TECHNISCHE MECHANIK Aufgaben zur Kinematik und Kinetik

TECHNISCHE
MECHANIK
Aufgaben zur Kinematik und Kinetik
Prof. Dr.-Ing. Andreas Ettemeyer
Prof. Dr.-Ing. Oskar Wallrapp
Dr. Bernd Schäfer
Fachhochschule München
Fachbereich 06 - Feinwerk- und Mikrotechnik
Version 2.01 vom 09.03.2007
Technische Mechanik – Aufgaben Kap. 3
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Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
Inhalt
Inhalt .......................................................................................................................... 2
3.1 Kinematik ............................................................................................................................... 4
3.1.1
Leiter ...................................................................................................................... 4
3.1.2
Schachttiefe ........................................................................................................... 5
3.2 Kinetik des Massenpunktes ................................................................................................. 6
3.2.1
Riesenrad............................................................................................................... 6
3.2.2
Satellit .................................................................................................................... 7
3.2.3
Rennwagen............................................................................................................ 8
3.2.4
Wagen auf schiefer Ebene .................................................................................... 9
3.2.5
Masse in x-Richtung ............................................................................................ 10
3.2.6
Masse auf Bahnkurve .......................................................................................... 11
3.2.7
Mehrfachsprung................................................................................................... 12
3.2.8
Einzelsprung ........................................................................................................ 13
3.2.9
Eisenbahnwagen ................................................................................................. 14
3.2.10 Kugelstoß............................................................................................................. 15
3.2.11
Federplatten........................................................................................................ 16
3.2.12
Hammer und Nagel............................................................................................. 17
3.3 Kinetik des starren Körpers ............................................................................................... 18
3.3.1
Winkelhebel ......................................................................................................... 18
3.3.2
Rad auf Schiene .................................................................................................. 19
3.3.3
Massenträgheitsmomente ................................................................................... 20
3.3.4
Schwungscheiben................................................................................................ 21
3.3.5
Federregler .......................................................................................................... 22
3.3.6
Seilrolle mit Massen............................................................................................. 23
3.3.7
Transportkorb ...................................................................................................... 24
3.3.8
PKW mit Hinterradantrieb .................................................................................... 25
3.3.9
Kugel.................................................................................................................... 26
3.3.10
Dünner Stab........................................................................................................ 27
3.3.11
Rad ..................................................................................................................... 28
3.3.12 Rotierende Scheibe ............................................................................................. 29
3.4 Schwingungen..................................................................................................................... 30
3.4.1
Aufrechtes Pendel ............................................................................................... 30
3.4.2
Feder-Masse-System .......................................................................................... 31
3.3.3
Fundamentblock .................................................................................................. 32
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Technische Mechanik – Aufgaben Kap. 3
-3-
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
3.4.4
Elastischer Balken mit Federn ............................................................................. 33
3.4.5
Pendelnde Platte ................................................................................................. 34
3.4.6
Torsionsschwingung ............................................................................................ 35
3.4.7
Schwingungsdiagramm ....................................................................................... 36
3.4.8
Fernsehturm......................................................................................................... 37
3.4.9
PKW-Federung .................................................................................................... 38
3.4.10
Massen-Feder-System ....................................................................................... 39
3.4.11
Maschine mit Unwucht........................................................................................ 40
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Technische Mechanik – Aufgaben Kap. 3
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Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
3.1 Kinematik
3.1.1 Leiter
Das Ende A eines Stabes AB der Länge l bewegt
sich reibungsfrei mit konstanter Geschwindigkeit
y
v0 auf dem horizontalen Boden, das Ende B
gleitet an einer senkrechten Wand; die Bewegung
beginnt aus der senkrechten Lage (x0 =0, t = 0).
Man ermittle die Lage OB = y(t), Geschwindigkeit
y (t ) und Beschleunigung y (t ) des Punktes B und
stelle sie in Diagrammen dar.
Gegeben:
l = 5.0 m
v0 = 2.0 m/s
Ergebnis:
y = 25 − 4t ²;
Version 1.02 vom 07.03.2006
y = −
4t
;
25 − 4t ²
y=−
100
( 25 − 4t )
2
3
;
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3.1.2 Schachttiefe
Um die Tiefe h eines Schachtes zu ermitteln, lässt man einen
Stein ohne Anfangsgeschwindigkeit hinabfallen. Der Aufschlag
wird nach der Zeit t gehört. Welcher Wert ergibt sich für h,
wenn die Schallgeschwindigkeit c beträgt und wenn der
Luftwiderstand vernachlässigt werden kann?
