Hausaufgaben Geometrie 1

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Otto Mayr
Hausaufgaben
Geometrie 1
Üben in drei Differenzierungsstufen
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aus dem Originaltitel:
Hausaufgaben
Geometrie 1
Üben in drei Differenzierungsstufen
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Hausaufgaben Mathematik Klasse 9
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1.
Zeichne ein Dreieck mit c = 7 cm, a = 4 cm und b = 6 cm.
2.
Zeichne ein Dreieck mit c = 8 cm, a = 60 und b = 40o.
3.
Zeichne ein Dreieck mit c = 8 cm, a = 70o und b = 5 cm.
4.
Zeichne ein Dreieck mit c = 8 cm, a = 70o und a = 9 cm.
5.
Konstruiere das gleichseitige Dreieck ABC mit a = 7,5 cm.
6.
Zeichne ein Dreieck mit c = 5 cm, a = 130o und b = 20o.
Fertige eine Konstruktionsbeschreibung an.
7.
Ein Dreieck hat die Seitenlängen a = 6 cm, b = 7 cm und c = 4 cm.
ch
t
dreIecke zeIchnen
A
Denke an das Wort „gleichschenklig“!
Konstruiere das rechtwinklige Dreieck ABC mit
der Grundseite b = 8 cm und der Seite c = 10 cm.
10.
ur
9.
Konstruiere das gleichschenklige Dreieck ABC
mit der Grundseite a = 6 cm und der Seite
b = 7 cm.
Wo ist der rechte Winkel?
Konstruiere das Dreieck ABC mit a = 6,5 cm,
g = 110o und c = 10 cm.
rz
8.
ns
i
Beginne Zeichnung und Konstruktionsbeschreibung jeweils mit einer anderen Seite.
Fertige eine Konstruktionsbeschreibung an.
Aufpassen: g ist ein stumpfer Winkel!
Konstruiere ein Dreieck mit c = 8 cm, a = 60o und g = 80o.
12.
Konstruiere aus dem gegebenen Dreieck ABD ein Rechteck ABCD …
te
11.
us
a) mit dem Zirkel
b) durch Parallelverschiebung mit Lineal und Geodreieck
… und ergänze die Konstruktionsbeschreibung.
M
D
A
B
a) 1. Kreisbogen um B mit Radius _________.
2. Kreisbogen um ________ mit Radius _________ (→ Punkt _______)
b) 1. Verschiebe die Strecke AB durch den Punkt _______.
2. Verschiebe die _____________________ durch den _____________________ (→ Punkt _______).
1.
Zeichne eine Strecke AB = 10 cm.
Wähle drei beliebige Punkte auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB und verbinde diese mit den
Punkten A und B.
Gib dann die Größe der Winkel an. Markiere jeweils den rechten Winkel.
2.
Kreuze die richtigen Aussagen zum Satz des Thales an.
A
lle Dreiecke, deren Scheitelpunkte auf dem Halbkreis über einer Strecke AB liegen, sind rechtwinklige Dreiecke.
ch
t
L iegt der Punkt C auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB, dann ist das Dreieck rechtwinklig bei B.
L iegt der Punkt D auf dem Kreis mit dem Durchmesser AC, dann ist das Dreieck rechtwinkelig bei D.
W
enn ein Dreieck EFG beim Punkt G rechtwinklig ist, dann liegt E auf dem Kreis mit dem Durch­
messer EG.
ns
i
W
enn ein Dreieck EFG beim Punkt G rechtwinklig ist, dann liegt G auf dem Kreis mit dem Durchmesser EF.
Die Strecke AB mit AB = 7 cm ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks ABC.
A
3.
4.
ur
Die Kathete AC hat eine Länge von 3 cm. Zeichne das Dreieck und ergänze die Figur anschließend zum
Rechteck ADBC.
Der Punkt P ist 8 cm vom Mittelpunkt eines Kreises mit Radius 4 cm entfernt.
M
us
te
rz
Konstruiere die Punkte, in denen die Tangenten von P aus den Kreis berühren, mit dem Thaleskreis.
Mayr: Hausaufgaben Mathematik Klasse 9 © Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth
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Satz des Thales
M
Besondere lInIen und Punkte Im dreIeck
1.
Konstruiere ein Dreieck mit c = 9 cm, a = 70° und b = 40°.
Zeichne dann den Inkreis in das Dreieck ein.
2.
Konstruiere das Dreieck mit c = 6 cm, b = 5 cm und a = 4 cm.
Zeichne dann den Umkreis.
Zeichne das Dreieck mit c = 8 cm, b = 70° und a = 5 cm.
