2 Formelsammlung

2
FORMELSAMMLUNG
2
1
Formelsammlung
2.1
Koordinatensysteme und Koordinatentransformation
Eine Übersicht der Orts- und Basisvektoren, der metrischen Faktoren sowie der Weg-, Flächen- und
Volumenelemente in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten findet sich auf Seite 2.
Eine Darstellung der Basisvektoren des Zylinder- oder Kugelkoordinatensystems durch die kartesischen
Basisvektoren ist mit den Transformationsmatrizen Tzk bzw. Tsk möglich. Die Rücktransformation
erfolgt dann jeweils durch Anwendung der inversen Matrix:


 
 
cos ϕ sin ϕ 0
~e%
~ex
z
z 




~eϕ = Tk ~ey
Tk = − sin ϕ cos ϕ 0
0
0
1
~ez
~ez


 
 
cos ϕ sin ϑ sin ϕ sin ϑ cos ϑ
~er
~ex
s
s 




~eϑ = Tk ~ey
Tk = cos ϕ cos ϑ sin ϕ cos ϑ − sin ϑ
− sin ϕ
cos ϕ
0
~ez
~eϕ
2.2
Differentialoperatoren und wichtige Identitäten
Schreibweise der Vektordifferentialoperatoren Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace mithilfe
´T
³
∂
∂
~ = ∂ = ∂
des Nabla-Operators ∇
. Es ist Φ(~r) ein Skalarfeld und F~ (~r) ein Vektorfeld.
∂~
r
~ r) = grad Φ(~r)
∇Φ(~
∂x
∂y
∂z
~ · F~ (~r) = div F~ (~r)
∇
~ × F~ (~r) = rot F~ (~r)
∇
~ · ∇Φ(~
~ r) = 4 Φ(~r)
∇
Eine explizite Darstellung der Vektordifferentialoperatoren in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten findet sich in der Tabelle auf Seite 2.
Seien c eine skalare Konstante, Φ bzw. Φi Skalarfelder und F~ bzw. F~i Vektorfelder (i = 1, 2). Dann gilt
³ ´
grad(cΦ) = c grad Φ
div cF~ = c div F~
³
´
grad(Φ1 + Φ2 ) = grad Φ1 + grad Φ2
div F~1 + F~2 = div F~1 + div F~2
³
´
grad(Φ1 · Φ2 ) = Φ2 grad Φ1 + Φ1 grad Φ2
div ΦF~ = grad Φ · F~ + Φ div F~
³
´
div F~1 × F~2 = F~2 rot F~1 − F~1 rot F~2
³ ´
rot cF~
³
´
rot F~1 + F~2
³
´
rot ΦF~
³
´
rot F~1 × F~2
= c rot F~
= rot F~1 + rot F~2
= grad Φ × F~ + Φ rot F~
³
´
³
´
³
´
³
´
~ F~1 − F~1 ∇
~ F~2 + F~1 div F~2 − F~2 div F~1
=
F~2 ∇
div (grad Φ) = 4 Φ
³
´
³
´
rot rot F~ = grad div F~ − 4 F~
³
´
div rot F~ = 0
rot (grad Φ) = ~0
2
kartesisch
Koordinatensystem
Koordinaten ui
