Übungsaufgaben zur Stereostatik
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TECHNISCHE MECHANIK Übungsaufgaben zur Stereostatik Prof. Dr.-Ing. Andreas Ettemeyer Prof. Dr.-Ing. Oskar Wallrapp Dr. Bernd Schäfer Fachhochschule München Fakultät 06 - Feinwerk- und Mikrotechnik / Physikalische Technik Stand: V2.01, 18.09.2006 Technische Mechanik -2- Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 Inhalt: 1.1 1.2 1.3 1.4 Zentrales Kräftesystem .................................................................................................... 4 1.1.1 Massen an Mauerseil............................................................................................. 4 1.1.2 Seilkräfte ................................................................................................................ 5 1.1.3 Rollkugel ................................................................................................................ 6 1.1.4 Gleichgewicht am Seil ........................................................................................... 7 1.1.5 Riemenscheibe ...................................................................................................... 8 1.1.6 Seilrolle .................................................................................................................. 9 Kräftesysteme.................................................................................................................. 10 1.2.1 Kräftegruppen ...................................................................................................... 10 1.2.2 Parallele Kräftegruppen ....................................................................................... 11 1.2.3 Handbohrer .......................................................................................................... 12 1.2.4 Rohrkonstruktion.................................................................................................. 13 1.2.5 Motorprüfstand mit Reibbremse. ......................................................................... 14 Lagerreaktionen .............................................................................................................. 16 1.3.1 Leiter (1)............................................................................................................... 16 1.3.2 Körper auf Pendelstützen .................................................................................... 17 1.3.3 Stab mit Seil......................................................................................................... 18 1.3.4 Rollgelenk ............................................................................................................ 19 1.3.5 Tragrahmen ......................................................................................................... 20 1.3.6 Stab im Gleichgewicht ......................................................................................... 21 1.3.7 Abstützung einer Motorhaube. ............................................................................ 22 1.3.8 Kolbenmotor......................................................................................................... 23 1.3.9 Hydraulische Hebebühne .................................................................................... 24 Innere Kräfte und Momente............................................................................................ 25 1.4.1 Balken mit parallelen Kräften............................................................................... 