Zeichne dann den Schwerpunkt dieses Dreiecks ein.
4.
Zeichne das Dreieck mit c = 7 cm, a = 130° und b = 4 cm.
5.
ns
i
Zeichne dann den Umkreis dieses Dreiecks.
ch
t
3.
Schneide deine konstruierten Dreiecke der Aufgaben 1– 4 aus und klebe sie auf Pappe.
A
Balanciere sie auf einem spitzen Bleistift oder der Zirkelspitze, um den Schwerpunkt zu ermitteln.
Kreuze die richtigen Aussagen an.
Der Mittelpunkt des Inkreises kann nur innerhalb der Dreiecksfläche liegen.
ur
Der Mittelpunkt des Inkreises kann auch außerhalb der Dreiecksfläche liegen.
Der Mittelpunkt des Umkreises kann nur innerhalb der Dreiecksfläche liegen.
Der Mittelpunkt des Umkreises kann auch außerhalb der Dreiecksfläche liegen.
rz
Der Schwerpunkt kann nur innerhalb der Dreiecksfläche liegen.
In einem Park soll ein großes Blumenbeet anlegt werden, das mit allen Ecken einen Kreis berührt
te
6.
M
us
(s. Skizze). Der Rest des Kreises wird mit Rasen bepflanzt.
Wie groß ist das Blumenbeet, wie groß ist die restliche Kreisfläche? Runde auf eine Nachkommastelle.
Gib das Verhältnis von Rasen zu Blumenbeet auch als Bruchteile an.
Entnimm die fehlenden Maße
der Zeichnung.
Maßstab 1 : 100
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Der Schwerpunkt kann auch außerhalb der Dreiecksfläche liegen.
Zeichne ein Quadrat mit a = 4 cm.
2.
Zeichne ein Rechteck mit a = 6 cm und b = 4 cm.
3.
Zeichne ein Parallelogramm mit a = 6 cm, b = 4 cm und b = 120°.
4.
Zeichne eine Raute mit a = 4 cm und a = 60°.
5.
Konstruiere einen Drachen mit a = 3 cm, b = 6 cm und e = 7 cm.
6.
Konstruiere ein unregelmäßiges Trapez mit a = 6 cm, a = 80°, h = 4 cm und b = 60°.
7.
Konstruiere ein rechtwinkliges Trapez mit a = 7 cm, b = 5 cm und c = 4 cm.
8.
Konstruiere ein symmetrisches Trapez mit a = 6 cm, b = 60° und h = 3 cm.
9.
Kreuze die richtigen Aussagen an.
ns
i
ch
t
1.
Zur Konstruktion eines Quadrats ist nur die Länge einer Seite nötig.
Zur Konstruktion eines Rechtecks benötige ich zwei Seitenlängen und die Angabe des Winkels.
A
Zur Konstruktion einer Raute ist nur die Länge einer Seite nötig.
Zur Konstruktion eines Parallelogramms benötige ich zwei Seitenlängen und die Angabe eines Winkels.
ur
Die Konstruktion eines rechtwinkligen Trapezes ist auch ohne die Angabe der Höhe möglich.
Zur Konstruktion eines Drachens benötige ich immer die Längenangabe mindestens einer Diagonale.
10.
rz
Ein symmetrisches Trapez hat immer zweimal zwei gleich große Winkel.
Fertige eine andere Konstruktionsbeschreibung zur Konstruktion des Parallelogramms an.
us
te
Gegeben: a = 7 cm
a = 45o
d = 4 cm
M
Mayr: Hausaufgaben Mathematik Klasse 9 © Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth
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Vierecke zeichnen
c
D
C
d
b
α
A
Konstruktionsbeschreibung:
1. Trage die Seite a an.
(→ Punkte A und B)
2. Trage den Winkel a in A an.
3. Zeichne einen Kreisbogen um
A mit d = 4 cm. (→ Punkt D)
4. Trage den Winkel b in B an.
5. Zeichne den Kreisbogen um B
mit b = 4 cm ein. (→ Punkt C)
6. Verbinde die Punkte miteinander.
a
β
B
Regelmässige Vielecke zeichnen
Welche Dreiecke können Bestimmungsdreiecke regelmäßiger Vierecke sein? Kreuze an.
Bestimmungsdreieck
Mittelpunktswinkel
M
30°
60°
BasisWinkel
50°
40°
110°
72°
Folgende Winkel sind Basiswinkel gleichschenkliger Dreiecke.
120°
100°
80°
20°
70°
2.
