1 Gleichverteilung / uniform distribution / distribution uniforme

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Gleichverteilung / uniform distribution / distribution uniforme
Gleichverteilung/uniform distribution U(a,b)/distribution uniforme/
distribución uniforma/distributione uniforma
Fall 1/case 1: die stetige Verteilung/the continuous distribution/
distribution continué/distribución continuas/distribuzione continua
1
a≤ x ≤b
b– a
f(x) =
, a,b∈R
0
sonst
Fall 2/case 2: die diskrete Verteilung/the discrete distribution/
distribution discrète/distribución discretas/distribuzione discreta
1
x= a, a+1,a+2, …,b–1, b; a+1≤b
b+ 1– a
f(x) =
, a,b∈R
0
sonst
1
1
E(X) = (a + b), var(X) =
(b - a) 2
2
12
Eine andere Formulierung der Gleichverteilung ist die folgende:
Jedes von N Elementarereignissen habe die gleiche Wahrscheinlichkeit, d.h. für
Ω = {ω1,ω2,...,ωN } gilt:
1
, k = 1,2,...,N.
N
Dann heißt die Zufallsvariable X gleichverteilt.
p k = P({ω k}) = P(X = k) =
Eine zweite Formulierung der stetigen Gleichverteilung ist wie folgt: Seien a,b∈R.
Eine Zufallsvariable mit der Dichte heißt gleichverteilt auf dem Intervall [a,b], falls
1
, -∞ < a ≤ x ≤ b< ∞
f:[a,b]→R mit f(x) :=
b-a
Die stetige Verteilungsfunktion ist offensichtlich eine Gerade, wie durch direkte Integration gezeigt werden kann:
x-a
F(x) =
, -∞ < a ≤ x ≤ b< ∞
b-a
Eine Kurzschreibweise ist X ~ U(a,b).
Ein anderer Name der Gleichverteilung ist:
Rechtecksverteilung / rectangular distribution / distribution rectangulaire
Man beachte, daß gleichverteilt nicht identisch verteilt heißt.
2
Für die stetige Gleichverteilung auf dem Intervall [a,b] folgen Erwartungswert und
Varianz aus einfacher und direkter Integration (unter mehrfachem Ausnutzen von
b 2 - a2 = (b + a)(b - a)
b
E(X) =
xf(x)dx =
a
b
var(X) =
b
1
x2
b+a
xdx=
b
=
a
(b-a) a
2(b-a)
2
b
b+a 2
1
b+a 2
(4x 3-6(a+b)x2+3(a+b)2x) b (b-a)2
(x ) f(x)dx =
(x ) dx =
a =
2
(b-a) a
2
12(b-a)
12
a
Für die diskrete und für die stetige Gleichverteilung sind die beiden Momente identisch,
trotz der unterschiedlichen Definition von Dichte und Zähldichte!
Beispiele
Beispiel 1 (Häufigkeit und Verteilung am Beispiel des fairen Würfels,
Formulierung als Aufgabe)
Beispiel 2 (Gleichverteilte Zufallszahlen, eine Tabelle)
Beispiel 3 (Ein Programm zur Simulation der Zahl e)
Beispiel 4 (Ein Verfahren zur Erstellung von gleichverteilten Zufallszahlen)
Beispiel 5 (Ein einfaches Beispiel zur Simulation: Die Simulation von π)
Beispiel 6 (Einige Aufgaben zur Gleichverteilung)
(STATISTICS, PDF, STICHPROBEN, MONTE CARLO, Zufall)