Ausgewählte Kapitel der Physik

Ausgewählte Kapitel der Physik
Mechanik
Bewegungslehre = Kinematik
13.04.2015
Mechanik
• Kinematik
Die Kinematik behandelt die Gesetzmäßigkeiten, die
den Bewegungsabläufen zu Grunde liegen.
Wir zerlegen eine allgemeine Bewegung in zwei
Bewegungsarten:
Translation = entlang einer (geraden) Bahn
Rotation = Drehbewegung
Die dabei auftretenden Größen:
Weg s,
Geschwindigkeit v, und
Beschleunigung a
bzw. Winkelgeschwindigkeit w und
Winkelbeschleunigung a
….sind vektorielle Größen. Auch wenn sie nicht immer
als solche gekennzeichnet sind, wird man aus dem
Zusammenhang die Entscheidung finden, ob man nur
mit Beträgen oder mit Vektoren rechnen muss.
13.04.2015
Mechanik
Arten der Translation:
gleichförmig:
gleichmäßig beschleunigt
ungleichmäßig beschleunigt
Die Größen der Translation sind Funktionen der Zeit!
s(t) , v(t), a(t)
 Zeit-Diagramme
Salzburg 06:00
km
0
10
6:10 6:20 6:30 6:40 6:50 7:00
74
1
Hallein
17,8km
20
Beispiel: der ÖBB-Fahrplan Salzburg…B-hofen
Die Geschwindigkeit ist im s/t-Diagramm als Steigung
oder Gefälle des Graphen abzulesen.
Im Weg/Zeit- Diagramm lassen sich der Ort des Obj.
zu jeder Zeit feststellen. Auch wann sich zwei
Züge begegnen.
In den einzelnen Abschnitten sind die
Geschwindigkeiten konstant, die Anfahr- und
Bremsbeschleunigungen fallen zeitlich kaum ins
Gewicht.
13.04.2015
Golling 28,8 km
30
84
0
40
50
B-hofen 52,5
km
60
zug
741
Mechanik
Gleichförmige Translation.
Die Geschwindigkeit ist konstant, In gleichen Zeiten Dt
werden gleiche Strecken Ds zurückgelegt.
Die Darstellung erfolgt meist in einem
Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm
Generell gilt v = Ds / Dt . Bei konstanter
Geschwindigkeit kann der Gesamtweg und die
Gesamtzeit genommen werden.
v=s/t
Die Einheit der Geschwindigkeit ist
[v] = 1 m/s
1 m/s= 3600m / 3600s = 3,6 km / h
SI-fremde Einheit: Miles per hr
1mph = 1,609 km / h
13.04.2015
Mechanik
Gleichmäßig beschleunigte Translation.
Die Geschwindigkeit ändert sich proportional zur Zeit.
In gleichen Zeiten ändert sich die Geschwindigkeit um
denselben Betrag
Dv = a* Dt
Generell gilt a = Dv / Dt .
Bei konstanter Beschleunigung steigt oder fällt die
Geschwindigkeit linear,
der Weg hat einen parabelförmigen Verlauf.
Die Einheit der Beschleunigung ist
[a] = 1 m/s²
Aus v=a*t und s=a/2*t² erhält man
v 2* a * s
Das ist die Geschwindigkeit nachdem die Strecke s
beschleunigt zurückgelegt wurde.
13.04.2015
v
Mechanik
Fall und Wurf
Der freie Fall ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung
mit a = g = 9.81 m/s²
Die Endgeschwindigkeit beträgt v = Wurzel(2*g*h)
Hier also v=Wurzel(2*9,81m/s²*110m)=…..
Und die Fallzeit t=Wurzel (110/2/9,81)=….
Im 145,5 Meter
hohen Bremer
Fallturm sind
Abwürfe aus 110
Metern mit einer
Fallzeit von 4,74
Sekunden
möglich.
Innerhalb des
äußeren
Betonturmes
steht auf einer
Höhe von 14
Metern völlig frei
die eigentliche
stählerne
Fallröhre.
13.04.2015
Mechanik
Die Bewegungen können aus verschiedenen Translationen
zusammmengesetzt werden.