25 1.4.2 Balken mit Flächenlast......................................................................................... 26 1.4.3 Kragarm mit Einzellasten..................................................................................... 27 1.4.4 Rahmen mit Einzelkraft........................................................................................ 28 1.4.5 Kreuzrahmen ....................................................................................................... 29 1.4.5 Kreuzrahmen ....................................................................................................... 29 1.4.6 Dreigelenkrahmen ............................................................................................... 30 1.4.7 Quadratischer Rahmen........................................................................................ 31 1.4.8 Kombinierte Balken und Stäbe ............................................................................ 32 1.4.9 Fachwerkträger.................................................................................................... 33 1.4.10 Kippbalken ........................................................................................................... 34 1.4.11 Balkenstruktur mit Hubzylinder............................................................................ 35 1.4.12 Klappstuhl ........................................................................................................... 36 1.4.13 Kranausleger ...................................................................................................... 37 1.4.14 Balken mit linear verteilter Streckenlast ............................................................. 38 Stand 18.09.2006, V2.01 Technische Mechanik 1.5. 1.6. -3- Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 Reibung ........................................................................................................................... 40 1.5.1 Leiter (2)............................................................................................................... 40 1.5.2 Leiter (3)............................................................................................................... 41 1.5.3 Walze und Klotz ................................................................................................... 42 1.5.4 Quader ................................................................................................................. 43 1.5.5 Backenbremse..................................................................................................... 44 Schwerpunkt................................................................................................................... 45 1.6.1 Kreissegment ....................................................................................................... 45 1.6.2 Zusammengesetzte Fläche ................................................................................. 46 1.6.3 Zusammengesetzte Fläche ................................................................................. 47 1.6.4 Halbkreis-Kegelfläche.......................................................................................... 48 1.6.5 Zusammengesetzte Halbkreisfläche ................................................................... 