TECHNISCHE MECHANIK

TECHNISCHE
MECHANIK
Prof. Dr.-Ing. Andreas Ettemeyer
Prof. Dr.-Ing. Oskar Wallrapp
Dr. Bernd Schäfer
Fachhochschule München
Fakultät 06 - Feinwerk- und Mikrotechnik / Physikalische Technik
Version 2.03
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
- I.2 -
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, FHM FK 06
Das vorliegende Manuskript wurde als Hilfsmittel für die Vorlesung Technische Mechanik erstellt.
Eine – auch auszugsweise – Wiedergabe oder Veröffentlichung bedarf der Genehmigung der
Verfasser.
All copyrights are preserved.
München, September 2006
Prof. Dr.-Ing. Andreas Ettemeyer,
Prof. Dr.-Ing. Oskar Wallrapp,
Dr. Bernd Schäfer
Inhaltsübersicht Technische Mechanik
Teil I
Statik starrer Körper – Stereostatik
Teil II
Statik elastischer Körper – Elastostatik
Teil III
Kinematik und Kinetik starrer Körper
Version 2.03 vom 25.09.2006
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
- I.3 -
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, FHM FK 06
Inhalt
Rechenregeln ................................................................................................................................ 5
Verwendete Literatur ..................................................................................................................... 9
Häufig verwendete Buchstaben .................................................................................................... 9
Teil I: Statik starrer Körper – Stereostatik......................................................................................... 10
1.
2.
3.
4
5
Einführung ................................................................................................................................. 10
1.1
Kraft und starrer Körper .................................................................................................... 11
1.2
Linienflüchtigkeit einer Kraft .............................................................................................. 12
1.3
Gleichgewichtsaxiom ........................................................................................................ 13
1.4
Addition/Subtraktion von Gleichgewichtsgruppen ............................................................ 13
1.5
Erstarrungsprinzip ............................................................................................................. 14
1.6
Schnittprinzip..................................................................................................................... 15
1.7
Reaktionsprinzip (3. Newtonsches Gesetz)...................................................................... 15
1.8
System von Körpern.......................................................................................................... 17
Arbeiten mit Kräften.................................................................................................................. 18
2.1
Freischneiden von Kräften ................................................................................................ 18
2.2
Einteilung von Kräften ....................................................................................................... 20
2.3
Kräfteparallelogramm........................................................................................................ 21
Kräfte und Gleichgewicht am Punkt ....................................................................................... 22
3.1
Zusammensetzen von Kräften am Punkt.......................................................................... 22
3.2
Gleichgewicht am Punkt.................................................................................................... 23
3.3
Zerlegen von Kräften......................................................................................................... 24
Zusammenfassen von Kräftesystemen .................................................................................. 25
4.1
Resultierende eines ebenen Kräftesystems ..................................................................... 25
4.2
Zusammenfassen paralleler Kräfte ................................................................................... 26
4.3
Kräftepaar.......................................................................................................................... 27
4.4
Das Moment ...................................................................................................................... 28
4.5
Das Moment einer Kraft bezüglich Punkt P ...................................................................... 29
4.6
Berechnung des Moments ................................................................................................ 30
4.7
Resultierendes Moment .................................................................................................... 31
Statisches Gleichgewicht von Köpern.................................................................................... 32
5.1
Erweitertes Äquivalenzprinzip ........................................................................................... 32
5.2
Allgemeines Gleichgewichtsaxiom.................................................................................... 33
5.2
Lager und Freiheitsgrade starrer Körper .......................................................................... 34
5.2.1
Definitionen .......................................................................................................... 34
5.2.2
Freiheitsgrade des starren Körpers mit Lagerungen........................................... 35
5.2.3
Lagerungen in der Ebene (b=3)........................................................................... 36
5.2.4
Räumliche Lager (b=6) ........................................................................................ 38
5.2.5
Gelenke mit Reibung: .......................................................................................... 39
Version 2.03 vom 25.09.2006
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
6
- I.4 -
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, FHM FK 06
5.3
Ermittlung der Auflagerreaktionen .................................................................................... 43
5.4
Gleichgewicht von Mehrkörpersystemen .......................................................................... 44
Schwerpunkt und Massenmittelpunkt .................................................................................... 45
6.1 Statische Momente................................................................................................................ 45
6.2 Massenmittelpunkt ................................................................................................................ 46
7
Reibungsprobleme.................................................................................................................... 48
7.1
Prinzip ............................................................................................................................... 48
7.2
Reibungswinkel ................................................................................................................. 49
7.3
Lösen von Reibungsaufgaben .......................................................................................... 49
8
Prinzip der virtuellen Verschiebung........................................................................................ 51
9
Innere Kräfte und Momente in Bauteilen ................................................................................ 54
9.1
Allgemeines....................................................................................................................... 54
9.2
Innere Kräfte und Momente am Balken ............................................................................ 55
9.3
Ausgewählte Lastfälle ...................................................................................................... 57
9.3.1
Balken mit Einzellast............................................................................................ 57
9.3.2
Balken mit fester Einspannung und Einzelkraft................................................... 59
9.3.3
Balken mit mehreren Einzellasten ....................................................................... 61
9.3.4
Gerader Balken in der Ebene mit Streckenlasten ............................................... 62
9.3.4
Gerader Balken in der Ebene mit Streckenlasten ............................................... 63
9.3.5
Balken mit konstanter Streckenlast ..................................................................... 65
9.3.6
Zusammenhang zwischen Streckenlast, Querkraft und Biegemoment .............. 67
9.4
Superpositionsprinzip........................................................................................................ 68
9.5
Ebener Rahmen mit Verzweigung .................................................................................... 70
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- I.5 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, FHM FK 06
Rechenregeln
1.
Allgemein:
Skalare
beliebige Buchstaben einschließlich griechische Buchstaben, z.B.
Indizes mit kleinen Buchstaben, z.B.
a, b, P, xi , α, β, γ, λ
i, j, k, l
Matrizen und Vektoren sind Felder mit Skalare. Ein Vektor ist die Spalte einer Matrix.
unabhängig vom speziellen Vektorraum und unabhängig von einer speziellen Basis
Vektoren sind Kleinbuchstaben, im Manuskript Fettdruck, z. B.
(1)
x = (xi ), i = 1, 2, 3, ... , n), (xi), i = 1, 2, 3, ... , n)
beim Handschreiben (an der Tafel) wird der Buchstabe unterstrichen z.B. x = (xi),
x =
Vektornorm (2)
2
2
2
x1 + x 2 + ..... + x n
Matrizen sind Großbuchstaben im Manuskript Fettdruck z.B.
(3)
M = (Mij ), i = 1, 2, 3, ... , n; j = 1, 2, 3, ... , m
beim Handschreiben (an der Tafel) wird der Buchstabe doppelt unterstrichen M = (Mij ).
2.
"Physikalische Vektoren" im Raum ℜ2 oder ℜ3
unabhängig von einer speziellen Basis
Vektoren mit Klein- oder Großbuchstaben, mit Pfeil oben, z.B.
v, F
Betrag oder Länge eines Vektors, z. B.
(4a)
v = | v |;
F = | F |;
Richtung eines Vektors, z. B. Richtungsvektor ev mit e v = 1:
v
⇒ v = v ev
v
3. Darstellung eines Vektors im Koordinatensystem
mit den Basisvektoren e1 , e2 , e3 (3D oder 2D),
wo | ei ] = 1, z.B.
(4b)
(5)
wo
und
ev =
v = e1 v1 + e2 v2 + e3 v3 ≡ eT v = v T e
 v1 
 e1 
 
 
v = (vi ) =  v2  , e = (ei ) =  e2 
 
 
 v3 
 e3 
v1 , v2 , v3 sind die Koordinaten oder Komponenten des
Vektors v .
Speziell: kartesisches Rechtshandsystem
(6)
(7)
T
ei ⋅ e j = δ ij bzw. e ⋅ e = E :
also ei ⋅ ei = 1 und ei ⋅ e j = 0, i, j = 1,2,3
 0
e3 − e2 


T
T
e1  = e˜
ei × e j = εijk ek bzw. e × e =  − e3 0


 e2 − e1 0 
mit E die Einheitsmatrix, εijk der Permutationstensor, ~ der Tilde-Operator für εijk
Version 2.03 vom 25.09.2006
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
4.
- I.6 -
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, FHM FK 06
Zuordnung Vektorrechnung und Matrizenrechnung
Vektor- (Tensor-) Rechnung
Matrizenrechnung mit den Komponenten
e1 , e2 , e3
bez. Basisrichtungen
Vektor
 v1 
 
v = (vi ) =  v2  ,
 
 v3 
v
Betrag (Länge)
Addition
v= v
v= a +b = b+ a
v = a − b = −b + a
Subtraktion
Produkt Skalar mit Vektor
v = λ a = λ a ea
Skalarprodukt
µ = a ⋅b =b ⋅a
i = 1,2,3
v = v = v12 + v22 + v32
 a1   b1   a1 + b1 
    

v = a + b = (a i ) + (bi ) =  a 2  +  b2  =  a 2 + b2 
    

 a 3   b3   a 3 + b3 
 a1   b1   a1 − b1 
v = a − b = (ai )− (bi ) =  a2  −  b2  =  a2 − b2 
    

 a3   b3   a3 − b3 
 λ a1 
 ev 1 


v = λ a = (ai )+ (bi ) = λ a2 = λ a  e v 2 

 

 λ a3 
e v 3
µ = aT b = bT a = a1 b1 + a 2 b2 + a 3 b3
= abcos∠( a, b )
Kreuzprodukt
v = a × b = −b × a
v = v = absin∠( a,b )
Beachte:
a×a = 0
˜ möglich)
v = a˜ b = − b˜ a (auch a˜ ≡ A
 − a 3 b2 + a 2 b3 
 0