Mit welcher Ungenauigkeit des Ergebnisses ist zu rechnen,
wenn bei der Zeitmessung ein Fehler von ∆t gemacht wird?
Gegeben:
c = 330 m/s;
t = 4,6 s
∆t = ± 0,05 s
Ergebnis:
h = 91,74m; ∆h = 1,88 m
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s, v, a
h
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3.2 Kinetik des Massenpunktes
3.2.1 Riesenrad
A
Ein Riesenrad besitzt einen Durchmesser d und wird
mit der Drehzahl n betrieben. Die Schwerpunkte der
Gondel mit der Masse m befinden sich nahezu in
den Aufhängepunkten.
Gondel
B d
a) Welche Kräfte wirken an den Hängebolzen?
(Lage A; B; C)
b) Mit welcher Drehzahl darf sich das Riesenrad
höchstens drehen, wenn den Fahrgästen nicht
C
mehr als 1.5g zugemutet werden dürfen?
(Erdbeschleunigung plus 0,5 g)
Gegeben:
d = 25 m
n = 3 min-1
m = 700 kg
g = 10 m/s2
Ergebnis:
a)
|FA| = 6.139 N;
b)
n= 6,04 1/min
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|FB| = 7.053 N;
|FC| = 7.861 N
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3.2.2 Satellit
Ein Satellit umfliegt die Erde auf einer Kreisbahn in
480 km Höhe.
Man bestimme die Umlaufzeit
a) ohne Verringerung der Erdanziehung, d.h. für
h=0 über der Erdoberfläche
b) mit Verringerung der Erdanziehung, d.h. in der Höhe h
Ergebnis:
a)
T = 87,5 min
b)
T = 94 min
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3.2.3 Rennwagen
Ein Wagen der Masse m fährt in einer
Rennschleife mit dem Kurvenradius R und der
Neigung α.
Man ermittle:
a) Die Geschwindigkeit, wenn die Räder nur
Normalkraft aufnehmen können.
b) Die Normalkraft im Falle a)
c) Den Geschwindigkeitsbereich für einen
Reibungsbeiwert µ0, wenn der Wagen
weder aus der Kurve getragen noch in diese hineinfallen darf.
Gegeben:
R = 200 m
m = 800 kg
g = 10 m/s²
α = 45°
µ0 = 0.5
Ergebnis:
a)
v = 161 km/h
b)
FN = 11,3 kN
c)
vmin = 93 km/h
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vmax = 279 km/h
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3.2.4
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Wagen auf schiefer Ebene
Auf einen Wagen der Masse m, der sich auf einer
schiefen Ebene zur Zeit t = 0 im Punkt s = 0 in Ruhe
befindet, wirkt eine zeitabhängige Antriebskraft F(t).
Man ermittle:
a) Die Zeit t1, bei der sich der Wagen wieder in Ruhe
befindet und die Wegstrecke s1, die er dabei
zurückgelegt hat.
b) Die Zeit t2 und die Geschwindigkeit v2, wenn sich der
Wagen wieder im Punkt s = 0 befindet.
c) Zeichnen Sie die zugehörigen (s,t)-, (v,t)-, (a,t)-Diagramme
Gegeben:
F(t) = k * t,
k = 5 kN/s
m = 1000 kg
α = 30°
a)
t1 = 1,96 s
s1 = -3,15 m
b)
t2 = 2,94 s
v2 = 7,22 m/s
Ergebnis
Version 1.02 vom 07.03.2006
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3.2.5 Masse in x-Richtung
x
Ein Massenpunkt der Masse m bewagt sieh unter der
Wirkung einer wegabhängigen Kraft F(x) in Richtung der xAchse. Bei x = 0 ist seine Geschwindigkeit v0.
Man ermittle die Geschwindigkeit v bei x = 5 m.