49 Stand 18.09.2006, V2.01 Technische Mechanik -4- Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 1.1 Zentrales Kräftesystem 1.1.1 Massen an Mauerseil Die Massen m1 und m2 sind über Seile 1 und 2 und reibungsfreie Umlenkrollen an der Maueröse in P befestigt. Man bestimme die Seil 1 g resultierende Kraft R in der Öse grafisch und rechnerisch. Gegeben: m1 30° G1 = 50N G2 = 30N Ergebnis: Rx= 40N, Ry=17,3N, R=43,6 N 0 P 30° Seil 2 m2 Stand 18.09.2006, V2.01 Technische Mechanik -5- Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 1.1.2 Seilkräfte Eine Masse m ist im Schwerefeld der Erde an einem Seil 1 und Seil 2 befestigt, Man bestimme die Seilkräfte S1 und S2. Gegeben: G = 600 N, α = 30°, β = 65°. Seil 2 g β Masse m Stand 18.09.2006, V2.01 Seil 1 α Technische Mechanik -6- 1.1.3 Rollkugel Für die gezeichnete reibungsfreie schiefe Ebene ermittle man graphisch und rechnerisch die Kraft F und die auftretende Normalkraft N, die notwendig sind, um die Walze vom Gewicht G im Gleichgewicht zu halten, wenn: a) Die Wirkungslinie von F horizontal verläuft. b) Die Wirkungslinie von F den Winkel ß mit der Horizontalen einschließt. c) Man bestimme ferner die Richtung und Größe der Kraft F und die zugehörige Normalkraft N, wenn F möglichst klein sein soll. d) Finde F und N, wenn Winkel β den Winkel von 90° hat. Gegeben: G = 200 N a = 30° ß = 60° Ergebnis: a) F= 115,5N; N=230,9 N; b) F = N = 115,5 N c) F = 100 N, N = 173,2 N d) F = 200 N; N = 0 N; Stand 18.09.2006, V2.01 Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 Technische Mechanik -7- 1.1.4 Gleichgewicht am Seil Ein Körper vom Gewicht G1 hängt in der gezeichneten Weise über Ring, Seile und Rollen mit den Gewichten G2 und G3 in einer Gleichgewichtslage. Man ermittle zeichnerisch und rechnerisch die Lage des Ringes (xo, zo). Der Ring und die Rollenradien sind klein gegenüber dem Abstand l. Gegeben: m1 = 25 kg m2 = 21 kg m3 = 16 kg l = 10 m Ergebnis: xo = 6,5 m zo = 4,3 m Stand 18.09.2006, V2.01 Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 Technische Mechanik -8- 1.1.5 Riemenscheibe Die Riemenscheiben mit dem Achsabstand h werden wie skizziert durch die Kraft F gespannt. Man ermittle die Riemenkraft im einfachen und gekreuzten Fall. Gegeben: P = 500 N r1 = 0,2 m r2 = 0,5 m h = 2,5 m Ergebnis: einfacher Fall: S1 = S2 = 255 N Gekreuzter Fall: S1 = S2 = 312,5 N Stand 18.09.2006, V2.01 Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 Technische Mechanik 1.1.6 Seilrolle Ein Seil von der Länge i ist in der gezeichneten Weise zwischen zwei Punkten A und B gespannt. Auf dem Seil läuft eine reibungsfreie Rolle, an der ein Gewicht G hängt. Man ermittle: a) Die Gleichgewichtslage (xo, zo) der Rolle. b) Die Seilkraft S. Gegeben: G = 600 N l = 15 m a = 10 m b = 2 m Ergebnis: a) xo = 4,1 m; zo = 4,6 m b) S = 403 N Stand 18.09.2006, V2.01 -9- Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 Technische Mechanik - 10 - 1.2 Kräftesysteme 1.2.1 Kräftegruppen Gezeichnet sind die Lagepläne von zwei ebenen Kräftegruppen. Man ermittle die Resultierende sowohl rechnerisch als auch zeichnerisch mit Hilfe des Kräfteparallelogramms. Gegeben: F1 = 4,24 N F2 = 4,00 N F3 = 3,00 N F4 = 6,00 N a = 35 cm b = 25 cm α = 45° Ergebnis: obere Kräftegruppe: FR = 7 N Untere Kraftgruppe: FR = 8,5 N Stand 18.09.2006, V2.01 Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 Technische Mechanik - 11 - 1.2.2 Parallele Kräftegruppen Gezeichnet sind die Lagepläne von zwei Kräftegruppen, die aus parallelen Kräften bestehen. a) Man ermittle für die obere Kräftegruppe zeichnerisch und rechnerisch die Resultierende. b) Man zerlege zeichnerisch und rechnerisch die Kraft F1 der unteren Kräftegruppe in Richtung der Wirkungslinie 2 und 3. Gegeben: F1 = 10 