=  + a 3 b1 − a1 b3  wo
a˜ =  a 3



 − a 2 b1 + a1 b2 
 − a2
− a3
0
a1
a˜ a = 0, a˜ T = − a˜
Berechnung über die Determinante:
Diadisches Produkt
I =a b
= Tensor 2. Stufe
Version 2.03 vom 25.09.2006
e1
e2
v = a1
b1
a2
b2
 −a3 b2 + a2 b3 


a3 =  + a3 b1 − a1 b3 
b3  − a2 b1 + a1 b2 
e3
I = ( I 0 ) = a bT ,
 I11

=  I 21
I
 31
I T = b aT
I12
I 22
I 32
I13   a1 b1
 
I 23  =  a2 b1
I 33   a3 b1
a1 b2
a2 b2
a3 b2
a1 b3 

a2 b3 
a3 b3 
a2 

− a1 

0 
- I.7 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, FHM FK 06
5. Koordinatensystem, Ortsvektor und Drehmatrix
Koordinatensysteme:
K1 (x1, y1, z1), K2 (x2, y2, z2):
Ortsvektor:
1
1
1
T 1
r = e x 1 rx + e y1 ry + ez1 rz = e1
2
2
2
T 2
r ≡ e x 2 rx + ey 2 ry + e z2 rz = e2
r
Die Koordinaten oder Komponenten sind
 1r 
x
1 
1
r =  ry  in K1
1 
 rz 
 2r 
x
2 
2
1
r =  ry  in K2 ≠ r
2 
 rz 
Betrag von r : r =
1 2 1 2 1 2
rx + ry + rz
Drehung zweier Koordinatensysteme
=
2 2 2 2 2 2
rx + ry + rz
Transformation in der x-y-Ebene bei Drehung um z:
 1 r   cosγ − sin γ 0  2 r 
x
x
1  
  2r 
=
sin
r
γ
cos
γ
0
 y 
  y 
 1   0
0
1  2 rz 
 rz 
1r
☞
☞
A12(γ)
=
2r
A12 ist Dreh- oder Orientierungsmatrix von Basis K2 gegenüber
 cos γ − sinγ
12
Drehung um z-Achse mit Drehwinkel γ :
A (γ ) =  sin γ cosγ

0
 0
K1
0
12
0 , ebenso e 1 = A e 2

1
γ ist positiv, wenn man x1-Achse in Deckung mit x2-Achse bringt, also eine positive Drehung um zAchse ausführt.
A −1 = AT , AT A = A AT = E , weil A eine orthogonale Matrix
☞
Eigenschaften:
☞
Umkehrung:
☞
falls
☞
Linearisierung von A12 (kleine Drehwinkel γ << 1 ): cos γ ≈ 1, sin γ ≈ γ
( )
e2 = A 21 e1 = A12
T
e 1 + e 2 : A12 = E;
in x-y-Ebene mit Drehwinkel γ : A
e1 oder
2
( )
r = A 12
T 1
r
1r = 2r
12
 1 −γ 0
= γ 1 0


 0 0 1
Transformation im Raum, siehe z.B. (Roberson and Schwertassek 1988)
✍✞ Eine allgemeine Drehung kann durch drei Einzeldrehungen erzeugt werden:
a)
Kardanwinkel mit den Drehkoordinaten α(t), β(t), γ(t) in der Drehfolge 1-2-3
Version 2.03 vom 25.09.2006
- I.8 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, FHM FK 06
Drehung der Basis K1 gegenüber Basis K2 mit 3 Elementardrehungen:
1. um x1 - Achse mit Winkel α, -> neue Achsen y', z' und x' bei x' = x1
2. um y' - Achse mit Winkel β,
-> neue Achsen x'', z'' und y'' bei y'' = y'
3. um z" - Achse mit Winkel γ.
-> neue Achsen x2, y2 und z2 bei z2 = z''
1 0
0 
Transformation e 1 =  0 c α − s α 


 0 sα cα 
A(α )
e1 =
mit der Drehmatrix
☞
A
12
A(β )
A(γ )
e2
= A12 e 2

cβ cγ
−c β sγ
sβ 
=  cα s γ + s α sβ cγ cα c γ − sα sβ sγ − s α c β 


 sα s γ − cα sβ c γ s α cγ + cα sβ sγ c α cβ 
Linearisierung von A12 für kleine Drehwinkel α, β, γ: (Für ~ siehe Rechenregeln–Tilde-Operator)
A
b)
 cβ 0 sβ   cγ − sγ 0
 0 1 0   sγ cγ 0 e , wo c ≡ cos, s ≡ sin

 
 2
 − s β 0 cβ   0 0 1
12
 1 −γ β 
=  γ 1 −α  = E + ϑ˜


−β α 1 
mit
α
ϑ =  β
 
γ 
Andere Drehbeschreibungen:
Kardanwinkel der Drehfolge z-y-x;
Eulerwinkel mit Drehfolge z-x-z;
Drehzeiger, Eulerparameter, Rodriguesparameter
6. Differentiation von Funktionen (Kettenregel):
Version 2.03 vom 25.09.2006
Funktion a(ϕ (t )) :
da
∂ a dϕ ∂ a
=a=
=
ϕ
∂ϕ dt ∂ϕ
dt
Funktion a(ϕ (t ), γ (t )) :
da
∂a
∂a
=a=
ϕ+
γ
∂ϕ
∂γ
dt
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
- I.9 -
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, FHM FK 06
Verwendete Literatur
Brommundt, E. and G. Sachs (1988), Technische Mechanik, Springer Lehrbuch
Fink, W. (2004), Vorlesungsskript Technische Mechanik, FH München
Mayr, M. (2002), Technische Mechanik, Hanser Verlag
Magnus, K. and K. Müller (1979), Grundlagen der Technischen Mechanik, Teubner Verlag
Dankert, J. and H. Dankert (2006), Technische Mechanik, 4. Auflage, Teubner Verlag
Häufig verwendete Buchstaben
Version 2.03 vom 25.09.2006
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
- I.10 -
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, FHM FK 06
Teil I: Statik starrer Körper – Stereostatik
1. Einführung
Die Technische Mechanik ist das älteste, am konsequentesten entwickelte Teilgebiet der Physik.
Sie befasst sich mit der Lehre von den Bewegungen und den Kräften.
Man kann sie nach zwei Ordnungssystemen unterteilen:
A)
-
Stereo-Mechanik (Punktmassen und starre Körper)
-
Elasto-Mechanik (elastische Körper)
-
Plasto-Mechanik (plastische Körper)
-
Fluid-Mechanik (flüssige und gasförmige Körper)
B)
Mechanik
Kinematik
(Lehre von den
Bewegungen)
Dynamik
(Lehre von den
Kräften)
Statik
(Lehre vom
Gleichgewicht an
ruhenden Körpern)
Kinetik
(Lehre vom
Zusammenwirken
von Kräften und
Bewegungen)
Aus Vereinfachungsgründen betrachten wir zunächst den starren Körper. Hierfür gilt:
Alle Punkte haben für beliebige Kräfte am Körper immer den selben Abstand,
siehe Teil I Stereostatik und Teil III.
Der elastische Körper verformt sich unter der Einwirkung von Kräften, siehe Teil II.
Elastische Körper mit komplexen Formen nennt man auch elastische Strukturen.
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- I.11 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, FHM FK 06
1.1 Kraft und starrer Körper
Die Kraft ist ein Vektor:
F mit
- Angriffspunkt PF
- Betrag F = F
- Richtungsvektor eF , eF = 1
- Wirkungslinie WL und Wirkungssinn WS
- physikalische Einheit: 1 N = 1 kg m / s2.
Beispiel Kraft am starren Körper
Kraftvektor im kartesischen Koordinatensystem
Ein starrer Körper ist ein fiktives Gebilde aus Masseteilchen, das sich unter der Einwirkung von Kräften
nicht verformt.
-> Gegensatz: elastischer Körper.
starr
Version 2.03 vom 25.09.2006
elastisch
- I.12 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, FHM FK 06
1.2 Linienflüchtigkeit einer Kraft
Die Wirkung einer Kraft auf einem starren Körper bleibt unverändert, wenn man sie entlang ihrer
Wirkungslinie verschiebt.
(das gilt nicht am elastischen Körper)
A
F
Wirkungslinie
B
=
Wirkungslinie
F
=
C
F
Wirkungslinie
Beispiel: Wirkung auf einen Tragbalken ändert sich nicht, egal in welcher Höhe sich die Last befindet.
m
m
m
Version 2.03 vom 25.09.2006
- I.13 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, FHM FK 06
1.3 Gleichgewichtsaxiom
Zwei Kräfte sind am starren Körper im Gleichgewicht und heben ihre Wirkung auf den starren Körper auf,
wenn sie auf der gleichen Wirkungslinie liegen, den gleichen Betrag haben und entgegengesetzt
gerichtet sind.
Es gilt:
F1 + F2 = 0 wo F1 = F2 , WLF1 = WLF2, und eF 1 = − e F 2
0 = Nullvektor.
WLF2
WLF1
1.4 Addition/Subtraktion von Gleichgewichtsgruppen
Eine Gruppe von zwei oder mehr Kräften, die sich im Gleichgewicht hält nennt man eine
Gleichgewichtsgruppe.
Aus dem Gleichgewichtsaxiom folgt:
Ist ein starrer Körper mit seinen Kräften im Gleichgewicht, so kann man diesem System beliebige
Gleichgewichtsgruppen dazu addieren oder wegnehmen.
=
Version 2.03 vom 25.09.2006
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
- I.14 -
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, FHM FK 06
1.5 Erstarrungsprinzip
Ein freier elastischer Körper ist genau dann im Gleichgewicht, wenn er als starrer Körper im
Gleichgewicht wäre.
Beispiel: Man denke sich das verbogene Mobile „eingefroren“. Man kann den verbogenen Draht durch
einen starren Bügel ersetzen, ohne dass sich etwas am Gleichgewicht ändert.
Version 2.03 vom 25.09.2006
- I.15 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, FHM FK 06
1.6 Schnittprinzip
Aus dem Reaktionsprinzip und obigen Methoden zum Freischneiden von Körpern erkennt man:
Das Gleichgewicht eines nicht freien (gebundenen) Körpers ändert sich nicht, wenn man die Bindungen
schneidet und diese durch entsprechende Schnittkräfte ersetzt.
Schnitt
FC
=
A
C
B
A
FA
B
C
FB
1.7 Reaktionsprinzip (3. Newtonsches Gesetz)
Die Verbindung zwischen 2 Körpern wird oft als Gelenk bezeichnet. Im Bezug zu einem festen Raum
spricht man auch von Lagern (siehe Kap. 5.2 Lager).
Sind zwei Körper (1 und 2) mit einem Gelenk mit einander verbunden, so ist das System äquivalent,
wenn man die Körper trennt und die Schnittkräfte (Reaktionskräfte) als actio und reactio (gleich groß und
entgegengesetzt) an den Schnittflächen ansetzt.
Es gilt:
Achtung:
FS1 = − FS2 und FS1 = FS2.
die Wirkung der Kraftübertragung ist vom Typ des Gelenks (siehe Kap. 1.6 Lager) abhängig.
Version 2.03 vom 25.09.2006
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
- I.16 -
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, FHM FK 06
Beispiel
Reaktionsprinzip an zwei glatten Körpern
Sind zwei Körper (1 und 2) auf glatter Oberfläche im Kontakt, so steht die Schnittkraft (Reaktionskraft)
senkrecht auf der Tangentialebene der beiden Körper.
Es gilt:
FS1 = − FS2 und FS1 = − FS 2
Vielfach auch als Normalkraft FN oder N
bezeichnet.
Festlegung: FS1 > 0 = Zugkraft, FS1 < 0 = Druckkraft.
Beispiel: ´Die Kraftübertragung am Zahnrad erfolgt normal zur Zahnfläche (=Wirkungslinie).
Version 2.03 vom 25.09.2006
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
- I.17 -
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, FHM FK 06
1.8 System von Körpern
Mit Hilfe des Reaktionsprinzips kann man auch ein System von Körpern (Mehrkörpersystem, MKS) in
einzelne Körper und ihre jeweiligen Schnittkräften zerlegen, so dass gilt:
Ein Mehrkörpersystem ist genau dann im Gleichgewicht, wenn alle Einzelkörper im Gleichgewicht sind.
Version 2.03 vom 25.09.2006
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
- I.18 -
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, FHM FK 06
2. Arbeiten mit Kräften
2.1 Freischneiden von Kräften
Um Kräfte sichtbar zu machen, muss das betrachtete System zunächst freigeschnitten werden:
I)
Das reale mechanische System muss zunächst abstrahiert werden:
Schema => Lageplan, siehe Bilder, Teil a)
II)
Zur Berechnung der Kräfte in den Bauteilen müssen wir sie zunächst sichtbar machen. Dazu
schneiden wir die Bauteile durch:
Schnittkräfte einführen
Schnittprinzip => Freikörper-Bild mit Schnittkräften, Kräfteplan siehe Bilder, Teil b) und c)
Beispiel:
1. Gewicht G am Seil, gehalten über Rolle und Person.
2. Gewicht G an Feder, die an der Decke befestigt ist.
Version 2.03 vom 25.09.2006
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- I.19 -
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3. Körper 2 eingespannt durch Feder in Zange 1.
F3
F3
F2
2
F1
2
1
1
a)
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b)
F1
F2
- I.20 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
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2.2 Einteilung von Kräften
1. Kräfte unterteilen sich in
+ äußere Kräfte (Gewichtskraft, Magnetfeldkraft, Windkraft, etc. ) und
+ innere Kräfte ( Schnittkräfte in Federn, Dämpfern, Gelenken, Lagerungen,)
Sie treten immer paarweise auf.
2. Kräfte unterteilen sich in
+ eingeprägte Kräfte (Gewichtskraft, Magnetfeldkraft, Windkraft, Schnittkräfte von Federn,
Dämpfer, Aktoren,
)
Sie beeinflussen die Körperbelastung und die Körperbewegung
+ Reaktions- oder Zwangs-Kräfte ( Schnittkräfte in Gelenken, Lagerungen, )
Sie sind die Reaktion auf die eingeprägten Kräfte.
Gewichtskraft:
∫
Es gilt G = Fg = m g = dm g
dm
B
M
S
Sie ist die Anziehungskraft auf einer Masse m, die sich
g
infolge des Gravitationsgesetzes zweier Massen (Newton) auf
der Erde einstellt.
Wir rechnen mit der Erdbeschleunigung g = 9.81 m/s2.
Fg
Jeder Körper hat einen Massenmittelpunkt (vgl. Kap. 1.8).
Für viele Anwendungen (z.B. starrer Körper) können wir die Gewichtskraft im Massenmittelpunkt
(S = Schwerpunkt, CM = Center of Mass) vorstellen.
Beispiel: Körper 2 mit Masse im Schwerefeld eingespannt durch Feder in Zange 1. Benenne alle Kräfte
F3
F3: innere, eingeprägte Kraft
F3
F2
F2: innere, eingeprägte Kraft
Fg
Fg: äußere, eingeprägte Kraft
2
F1
1
Version 2.03 vom 25.09.2006
F1
F2
F1: innere, Reaktionskraft
- I.21 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, FHM FK 06
2.3 Kräfteparallelogramm
Die Wirkung zweier Kräfte F1 und F2 , die an einem gemeinsamen Punkt P angreifen, ist gleich einer
Kraft R , die sich als Diagonale eines mit den Seiten der Kräfte F1 und F2 gebildeten Parallelogramms
ergibt.
F1 + F2 = F2 + F1 = R
Es gilt:
WL F1
Kräfteparallelogramm:
F1
F1
R
WL F2
F2
F2
F2
Kräftedreieck:
F1
R
Lageplan
Version 2.03 vom 25.09.2006
Kräfteplan
- I.22 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, FHM FK 06
3. Kräfte und Gleichgewicht am Punkt
3.1 Zusammensetzen von Kräften am Punkt
Ein System von Kräften ist ein zentrales Kräftesystem, wenn sich alle Kräfte in einem Punkt schneiden.
Die Wirkung eines zentralen Kräftesystems an einem starren Körper ist gleich der Wirkung seiner
Resultierenden.
n
Es gilt:
Resultierende R =
∑ Fi
hier
=
i =1
F1 + F2 + F3
Zeichnerische Betrachtung:
Rechnerische Betrachtung:
Koordinatendarstellung mit den Achsen x, y, z:
R x 
R =  Ry  ;
 