Ortsvektor ~r
Metrische
¯
¯Faktoren
¯ ∂~r ¯
¯
hi = ¯¯
∂ui ¯
Basisvektoren
1 ∂~r
~ei =
hi ∂ui
Wegelement
X
d~r =
dui hi~ei
x
y
z
x~ex + y~ey + z~ez
zylindersymmetrisch
kugelsymmetrisch
%
ϕ
z
% cos ϕ~ex + % sin ϕ~ey + z~ez
r
ϑ
ϕ
r cos ϕ sin ϑ~ex + r sin ϕ sin ϑ~ey + r cos ϑ~ez
hx = 1
hy = 1
hz = 1
h% = 1
hϕ = %
hz = 1
hr = 1
hϑ = r
hϕ = r sin ϑ
~ex
~ey
~ez
~e%
~eϕ
~ez
~er
~eϑ
~eϕ
dx~ex + dy~ey + dz~ez
d%~e% + %dϕ~eϕ + dz~ez
dr~er + rdϑ~eϑ + r sin ϑdϕ~eϕ
i
Flächenelemente
Y
~ i = ~ei
dA
duj hj
j6=i
Volumenelement
Y
dV =
hi dui
~ x = dydz~ex
dA
~ y = dxdz~ey
dA
~ z = dxdy~ez
dA
~ % = %dϕdz~e%
dA
~ ϕ = d%dz~eϕ
dA
~ z = %dϕd%~ez
dA
~ r = r2 sin ϑdϕdϑ~er
dA
~ ϑ = r sin ϑdϕdr~eϑ
dA
~ ϕ = rdϑdr~eϕ
dA
dxdydz
%dϕd%dz
r2 sin ϑdrdϕdϑ
∂Φ
∂Φ
∂Φ
~ex +
~ey +
~ez
∂x
∂y
∂z
∂Fx ∂Fy
∂Fz
+
+
∂x
∂y
∂z
µ
¶
∂Fy
∂Fz
−
~ex
∂z ¶
µ ∂y
∂Fx ∂Fz
+
−
~ey
∂x ¶
µ ∂z
∂Fy
∂Fx
+
−
~ez
∂x
∂y
∂2Φ ∂2Φ ∂2Φ
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
∂Φ
1 ∂Φ
∂Φ
~e% +
~eϕ +
~ez
∂%
% ∂ϕ
∂z
1 ∂(%F% ) 1 ∂Fϕ ∂Fz
+
+
% ∂%
% ∂ϕ
∂z
µ
¶
∂Fϕ
1 ∂Fz
−
~e%
∂z¶
µ % ∂ϕ
∂F% ∂Fz
+
−
~eϕ
∂%
µ ∂z
¶
1 ∂(%Fϕ ) 1 ∂F%
+
−
~ez
% ∂%
% ∂ϕ
µ
¶
1 ∂
∂Φ
1 ∂2Φ ∂2Φ
%
+ 2
+
% ∂%
∂%
% ∂ϕ2
∂z 2
∂Φ
1 ∂Φ
1 ∂Φ
~er +
~eϑ +
~eϕ
∂r
r ∂ϑ
r sin ϑ ∂ϕ
1 ∂(r2 Fr )
1 ∂(sin ϑFϑ )
1 ∂Fϕ
+
+
r2 ∂r
r sin ϑ
∂ϑ
r sin ϑ ∂ϕ
µ
¶
∂(sin ϑFϕ ) ∂Fϑ
1
−
~er
rµsin ϑ
∂ϑ
∂ϕ¶
1 ∂Fr 1 ∂(rFϕ )
+
−
~eϑ
rµsin ϑ ∂ϕ r ¶∂r
1 ∂(rFϑ ) ∂Fr
+
−
~eϕ
r
∂r
∂ϑ
µ
¶
µ
¶
1 ∂
1
∂
∂Φ
1
∂2Φ
2 ∂Φ
r
+
sin
ϑ
+
r2 ∂r
∂r
r2 sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
r2 sin2 ϑ ∂ϕ2
i
Gradient
~ r)
grad Φ(~r) = ∇Φ(~
Divergenz
~ · F~ (~r)
div F~ (~r) = ∇
Rotation
~ × F~ (~r)
rot F~ (~r) = ∇
2
FORMELSAMMLUNG
Laplace-Operator
4 Φ(~r)
2
FORMELSAMMLUNG
2.3
3
Integralsatz von Gauß und Stokes
Für ein Vektorfeld F~ gilt der Gaußsche bzw. Stokessche Integralsatz wie folgt
˚
‹
~
~
F~ dA
Gauß
div F dV =
V
∂V
˛
¨
~ =
rot F~ dA
Stokes
A
F~ d~r
∂A
Hierin ist V ein beliebig wählbares Volumen und ∂V dessen Oberfläche sowie A eine beliebig wählbare
Fläche und ∂A deren Rand.