N F2 = 15 N F3 = 35 N F4 = 30 N a = 25 cm b = 20 cm c = 40 cm Ergebnis: a) R = 90 N bei x = 50 cm b) fWL2 = 15 N; fWL3 = 5 N Stand 18.09.2006, V2.01 Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 Technische Mechanik - 12 - 1.2.3 Handbohrer Ein Handbohrer wird in den Punkten P und Q mit den Kräften F1 und F2 belastet. Berechnen Sie die Wirkung (Dyname) der Kräfte F1 und F2 bezüglich der Bohrerspitze (Punkt 0). Daten: rP = (10, 0, 25)T, rQ = (0, 0, 50 )T cm und F1 = (0, -100, 0 )T, F2 (-40, 0, -100 )T N. Ergebnisse: R = (-40, -100, -100 )T N, M0 = (25, -20, -10 )T Nm Stand 18.09.2006, V2.01 Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 Technische Mechanik - 13 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 1.2.4 Rohrkonstruktion Die Rohrkonstruktion wird in den Punkten E und C mit den Kräften F1 und F2 belastet. Berechnen Sie die Wirkung (Dyname) der Kräfte F1 F2 bezüglich Fuß (Punkt A). Daten: F1 = 5 kN, F2 = 3 kN. Ergebnisse: R = (5, 3, 0 )T kN, MA = (-15, 15, -15 )T kNm Stand 18.09.2006, V2.01 und Technische Mechanik - 14 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 1.2.5 Motorprüfstand mit Reibbremse. E-Motor mit Drehzahl n = 191 U/min, Motorleistung PM = 40 W, Wellendurchmesser d = 10 mm, Lagerabstand aL = 100 mm, Bremshebellänge aB = 200 mm. Man bestimme alle Kraftgrößen. Stand 18.09.2006, V2.01 Technische Mechanik - 15 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 1.2.6 Dyname Für das ebene Kräftesystem bilde die Dyname (Resultierende R und resultierendes Moment Mp) im Punkt P, wenn F1 = 5 N, F2 = 2 N, F3 = 4 N, M4 = 10 Ncm, a = 4 cm, α = 45° und a) Bestimme die Dyname für den Punkt A. b) Bestimme die Dyname für den Punkt B c) Bestimme die Dyname für den Punkt C d) Für welchen Punkt verschwindet das Moment (M = 0)? Ergebnisse im x-y-System: R = (2.59, -6.41)T N, MP=A = +6.686 Ncm, MP=B = -3.657 Ncm, MP=C = +47.657 Ncm, -3,59x+2,59y-3,66=0 Stand 18.09.2006, V2.01 Technische Mechanik - 16 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 1.3 Lagerreaktionen 1.3.1 Leiter (1) Die gezeichnete Leiter stützt sich bei A und B ab und ist B durch die Kraft Q belastet. a) Man bestimme die Auflagerreaktion bei A und B. Gegeben: Q Q = 800 N a a = l. 5 m b = 3 m c c = 4 m Ergebnis: a) FA = 683,4 N; FB = 240 N A b) µ ≥ 0,29 b Stand 18.09.2006, V2.01 Technische Mechanik - 17 - 1.3.2 Körper auf Pendelstützen Der gezeichnete starre Körper ist durch die Kräfte F-i bis F3 belastet und mit den Stäben S1 bis S3 abgestützt. Man ermittle sämtliche Stabkräfte rechnerisch. Gegeben: F1 = 5 N F2 = 2 N F3 = 4 N a = 4 cm α = 45° Ergebnis: S1 =14,6 N; S2 =17 N; Stand 18.09.2006, V2.01 S3 = 5,6 N Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 Technische Mechanik - 18 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 1.3.3 Stab mit Seil Der gezeichnete starre Stab AC ist bei A gelenkig gelagert, durch das Seil BC gehalten und mit der Kraft Q belastet. Man bestimme die Auflagerreaktionen bei A und B. Gegeben: h1 = 3 m h2 = 2 m l = 5 m Q = 1000 N Ergebnis: FAx = 500 N; Stand 18.09.2006, V2.01 FAy = 700 N; FA = 860 N; FB = 583 N Technische Mechanik - 19 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 1.3.4 Rollgelenk Körper 2 rollt auf Körper 1 mit aktuellem C 1 E Kontaktpunkt A. Gleichzeitig ist Körper 2 an einer der Druckfeder in BC und an einem undehnbaren 2 Seil in DE gelagert. B a) Bestimme die Freiheitsgrade des Körpers 2. b) Stelle die Gleichgewichtsbedingungen auf. Ist A D x das Problem lösbar? c) Berechne die Reaktionskräfte, wenn