 Rz 
Version 2.03 vom 25.09.2006
R x = ∑i Fix
Ry = ∑i Fiy
Rz = ∑i Fiz
hier:
R x = F1x + F2x + F3 x
Ry = F1y + F2y + F3y
Rz = F1z + F2z + F3z
- I.23 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, FHM FK 06
3.2 Gleichgewicht am Punkt
Ein System von Kräften ist Gleichgewicht, wenn es ein zentrales Kräftesystem mit Schnittpunkt Q
darstellt und dessen Resultierende R gleich Null ist.
Alle Wirkungslinien WLi schneiden sich im Punkt Q.
n
Es gilt: Gleichgewicht:
R = ∑ Fi = 0 ,
i =1
R x 
R =  Ry  = 0;
 
 Rz 
R x = ∑i Fix = 0
Ry = ∑i Fiy = 0
Rz = ∑i Fiz = 0
Sonderfall n = 2: F1 + F2 = 0 wo F1 = F2 , WLF1 = WLF2 und eF1 = − e F2 , vgl. Abschn. 1.3.2
Zeichnerische Lösung für n = 3:
Version 2.03 vom 25.09.2006
Geg. F1, WL1, F2, WL2, Q,
Finde WL3, F3.
Geg. F1, WL1, WL2, WL3
Finde F2, F3.
- I.24 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, FHM FK 06
3.3 Zerlegen von Kräften
Häufig besteht die Aufgabe, für ein im Gleichgewicht befindliches System eine vorgegebene Kraft in zwei
Richtungen zu zerlegen. Sie kann wie folgt gelöst werden:
WL F1
F2
F1
F1
F
F
F2
WL F2
1. Auftragen von F im Kräfteplan
2. Eintragen der Wirkungslinien von F1 und F2
3. Abgreifen von F1 und F2 und
4. Übertragung in den Lageplan
Aber Achtung: Zerlege die Kraft F in drei Wirklinien.
WL1
WL2
F
F‘3
F‘2
F‘‘1
F‘‘3
F
F‘1
F‘‘2
WL3
Ergebnis: Wenn die 3 Wirkungslinien durch einen gemeinsamen Punkt laufen, gibt es keine eindeutige
Lösung. Beliebig viele Lösungen sind möglich. Man spricht von einem statisch überbestimmten System.
Version 2.03 vom 25.09.2006
- I.25 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
4
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, FHM FK 06
Zusammenfassen von Kräftesystemen
4.1 Resultierende eines ebenen Kräftesystems
Ein Kräftesystem ist dann eben, wenn die Wirkungslinien der am Körper angreifenden Kräfte in einer
Ebene liegen. Die Kräfte können entlang ihrer Wirklinien verschoben werden. Daher kann im folgenden
Beispiel mit 3 Kräften wie folgt vorgegangen werden;
-
Man verschiebe F1 und F2 zu A12 und bilde die Teilresultierende R12
-
Schneiden der Wirklinien von
R12 und F3 und Bilden der Gesamtresultierenden R
Koordinatendarstellung mit den Achsen x, y, z:
R x 
R =  Ry  ;
 