2.4
Häufig verwendete Identitäten
Darstellung der trigonometrischen und Hyperbelfunktionen durch die Exponentialfunktion
ejz − e−jz
2j
ejz + e−jz
cos z =
2
ez − e−z
2
ez + e−z
cosh z =
2
sin z =
2.5
sinh z =
Maxwell-Gleichungen, Materialgleichungen und Kontinuitätsgleichung
Die Maxwell-Gleichungen lauten in Differential- bzw. Integralform
‹
˚
~
~
~
div D = %V
DdA =
%V dV = Q
V
∂V
‹
~ =0
div B
~ A
~=0
Bd
∂V
˛
~
~ = − ∂B
rot E
∂t
¨
~ r=−
Ed~
∂A
˛
~
~ = J~ + ∂ D
rot H
∂t
¨
~ r=
Hd~
~
∂B
~
dA
∂t
A
¨
~ A
~+
Jd
A
∂A
~
∂D
~
dA
∂t
A
Materialgleichungen
³
´
~ = µ0 H
~ +M
~ = µ0 µr H
~
B
~ = ε0 E
~ + P~ = ε0 εr E
~
D
Kontinuitätsgleichung
˚
V
∂
~
div JdV
+
∂t
˚
‹
%V dV =
V
Stetigkeitsbedingungen der Felder an Grenzflächen
³
´
~2 −D
~ 1 = %F
~n · D
³
´
~2 − E
~1 = 0
~n × E
~
J~ = κE
~ A
~+ ∂Q=0
Jd
∂t
∂V
³
´
~2 − H
~ 1 = J~F
~n × H
³
´
~2 − B
~1 = 0
~n · B
Hierbei bezeichnet ~n den Normaleneinheitsvektor sowie %F die Flächenladungsdichte und J~F die Flächenstromdichte innerhalb der Grenzschicht.
~ und magnetischem Vektorpotential A
~ sowie CouZusammenhang zwischen magnetischer Flussdichte B
lomb- und Lorenz-Eichung des Vektorpotentials
~ r) = rot A(~
~ r)
B(~
~ r) = 0
div A(~
~ r) + εµ ∂Φ(~r) = 0
div A(~
∂t
4
2
FORMELSAMMLUNG
Beliebig veränderliche Felder, Erhaltungssätze
Definition der lokalen Leistungsflussdichte bzw. des Poynting-Vektors
~=E
~ ×H
~
S
~ = 1E
~ ×H
~∗
S
2
bzw. im Komplexen
Poyntingscher Satz in Differential- und Integralform sowie in komplexer Formulierung
µ
¶
³
´
~ J~ − ∂ 1 E
~D
~ + 1H
~B
~
~ = −E
~ J~ − ∂ we + wm = −E
div S
∂t
∂t 2
2
‹
˚
˚ ³
´
∂
~ JdV
~
~ A
~ = −
E
−
Sd
we + wm dV
∂t
V
V
∂V
¸
·
∗
∗
1
1
1 ~ ~∗
~
~
~
~
~
div S = − E J − 2jω H B − E D = −hpv i − 2jω(hwm i − hwe i)
2
4
4
˚
‹
˚
~ A
~ = −
Sd
(hwm i − hwe i)dV
hpv idV − 2jω
∂V
V
V
Definition des Maxwellschen Spannungstensors (Einheitsmatrix 1, dyadisches Produkt ~a ◦ ~b = ~a~bT )
·
¸
·
¸
1 ~2
1 ~ ~ 1 ~2
~
~
T = ε E ◦ E − 1E +
B ◦ B − 1B
2
µ
2
Kraftdichte und Gesamtkraft auf eine Ladungsverteilung
‹
˚
∂
∂ ~
~
~
~
~
F =
TdA −
εµSdV
f = div T − εµ S
∂t
∂t
V
∂V
Elektromagnetische Wellen
Inhomogene Wellengleichung für das elektrische und das magnetische Feld
2~
~ − εµ ∂ E
4E
∂t2
2~
~ − εµ ∂ H
4H
∂t2
= grad
³% ´
V
−µ
ε