die Feder mit FF = 10 N vorgespannt ist und die z Ortsvektoren folgende Koordinaten in cm aufweisen: rA = (0, 0, 0)T, rB = (2.1, 0, -1.2 )T, rC = (2.1, 0, -2.3 )T, rD = (4.0, 0, -0.3 )T, rE = (4.25, 0, -2.3 )T, Ergebnisse: a) f = 0 b) lösbar c) A: FAx = -0,66 N; Seil: FSx = 0,66 N; Stand 18.09.2006, V2.01 FAz = -4,70 N FSz = 5,30 N; FS = 5,34 N; Technische Mechanik - 20 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 1.3.5 Tragrahmen Untersuche die Lagerfälle des gezeigten Bauteils. Es mit einer Kraft F und einem Moment M belastet. a) Bestimme die Freiheitsgrade des Bauteils. b) Bestimme die Anzahl Unbekannte, Lösbarkeit des gezeigten Problems. c) Berechne die Lagerreaktionen. C A B FC = -F, FA = -√2/4 M/a, FB = √2/4 M/a A B FAz = -√2/4 M/a - √2/4 F, FBx = -√2/2 F, FBz = √2/4 M/a - √2/4 F A FA = -F, FB = 0, MB = -M + a F Stand 18.09.2006, V2.01 B Technische Mechanik - 21 - 1.3.6 Stab im Gleichgewicht Der als gewichtslos anzunehmende Stab AC der Länge l ist durch die Kraft G belastet und stützt sich reibungsfrei bei A an eine senkrechte Wand, bei B an eine reibungsfreie Ecke. Man bestimme: a) Den Winkel für Gleichgewicht. b) Die Auflagerreaktionen bei A und B, die bei diesem Winkel auftreten. Gegeben: G, a, l Ergebnis: a) α = α = arcsin 3 a l 2 l 3 b) FA = G ⋅ − 1 ; a Stand 18.09.2006, V2.01 FB = G ⋅ 3 l ; a Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 Technische Mechanik - 22 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 1.3.7 Abstützung einer Motorhaube. aus TM I, Prof. Rill, FH-Regensburg Die Motorhaube ist in A und B drehbar gelagert. In S wirkt die Gewichtskraft G = 50 N. Die Haube wird durch eine Pendelstütze in CD offen gehalten. a) Man bestimme Freiheitsgrade, Lagerreaktionen, Anzahl Unbekannte, Lösbarkeit. b) Man verändere die Lager so, damit die Aufgabe mittels Statik lösbar ist. c) Berechnen Sie die Lagerreaktionen aus b) Die Koordinaten in mm sind: rAB = ( 0 | 1500 | 0 )T rAC = ( 500 | 750 | 866 )T rAD = ( 1000 | 1500 | 0 )T rAS = ( 250 | 750 | 433 )T Ergebnisse: FS = 18.05 N, Ax = 7.22 N, Ay = 10.82 N, Az = 25 N, Bx = 0, Bz = 12.486 N Stand 18.09.2006, V2.01 Technische Mechanik - 23 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 1.3.8 Kolbenmotor Der Kolbenmotor wird durch Kolbenkraft FK am Kolben 4 belastet. Gewichtskräfte FK und Reibung werden nicht berücksichtigt. Gesucht ist das dazu gehörenden Moment M2 an der Kurbel 2 abhängig von ϕ. Werte die Gleichungen für ϕ = 60°, FK = 20 N, r = AB = 30 mm, l = BC = 60 mm 1 aus. 4 C 3 ϕ B 2 M2 Stand 18.09.2006, V2.01 1 A Technische Mechanik 1.3.9 Hydraulische Hebebühne Die hydraulische Hebebühne wird durch die Gewichtskraft FG belastet. a) Bestimme die Lagerreaktionen b) Wie groß ist die Kraft des Kolbens? Ergebnis: FCx=5,33kN; FCz=-1,5kN, FC=5,54kN FDx=-5,33kN; FDz=-2,25kN, FD=5,54kN FK=10,66kN; Stand 18.09.2006, V2.01 - 24 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 Technische Mechanik - 25 - 1.4 Innere Kräfte und Momente 1.4.1 Balken mit parallelen Kräften Für das gezeichnete Bauteil ermittle man die Auflagerreaktionen sowie Normalkraft-, Querkraft- und Biegemomentenverlauf und zeichne sie maßstäblich. Gegeben: F1 = 10 N F2 = 35 N F3 = 45 N a = 20 mm b = 45 mm α = 45° Ergebnis: FAX = 60 N; FAZ = 30 N; FQmin = - 60 N; FQmax = 30 N; Mbmin = 0 Nmm; Mbmax = 1500 Nmm; Stand 18.09.2006, V2.01 Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 Technische Mechanik - 26 - 1.4.2 Balken mit Flächenlast Für das gezeichnete, durch eine konstante Streckenlast q belastete Bauteil