 Rz 
Version 2.03 vom 25.09.2006
R x = ∑i Fix
Ry = ∑i Fiy
Rz = ∑i Fiz
hier:
R x = F1 x + F2 x + F3 x
Ry = F1 y + F2 y + F3 y
Rz = F1z + F2 z + F3 z
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
- I.26 -
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer, FHM FK 06
4.2 Zusammenfassen paralleler Kräfte
Parallel angreifende Kräfte schneiden sich beim Verschieben auf ihrer Wirklinie nie. Wie kann man
dennoch die Resultierende bestimmen?
Vorgehensweise:
-
Addiere zwei im Gleichgewicht befindliche Kräfte
{P; − P} gemäß Axiom 4 (Addition von
Gleichgewichtsgruppen);
-
Bilde die Resultierenden R1 , R2
-
Verschiebe die Resultierenden entlang der Wirklinien und bilde die Gesamtresultierende R
Rechnerisch;
R = R1 + R2 = ( F1 + P ) + ( F2 − P ) = F1 + F2
Achtung: diese Konstruktion funktioniert nicht bei Kräften, die antiparallel und gleich groß sind mit
identischer Wirkungslinie! Dazu siehe die nächsten Kapitel.
Version 2.03 vom 25.09.2006
- I.27 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
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4.3 Kräftepaar
Greifen am Körper antiparallele, gleich große Kräfte mit einem Abstand a > 0 an, so führt die
Konstruktion aus Kap. 4.2 zu keinem Ergebnis. In diesem Sonderfall spricht man von einem Kräftepaar:
Die Kräfte F1 und F2 mit der Resultierenden R = F1 + F2 = 0 bilden ein Kräftepaar, wenn sie den
gleichen Betrag haben ( F1
= F1 = F = F2 = F2 ), auf parallelen Wirkungslinien liegen,
entgegengesetzt gerichtet sind und den Abstand a bilden.
==>
Kräftepaar
{−F, a, F } mit Drehsinn
F2
F2
A
B
F1
=
B'
F1
a
F2
A'
B'
=
A'
a
a
F1
{
} ist eine unabhängige mechanische Größe.
{
} ist auf dem starren Körper frei verschiebbar.
Ein Kräftepaar −F, a, F
Ein Kräftepaar −F, a, F
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- I.28 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
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4.4 Das Moment
Ein Kräftepaar
{−F, a, F } mit Drehsinn
kann durch ein Moment repräsentiert werden.
Moment M = a F. (Nm).
Zu einem Kräftepaar gehört genau ein Moment.
Ein Moment kann aus ∞ vielen Kräftepaaren herrühren.
M = a F = a* F* = ....
mit selben Drehsinn .
F*
F
A
M
M
F
B
a*
a
F*
r
Das Moment mit Betrag M = a F ist ein Vektor, der senkrecht auf der
Ebene der Vektoren r und F steht.
Es gilt:
M = r× F
F
(rechte Handregel)
M
M
F
M
A''
r
M
A
M
A'
F
Die Drehachse eines Momentes kann auf dem starren Körper frei verschoben werden.
=> Das Moment ist ein freier Vektor auf dem starren Körper.
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- I.29 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
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4.5 Das Moment einer Kraft bezüglich Punkt P
Gegeben ist die Anordnung nach Grafik a. Um die Wirkung der Kraft bezüglich Punkt A zu ermitteln, soll
F in A parallel verschoben werden, ohne die Wirkung zu ändern. Dies gelingt durch Addition einer
Gleichgewichtsgruppe, bestehend aus zwei antiparallel wirkenden Kräften F. Man erkennt, dass
bezüglich Punkt A die Kraft F und ein Kräftepaar
und einem Moment
{− F , a, F } wirken. Dies entspricht einer Kraft
F
M.
Wirkt an einem Punkt A die Kraft F , so ergibt sich das Moment M, bezogen auf einem anderen Punkt P,
(P ≠ A und P nicht auf der Wirkungslinie von F ) zu
→
M (P) = r × F
wo r = PA der Ortsvektor von P nach A ist.
M (P) = r F sin(α ) = a F
Für den Betrag gilt:
wo a = senkrechter Abstand der WLF von P: a = r sin α
r
M(P)
F
α
r
P
a
WLF
F
A
M
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- I.30 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
4.6 Berechnung des Moments
y
a) x-y-Ebene:
Fy
M z ( P ) = rx Fy − ry Fx
F
.
ry
r
Fx
rx
x
z
b) x-z-Ebene:
Fz
M y ( P ) = rz Fx − rx Fz
rz
r
F
Fx
rx
x
z
c) yz-Ebene:
Fz
F
M x ( P ) = ry Fz − rz Fy
rz
r
Fy
ry
y
d) mit dem Kreuzprodukt
 rx 
 Fx 
 
 
r =  ry  , F =  Fy 
r 
F 
 z
 z
M (P)
ex
= r × F = rx
Fx
ey
rY
Fy
F
ez
rZ
Fz
Fz
r
Ausrechnen der Determinante führt zu:
ry
P
M (P)
 ry ⋅ Fz − rz ⋅ Fy   M x ( P ) 

 

=  rz ⋅ Fx − rx ⋅ Fz  =  M y ( P ) 
 rx ⋅ Fy − ry ⋅ Fx   M z ( P ) 

 

Alternative Matrixschreibweise: M = r F
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rx
rz
- I.31 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
Beispiel: Bestimmung der Wirkungslinie einer Kraft
a
P=0
x
rx
r
Fx
rz
F
Fz
z
Die Kraft F bildet bezüglich Punkt P das Moment (ebener Fall x-z-Ebene):
M (P) = rz Fx − rx Fz = M y (P)
Legt man das Koordinatensystem so, dass der Ursprung sich in P befindet, so kann man rx mit x und rz
mit z gleichsetzen und die Gleichung ergibt sich zu:
M (0) = z Fx − x Fz
Nach Umformen:
z=
M (0)
Fx
+
Fz
x
Fx
Dies ist eine Gleichung einer Geraden, die die Wirkungslinie der Kraft bestimmt.
4.7 Resultierendes Moment
Wirken auf einem Körper n Kräfte Fi , i = 1, ... n, am Punkt Ai, so ergibt sich daraus das Moment M,
bezogen auf einem Punkt P, zu
n
M (P) = ∑ ri × Fi
i= 1
M (P)
→
wo ri = PAi die Ortsvektoren von P nach Ai .
 ryi ⋅ Fzi − rzi ⋅ Fyi 
n
n