∂ J~
∂t
= − rot J~
Phasengeschwindigkeit und Wellenwiderstand ebener Wellen in einem Medium mit Brechungsindex n
r
1
c
µ
1
1
√
vP = √ =
ZW =
=
= vP µ
mit
c= √
und n = εr µr
εµ
n
ε
vP ε
ε0 µ 0
Definition der Wellenzahl bzw. des Wellenzahlvektors
ω
nω
2π
k = |~k| =
=
=
vP
c
λ
Zusammenhang zwischen Ausbreitungsgeschwindigkeit, Wellenlänge und Frequenz bzw. Periodendauer
vP = λ f
mit
f=
1
ω
=
T
2π
Beziehung zwischen elektrischem und magnetischem Feld sowie dem Wellenzahlvektor
³
´
³
´
³
´
³
´
~
~ = ω B
~ × ~ek
~ = 1 ~k × E
~
~ = 1 ~ek × E
~ × ~k = ZW H
B
H
E
ω
ZW
k2
2
FORMELSAMMLUNG
5
Darstellung eines Wellenpaketes als gewichtete Überlagerung von Teilwellen unterschiedlicher Wellenzahlvektoren mit beliebiger Wichtungsfunktion W (k)
ˆ∞
~
Ψ(~r, t) =
W (k)ej(ωt−k~r) dk
−∞
Gruppengeschwindigkeit eines Wellenpaketes, dessen Wichtungsfunktion um eine bestimmte Wellenzahl k0 herum verteilt ist
¯
dω(k) ¯¯
vG =
dk ¯k=k0
Reflexion und Brechung
Reflexionsgesetz und (Snelliussches) Brechungsgesetz einer unter dem Winkel ϑ1 auf eine Grenzfläche
auftreffenden Welle
n2
k2
sin ϑ1
ϑ1 = ϑ1r
=
=
n1
k1
sin ϑ2
Reflexions- und Transmissionskoeffizient bei senkrechter sowie bei paralleler Polarisation (Fresnelsche
Beziehungen)
r⊥ =
Z2 cos ϑ1 − Z1 cos ϑ2
Z2 cos ϑ1 + Z1 cos ϑ2
t⊥ =
2Z2 cos ϑ1
= 1 + r⊥
Z2 cos ϑ1 + Z1 cos ϑ2
rk =
Z2 cos ϑ2 − Z1 cos ϑ1
Z2 cos ϑ2 + Z1 cos ϑ1
tk =
2Z2 cos ϑ1
cos ϑ1
=
(1 + rk )
Z2 cos ϑ2 + Z1 cos ϑ1
cos ϑ2
Erzeugung elektromagnetischer Felder
Retardiertes Skalar- und Vektorpotential
Φ(~r, t) =
~ r, t) =
A(~
µ
¶
˚
1
|~r − ~r0 |
1
0
%V ~r , t −
dV 0
4πε
|~r − ~r0 |
vc
V
µ
¶
˚
|~r − ~r0 |
1
µ
0
~
J ~r , t −
dV 0
4π
|~r − ~r0 |
vc
V
Retardiertes Vektorpotential bei harmonischer Zeitabhängigkeit
˚ −jk|~r−~r0 |
µ
e
~
~ r0 )dV 0
J(~
A(~r) =
4π
|~r − ~r0 |
V
Nahfeld- und Fernfeld-Näherung bei Betrachtung eines räumlich begrenzten Quellgebietes der Ausdehnung d am Beobachtungspunkt im Abstand r = |~r|
(
1
für d ¿ r ¿ λ (Nahfeld)
−jk|~
r−~
r0 |
e
≈
−jkr
e
für d ¿ λ ¿ r (Fernfeld)
Direktivität (Richtcharakteristik) einer Antenne, d.h. Normierung der mittleren räumlichen Energieflussdichte Sr auf die Abstrahlung eines isotropen Strahlers äquivalenter Abstrahlleistung hPa i
‹
¯ n o¯
Sr (ϑ, ϕ)