Geg.; m = 0,2 kg; F(x) = 3 + 2x [N],
Ergebnis:
v = 20,4 m/s
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v0 = 4 m/s
F(x)
m
Technische Mechanik – Aufgaben Kap. 3
3.2.6 Masse auf Bahnkurve
Ein Massepunkt (Masse m) gleitet reibungsfrei auf


der Bahnkurve y = a cos  π
x
 abwärts. Seine
l
Geschwindigkeit im Punkt x = 0 sei v0.
a) Man bestimme den Verlauf der Geschwindigkeit
als Funktion von x im Bereich 0<x<l.
b) Wie groß ist die Geschwindigkeit im Punkt x = l?
Ergebnis:
a)
x

v = 2 ga 1 − cos π  + v02
l

b)
v = 4 ga + v02
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Technische Mechanik – Aufgaben Kap. 3
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3.2.7 Mehrfachsprung
10 x m2
Auf einem Wagen m1 = 300 kg, der sich in einer horizontalen Ebene
reibungsfrei bewegen kann, stehen n = 10 Personen, mit je der
Masse von m2 = 75 kg.
m1
a) Wie groß ist die Geschwindigkeit v1 des Wagens, wenn alle
Personen gleichzeitig relativ zum Fahrzeug mit der
Geschwindigkeit c = 5 m/s abspringen?
b) Welche Geschwindigkeit v2 erfährt der Wagen, wenn die 10 Personen nacheinander relativ zum
Fahrzeug mit der Geschwindigkeit c = 5 m/s abspringen?
Ergebnis:
a)
v1 = 3,57 m/s
b)
v2 = 5,84 m/s
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3.2.8 Einzelsprung
Ein Mann (m = 75 kg) springt in starrer aufrechter Haltung von einer 0.5 m hohen
m = 75 kg
Plattform auf den Boden.
a) Wie groß ist die maximale, auf seine Füße ausgeübte Kraft Fmax, wenn die
Kraft in 0.075 s linear von Null auf Fmax zunimmt und dann in 0.075 s linear
auf die Größe seines Gewichtes absinkt?
b) Wie ändert sich die Kraft Fmax, wenn der Vorgang in 2/3 der Zeit analog abläuft?
Ergebnis:
a)
Fmax = 4.236 N
b)
Fmax = 5.802 N
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h = 0,5m
Technische Mechanik – Aufgaben Kap. 3
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3.2.9 Eisenbahnwagen
m1
v1
m2
Ein 30 t-Eisenbahnwagen rollt ohne Antrieb mit 5 km/h auf einen frei stehenden 50 t- Eisenbahnwagen. Das
automatische Kuppeln kann man als plastischen Stoß auffassen (einschließlich Dämpfung) und dauert 1
Sekunde,
a) Wie groß sind die Geschwindigkeiten beider Wagen nach dem Kuppeln?
b) Wie groß ist die mittlere Kraft, die in den Kupplungen insgesamt wirksam wurde, sowie die
Verlustenergie?
Ergebnis:
a)
v = 0,52 m/s
b)
|F| = 26,1 kN,
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TV = 18,1 kNm
Technische Mechanik – Aufgaben Kap. 3
3.2.10
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Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
Kugelstoß
Eine Kugel der Masse mA stößt mit der Geschwindigkeit vA1
elastisch gegen eine ruhende Kugel der Masse mB. Die zweite
Kugel trifft dann elastisch auf eine dritte ruhende Kugel
(mC; mA < mB < mC). Die Mittelpunkte aller Kugeln liegen auf
einer Geraden.
a) Welche Geschwindigkeit hat mA nach dem Stoß mit mB?
b) Wie groß ist die Geschwindigkeit von mB nach dem Stoß
mit mC?
c) Mit welcher Geschwindigkeit fliegt mC fort?
d) Wie groß muss mB gemacht werden, damit bei gegebenem mA und mC die Geschwindigkeit von mC am
größten wird?
e) Wie groß ist dann die Geschwindigkeit von mC?
f)
Wie groß wird die Geschwindigkeit von mC, wenn der Stoß von mB gegen mC mit einer Stoßzahl von
k = 0,5 erfolgt?
