsnetzwerk ebenfalls eine Phasendrehung
von 180 ° machen, damit die Phasenbedingung erfüllt wird!
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7.4 Übungsaufgaben zu Zeigerdiagrammen
In allen Schaltungen gilt:
Gesucht sind jeweils:
R = XC = XL = 10 Ω, UA = 1 V
Das komplette I-U-Zeigerbild, UE, IE, Zges und ϕges !
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