Eine vertikale beschleunigte Bewegung mit einer
konstanten horizontalen Bewegung kombiniert ergibt
den waagrechten Wurf.
In der zeitfreien Darstellung ist dies die Wurfparabel.
Z.B Starthöhe: h=10m, vx0=10m/s (waagrecht)
gesucht ist die Wurf-Weite: sx=?
In x-Richtung wird der Weg :
x(t) = vo*t zurückgelegt
In der gleichen Zeit geht es nach unten: y(t) = -g/2*t²
Die Zeit eliminieren und es bleibt : y = -g/2*x²/vo²
Das ist eine nach unten gekrümmte Parabel
y = -[g/(2vo² )] * x²
„Wurfparabel“
Im Beispiel oben ist die Höhe 10m = -[9,81 m/s² / 200 m²/s²] * x²
x = Wurzel (203,9m) = 14,28m
13.04.2015
Mechanik
•
•
Vektorielle Beschreibung:
Neben der Komponentendarstellung von Ort und
Geschwindigkeit kann man diese Größen - eher
formal - auch durch Vektoren darstellen.
Ortsvektor:
Die Lage der Bahnpunkte im Koordinatensystem
kann durch den zeitabhängigen Ortsvektor
(Spaltenschreibweise) festgelegt werden:
 x(t )   v x 0 * t 
r (t )  
   v  g *t2 
y
(
t
)

  y0 2

Beispiel:Waagrechter Wurf:
Gegeben: vx0= 20 m/s, vy0= 0 m/s, g=10m/s²
Wie lautet der Ortsvektor zum Zeitpunkt t=3 s
Wie lautet der Geschwindigkeitsvektor zum Zeitpunkt
t=2s
r= (20m/s*3s , 5m/s² * 9s²), v= ( 20m/s , 10m/s² * 2 s)
r= (60 , 45 )m
v= (20 , 20 ) m/s
13.04.2015
Mechanik
Rotation
Die Gesetze der Rotationsbewegung sind analog zu denen der Translation.
Weg s
Geschwindigkeit v
Beschleunigung a
entspricht
entspricht
entspricht
Winkel j
Winkelgeschwindigkeit w
Winkelbeschleunigung a
Grundbegriffe: Drehwinkel j wird im Bogenmaß gemessen.
Radiant (rad) ist ein Verhältnismaß zwischen Bogenlänge und Radius.
Bei einer Umdrehung ist der volle Winkel = 360° und das Bogenmaß daher
U/r = 2pi*r / r = 2pi radiant.
Eine Umdrehung dauert die Periodenzeit T, der Kehrwert ist die
Frequenz f = 1/T, [f]=1/s =1Hz
Mit 2pi multipliziert wird aus der Frequenz f die Kreisfrequenz w
Winkelfrequenz oder Kreisfrequenz 2p f = w
[w]=1/s
13.04.2015
Mechanik
Bei der Drehbewegung besitzen die Punkte des Körpers unterschiedliche
Geschwindigkeiten, je nachdem wo sie im Körper liegen.
Es wird daher eine Winkelgeschwindigkeit definiert, die für jeden Punkt des
Körpers gesamten Festkörper dieselbe ist.
w  Dj / Dt = dj / dt
Der Zusammenhang zwischen Bahngeschwindigkeit und
Winkelgeschwindigkeit lautet:
vB = w x r
Das ist das äußere Produkt der zwei Vektoren nach der Korkenzieher-Regel.
Betragsgleichung: Radius 1m, 2 Umdrehungen/Sek. v = w*r
vB = 2 p * 2/s * 1m = 12,56 m/s
Da sich der Geschwindigkeitsvektor in seiner Richtung ständig ändert, also
Dv /Dt nicht Null ist, handelt es sich hiebei um eine beschleunigte Bewegung.