Gegeben:
mB = 2 mA
mC = 3 mA
Ergebnis:
d)
1
v A 2 = − v A1
3
2
vB 2 = − v A1
15
8
vC 2 = v A1
15
mB = mA mC = mA 3
e)
vC 2 =
f)
vC 2 =
a)
b)
c)
(
4 ⋅ v A1
1+ 3
2
v A1
5
Version 1.02 vom 07.03.2006
)
2
= 0,5359v A1
Technische Mechanik – Aufgaben Kap. 3
3.2.11
- 16 -
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
Federplatten
Zwei Federn mit den Federsteifigkeiten k tragen eine
Platte (Masse m1). Auf diese fällt aus der Höhe h eine
weitere Platte (Masse m2, vollplastischer Stoß).
Um welchen Betrag a werden die Federn danach
h
zusammengedrückt?
Ergebnis:
a( h =0) =
m2 g
k
allg. Form: a =
astat =
1
a( h =0)
2

m2 g 
4kh
1 + 1 +

2k 
g (m1 + m2 ) 
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k
k
a
Technische Mechanik – Aufgaben Kap. 3
3.2.12
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Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
Hammer und Nagel
In der gezeichneten Anordnung wird durch einen in
horizontaler Richtung schlagenden Hammer
(Masse m1, Geschwindigkeit v) ein Nagel mit der
Masse m2 in eine vertikale Fläche eingeschlagen.
Diese setzt dem Eindringen des Nagels eine
wegabhängige Kraft F = − A ⋅ x entgegen.
a) Um welche Strecke x1 dringt der Nagel nach
dem 1. Schlag in die Fläche ein, wenn
zwischen m1 und m2 vollplastischer Stoß auftritt?
b) Um welche Strecke xges dringt der Nagel nach 2 Schlägen in die Fläche ein (wieder vollplastischer
Stoß)?
c) Um welche Strekce dringt der Nagel nach n Schlägen in die Fläche ein?
Gegeben:
m1 = 0,9 kg
m2 = 0,1 kg
v = 10 m/s
A = 1.000 kN/m
Ergebnis:
a)
x1 = 9 mm
b)
xges = 12,7 mm
c)
xges ,n = x1 n
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Technische Mechanik – Aufgaben Kap. 3
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Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
3.3 Kinetik des starren Körpers
a
3.3.1 Winkelhebel
Ein rechtwinkliger Winkelhebel trägt an beiden Enden
um eine horizontale Achse aufgehängt und rotiert um die
A
l
1
l2
Kugeln mit den Massen m1 und m2. Er ist bei A drehbar
l!
vertikale Achse a-a durch A mit einer
α
Winkelgeschwindigkeit ω. Man berücksichtige in der
m1
Rechnung nur die Punktmassen m1 und m2, alle
ω
sonstigen rotierenden Teile seien masselos.
a) Wie groß muss die Winkelgeschwindigkeit ω sein,
damit die vertikale Achse a-a den rechten Winkel
a
gerade halbiert, d. h. α = 45° wird?
z
b) Wie groß ist bei dieser Winkelgeschwindigkeit die
x
Auflagerkraft bei A und das im
Winkelhebelquerschnitt A übertragene
Biegemoment?
Gegeben:
l1 = 0,5 m
l2= 1 m
m1 = 100 kg
m2 = 200 kg
α = 45°
Ergebnis:
a)
ω = 3,45 1/s
b)
Ax = 2.943 N
Version 1.02 vom 07.03.2006
Az = 1.261 N
Mb = -198 Nm
y
m2
Technische Mechanik – Aufgaben Kap. 3
- 19 -
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
3.3.2 Rad auf Schiene
Ein Rad mit dem Radius r rollt auf einer Schiene, wobei
A
der Kreismittelpunkt die Geschwindigkeit v besitzt. Es
ω
ist die augenblickliche Geschwindigkeit der Punkte A; B
und C nach Größe und Richtung zu bestimmen, die auf
4
dem Spurkranz mit dem Radius R = r liegen.