= ∑ ri × Fi = ∑  rzi ⋅ Fxi − rxi ⋅ Fzi 
i =1
i =1
 rxi ⋅ Fyi − ryi ⋅ Fxi 


ri
Fi
r1
r3
F3
Version 2.03 vom 25.09.2006
M ( P)
r2
F2
F1
- I.32 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
5
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
Statisches Gleichgewicht von Köpern
5.1 Erweitertes Äquivalenzprinzip
Jedes System von Kräften, F1 , F2 , ..... Fn und Einzelmomenten M1 , M 2 , ..... M m kann in seiner
Wirkung auf einen starren Körper in äquivalenter Weise durch eine Dyname (Kraftwinder)
{ R, M }
P
bezogen auf den Punkt P, beschrieben werden.
M2
y
R
F2
x
+Mz
F1
r1
r2
P
rn
P
Mp = M(P)
Mm
M1
x
Fn
+My
z
Für die auf den Punkt P bezogene Dyname gilt:
n
Resultierend Kraft
R = ∑ Fi
i =1
Resultierendes Moment bez. P
Version 2.03 vom 25.09.2006
n
m
i =1
i =1
M P = M ( P ) = ∑ ri × Fi + ∑ M i
- I.33 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
5.2 Allgemeines Gleichgewichtsaxiom
Ein mechanisches System befindet sich im Zustand der Ruhe (Gleichgewicht) oder im Zustand der
gleichförmigen geradlinigen Bewegung, wenn die angreifenden Kräfte und Momente in ihrer Wirkung auf
einen starren Körper einer verschwindenden Dyname mit R = 0 und M P = 0 äquivalent sind.
Die Gleichgewichtsbedingungen für einen beliebigen Punkt P lauten:
n
R = ∑ Fi = 0
Resultierende Kraft:
i =1
Resultierendes Moment bez. P
n
m
i =1
i =1
M P = M ( P ) = ∑ ri × Fi + ∑ M i = 0
Die Gleichgewichtsbedingungen für einen beliebigen Punkt P in Koordinatendarstellung ergeben 6
skalare Gleichungen:
∑ Fix = 0
∑ Fiy = 0
∑ Fiz = 0
∑ (+riy Fiz − riz Fiy )+ ∑ Mix = 0
∑ (− rix Fiz + riz Fix )+ ∑ Miy = 0
∑ (+rix Fiy − riy Fix )+ ∑ Miz = 0
In der x-z-Ebene genügen 3 Gleichungen:
∑ Fix = 0
∑ Fiz = 0
∑ (− rix Fiz + riz Fix )+ ∑ Miy = 0
Version 2.03 vom 25.09.2006
- I.34 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
5.2 Lager und Freiheitsgrade starrer Körper
5.2.1
Definitionen
Der Freiheitsgrad f ist die Anzahl der Koordinaten, die man mindestens braucht, um die Lage eines
mechanischen Systems eindeutig zu beschreiben.
In der Ebene hat ein starrer Körper 3 Freiheitsgrade (FHG): b = 3
y
- 2 Translationen,
- 1 Rotation
z
x
Im Raum hat ein freier starrer Körper 6 Freiheitsgrade: b = 6
- 3 Translationen,
- 3 Rotationen
y
x
z
Lager (Auflager) der Körper zur Umgebung und Gelenke zwischen den Körpern schränken die
Bewegungen der Körper ein.
Ein Lager / Gelenk bewirkt u = 0 ... 6 kinematischen Zwangsbedingungen.
Die Zahl der Zwangsbedingungen u ist gleich der Wertigkeit eines Lagers.
Die noch möglichen Bewegungen eines Körpers relativ zur Umgebung bzw. zu benachbarten Körpern
infolge eines Lagers / Gelenkes ist die Zahl der Freiheitsgrade f = 6 ... 0.
Es gilt für ein Lager / Gelenk:
f=b–u
Zur Einhaltung der kinematischen Zwangsbedingungen sind in den Lagern / Gelenken
laut Schnittprinzip Reaktionskräfte und -momente (auch Zwangskräfte und -momente genannt)
einzuführen.
Ihre Wirkung ergibt sich aus der Richtung und Aussage der Zwangsbedingung: z.B.
Drehung
ϕx eingeschränkt:
-> Reaktionsmoment Mx einführen
Verschiebung
sx eingeschränkt:
-> Reaktionskraft Fx einführen.
Die Größe der Reaktionskräfte und -momente sind noch unbekannt. Sie ergibt sich aus den
eingeprägten Kräften am Körper und können mit Hilfe der Statik oder Kinetik berechnet werden.
Version 2.03 vom 25.09.2006
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
5.2.2
- I.35 -
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
Freiheitsgrade des starren Körpers mit Lagerungen
Die Zahl der Freiheitsgrade eines starren Körpers mit g Lagerungen bzw. Gelenken ergibt sich zu
g
f K = b − ∑ uk FHG.
k=1
Aussage:
fK = 0:
starrer Körper ist statisch bestimmt gelagert,
keine Bewegung möglich.
Reaktionskräfte / - momente mit Hilfe der Statik lösbar.
fK > 0:
starrer Körper ist nicht statisch bestimmt gelagert,
Körper wird sich bewegen.
Problem mit der Kinetik lösbar.
fK < 0:
starrer Körper ist statisch überbestimmt gelagert,
keine Bewegung möglich.
Reaktionskräfte / - momente nur mit Hilfe der Elastostatik lösbar.
Mit den Gleichgewichtsbedingungen können für einen statisch bestimmt gelagerten Körper im ebenen
Fall genau 3, im räumlichen Fall genau 6 Auflagerreaktionen (Kräfte, Momente) bestimmt werden.
Version 2.03 vom 25.09.2006
- I.36 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
5.2.3
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
Lagerungen in der Ebene (b=3)
Tabelle 1: Einwertige Lager in der Ebene (reibungsfrei)
Name
Kinematik
Statik
Symbol
f
Bewegung
Wertigkeit u
Zwangsbedingungen
Loslager,
2
sx, ϕy
1
sz = 0
Reaktionskräfte / -momente
Dreh-Schub-Gelenk
x
Fz
z
gelenkig gel. starrer
Stab, Pendelstütze
2
s⊥Stab
1
ϕy
sStabrichtg =
0
FNormal
⊥Stab
⊥Stab
Reibungsfreie Berührung
2
stangential
1
snormal = 0
ϕy
x
z
FN
Tangente
Normale
Undehnbares Seil
2
s⊥Seil
1
ϕy
einseitig
sSeilrichtg = 0
nur Zugkräfte
FSeil
⊥Seil
⊥ Seil
Undehnbares Seil
an Punkt und Rolle
Tangente
Kontaktpkt.
⊥Seil
Version 2.03 vom 25.09.2006
2
s⊥Seil
1
ϕy
einseitig
sSeilrichtg = 0
nur Zugkräfte,
tangential an Rolle
FSeil
⊥Seil
- I.37 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
Tabelle 2: Zweiwertige Lager in der Ebene
Name
Kinematik
Statik
Symbol
f
Bewegung
u = Wertigk.
Bedingung
Drehlager, Drehgelenk
1
ϕy
2
sx = 0, sz = 0
Reaktionskräfte / -momente
x
Fx
Fz
z
Schubgelenk, Führung
1
sx,
2
sz = 0, ϕy = 0
My
x
ϕy
Fz
z
Zylinder rollt auf Ebene
x
1
ϕy
2
ϕy
sz = 0
z
r
sx = r ϕy,
Fx = 1/r My.
My
Fx
mit r =
sx
Rollradius
sx
r
P
Fx
Fz
Haftreibung!
Tabelle 3: Dreiwertige Lager in der Ebene
Name
Kinematik
Statik
Symbol
f
Bewegung
u = Wertigk.
Bedingung
Fix-Lager,
0
–
3
sx = 0, sz = 0,
feste Einspannung
ϕy = 0
Reaktionskräfte / -momente
My
x
ϕy
Fx
Fz
z
Version 2.03 vom 25.09.2006
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
5.2.4
- I.38 -
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
Räumliche Lager (b=6)
Tabelle 4: Formschlüssige Gelenke mit 1 bis 5 Gelenkfreiheitsgraden
FGH
23) D3S2- Kugelflächengelenk
5
24) D2S2- Zylinderflächengelk.
25) D3S- Kugelrohrgelenk
26) D2S2 - Doppeldrehschubg.
27) D3 - Kugelgelenk
(Spherical Joint)
28) DS2- Plattengelenk
(Planar Joint)
29) D2S Kugelrillengelenk
30) D2 - Kreuz-(Kardan)gelenk
(Universal (Tait-Bryan) Joint)
31) DS - Drehschubgelenk
(Cylindrical Joint)
32) S2 - Doppelschubgelenk
33) D – Drehgelenk
(Revolute Joint)
34) S - Schubgelenk
(Prismatic Joint)
35) W - Schraubgelenk
(Helical Joint)
4
3
2
1
Version 2.03 vom 25.09.2006
- I.39 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
5.2.5
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
Gelenke mit Reibung:
Bewegt man einen Körper in der freien Bewegungsrichtung eines Gelenkes, so wird aufgrund von
Reibung eine Gegenkraft wirksam.
Das einfachste Gesetz dazu ist die Coloumb-Reibung: Die Reibkraft FR ist das Produkt aus Normalkraft
und Reibkoeffizient. Sie ist immer der Bewegungsrichtung entgegengesetzt.
Der Reibkoeffizient µ ist beim Gleiten kleiner als beim Haften ( µ0 > µ , siehe Tabelle 5). Sein Wert ist
sehr stark von verschiedenen Parametern wie Oberfläche, Werkstoff, Schmierung, etc. abhängig.
µ
µ0
Haftreibung
µ
Gleitreibung
v21
0
Schubgelenk - Gleitreibung:
F2
2
F1
Betrag der Reibkraft
FR 21 = µ FN 21
FR21
µ
v 21
1
Gelenkkraft
FN21
FN 21+ R = FN2 21 + FR221 = FN 21 1 + µ 2
Reibwinkel
Reibkraft-Betrag
Betrag Reibmoment
Reibradius
FN21+R
ρ = arctan µ
Drehgelenk - Gleitreibung:
Zapfenradius
ρ
r
FR 21 = µ FN 21
M R 21 = r ⋅ FN 21 = rR ⋅ FN 21+ R
rR = µ ⋅ r
ω 21
M R21
rR
r
FR21
1
FN21+R
ρ
µ
2 F
N21
F2
F1
Version 2.03 vom 25.09.2006
- I.40 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
ω21
Rollgelenk - Haftreibung: (vgl. Rollgelenk in 1.7.2)
Rollradius
r
Lineargeschwindigkeit
v21 = r ω21
Betrag der Reibkraft
FR 21 = µ0 FN 21
Rollen ist gewährleistet, wenn FR21 >= – Summe
eingeprägter Kräfte || zu v 21 . Punkt P ist der momentane
Drehpunkt (vP = 0, wie ein Drehgelenk).
Tabelle 5: Reibkoeffizienten für einige Werkstoffpaarungen
Lager mit Reibung werden im Kapitel Reibung behandelt
Version 2.03 vom 25.09.2006
F1
v 21
2
r
µ
FR21
P
1
FN21
M2
- I.41 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
Beispiele: Bestimme Freiheitsgrade, Lagerreaktionen, Anzahl Unbekannte, Lösbarkeit (2D-Betrachtung).
F
A
B
F
A
B
F
A
B
F
A
B
F
Stab
A
Version 2.03 vom 25.09.2006
B
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
- I.42 -
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
Zusammenfassung:
a) Lager und Gelenke schränken die Bewegungsmöglichkeiten ein
b) Jedes Lager hat eine definierte Bewegungsbeschreibung
c) Daraus resultieren entsprechende Schnittkräfte / Momente. Dies sind die Lagerreaktionen.
d) Die Freiheitsgrade werden bestimmt mit:
f K = b − ∑ uK
e) Bei einem statisch bestimmten System ( f K = 0 ) werden die Auflagerreaktionen aus den
Gleichgewichtsbedingungen bestimmt:
∑F =0
∑M = 0
Version 2.03 vom 25.09.2006
- I.43 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
5.3 Ermittlung der Auflagerreaktionen
Die Auflagerreaktionen werden mit den Gleichgewichtsbedingungen ermittelt (siehe Kap. 1.5).
∑ Fix = 0
∑ Fiy = 0
∑ Fiz = 0