Der Beschleunigungsvektor zeigt zum Drehzentrum, man spricht von einer
Zentripetalbeschleunigung.
az = v² / r = w*v = w²*r
13.04.2015
Mechanik
Beispiel: Ein Auto beschleunigt von 72 auf 90 km/h in 5s. Raddurchmesser 2/3 m. Wie groß ist
die Winkelbeschleunigung des Reifens?
v = Abrollgeschwindigkeit v=2p*r / h = 2pr/3600s
w=v/r
w1=72 / 3,6 m/s / r = 20m/s / (1/3)m = 60 rad/s
w2=90 / 3,6 m/s / r = 25m/s / (1/3)m = 75 rad/s
a  Dw / Dt = 15 rad/s / 5s = 3 rad/s2
Die Winkelbescheunigung ist 3 rad/s2
Im Profil dieses Reifens steckt ein Stein. Welche Zentrifugalbeschleunigung erfährt der Stein bei
v=108 km/h?
az= w²*r = v²/r = (108/3,6 m/s)² / (1/3)m = 900 m²/s² *3 /m=2700 m/s²
az= 2700m/s² / 9,81 m/s² = 275-faches Gewicht. (der Stein fliegt jedoch tangential mit
v=108km/h weg!)
13.04.2015
Mechanik
Berechne den Rotor w einer Kreisbewegung, wenn beim Radiusvektor r=(2m,0,0,)
Eine Momentangeschwindigkeit v=(0, 5m/s, 0 ) beobachtet wird.
13.04.2015
Mechanik
Die Vektoren der einzelnen Translationen eines Körpers lassen sich überlagern. Umgekehrt kann man
auch eine gegebene Bewegung in Komponenten zerlegen, beispielsweise in die Achsenrichtung eines
Koordinatensystems oder in eine bestimmte Richtung , die eine leichtere Auswertung ermöglicht.
Hier unten addieren sich die Erdbeschleunigung und die Zentrifugalbeschleunigung zu einem
Beschleunigungsvektor, der für einen bestimmten Kurvenradius und zw. einer bestimmten KfzGeschwindigkeit senkrecht auf der Fahrbahn steht. ( wichtig für Motorradfahrer ! Bei Autos verhindert
die Reibung ein seitliches abdriften. )
Aus den ähnlichen Dreiecken ergibt sich eine
Kurvenüberhöhung:
h : b = Fz : G = m*v²/r : m*g
h : b = v² / (r * g)
Eine Straße mit 250m Kurvenradius ist so stark
überhöht, dass sie eine Neigung von 10° besitzt.
Für welche Geschwindigkeit ist diese Neigung
gerade richtig?
h : b= tan(a) = 0,17633
13.04.2015
v = Wurzel(0,17633*250m*9,81 m/s²) = 21 m/s = 75,6 km/h
Mechanik
Ein typisches Beispiel für die Zerlegung von Vektoren finden wir bei der Behandlung der schiefen Ebene:
Ein Körper mit der Masse m wird mit der Gewichtskraft G nach unten gezogen. Davon entfällt ein Teil auf den
Anpressdruck auf die Unterlage FN . Die zweite Komponente der Kraft wirkt in tangentialer Richtung. So lange
die Haftreibung nicht überwunden wird, bleibt der Körper in Ruhe. Erst wenn die tangential nach oben
gerichtete Haft-Reibungskraft durch die tangential nach unten gerichtete Kraft-Komponente erreicht und
überschritten wird, beginnt der Körper zu gleiten, gleichzeitig fällt die Haftreibung weg und nur mehr die Gleitund Rollreibung bleiben bestehen.
FR = µ*FN
µ heißt Reibungzahl und ist für
häufig vorkommende Paarungen tabelliert.
Eine schiefe Ebene hat einen Neigungswinkel
von 30° und ist 16m lang. Ein Klotz mit dem
Gewicht 200N rutscht in 4 s die Ebene herunter.
v0=0. Wie groß ist die Reibungszahl?
Fahrbahnlänge s = l = a*t²/2;
a = 2s/t² = 2 m/s²
Masse
m =20 kg
beschleunigende Kraft: Fa = m.a = 40 N
Tangentialkraft :
Ft = G * sin (a) = 100 N
Normalkraft:
FN = G* cos (a) = 173 N
Reibungskraft:
FR = Ft –Fa = 60 N = µ*FN
Reibungszahl:
µ = FR / FN =0,35
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