3
Ergebnis:
7
vA = v
3
5
vB = v
3
1
vC = − v
3
R
v
B
r
C
Version 1.02 vom 07.03.2006
Technische Mechanik – Aufgaben Kap. 3
- 20 -
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
3.3.3 Massenträgheitsmomente
Man bestimme die Massenträgheitsmomente folgender homogener Körper um die Drehachse durch 0.
a) Rechteckplatte
b) Kreisplatte
c) Kreisausschnitt 90°
Ergebnis:
a)
I0 =
m  b2
2
 +h 
3 4

Version 1.02 vom 07.03.2006
b)
I0 =
3 2
mr
2
c)
I0 =
1 2
mr
2
Technische Mechanik – Aufgaben Kap. 3
- 21 -
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
3.3.4 Schwungscheiben
Zwei Schwungscheiben werden durch eine
Reibradkupplung miteinander gekuppelt. Das
Trägheitsmoment aller Massen der Welle 1
beträgt 64 kgm2, das der 2. Welle 25,5 kgm2.
Während des Kupplungsvorganges wirkt auf
das System kein äußeres Moment, die Lagerund Luftreibung sei vernachlässigt.
Zur Zeit t = 0 hat die Welle 1 die Drehzahl
n10 = 840 min-1, die Welle 2 ist in Ruhe
(n20 =0).
Man bestimme:
a) Die gemeinsame Drehzahl n11 = n21 nach dem Kupplungsvorgang zur Zeit t1
b) Den Energieverlust.
c) Die Größe des als konstant angenommenen Reibungsmomentes M zwischen den Scheiben, falls t1 = 5s
beträgt.
d) Den zeitlichen Verlauf der Drehzahlen.
Ergebnis:
a)
n11 = n21 = 601 1/min
b)
TV = 70,3 kNm
c)
M = 321 Nm
Version 1.02 vom 07.03.2006
Technische Mechanik – Aufgaben Kap. 3
- 22 -
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
3.3.5 Federregler
Ein Federregler mit horizontaler Achse habe
kraftfrei in Ruhestellung den Abstand AB = b0 .
(Die Federkraft sei Null und die Gewichtskräfte
der beiden Massen m verändern in der
Ruhestellung nicht die Lage des Punktes A). Die
Länge der gelenkig gelagerten masselosen
Stangen sei L.
Gegeben:
Länge einer Stange: L
Länge AB = b0
Federkonstante k
Masse: m
Betriebsdrehzahl:
ω=
πn 1
[ ]
60 s
Gesucht:
a) Die Strecke x für die Bewegung des Punktes A in Abhängigkeit von der Drehzahl n, wenn der Punkt B
festgehalten wird.
b) Die benötigte Energie, um den Regler aus der Ruhe auf eine Drehzahl n zu bringen.
Ergebnis:
a)
b)
b0
b0
=
2k
1800k
1+
1+
2
mω
mπ 2 n 2
 2  L0 − x  2 
kx 2
2
+ mω  L − 
W12 =
 
2
 2  

x=
Version 1.02 vom 07.03.2006
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- 23 -
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
3.3.6 Seilrolle mit Massen
Bei dem skizzierten System hängen die Massen m1 und m2
an der Seilrolle mit den Radien r1 und r2.
r2
a) Wie groß sind die Geschwindigkeiten v1 und v2 der
Massen m1 und m2, wenn die Masse m1 die Stecke h1
r1
durchlaufen hat?
b) Wie groß darf die Masse m2 maximal sein, damit im Seil
1 gerade noch Zug herrscht?
Gegeben:
I
System ist reibungsfrei
Seile sind masselos
mit g = 10 m/s2 rechnen
m1 = 3 kg
m2 = 12 kg
I = 4 kgm2
r1 = 1.0 m
r2 = 0.5 m
h1 = 2 m
Ergebnis:
a)
v1 = 6 m/s
b)
m2 ≤ 16 kg
Version 1.02 vom 07.03.2006
v2 = 3 m/s
m2
m1
Technische Mechanik – Aufgaben Kap. 3
- 24 -
3.3.7 Transportkorb
Der gezeichnete Transportkorb vom Gewicht G hängt
an einer horizontalen Schiene und wird durch
Vorderradantrieb (des Rades A) angetrieben. Das Rad
B rollt reibungsfrei.
a) Wie groß sind die vertikalen Auflagerkräfte bei A
und B, wenn die horizontale Kraft zwischen
Schiene und Rad A die Große µ0A hat?
b) Für welchen Wert von µ0 wird die Auflagerreaktion
bei B Null?
Geg.: G = 1.200 N;
M = Massenmittelpunkt;
für a) Reibungskoeffizient µ0 =0,5
(alle Abmessungen in m).