90°
ch
t
1.
a) 20o
b) 30o
c) 45o d) 50o
f) 72o
g) 80o
h) 10o
i) 67,5o
e) 60o
A
3.
ns
i
Welche Dreiecke können Bestimmungsdreiecke regelmäßige Vierecke sein? Begründe deine Meinung.
Welche Aussagen treffen auf alle regelmäßigen Vielecke zu? Kreuze an.
ur
Alle Ecken liegen auf einer Kreislinie.
Der Mittelpunktwinkel muss eine glatte Zehnerzahl sein.
Die Mittelpunktwinkel sind alle gleich groß.
rz
Das Bestimmungsdreieck ist immer gleichseitig.
Das Bestimmungsdreieck ist immer gleichschenklig.
D
ie Fläche eines regelmäßigen Vielecks ist gleich der Fläche des Bestimmungsdreiecks mal der Zahl
te
der Ecken.
Die beiden Basiswinkel und der Mittelpunktwinkel ergeben zusammen 180o.
us
Ein regelmäßiges Vieleck muss immer vom Radius aus konstruiert werden.
Konstruiere ein regelmäßiges Fünfeck mit r = 6 cm.
M
4.
5.
Konstruiere ein regelmäßiges Neuneck mit s = 4 cm.
6.
Zeichne die folgenden Muster. Wähle die Größe selbst.
a)
b)
c)
1.
Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit den Maßen c = 10 cm, a = 6 cm und b = 8 cm.
Zeige anhand dieses Dreiecks, dass der Satz des Pythagoras gilt.
Berechne jeweils die Diagonale.
3.
Führe einen zweiten Beweis.
ns
i
ch
t
2.
rz
4.
ur
A
So gehst du vor:
a) Zeichne auf ein Blatt ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck.
b) Zeichne nun die Quadrate über den jeweiligen Seiten.
c) Suche nun den Mittelpunkt des größeren Kathetenquadrates.
d) Zeichne durch diesen Mittelpunkt eine Parallele und eine Senkrechte
zur Hypotenuse des ursprünglichen Dreiecks.
e) Zerschneide das Kathetenquadrat entlang der eingezeichneten Linien.
f) Du erhältst vier Teile. Schneide auch das kleinere Kathetenquadrat aus.
g) Füge diese fünf Teile als Puzzle in das Hypotenusenquadrat ein.
h) Formuliere deine Erkenntnis und beweise den Satz des Pythagoras.
Ein großer Automarkt steht auf einem großen rechteckigen Platz.
Wie groß ist die Diagonale des Zielbretts beim Basketball,
das du im Sportunterricht immer vor Augen hast?
us
5.
te
Eine Seite ist 400 m lang, der diagonale Weg quer über den Platz beträgt 500 m.
Wie lang ist die andere Seite des Automarktes?
Recherchiere die Maße des Zielbretts im Internet.
M
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satz des Pythagoras
6.
In ein größeres gleichseitiges Dreieck ist ein kleineres
gleichseitiges Dreieck schraffiert eingezeichnet
(siehe Skizze).
Wie groß ist der Flächeninhalt des schraffierten Dreiecks?
Runde alle Ergebnisse auf zwei Dezimalstellen.
3,8 cm
60°
Figuren vergrössern und verkleinern
a) k = _____
b) k = _____
c) k = _____
d) k = _____
ch
t
V
ergleiche jeweils die beiden Figuren und bestimme den Vergrößerungs- bzw. Verkleinerungsfaktor k.
A
ns
i
1.
Gegeben ist ein Dreieck mit den Maßen a = 6 cm, b = 4 cm und c = 8 cm.
ur
2.
Kreuze die Dreiecke an, die diesem Dreieck ähnlich sind.
a = 9 cm, b = 6 cm, c = 10 cm a = 4,5 cm, b = 3,2 cm, c = 6,4 cm
rz
a = 4,5 cm, b = 3 cm, c = 5 cm.
te
Ergänze die fehlenden Angaben.
a) AB = 5 cm → A‘B‘= 10 cm
→ k = ___
b) BC = 4 cm → B‘C‘= 1 cm
→ k = ___
c) AZ = 18 cm→ A‘Z‘ = ___ cm
→k=_
​ 1 ​
d) EF = ___ m → E‘F‘ = 40 m
→ k = 0,4
us
3.
a = 12 cm, b = 8 cm, c = 16 cm 3
M
e) DE = 24 m → D‘E‘= ___ m; b = 70o → b‘ = ___ → k = 1,5
4.
Lösungen zu 1, 3 und 4e
100
T
rage in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm
die Punkte A (6/4), B (10/4) und C (10/8) ein.