ermittle man: a) Die Auflagerreaktion. b) Den Querkraft-, und Biegemomentenverlauf und trage diesen graphisch auf, mit Angaben von Nullstellen, Maxima und den Werten bei A und B. Gegeben: q = 1,2 N/mm a = 30 mm b = 120 mm Ergebnis: FA = 112,5 N; FQmin = - 67,5 N; FB = 67,5 N; FQmax = 76,5 N; Mbmin = -36 Nmm; Mbmax = 1898 Nmm; Stand 18.09.2006, V2.01 Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 Technische Mechanik - 27 - 1.4.3 Kragarm mit Einzellasten Die bei C eingespannte Feder ist durch die Kräfte F1, F2 und das Moment MA, das bei A eingeleitet wird, belastet. Man ermittle: a) Die Auflagerreaktionen. b) Die Querkraft- und Biegemomentenfläche. c) Die Größe von MA, damit das Einspannmoment Null wird. Gegeben: F1 = 2 N F2 = 4 N MA = 120 Nmm l = 80 mm Ergebnis: a) FC = 6 N; MC = -280 Nmm; b) FQmin = - 6 N; FQmax = - 2 N; Mbmin = -280 Nmm; Mbmax = 80 Nmm; c) MA = 400 Nmm Stand 18.09.2006, V2.01 Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 Technische Mechanik - 28 - 1.4.4 Rahmen mit Einzelkraft Für den gezeichneten, durch die Kraft F belasteten Rahmen ermittle man die Auflagerreaktionen und zeichne die Normalkraft-, Querkraft- und Biegemomentenfläche. Gegeben: F, a Ergebnis: F ; 2 = F ⋅ a; FQ max = F ; FA = FB = M b max Stand 18.09.2006, V2.01 N max = F ; Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 Technische Mechanik - 29 - 1.4.5 Kreuzrahmen Für das nebenstehende Bauteil, das durch die Kräfte F1 bis F3 belastet ist, bestimme man: a) Die Auflagerreaktionen. b) Den Biegemomentenverlauf und trage ihn entlang der Bauteilachse an. Gegeben: F1 = 3 N F2 = 6 N F3 = 2 N a = 30 mm Ergebnis: a) FAx = -1 N; Stand 18.09.2006, V2.01 FAz = 5,67 N; FBz = 0,33 N; Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 Technische Mechanik - 30 - 1.4.6 Dreigelenkrahmen Für den gezeichneten Dreigelenkrahmen ermittle man: a) Die Auflagerreaktionen und die Gelenkkraft G. b) Den Verlauf von N, Q, Mb (mit Angabe von Ort und Größe des Maximums). Gegeben: q = 2 N/mm h1 = 40 mm h2 = 20 mm l = 30 mm Ergebnis: a) FAx = 7,5 N; FAz = 35 N; FBx = 7,5 N; FBz = 25 N; Stand 18.09.2006, V2.01 Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 Technische Mechanik - 31 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 1.4.7 Quadratischer Rahmen Für den gezeichneten, durch Vertikalkräfte belasten quadratischen Rahmen mit 3 Gelenken G1, G2 und G3 und einer biegesteifen Ecke ermittle man den 2⋅F 2⋅F A B Biegemomentenverlauf und trage ihn entlang der Rahmenstäbe an. Gegeben: F = 10 N a = 40 mm Ergebnis: MA = -283 Nm; MB = -283 Nm; MC = 566 Nm; Stand 18.09.2006, V2.01 C Technische Mechanik - 32 - 1.4.8 Kombinierte Balken und Stäbe Für das gezeichnete System, das durch zwei senkrechte Kräfte F belastet ist, bestimme man die Auflagerreaktionen und die Stabkräfte. Gegeben: F=4N a = 3 cm Ergebnis: FAx = 12 N; FAz = 4 N; FBx = 12 N; FBz = 4 N; S1 = 4 N; S2 = -17 N Stand 18.09.2006, V2.01 Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 Technische Mechanik - 33 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 1.4.9 Fachwerkträger Für den gezeichneten Fachwerkträger, der bei A und B gelenkig gelagert ist, bestimme man nach Größe und Richtung: a) Die Auflagerreaktionen bei A und B. b) Die Stabkräfte S1, S2, S3, S4. Gegeben: F = 10 N a = 10 cm h = 15 cm Ergebnis: a) FAx = 53,3 N; FAz = 20 N; FBx = 53,3 N; FBz = 15 N b) S1= 42,7 N; Stand 18.09.2006, V2.01 S2 = -16,7 N; S3 = -26,7 N; S4 = 5 N; Technische Mechanik - 34 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 1.4.10Kippbalken