Ergebnis:
a)
FA = 240 N
b)
µ0 = 0,8
Version 1.02 vom 07.03.2006
FB = 960 N
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Technische Mechanik – Aufgaben Kap. 3
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3.3.8 PKW mit Hinterradantrieb
Ein Auto von der Masse m wird durch die Hinterräder
(Rad B) angetrieben. Das Rad A rollt reibungsfrei.
a) Wie groß sind die vertikalen Auflagerkräfte bei A
und B, wenn die horizontale Kraft zwischen Straße
und Rad B die Größe µ0B hat?
b) Für welchen Wert von µ0 wird die Auflagerkraft bei A
Null?
Gegeben:
M = Massenmittelpunkt
m = 1.200 kg
µ0 = 0,5
l1 = 1,2 m
l2 = 1,4 m
h = 0,8 m
g = 10 m/s2
Ergebnis:
a)
FA = 5.455 N
b)
µ = 1,75
Version 1.02 vom 07.03.2006
FB = 6.545 N
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Technische Mechanik – Aufgaben Kap. 3
- 26 -
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
3.3.9 Kugel
Jemand erteilt einer Kugel zum Kegeln (ρ = 1,2 kg/dm3, r = 9 cm) eine horizontale Anfangsgeschwindigkeit
von v0 = 7 m/s.
a) Wie groß ist die für die Beschleunigung aufzuwendende Kraft, wenn man annimmt, dass sie während des
Beschleunigungsvorgangs konstant bleibt und wenn der ganze Beschleunigungsvorgang längs eines
Weges von 2 m in der Horizontalen gemessen, vor sich geht?
b) Es sei angenommen, dass die Kugel ohne Stoß aufsetzt.
aa)
Wie lange gleitet sie auf der Unterlage, wenn man annimmt, dass der Reibwert zwischen Kugel
und Unterlage µ0 = 0.3 ist, und dass die Kugel im Augenblick des Aufsetzens noch keine
Rotation ausführt?
bb)
Wie groß ist der während des Gleitrollens von der Kugel zurückgelegte Weg?
cc)
Welche Geschwindigkeit v1 besitzt die Kugel in dem Augenblick des Übergangs vom Gleitrollen
zum reinen Rollen?
dd)
Wie groß ist die beim Gleitrollen vernichtete Energie, wenn die Rollreibung zu vernachlässigen
ist?
Ergebnis:
a)
F = 44,8 N
b)
α)
t = 0,68 s
β)
x = 4,1 m
χ)
v1 = 5 m/s
δ)
TV = 25,6 Nm
Version 1.02 vom 07.03.2006
Technische Mechanik – Aufgaben Kap. 3
3.3.10
- 27 -
Dünner Stab
Ein homogener dünner Stab (Masse m, Länge l) ist
entsprechend der Skizze gelagert. Man berechne
die Auflagerkraft bei A unmittelbar nach dem
Durchschneiden des Fadens.
Ergebnis:
2
 3
l − 2a )
(
FA = mg 1 −
 4 l 2 − 3la + 3a 2
Version 1.02 vom 07.03.2006
(
)



Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
Technische Mechanik – Aufgaben Kap. 3
3.3.11
- 28 -
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
Rad
Ein auf einer Schiene rollendes Rad vom
Radius r1 = 500 cm ist fest mit der
r2
Trommel vom Radius r2 =250 cm
verbunden, auf die ein Seil aufgewickelt ist.
r1
m2
Am Ende hängt ein Gewicht mit der Masse
S2
m1 = 150 kg. Für das Rad und die Trommel
IS2
beträgt die Masse m2 = 300 kg und das
Massenträgheitsmoment bezüglich der
Schwerachse I S 2 = 60.000kgcm ² . Es
m1
wird vorausgesetzt, dass zwischen dem
Rad und der Schiene kein Gleiten auftritt.
a) Nach welcher Seite rollt das Rad?
b) Mit welcher Winkelbeschleunigung α
rollt das Rad?
c) Wie groß ist die Seilzugkraft S?