∑ (+riy Fiz − riz Fiy )+ ∑ Mix = 0
∑ (− rix Fiz + riz Fix )+ ∑ Miy = 0
∑ (+rix Fiy − riy Fix )+ ∑ Miz = 0
Man kann die Gleichungen für verschiedene Punkte aufstellen und ermittelt daraus die unbekannten
Lagerreaktionen
.
F2
F1
Beispiel:
α
A
B
Balken
C
x
b
c
l
z
Der
gezeigte Balken ist durch Kräfte F1 und F2 belastet.
Daten: F1 = 80 N, F2 = 60 N, α = 30 °, b = 0.4 m, c = 0.6 m, l = 1.2 m.
Berechne:
a) Die Freiheitsgrade des Balkens.
b) Die Lagerreaktionen in A und D.
Version 2.03 vom 25.09.2006
D
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
- I.44 -
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
5.4 Gleichgewicht von Mehrkörpersystemen
Ein Mehrkörpersystem (MKS) ist ein System besteht aus n beweglichen Körpern (ohne Umgebung /
Gestell), die durch Gelenke (Lager, Bindungen)) mit der Umgebung oder untereinander verbunden sind.
Neben den Reaktionskräften der Gelenke (Lager) wirken an ihnen noch eingeprägte Kräfte und
Momente.
Das Mehrkörpersystem (MKS) ist in Gleichgewicht, wenn jeder Körper selbst im Gleichgewicht
ist.
Die Lagerreaktionen zum Gestell sind mit den äußeren eingeprägten Kräften/Momenten im
Gleichgewicht.
Vorgehen:
1. Bestimme die Freiheitsgrade fMKS des Mehrkörpersystems
g
f MKS = b n −
∑ uk
FHG
k =1
wo b = Zahl der FHG des freien Körpers, (b = 6 für 3D, b = 3 für 2D Probleme)
n = Zahl der Körper (ohne Gestell),
g = Zahl der Gelenke
uk Zahl der Bewegungseinschränkungen im Gelenk k.
2. Unterbinde die freie Bewegungen des Systems durch Hinzunahme von Reaktionskräften bzw.
Reaktionsmomenten.
3. Schneide jeden Körper aus seiner Umgebung frei und ersetze die Wirkungen der Gelenke und Federn
etc. durch Kräfte und Momente.
4. Stelle die Gleichgewichtsbedingungen an jeden Körper auf.
5. Löse das Gleichungssystem nach den Unbekannten auf.
6. Prüfe die Bilanz der äußeren Kräfte/Momente mit den Gestellreaktionen.
Version 2.03 vom 25.09.2006
- I.45 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
6
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
Schwerpunkt und Massenmittelpunkt
6.1 Statische Momente
Das Gravitationsfeld jedes Körpers erzeugt eine Gewichtskraft. In der Regel können wir auf der Erde ein
konstantes Gravitationsfeld annehmen: g = konst. Dann gilt:
G = m⋅ g
wobei m = Masse des Körpers.
Die Dichte eines Körpers ist definiert als
d ρ , dV
∆m dm
ρ = lim
=
∆V →0 ∆V
dV
Dabei ist die Dichte im allgemeinen vom Ort abhängig:
ρ = ρ ( x, y , z )
Gesucht ist die Masse m:
mi = ρi ∆Vi Æ
m = lim
ρ = konst.
m = ∫ ρ dV = ρV
Für den Fall
∆V →0
∑m
i
= lim
∆V →0
∑ ρ ∆V = ∫ ρ ( x, y, z )dV
i
i
V
wird
V
Wir betrachten zunächst eine ebene Scheibe mit der Dicke
h = konst. :
dA
Die Masse eines Volumenelementes ist:
dm = ρ dV = ρ h dA
h
V1
und damit die Gesamtmasse
r
m = ∫ ρ h dA = h ∫ ρ dA
V2
Wir nehmen an, dass die Schwerkraft in z-Richtung wirke und
bestimmen nun das durch das Schwerefeld in z-Richtung
h
erzeugte Moment um die x-Achse:
dM xz = y dG = y g ρ dV
Æ
M xz = g ∫ y ρ dV
V
Analog um die y-Achse:
M yz = g ∫ x ρ dV
x
V
dV
Dieses Moment wird Flächenmoment 1. Grades genannt.
V1
V2
r
dG
z
h
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y
- I.46 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
6.2 Massenmittelpunkt
Mit Hilfe der Flächenmomente 1. Grades kann im gleichförmigen Schwerefeld der Schwerpunkt
(=Massenmittelpunkt) bestimmt werden.
Das Gesamtgewicht eines Körpers greift im Schwerpunkt S an. Dann kann das Flächenmoment 1.
Grades geschrieben werden zu:
!
M xz = ∫ y dG = g ∫ y ρ dV = yS G
V
V
Für die drei Koordinaten von S findet man:
xS =
g
x ρ dV
G V∫
yS =
g
y ρ dV
G V∫
zS =
g
z ρ dV
G V∫
Für eine Scheibe mit
ρ = konst.
vereinfachen sich diese
Gleichungen zu
xS =
1
1
1
x ρ dV =
x ρ h dA = ∫ x dA
∫
∫
mV
ρ Ah V
AV
yS =
1
y dA
A V∫
( zS = 0 , wenn die x-y-Ebene in der Mittelebene der Scheibe angeordnet ist.)
Mit diesen Gleichungen kann der Schwerpunkt eines Körpers bestimmt werden.
Der Massenmittelpunkt ist kein materieller Punkt, siehe auch Kap.2 Elastostatik.
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- I.47 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
Beispiel
Man bestimme die Schwerpunktkoordinaten des ebenen Rechtecks / Dreiecks mit konstanter Dicke t und
Dichte ρ.
y
2 a
1
1
1x
x dA =
x b dx =
∫
∫
AA
ab x
a 2
b
Analog: yS =
2
xS =
=
0
a
2
b
dA
dx
a
x
Bestimme die Schwerpunktkoordinaten des ebenen Dreiecks mit Dicke t und Dichte ρ konstant
x
xS =
1
1
x dA =
∫
ah
AA
2
h
∫
h
x b( x) dx
x =0
h−x
h
h
1
2
h−x
h
xS = ∫ x dA =
xa
dx =
∫
3
AA
a h x =0
h
dA
Nach Strahlensatz: b( x ) = a
b(x)
a
y
Beispiel: Bestimme den Schwerpunkt des I-Profils
Zerlege das Profil in einfache Grundformen (hier Rechtecke).
y S 1 = yS 2 = y S 3 = y S = 0
y
Die Gesamtfläche ist:
A = b1h1 + b2 h2 + b3 h3
Die Teilschwerpunkte
sind:
xS 1 =
h1
;
2
xS 2 = h1 +
h2
;
2
Nach Momentensatz:
xS =
xS 3 = h1 + h2 +
b1h12 + b2 h2 ( 2h1 + h2 ) + b3h3 ( 2h1 + 2h2 + h3 )
2 ( b1h1 + b2 h2 + b3h3 )
Version 2.03 vom 25.09.2006
h3
;
2
x
- I.48 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
7
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
Reibungsprobleme
7.1 Prinzip
In der Berührfläche zweier Körper tritt Reibung auf. Dieser Effekt kann erwünscht sein (bsp. beim
Verbinden mit Schrauben, Autoreifen auf Straße) oder unerwünscht (Verschleiß, Energieverbrauch).
Wird der Körper mit einer Kraft F belastet und bewegt sich nicht, so wird durch die Reibung von der
Unterlage eine Kraft FR aufgebracht, die der ursprünglichen Kraft entgegengerichtet ist und gleich groß
ist.
Zerlegen der Kraft F in Tangential- und Normalanteil zur Gleitfläche und Aufstellen der
Gleichgewichtsbedingungen:
Senkrecht zur Gleitfläche;
Parallel zur Gleitfläche:
Fn = FN (Normalkraft)
FR 0 = Ft = Fn ⋅ tan α = FN ⋅ tan α
(Haftreibungskraft)
Wenn bei konstanter Normalkraft die Tangentialkraft gesteigert wird, so tritt bei Überschreiten eines
Grenzwertes FR 0 max Gleiten ein.
Bedingung für Haften (keine Bewegung): Ft ≤ FR 0 max
mit
Allgemein:
FR 0max = µ0 FN
FR = µ FN
Die Normalkraft ist positiv, ist also eine Druckkraft. Bei negativer Normalkraft würde der Körper abheben.
Dies ist in den Betrachtungen der Statik nicht zulässig, vgl. Abschnitt 5.2.5 Gelenke mit Reibung.
Version 2.03 vom 25.09.2006
- I.49 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
7.2 Reibungswinkel
Beispiel: Klotz auf schiefer Ebene
Definition des Reibungswinkels:
µ0 = tan ρ0 ;
µ = tan ρ ;
ρ0 = Haftreibungwinkel
ρ = Gleitreibungwinkel
Solange die Gewichtskraft FG innerhalb des Sektors des Haftreibungswinkels wirkt, haftet der Körper.
7.3 Lösen von Reibungsaufgaben
1. Freischneiden und Eintragen aller Kräfte am Körper
2. Bestimmen der Kräfte an den möglichen Gleitflächen des Körpers
3. Prüfen, ob Haften vorliegt.
Version 2.03 vom 25.09.2006
- I.50 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
Beispiel:
Ein Klotz mit dem Gewicht G soll durch eine horizontal
S
wirkende und im Schwerpunkt angreifende Kraft eine schiefe
F =?
Ebene (Winkel α ) heraufgezogen werden. Wie groß muss
diese Kraft F sein?
α
Geg.: G, µ, α
Freischnittbild:
y
x
S
G
α
FR
α FN
F
Kräftegleichgewicht in x-Richtung:
F cos α − G sin α − FR = 0
Kräftegleichgewicht in y-Richtung:
mit
Æ
Æ
Mit
Für
FN − F sin α − G cos α = 0
FR = µ FN und FN = F sin α + G cos α
F cos α − G sin α = µ ( F sin α + G cos α )
sin α + µ cos α
F =G
cos α − µ sin α
sin ρ
wird
µ = tan ρ =
cos ρ
sin α cos ρ + cos α sin ρ
sin(α + ρ )
F =G
=G
= G tan(α + ρ )
cos α cos ρ − sin α sin ρ
cos(α + ρ )
α + ρ ≥ 90°
spricht man von Selbsthemmung.
Version 2.03 vom 25.09.2006
G
- I.51 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
8
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Die sog. Prinzipe der Mechanik erlauben die Untersuchung von Systemen und einen tieferen Einblick in
die Statik, in dem virtuelle Bewegungen angenommen werden. In der Statik sind zwar Bewegungen
ausgeschlossen, aber dennoch erlauben diese gedanklichen Überlegungen auf elegante Weise die
Bestimmung gewünschter Größen.
Ein Prinzip ist das Prinzip der virtuellen Verschiebung oder Prinzip der virtuellen Arbeit. (Analog werden
auch das Leistungsprinzip – virtuelle Geschwindigkeiten, o.a. verwendet). Ähnlich wie beim Schnittprinzip
löst man in Gedanken beim statischen System Verbindungen (vergleiche Gelenk - und führt die
entsprechenden Schnittkräfte ein), weiter unterwirft man das System dann kleinen virtuellen
Verschiebungen
δr . δr
ist die virtuelle Verschiebung. Sie ist eine gedachte, beliebig große (nicht Null!)
Verschiebung, die mit dem gelagerten System verträglich ist. Das System muss also Freiheitsgrade
haben. Das System hat so viele unabhängige virtuelle Bewegungen, wie das System Freiheitsgrade hat.
Die virtuelle Verschiebung / virtuelle Drehung ergibt sich immer aus der Ableitung der Lagebeziehungen
der Kinematik des beweglichen Systems. In der Statik machen wir oft f K = 1 , damit genau die gesuchte
Kraft (Lagerkraft, Stabkraft, etc.) berechnet werden kann.
Die bei der virtuellen Verschiebung / Verdrehung aufgewendete Arbeit ist die virtuelle Arbeit.