Der in nebenstehendem Bild dargestellte D Balken AC ist in B gelenkig gelagert und durch eine Streckenlast q belastet. Das Seil a AD hält den Balken waagerecht. a) Bestimme die Freiheitsgrade des q Balkens, Lagerreaktionen, Anzahl Unbekannte, Lösbarkeit des gezeigten Problems. b) Berechne die Auflagerkraft in B und A die Seilkraft im Seil AD. c) Bestimme den Normalkraftverlauf längs AC. Gegeben: a = 18 cm, q = 30 N/cm. Ergebnisse: a) FBx = -600 N, FBy = 2250 N, FS = 750 N. Stand 18.09.2006, V2.01 B 3a C 2a Technische Mechanik - 35 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 1.4.11Balkenstruktur mit Hubzylinder. 3a Ein Balken ist in A gelenkig gelagert a q und in B durch einen angeschweißten Arm BD mit Zylinder DE abgestützt. A B Der Balken ist durch die Streckenlast q belastet. C a D Abhängig von q und Länge a bestimme: a) Freiheitsgrade des Balkens b) Lagerreaktionen E 60° c) Schnittgrößen im Balken und Arm d) Max. Biegespannung für Balkenquerschnitt b = a/20 und h = a/5. Ergebnisse: a) f = 0; b) FD = 2.582 a q; c) Nmax = 1.291 a q, Mmax = 1.556 a2 q; d) σbmax = 4668 a/q;. Stand 18.09.2006, V2.01 Technische Mechanik 1.4.12 - 36 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 Klappstuhl Das Prinzipbild zeigt einen Klappstuhl. Die drei Teile 1, 2, 3 sind durch die drei Gelenke C, D, G miteinander verbunden. Teil 1 läuft waagerecht und ist längs CE durch die konstante Streckenlast q belastet. Der gesamte Stuhl ist bei A durch ein zweiwertiges, bei B durch ein einwertiges Lager abgestützt. Gegeben: q= 5 N/mm, a = 240 mm, h = 500 mm, l = 400 mm Gesucht sind: a) Auflagerreaktionen in A und B b) Gelenkkräfte in C, D, G c) Verlauf der Normalkraft längs CD d) Verlauf der Querkraft längs CD e) Verlauf des Biegemoments längs CD f) Ort und Größe des maximalen Biegemoments (Betrag) Ergebnis: FAX = 0; FAZ = 840 N, FB = 360 N; FCX = 960; FCZ = 840 N; FDX = 960 N, Mbmax = 70560 Nmm Stand 18.09.2006, V2.01 FDZ = 360 N; FGX = 960 N, FGZ = 480 N; Technische Mechanik 1.4.13 Kranausleger Bestimme die Stabkraft, die Auflagerkräfte sowie den Verlauf der inneren Kräfte und Momente: Ergebnis: FAX = 2F, FAZ = -F Mbmax = -FL/2 Stand 18.09.2006, V2.01 - 37 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 Technische Mechanik 1.4.14 - 38 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 Balken mit linear verteilter Streckenlast Der gezeigte Balken mit der Streckenlast q(x) ist im Bereich von 0 <= x <= l ist zu untersuchen. Daten: q0 = 50 N/m, l = 1.2 m. a) Wie ist die Funktion q(x)? b) Wie groß ist die resultierende Last? c) Lagerreaktionen in A und B? d) Schnittgrößenverlauf und e) deren Maximalwerte Ergebnis: b) R=30N c) FAx=0; FAz= 10N; FBz= 20N; e) Qmax = 20N; Q=0 bei x =0,69m, Mmax=4,82Nm bei x=0,69m Stand 18.09.2006, V2.01 Technische Mechanik 1.4.14 Gelenkrahmen Man ermittle für den gezeichneten Dreigelenkrahmen die Normalkraft-, Querkraft- und Momentenverläufe Geg. a, q0 Ergebnis: 5 1 q0 a; FAZ = q0 a; 6 3 1 1 FBX = q0 a; FBZ = q0 a; 6 6 1 1 N min = − q0 a; N max = q0 a; 6 3 5 1 Qmin = − q0 a; Qmax = q0 a; 6 3 25 1 2 M b min = − q0 a ²; M b max = q0 a ²; 72 9 3 FAX = Stand 18.09.2006, V2.01 - 39 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 Technische Mechanik 1.5. - 40 - Reibung 1.5.1 Leiter (2) Die gezeichnete Leiter stützt sich bei A und B ab und ist durch die Kraft Q belastet. Im Gegensatz zu Aufgabe 1.3.1 können bei A Reibungskräfte übertragen werden und die Leiter kann rutschen. Die Ecke B ist reibungsfrei. a) Man bestimme die Auflagerreaktion