Ergebnis:
a)
sknil hcan
b)
α = 4,07 1/s²
c)
S = 1.319 N
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G
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- 29 -
3.3.12Rotierende Scheibe
Eine Scheibe mit der Masse m, Kadius r = 200 mm und
überall gleicher Dicke rotiert mit n0 = 1.800 U/min. Sie fällt
rotierend ohne anfängliche Translationsgeschwindigkeit
(v0 = 0) aus sehr geringer Höbe auf eine ebene Fläche.
Die Reibungszahl zwischen Scheibe und Unterlage sei µ = 0,2. Die rollende Reibung sei vernachlässigt.
a) Nach welcher Zeit t1 geht die beschleunigte Bewegung
in eine konstante über?
b) Welche konstante Winkelgeschwindigkeit ω1 und
Translationsgeschwindigkeit v1 wird die Scheibe
erreichen?
Ergebnis:
a)
t1 = 6,4 s
b)
ω1 = 62,8 1/s
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v1 =12,56 m/s
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- 30 -
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3.4 Schwingungen
3.4.1 Aufrechtes Pendel
Man bestimme die Eigenfrequenz des
dargestellten aufrechten Pendels bei kleinen
m
Ausschlägen.
Man diskutiere den Fall, dass die Eigenfrequenz
Null wird.
Ergebnis:
k/2
f =
1
2π
k/2
kb − mgl
ml 2
2
l
b
A
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- 31 -
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3.4.2 Feder-Masse-System
Man bestimme die Ersatzfederkonstante und die
Eigenfrequenz des Systems.
k1
Gegeben:
Runder, massloser Biegestab mit
d = 10 mm
d
k2
l = 500 mm
E = 2.1 * 105 N/mm²
m = 4 kg
m
Federkonstanten
l
k1 = 2 N/mm
k2 = 4 N/mm
Ergebnis:
k = 2.112 N/m
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f = 3,66 Hz
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- 32 -
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3.3.3 Fundamentblock
Ein auf Federn gelagerter
GU
Fundamentblock von Gewicht GF erleidet
beim Aufbringen einer Maschine vom
Gewicht GU die zusätzliche Durchsenkung
δ.
Wie groß ist die Eigenfrequenz des
Fundament-Maschine-Aggregats?
Ergebnis:
f =
1
2π
gGU
δ ( GU + GF )
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GF
δ
GF
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- 33 -
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3.4.4 Elastischer Balken mit Federn
m
Ein masseloser elastischer Balken mit der
E⋅I
Biegesteifigkeit EI und der Länge l ist auf 2
Federn, jede mit der Federkonstanten k,
gelagert und trägt bei l/3 eine Punktmasse m.
Wie groß sind die Eigenfrequenz f und die
Schwingungsdauer T des Systems?
Ergebnis:
f =
1
 4 l3
5 
+ 
2π m 
 243 EI 9k 
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k
k
1
l
3
 4 l3
5 
T = 2π m 
+ 
 243 EI 9k 
2
l
3
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- 34 -
3.4.5 Pendelnde Platte
Eine rechteckige Platte der Abmessungen b x h der Dicke
d und der Masse m ist an einer Ecke im Schwerefeld
aufgehängt.
a) Wie groß ist ihre Eigenfrequenz bei kleinen
Ausschlägen?
b) In welchem Abstand s1 von S muss der
Aufhängepunkt gewählt werden, wenn die Platte mit
der kürzestmöglichen Schwingungsdauer Tmin
schwingen soll?
c) Wie groß sind die reduzierten Pendellängen la_red und
lb_red in den beiden Lagerungsfällen der Aufgaben a)
und b)?
Ergebnis:
3g
a)
ω=
b)
s1min =
c)
la _ red
2 b2 + h2
b2 + h2
12
2 2
=
b + h2
3
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Tm in = 2π
lb _ red
1
g
b2 + h2
3
b2 + h2
=
3
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- 35 -
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3.4.6 Torsionsschwingung
Am freien Ende einer einseitig fest eingespannten
Welle (Durchmesse d, Länge l) ist eine
Kreisscheibe mit der Masse m befestigt. Sie wird
durch Vorgabe einer kleinen Anfangsauslenkung in
m
harmonische Schwingungen versetzt.
a) Wie groß ist die Eigenfrequenz f0?
b) Wie groß muss der Haftreibungskoeffizient µ0
ϕ0
zwischen der Kreisscheibe und einem im
Abstand r aufgelegten Gewicht der Masse ∆m
mindestens sein, damit sich dieses während
des Schwingungsvorganges auf der
Kreisscheibe nicht verschiebt?