Gleichgewicht herrscht für das System dann, wenn die virtuelle Arbeit für alle kleinen, beliebigen
Verschiebungen verschwindet, die mit der Geometrie des beweglich gemachten Systems verträglich
sind.
Die Arbeit einer Kraft F an einem Punkt P zur Verschiebung vom Punkt 1 zum Punkt 2 ist definiert zu:
2
W12 = ∫ F ⋅ dr = F ⋅ ∆r , wenn F = konst.
1
Wir denken uns nun eine kleine Verschiebung, die die Kraftrichtung nicht beeinflusst und können dann
schreiben
δ W := F ⋅ δ r
δ
bedeutet hierbei einerseits kleine und andererseits nur gedachte Verschiebung = virtuelle
Verschiebung
Aus dem Gleichgewichtsbedingung für starre Körper
∑F = 0
i
i
Können wir folgern:
δ W = ∑ Fi ⋅ δ ri = 0
i
Bei jeder virtuellen Verschiebung eines im Gleichgewicht befindlichen idealen Systems ist die Summe
der virtuellen Arbeiten der eingeprägten Kräfte gleich Null.
Version 2.03 vom 25.09.2006
- I.52 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
Eingeprägte Kräfte sind die äußeren und inneren Kräfte eines Systems – jedoch nicht die Reaktionskräfte
in Lagern und Gelenken.) Wenn wir eine Lagerkraft suchen, schneiden wir also dieses Lager und das
System bewegt sich f K > 0 . Damit wird in dieser Betrachtungsweise die entsprechende Reaktionskraft
zu einer eingeprägten Kraft in der Bilanz der Arbeiten.
Dabei ist zu beachten, dass die virtuelle Verschiebung nicht die wirkenden Kräfte verändern, da sonst die
ursprünglichen Annahmen (Gleichgewichtsbedingungen) nicht mehr gelten. D.h. in Berührflächen heben
sich die virtuellen Arbeiten auf, in Lagern wird keine virtuelle Arbeit geleistet, da die Verschiebung in
Kraftrichtung Null ist.
Beispiel:
Ein Brett mit dem Gewicht G liegt auf einer Kante auf und wird von der
gegenüberliegenden Wand abgestützt (keine Reibung). Bei welchem
Winkel ist das Brett im Gleichgewicht?
Lösung:
Als virtuelle Verschiebung nehmen wir die Änderung des Winkels
Arbeit leistet nur die Gewichtskraft G
Æ
δW = G δ z = 0
mit
δz =
(1)
dz
δϕ
dϕ
Aus der Geometrie folgt:
und somit:
z
a
+
=l
cos ϕ sin ϕ
z = l cos ϕ − a cot ϕ
dz
1
= −l sin ϕ + a 2
dϕ
sin ϕ
Für G ≠ 0 folgt aus (1) für beliebige
Æ
sin ϕ =
3
a
l
Version 2.03 vom 25.09.2006
δz:
δϕ
- I.53 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
Beispiel:
x
K
H
L
y
Gesucht ist die Stabkraft FS in einem Brückentragwerk, das mit 3 Kräften belastet wird. Es ist in A in
einem zweiwertigen, in B einem einwertigen Lager gelagert.
Lösung:
Das Fachwerk kann nicht verschoben werden. Um das Prinzip der virtuellen Verschiebung anwenden zu
können, wird das Tragwerk am unteren Gurtstab aufgeschnitten und der herausgenommene Stab durch
die Gurtkraft FS ersetzt. Sie wird als äußere eingeprägte Kraft angebracht. Damit entstehen zwei starre
Scheiben, die in C gelenkig verbunden sind. Wenn die linke Scheibe eine virtuelle Drehung
δα um A
δβ = 2 δα .
durchführt, dann dreht sich die rechte Scheibe um
Æ Die Verschiebung an den Kraftangriffspunkten sind:
linke Scheibe Punkt H und L
rechte Scheibe Punkt K
δ xH = h δα = δ xL
δ yL = 3h δα
δ xK = h δβ
δ yK = h δβ
Somit ergibt sich für die virtuelle Arbeit
!
δ W = F h δα + FS 3h δα + F h δβ − FS h δα − FS h δβ = 0
Mit
Æ
δβ = 2 δα wird daraus
3 h δα (2 F − FS ) = 0
für beliebige
δα
FS = 2 F
Ergebnis:
Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen kann schnell und elegant zu Lösungen führen, ohne dass
vorher die Lagerreaktionen bestimmt werden müssen. Dazu ist es notwendig, das System so beweglich
zu machen, dass die gesuchte Kraft einen Beitrag zur virtuellen Arbeit leistet.
Version 2.03 vom 25.09.2006
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
9
- I.54 -
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
Innere Kräfte und Momente in Bauteilen
9.1 Allgemeines
Lasten auf Bauteilen (Körpern) verursachen nicht
nur Auflagerkräfte und Einspannmomente, sondern
auch Beanspruchungen (Kräfte, Spannungen =
Kräfte pro Fläche) im Inneren dieser Bauteile.
Diese inneren Beanspruchungen werden im
Weiteren (innere) Schnittgrößen genannt.
Schnittgrößen dienen der Vorbereitung zur
Untersuchung der Festigkeit von Bauteilen.
a) Nicht zerschnittenes Konstruktionsteil
b) Resultierende der inneren Kräfte für einen Schnitt
c) Auf der Schnittfläche verteilte innere Kräfte
Folgende Bauteilformen sind denkbar:
Formen
Definition
Schnittgrößen
Seile (Saiten,
sind schlanke, dehnsteife und
Sie ergeben nur Zugkräfte in
Ketten)
biegeweiche, torsionsweiche
Seilrichtung.
Beispiel
Bauteile.
Stäbe
sind schlanke, dehnsteife,
Sie ergeben Längskräfte
torsionssteife, aber biegeweiche (Zug oder Druck) und / oder
Balken
Bauteile.
Torsionsmomente.
sind schlanke, dehnsteife,
Sie ergeben Längskräfte
torsionssteife und biegesteife
(Zug oder Druck),
Bauteile.
Querkräfte, Biegemomente
und Torsionsmomente.
Dicke,
Hier ist die 3D-
gedrungene
Kontinuumsmechanik
Bauteile:
anzuwenden
FEM-Theorie.
Schlank heißt hier, dass Quermaße sehr viel kleiner sind als die Bauteillänge.
Version 2.03 vom 25.09.2006
ist nur eine
vereinfachtes Modell
- I.55 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
9.2 Innere Kräfte und Momente am Balken
Ein Balken ist ein schlankes Bauteil, dessen Ausdehnungen nur in Richtung der Balkenachse betrachtet
werden.
Die Balkenachse liegt in der Querschnitt-Symmetrieachse des Balkens. In der Regel legt man die
Balkenachse in die x-Achse. Die x-z-Ebene wird in die Lastebene gelegt.
FA
2D-Fall in x-z-Ebene
Zur Ermittlung der Schnittgrößen wird der Balken senkrecht zur Längsachse an der Stelle x
geschnitten.
Seine resultierenden Schnittgrößen
positives
Schnittufer
sind
die Normalkraft N (oder Fn),
x
negatives
Schnittufer
n
die Querkraft Q (oder Fq) und
das Biegemoment Mb.
x
y
z
N
Mb
N
Q
Q
Mb
Im 2D Fall wird dies meist so gezeichnet:
N
Q Mb
Q
N
Mb
Schnittgrößen werden am positiven Schnittufer positiv, (d.h. alle Wirkrichtungen zeigen in positive
Richtungen des Koordinatensystems), am Gegenufer negativ angetragen. (actio = reactio)
Version 2.03 vom 25.09.2006
- I.56 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
Wichtig: Vorzeichenregel:
Normalkraft:
positiv = Zugkraft, negativ = Druckkraft
Querkraft:
positiv = Gleichgewichtskraft am Schnittufer nach unten
Biegemoment:
positiv = Bauteil nach unten konvex verbogen.
Andere Schreibweise: N = Fn, Q = Fq, Mb = M.
Merke:
Man verwende die x-z -Ebene, dann ist das Moment +Mb = My am positiven Schnittufer links
herum gerichtet.
Im 3D- Fall sind auch Torsionsmomente und Querkräfte und Biegemomente in 2 Richtungen zu
betrachten, siehe z.B. (Dankert and Dankert 2004).
Gleichgewichtsbedingungen am geschnittenen Bauteil der Länge x:
Sei der Bauteilabschnitt 0 .. x durch Kräfte Fix und Fiz am Ort rix sowie durch Einzelmomente Mjy = Mj
belastet, folgt
Normalkraft
Fn (x) + ∑ Fix = 0
→
Fn (x) = − ∑ Fix
Querkraft in z
Fq (x) + ∑ Fiz = 0
→
Fq (x) = − ∑ Fiz
Biegemoment
M b (x) + ∑ (x − rix ) Fiz + ∑ M j = 0
i
i
i
i
i
→
j
Mb (x) = − ∑ (x − rix ) Fiz − ∑ M j
i
rix ist der Ort der Kraft, gemessen vom Koordinatenursprung.
Für den 3D-Fall sind die Gleichungen entsprechend zu ergänzen.
Merke:
Jeder neue Lastangriff stellt eine Unstetigkeit der Belastung und damit eine Unstetigkeit der
Schnittgrößen dar. Das erfordert somit eine Unterteilung des Balkens in Bereiche.
Für jeden Bereich ist eine Gleichgewichtsbetrachtung aufzustellen.
Allgemein gilt:
Ort maximaler Schnittgrößen = Ort maximaler Bauteilbelastungen
Seien die Funktionen Fn(x), Fq(x), Mb(x) gegeben, findet man den Ort und die Maximalwerte aus
∂ Fn (x)
= 0 ⇒ x Fn − max
⇒ Fn − max = Fn (x = x Fn − max )
∂x
∂ Fq (x)
= 0 ⇒ x Fq − max
⇒ Fq − max = Fq (x = x Fq − max )
∂x
∂ Mb (x)
= 0 ⇒ x Mb − max ⇒
Mb − max = Mb (x = x Mb − max )
∂x
Version 2.03 vom 25.09.2006
j
- I.57 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
9.3
9.3.1
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
Ausgewählte Lastfälle
Balken mit Einzellast
Vorgehensweise:
a) Bestimmung des Freiheitsgrades
f K = 3 − (2 + 1) = 0
Æ
statisch bestimmt
b) gegeben ist der Lageplan
c) Freischneiden liefert Kräfteplan
Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen liefert Auflagerreaktionen
F − FA − FB = 0
FB ⋅ l − F ⋅ a = 0
b
FA = F ;
l
FB = F
a
l
d) Schneiden liefert die Schnittkräfte und –momente im linken Feld (Bereich I)
Version 2.03 vom 25.09.2006
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
- I.58 -
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
e) Schneiden rechts der Krafteinleitung liefert Schnittkräfte und –momente im rechten Feld (Bereich II)
f) Auftragen der Kräfte und Momente im Diagramm:
dazu zunächst ausgewählte Punkte bestimmen:
M b (x = l) = 0
Version 2.03 vom 25.09.2006
- I.59 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
9.3.2
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
Balken mit fester Einspannung und Einzelkraft
Vorgehensweise:
a) Bestimmung des Freiheitsgrades
f K = 3 − (2 + 1) = 0
Æ
statisch bestimmt
b) Lageplan
c) Freischneiden liefert Kräfteplan
F
MA
A
FA
Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen liefert Auflagerreaktionen
FA = F
MA = F ⋅l
d) Schneiden liefert die Schnittkräfte und –momente:
Linkes Feld (Bereich I):