bei A und B. b) Weicher Reibungsbeiwert µ ist mindestens nötig, damit die Leiter nicht rutscht? Gegeben: Q = 800 N a = l. 5 m b = 3 m c = 4 m Ergebnis: a) FA = 683,4 N; b) µ ≥ 0,29 Stand 18.09.2006, V2.01 FB = 240 N Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 Technische Mechanik 1.5.2 Leiter (3) Auf einer Leiter in der dargestellten Lage steht ein Mann mit einem Gewicht G. Bis zu welcher Stelle x kann er steigen, wenn der Boden rau ist und die Wand glatt. Gegeben: Q, h, µ0 Ergebnis: x ≤ µ0 h Stand 18.09.2006, V2.01 - 41 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 Technische Mechanik - 42 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 1.5.3 Walze und Klotz Eine Walze (Gewicht G, Schwerpunkt S) und ein Klotz (Gewicht Gk, Schwerpunkt Sk) sind über ein Seil miteinander verbunden. An der Walze greift eine Kraft F an, die so groß ist, daß der Klotz mit konstanter Geschwindigkeit auf der Unterlage rutscht (µ)und die Walze mit derselben Geschwindigkeit ohne zu rutschen rollt. Geg.: G, Gk=2G, µ=0.5, R a) Wie groß sind die Kräfte zwischen Unterlage und Klotz bzw. Walze, die Seilkraft, die Kraft F? b) Wie groß muss die Haftzahl µ0 sein, damit zwischen Walze und Unterlage gerade kein Rutschen auftritt? Ergebnis: a) b) Kraft der Unterlage auf den Klotz: (-G; 2G) Kraft Unterlage auf Walze: (1/2G; G) µ0 ≥ 1 2 Stand 18.09.2006, V2.01 Technische Mechanik - 43 - 1.5.4 Quader An dem Quader greift die Kraft K an. Rutscht oder kippt der Quader? Ergebnis: a 2h a Rutschen: µ < 2h Kippen: µ0 ≥ Stand 18.09.2006, V2.01 Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 Technische Mechanik - 44 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 1.5.5 Backenbremse Die beiden Schenkel einer Backenbremse sind in den Punkten A und B gelenkig gelagert. Das Bremsseil, das in den Punkten C und D an den Bremsbacken befestigt ist, wird von 2 reibungsfrei gelagerten Rollen umgelenkt und über eine dritte reibungsfreie Rolle mit der Kraft F belastet. Zwischen den Bremsbelägen und der Scheibe herrscht der Gleitreibungskoeffizient µ. Geg: a , b , c , r , F , Ges: a) die Seilkraft b) das Bremsmoment das an der Scheibe angreift, c) die Auflagereaktionen in den Punkten A und B Ergebnis: F 2 a) S= b) M= c) FAX = Fcµ ; c + µ (r − b) FBX = − Fcµ ; c − µ (r − b) 2 Frµ r −b 1 − µ² c Stand 18.09.2006, V2.01 2 c 1 − ; FAZ = F c + µ (r − b) 2 1 c FBZ = F − ; 2 c − µ ( r − b ) Technische Mechanik 1.6. Schwerpunkt 1.6.1 Kreissegment Bestimme den Schwerpunkt des abgebildeten Kreissegments. Stand 18.09.2006, V2.01 - 45 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 Technische Mechanik - 46 - 1.6.2 Zusammengesetzte Fläche Bestimme den Schwerpunkt der abgebildeten Fläche Stand 18.09.2006, V2.01 Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 Technische Mechanik 1.6.3 Zusammengesetzte Fläche Bestimme den Schwerpunkt der abgebildeten Fläche Stand 18.09.2006, V2.01 - 47 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 Technische Mechanik 1.6.4 Halbkreis-Kegelfläche Für die gezeichnete ebene Fläche, die zum Teil durch Halbkreisbögen begrenzt ist, bestimme man den Flächenschwerpunkt. Gegeben: a = 10 cm r = 10 cm Stand 18.09.2006, V2.01 - 48 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06 Technische Mechanik 1.6.5 Zusammengesetzte Halbkreisfläche Für die gezeichnete ebene Fläche, die durch Halbkreisbögen begrenzt ist, bestimme man den Flächenschwerpunkt. Gegeben: a = 10 cm r = 10 cm Stand 18.09.2006, V2.01 - 49 - Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FK06