Gegeben:
d = 10 mm
l = 1.500 mm
R = 200 mm
r = 100 mm
G = 0,8 * 105 N/mm²
ϕ0= 10°
m = 35 kg
∆m << m
Ergebnis:
a)
f0 =1,38 Hz
b)
µ0 = 0,133
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∆m
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- 36 -
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3.4.7 Schwingungsdiagramm
30
An einer schwingenden Masse m = 60 kg wird
nebenstehendes Schwingungsdiagramm
20
aufgenommen.
Wie groß sind in der
Schwingungsdifferentialgleichung
mz + bz + kz = 0
a) Die Dämpfungskonstante b
b) Die Federkonstante k
z [mm]
10
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
-10
-20
c) Das Dämpfungsmaß D (der
Dämpfungsgrad)
Ergebnis:
a)
b = 39,7 kg/s
b)
k = 269,7 N/m
c)
D = 0,156
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-30
t [s]
3
3,5
4
4,5
5
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- 37 -
3.4.8 Fernsehturm
In der Spitze eines Fernsehturms befindet sich ein Fadenpendel
(Fadenlänge L, Masse m). Durch (z.B. von Windstößen angeregte)
Eigenschwingungen des Turmes schwingt das Pendel stationär mit
der Amplitude A. Die Eigenschwingungsdauer des Turmes sei T0.
Wie groß ist der Ausschlag der Turmspitze, wenn man die
Dämpfung vernachlässigt?
Gegeben:
L = 1,6 m
T0 = 3,14 s
A = 30 mm
g = 10 m/s²
Ergebnis:
xSpitze = 16,9 mm
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3.4.9 PKW-Federung
Die Abfederung eines Fahrzeuges lässt
sich mit guter Näherung an
nebenstehendem Ersatzmodell studieren, in
dem m die abgefederte Masse und k die
Gesamtfeder-konstante der Federung
darstellt. Der Punkt P am unteren Ende der
Feder beschreibt eine durch die Unebenheit
der Fahrbahn vorgeschriebene Bahn. Diese
Bahn sei eine Sinuslinie von der
Wellenlänge l = 6 m und der Amplitude z0 =
30 mm. Der Wagen fahre mit der
Geschwindigkeit v = 54 km/h. Die
Schwingungsdauer der vertikalen
Eigenschwingung des Fahrzeugs sei T1 = 0,8 s.
Wie groß ist unter diesen Verhältnissen die Amplitude A der von m ausgeführten Schwingungen, wenn die
Dämpfung vernachlässigt und die anfangs vorhandenen Eigenschwingungen des Fahrzeugs als abgeklungen
angenommen werden?
Ergebnis:
A = 10 mm
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3.4.10
- 39 -
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Massen-Feder-System
Das skizzierte System, dessen Stäbe als starr und
masselos anzunehmen sind, führt um den Drehpunkt A
(Gelenk) nach Anregung Drehschwingungen aus.
a) Wie groß ist die Eigenfrequenz des Systems für kleine
Ausschläge (Winkel)?
Gegeben: m1; h1; m2; h2; a; k
b) Wie groß darf m2 gerade noch sein, damit das System
schwingungsfähig ist?
Gegeben: m1; h1; h2; a; k
k
Ergebnis:
a)
1
f0 =
2π
b)
m2 ≤
a 2 k + g ( m1h1 − m2 h2 )
m1h12 + m2 h22
gm1h1 + a 2 k
gh2
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3.4.11
- 40 -
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Maschine mit Unwucht
Eine Maschine ist auf linear-elastischen vertikalen Federelementen gelagert. Die Federelemente sind als
ungedämpft und masselos anzusehen. Die Maschine läuft n0 = 500 1/min und besitzt eine mit der gleichen
Drehzahl rotierende Unwucht.
Gesucht: Wie groß muss die Zusammendrückung xstat der Federung unter dem Eigengewicht G der Maschine
gemacht werden, damit die Maschine nur 10 % der vertikalen Unwuchtkräfte auf das Fundament überträgt?
Ergebnis:
xstat = 39,4 mm
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