A
MA
Q
Mb
x
FA
Q − FA = 0
Æ
Q = FA = F
Momentengleichgewicht: M b + M A − FA x = 0
Æ
M b ( x) = F ( x − l )
M b ( x = 0) = F l
M b (x = l) = 0
Kräftegleichgewicht:
Rechtes Feld (Bereich II):
F
A
Q
x
FA
Kräftegleichgewicht:
Q + F − FA = 0
Q=0
Momentengleichgewicht: M A + M b − F ⋅ l = 0
Æ
Mb = 0
Æ
Version 2.03 vom 25.09.2006
Mb
- I.60 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
e) Verlauf von Querkraft und Biegemoment
FA
+
Q
Mb
F
-
Erkenntnisse aus diesen Beispielen - Merke:
-
An freien unbelasteten Ende sind die Querkraft FQ und das Biegemoment gleich Null
-
Zischen zwei Einzelkräften ist die Querkraft konstant und das Biegemoment linear
-
Am Angriffspunkt einer Kraft hat die Querkraft einen Sprung und das Biegemoment einen Knick
-
Am Nulldurchgang der Querkraft erreicht das Biegemoment seinen Extremwert
Merke:
Die Schnittgrößen an der Stelle x lassen sich mit Hilfe der Statik starrer Körper berechnen.
Bei allen unstetigen Änderungen der Belastung des Bauteiles ist ein neuer Bereich festzulegen.
Version 2.03 vom 25.09.2006
- I.61 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
9.3.3 Balken mit mehreren Einzellasten
(Fortsetzung des Beispiels)
F2
F1
FAx
α
A
x
FAz
B
b
z
Der gezeigt Balken ist durch Kräfte F1 und F2 belastet.
Daten: F1 = 80 N, F2 = 60 N, α = 30 °, b = 0.4 m, c = 0.6 m, l = 1.2 m.
a) Die Freiheitsgrade des Balkens.
b) Die Lagerreaktionen in A und D.
c) Die Schnittgrößen und stelle diese graphisch dar.
d) Gebe die Maximalwerte an.
a) Freiheitsgrade des Balkens
b) Lagerreaktionen in A und D
c) Schnittgrößen
Bereich von A bis B (0≤x<b):
Version 2.03 vom 25.09.2006
D
FD
c
l
ϕy
Berechne:
Balken
C
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
Bereich von B bis C (b≤x<c):
Bereich von C bis D (c≤x<l):
d) Graphische Darstellung und Maximalwerte
Version 2.03 vom 25.09.2006
- I.62 -
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
- I.63 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
9.3.4
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
Gerader Balken in der Ebene mit Streckenlasten
Neben den diskreten Lasten stellen wir uns verteilte Lasten vor.
Sie können in beliebiger Richtung wirken:
Längslasten qx(x) [N/m] wirken in x-Richtung
Querlasten qz(x) = q(x) [N/m] wirken in z-Richtung
verteilte Momente my(x) [Nm/ m] wirken um y-Achse.
Streckenlasten sind über der Länge des Balkens verteilte Lasten, wie z.B.
-
Gewicht
-
Schneelast
-
Wasserdruck
-
Fliehkraft
-
Beispiel für verteiltes Moment?
Zur Bestimmung der Lagerreaktionen können wir für den Lastbereich 0 <= ξ <= η die
x
resultierende Kraft
Rq = ∫ q (ξ ) d ξ
0
x
am Angriffspunkt
rq =
1
ξ q (ξ ) d ξ
Rq ∫0
heranziehen.
x ist eine beliebige Position auf der x-Achse, im Bild x = l.
Version 2.03 vom 25.09.2006
- I.64 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
Zur Bestimmung der Schnittgrößen werden die Gleichgewichtsbedingungen um die Streckenlasten
erweitert:
x
Normalkraft
x
N ( x) + ∑ Fix + ∫ qx (ξ ) dξ = 0
i
N ( x) = −∑ Fix − ∫ qx (ξ ) dξ
i
0
x
Querkraft
x
Q( x) + ∑ Fiz + ∫ qz (ξ ) d ξ = 0
i
Q( x) = −∑ Fiz − ∫ qz (ξ ) d ξ
i
0
x
Biegemoment
0
x
0
M b ( x) + ∑ ( x − rx ) Fiz + ∑ M j + ∫ ( x − ξ ) qz (ξ ) dξ + ∫ my (ξ ) d ξ = 0
i
j
0
0
x
x
0
0
M b (x) = − ∑ (x − rx ) Fiz − ∑ M j − ∫ (x − ξ ) qz (ξ) dξ − ∫ my (ξ) dξ
i
j
Für den 3D-Fall sind die Gleichungen entsprechend zu ergänzen.
Merke:
Jede Änderung der stetigen Belastungen des Balkens erfordert die Festlegung eines neuen
Balkenbereiches (Feldes)
Version 2.03 vom 25.09.2006
- I.65 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
9.3.5
Ettemeyer, Wallrapp, Schäfer FHM FB06
Balken mit konstanter Streckenlast
Vorgehensweise:
a) Lageplan
b) Kräfteplan: Auflagerkräfte ermitteln
l
∫
resultierende Kraft: Rq = q dx = q l
0
l
Angriffspunkt rq =
1
1 q l² l
x q dx =
=
∫
Rq 0
ql 2
2
Daraus Bestimmung der Lagerkräfte (Symmetrie):
FA = FB =
ql
2
Achtung: Rq darf nur für die Berechnung der Auflagerreaktionen verwendet werden!
c) Schneiden des Balkens und Ermitteln der inneren Kräfte
Q
Kräftegleichgewicht:
Æ
− FA + q x + Q = 0
Q = q (2l − x)
(Gerade)
Momentengleichgewicht
Æ
Besondere Punkte:
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x
− FA x + q x + M b = 0
2
q
M b = (l x − x ²)
(quadratische Parabel)
2
M b ( x = 0) = 0;
M b ( x = l ) = 0;
l
q l²
Mb (x = ) =
2
8
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
- I.66 -
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d) Zeichnen von Querkraft- und Momentenverlauf
Besondere Punkte:
Moment ist an der Einspannung 0
Moment ist bei Nulldurchgang der Querkraft maximal
zusätzliche Erkenntnis aus diesem Beispiel:
Bei konstanter Streckenlast verlaufen die Querkraft linear und das Biegemoment parabelförmig
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- I.67 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
9.3.6
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Zusammenhang zwischen Streckenlast, Querkraft und Biegemoment
Wir schneiden aus dem Balken ein infinitesimal kurzes Stück heraus und stellen die
Gleichgewichtsbedingung auf:
−Q + q dx + Q + dQ = 0
links
rechts
dQ
= −q
dx
−M b − Q
dx
dx
− (Q + dQ) + M b + dM b = 0
2
2
links
rechts
−Q dx − dQ
dx
+ dM b = 0
2
=0
Der zweite Term dieser Gleichung kann gegenüber den anderen beiden Termen vernachlässigt werden,
da er um eine Ordnung kleiner ist. Somit ergibt sich:
dM b
=Q
dx
Damit ist der Zusammenhang zwischen q, FQ und Mb:
dQ
= −q
dx
dM b
=Q
dx
Q = − ∫ qdx + C
M b = ∫ Q dx + C
Die Extremwerte der Querkraft- und Momentenverläufe können damit einfach bestimmt werden: Sie
treten an den jeweiligen Nulldurchgängen von q bzw. Q auf.
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- I.68 -
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
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9.4 Superpositionsprinzip
In der linearen Statik gilt das Superpositionsprinzip:
Ist ein System mit Fi Kräften und Mj Momenten belastet, so ergeben sich die Lagerreaktionen und die
Schnittgrößen des Systems aus der Summe der Ergebnisse, die sich einstellen, wenn das System mit
jeder Einzelkraft oder jedem Einzelmoment belastet wird.
Dabei wird vorausgesetzt, dass jeder Belastungszustand vom Referenzzustand aus betrachtet wird.
Die Reihenfolge der Belastungen ist beliebig.
Beispiel: Balken mit Streckenlast und Einzellast
Bestimme
a) Auflagerreaktionen
b) Querkraft
c) Moment
d) Querkraft und Momentenverlauf (zeichnen)
Lösung:
Nach dem Superpositionsprinzip erhält man die Lösung durch einfache Addition der Ergebnisse aus
Beispiel Nr. 9.3.1 und 9.3.2
F
q(x)
FA
=
FA1
+
F
FB
FB1
q(x)
FA2
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FB2
Technische Mechanik - Statik starrer Körper
- I.69 -
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Damit erhält man:
Auflagerreaktionen
FA = F
b
l
+q ;
l
2
FB = F
Feld I
Feld II
b
l
+ q ( − x);
l
2
Querkraft:
Q=F
Moment:
Mb = F
Ausgezeichnete
Q( x = a) = F
Achtung:
b
l
Q = F ( − 1) + q ( − x);
l
2
b
q
x + (lx − x 2 );
l
2
M b = F (a −
b
l
+ q (b − );
l
2
M b ( x = 0) = 0;
b
q
M b ( x = a) = F a + (la − a ²);
l
2
Punkte
a
l
+q ;
l
2
a
q
x) + (lx − x 2 );
l
2
b
l
Q( x = a) = F ( − 1) + q (b − );
l
2
M b ( x = l ) = 0;
a2
q
M b ( x = a) = F (a − ) + (la − a 2 );
l
2
Nach wie vor muss an den Stellen, an denen Einzelkräfte angreifen, der Balken unterteilt
werden.
F
FA
+
Mb
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+
Q
-
FB
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- I.70 -
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9.5 Ebener Rahmen mit Verzweigung
In der Praxis treten häufig auch Verzweigungen auf. Die Vorgehensweise ist die gleiche wie beim
geraden Balken: man zerlegt den Rahmen zweckmäßig in einzelne Balkenelemente und bringt die
entsprechenden Schnittkräfte an.
Beispiel:
F= 1000 N
a = 0,3m
b = 0,3m
c = 0,4m
a) Bestimmung der Lagerreaktionen:
− FA (a + b + c) + F ⋅ c = 0;
F ⋅c
= 400 N
(a + b + c)
− FB (a + b + c) + F ⋅ (b + c) = 0;
FA =
FB =
a
b
c
F ⋅ (b + c)
= 600 N
(a + b + c)
b) Verlauf der Normalkraft
Die Kraft F bewirkt zwischen D und C eine Normalkraft von F= -1000N (Druck, daher negativ). Von
E nach D sowie zwischen A und B wirkt keine Normalkraft.
c) Verlauf der Querkraft
Zwischen D und E liegt die Kraft F= 1000N an. Sie bewirkt bei C einen Querkraftsprung.
Am linken Lager greift FA, am rechten FB an. Damit lässt sich der Querkraftverlauf zeichnen.
d) Verlauf des Biegemoments:
Momentengleichgewichte aufstellen:
Am Teil D-E: Am freien Ende E ist das Moment Null
Bei D wirkt das Moment M b = F b = 300 Nm
Von D nach C ändert sich der Hebelarm nicht, somit bleibt das Moment konstant und wird bei C in
den Balken eingeleitet.
Verlauf im Balken A-B:
Am Lager A und B muss das Moment Null sein
A-C: Schneiden kurz vor C ergibt: M b = FA a = 120 Nm
Schneiden kurz hinter C ergibt: M b = FB (b + c ) = 420 Nm
e) Kontrolle:
der Momentensprung bei C ist 300Nm: stimmt!
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a
b
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c
Mb
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