Das Streckungszentrum ist (0/0).
3
​ 4_
 ​
36
_
​ 14 ​
105
1
_
​ 3 ​
2
_
​ 14 ​
2
1,5
6
a) Ergänze die Punkte zu einem Quadrat.
b) Markiere den Mittelpunkt und zeichne den Inkreis.
c) Verkleinere das Quadrat mit k = _
​ 1 ​und zeichne den Inkreis.
2
d) Verkleinere das entstandene Quadrat nochmals mit k = _
​ 1 ​und zeichne den Inkreis.
2
e) W
elcher Verkleinerungsfaktor gilt jetzt im Verhältnis des kleinsten Quadrats zum ursprünglichen
Quadrat?
1.
Überprüfe die Konstruktionsbeschreibung zu folgender Aufgabenstellung:
Konstruiere ein Dreieck mit c = 8 cm, b = 60o und b = 7 cm.
1. Trage die Strecke C an. (→ Punkte A
und B)
2. Trage den Winkel b im Punkt B an.
3. Zeichne einen Kreisbogen um B mit
b = 7 cm. (→ Punkt C)
4. Verbinde die Punkte miteinander.
C
b
α
c
2.
B
ns
i
A
ch
t
a
Sind die folgenden Aussagen richtig?
A
a) Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist der Mittelpunkt des Inkreises.
b) Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt des Umkreises.
c) Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden bildet den Schwerpunkt des Dreiecks.
M
us
te
rz
ur
Gibt es auch einen Schnittpunkt der Höhen? Probiere aus.
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Geometrische Flächen, geometrisches Zeichnen – neue Aufgabenformen
3.
E
in Kamin wirft einen 100 m langen Schatten.
Wie hoch ist der Kamin, wenn der Winkel, den der Schatten wirft, am Boden
31o beträgt?
Fertige zunächst eine Skizze. Wähle zur
Zeichnung einen geeigneten Maßstab.
Nun kannst du fehlende Maße der
Zeichnung entnehmen.
Kann man nach dieser Berechnung die
Länge zwischen der Kaminspitze und
dem Ende des Schattens be­rechnen?
c
a
B
c
a
B
B
a
C
A
α
b
b
C
C
A
α
b
c
c
a
a
α
A
a
c
te
C
β
B
B
C) 1. Trage die Seite c an. (→ Punkte A und B)
2. Zeichne einen Kreisbogen um A mit b = 7 cm.
3. Zeichne einen Kreisbogen um B mit a = 6 cm. (→ Punkt C)
B) 1. Trage die Seite b an. (→ Punkte A und C)
2. Zeichne einen Kreisbogen um A mit c = 4 cm.
3. Zeichne einen Kreisbogen um C mit a = 6 cm. (→ Punkt B)
A
A
B
c
A
c
b
c
B
a
b
b
ur
C
B
a
a
C
C
rz
B
β
1. Trage die Seite c an. (→ Punkte A und B)
2. Trage in A den Winkel a an.
3. Trage den Winkel b in B an. (→ Punkt C)
6.
4.
A) 1. Trage die Seite a an. (→ Punkte B und C)
2. Zeichne einen Kreisbogen um B mit c = 4 cm.
3. Zeichne einen Kreisbogen um C mit b = 7 cm. (→ Punkt A)
7.
b
c
A
5.
A
α
b
2.
us
M
3.
C
A
b
C
1.
Dreiecke zeichnen
a
b
C
12.
ns
i
a
γ
C
b
A
D
A
D
B
C
A
D
t
ch
B
C
11.
9.
B
C
A
A
α
C
γ
c
c
B
C
b
b
γ
B
C
a
B
a) 1. Kreisbogen um B mit Radius AD.
b) 1. Verschiebe die Strecke AB durch den Punkt D.
2. Kreisbogen um D mit Radius AB (→ Punkt C) 2. Verschiebe die Strecke AD durch den Punkt B
(→ Punkt C).
A
D
1. Trage die Seite a an. (→ Punkte B und C)
2. Trage den Winkel g an.
3. Zeichne einen Kreisbogen um B mit c = 10 cm
ein. (→ Punkt A)
A
B
c
A
10.
a = 6 cm, b = 7 cm, c = 7 cm
B
c
8.
A
Dreiecke zeichnen
4.
3.
P
A
D
B
M
W
enn ein Dreieck EFG beim Punkt G rechtwinklig ist, dann liegt G auf dem Kreis mit dem Durchmesser EF.
C
ur
rz
W
enn ein Dreieck EFG beim Punkt G rechtwinklig ist, dann liegt E auf dem Kreis mit dem Durch­
messer EG.