~ A
~ , Sr (ϑ, ϕ) = ¯¯Re S
~ ¯¯
D(ϑ, ϕ) = hP i
mit hPa i =
hSid
a
4πr2
AKugel
Magnetische Feldstärke im Fernfeld einer Linearantenne mit Stromverteilung I(~r0 )
µ
¶
ˆ
jk e−jkr
~r ~r0
~r
0
~
H(~r) =
I(~r ) exp jk
d~r0 ×
4π r
r
r
C
6
2
FORMELSAMMLUNG
Wellenleiter und Leitungstheorie
Darstellung der transversalen durch die axialen elektrischen und magnetischen
Feldkomponenten inp
nerhalb eines in z-Richtung verlaufenden Rechteckhohlleiters, wobei γ = ω 2 µε − k 2 die HohlleiterWellenzahl ist
·
¸
·
¸
j
∂Ez
j
∂Ez
∂Hz
∂Hz
Ex = − 2 k
Ey = − 2 k
+ ωµ
− ωµ
γ
∂x
∂y
γ
∂y
∂x
·
¸
·
¸
j
∂Hz
j
∂Hz
∂Ez
∂Ez
Hx = − 2 k
Hy = − 2 k
− ωε
+ ωε
γ
∂x
∂y
γ
∂y
∂x
Ausbreitung von Spannung und Strom innerhalb einer verlustlosen Zweidrahtleitung mit Induktivitätsbelag L0 und Kapazitätsbelag C 0 (Telegraphengleichungen), wobei gilt L0 C 0 = εµ = v12
P
∂U (z)
+ jωL0 I(z) = 0
∂z
∂I(z)
+ jωC 0 U (z) = 0
∂z
Telegraphengleichungen einer verlustbehafteten Zweidrahtleitung mit zusätzlichem Widerstandsbelag
R0 und Leitwertbelag G0 (R0 , G0 , L0 und C 0 werden als primäre Leitungsparameter bezeichnet)
¢
∂U (z) ¡ 0
+ R + jωL0 I(z) = 0
∂z
¢
∂I(z) ¡ 0
+ G + jωC 0 U (z) = 0
∂z
Entkoppelte Telegraphengleichungen der verlustbehafteten Zweidrahtleitung
∂ 2 U (z)
∂z 2
∂ 2 I(z)
∂z 2
=
¡
R0 + jωL0
¢¡ 0
¢
G + jωC 0 U (z) = γ 2 U (z)
=
¡
R0 + jωL0
¢¡ 0
¢
G + jωC 0 I(z) = γ 2 I(z)
Definition von Wellenwiderstand Z W und Ausbreitungsparameter γ (sekundäre Leitungsparameter)
s
p
R0 + jωL0
R0 + jωL0
ZW =
(R0 + jωL0 )(G0 + jωC 0 )
=
γ
=
γ
G0 + jωC 0
Definition von Induktivitätsbelag L0 und Kapazitätsbelag C 0 über das Skalarpotential Φ zwischen den
Leitern der Zweidrahtleitung, welches sich aus der Laplace-Gleichung 4 Φ = 0 bestimmen lässt
´
¸
grad Φd~r
(~ez × grad Φ) d~r
0
0
C
L = µ¸
C = ε ∂A ´
ez × grad Φ) d~r
r
∂A (~
C grad Φd~
Beziehungen zwischen Spannung und Strom am Eingang bzw. Abschluss einer Leitung der Länge l
µ ¶ µ
¶µ ¶
cosh(γl)
ZW sinh(γl)
Ue
Ua
=
1
sinh(γl)
cosh(γl)
Ie
Ia
ZW
Impedanztransformation der Abschlussimpedanz Za an den Eingang eines Leiterstückes
Ze = Za
1+
1+
ZW
Za
Za
ZW
tanh(γl)
tanh(γl)
Definition des Reflexionsfaktors an einer Stelle z der Zweidrahtleitung
r(z) =
Ze − ZW 2γz
Z(z) − ZW
e
=
Ze + ZW
Z(z) + ZW