L iegt der Punkt D auf dem Kreis mit dem Durchmesser AC, dann ist das Dreieck rechtwinkelig bei D.
L iegt der Punkt C auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB, dann ist das Dreieck rechtwinklig bei B.
te
us
B
A
lle Dreiecke, deren Scheitelpunkte auf dem Halbkreis über einer Strecke AB liegen, sind rechtwinklige Dreiecke.
A
M
2.
1.
Satz des Thales
Mayr: Hausaufgaben Mathematik Klasse 9 © Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth
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α
b
c
c
a
C
a
B
β
B
A
C
t
ch
ns
i
A
A
A
b
C
b
Besondere Linien und Punkte im Dreieck
A
b
α
c
C
a
a
c
B
B
d
d
a
D
a
c
D
a
B
c
B
b
C
c
b
A
d
D
C
B
b
C
D
a
c
d
A
A
d
c
D
a
e
B
b
a
c
B
h
b
C
A
C
d
b
d
A
α
D
c
β
a
C
B
b
b
B
1. Trage die Seite a an. (→ Punkte A und B)
2. Trage den Winkel a in A an.
3. Zeichne einen Kreisbogen um A mit d = 4 cm. (→ Punkt D)
4. Verschiebe die Strecke AB parallel durch den Punkt D.
5. Verschiebe die Strecke AD parallel durch den Punkt B. (→ Punkt C)
10. Alternative Konstruktionsbeschreibung:
X Ein symmetrisches Trapez hat immer zweimal zwei gleich große Winkel.
Zur Konstruktion eines Drachens benötige ich immer die Längenangabe mindestens einer Diagonale.
X Die Konstruktion eines rechtwinkligen Trapezes ist auch ohne die Angabe der Höhe möglich.
X Z
ur Konstruktion eines Parallelogramms benötige ich zwei Seitenlängen und die Angabe eines Winkels.
Zur Konstruktion einer Raute ist nur die Länge einer Seite nötig.
β
C
ur
rz
h
te
a
c
Zur Konstruktion eines Rechtecks benötige ich zwei Seitenlängen und die Angabe des Winkels.
B
D
us
M
C
X Zur Konstruktion eines Quadrats ist nur die Länge einer Seite nötig.
A
A
A
d
D
Vierecke zeichnen
72°
60°
6. a) Sechseck
b) Achteck
t
ch
ns
i
A
M
4. 5.
c) Zehneck
M
Die beiden Basiswinkel und der Mittelpunktwinkel ergeben zusammen 180o.
Ein regelmäßiges Vieleck muss immer vom Radius aus konstruiert werden.
Die Fläche eines regelmäßigen Vielecks ist gleich der Fläche des Bestimmungsdreiecks mal der Zahl
der Ecken.
Das Bestimmungsdreieck ist immer gleichschenklig.
Das Bestimmungsdreieck ist immer gleichseitig.
Die Mittelpunktwinkel sind alle gleich groß.
Der Mittelpunktwinkel muss eine glatte Zehnerzahl sein.
20°
Alle Ecken liegen auf einer Kreislinie.
120°
90°
3.
40°
30°
2. b) c) e) f) g) i)
1.
Regelmässige Vielecke zeichnen
64 cm2
b
100 cm2
c
a
36 cm2
te
us
M
400 m
0m
50
ur
rz
Satz des Pythagoras
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c) k = 1,5
a = 12 cm, b = 8 cm, c = 16 cm
3
b) k = _
​ 1  ​
4
d) k = _
​ 3 ​ 
4
1
2
3
4
5
6
7
8
y
1
2
3
4
​ 1 ​ 
e) k = _
5
6
A
D
7
8
8
t
ch
ns
i
A
4. a–d)
10
B
C
e) DE = 24 m → D‘E‘= 36 m; b = 70o→ b‘ = 105o → k = 1,5
d) EF = 100 m → E‘F‘ = 40 m → k = 0,4
3
4
c) AZ = 18 cm → A‘Z‘ = 6 cm → k = _
​ 1 ​ 
b) BC = 4 cm → B‘C‘ = 1 cm → k = _
​ 1  ​
3. a) AB = 5 cm → A‘B‘ = 10 cm → k = 2
2. 1. a) k = 2
Figuren vergrössern und verkleinern
11
12
x
A
b
c
100 m
C
M
31°
a
β
B
te
us
ur
rz
Geometrische Flächen, geometrisches Zeichnen – neue Aufgabenformen
t
ch
ns
i
A
Terme ansetzen und umformen