Übungen

Übungen
Trigonometrie 1: Strahlensätze
1.
Berechnen Sie in den folgenden Strahlensatzfiguren die unbekannten Stücke!
10
4
4
2.5
x
3
5
9
a)
2.
y
z
5
y
8
w
11
9
7
x
7 z
y
23
b)
3
13
x
w
c)
x
y
x
15
3
e)
4
Welche der folgenden Verhältnisse sind richtig? Geben Sie
e
den entsprechenden Strahlensatz an!
3.
8
x
18
d)
z
6
a) a : f = (e+d) : d
b) b : c = e : d
c) a : b = f : c
d) c : d = e : b
d
a
f
b
c
Wie hoch ist ein Baum, der einen 25 m langen Schatten wirft, wenn gleichzeitig der Schatten eines
1.80 m grossen Mannes 1.50 lang ist?
4.
Eine Erbse von 6 mm Durchmesser verdeckt gerade den Vollmond, wenn man sie 66 cm vom Auge
entfernt hält. Wie verhalten sich demnach Mond- und Erdradius, wenn die Mondentfernung ca. 60
Erdradien beträgt?
5.
x
Um die Breite x eines Flusses zu messen, verfährt man gemäss Skizze und misst die Strekken a = 40 m, b = 33.5 m und c = 12 m. Be-
c
b
rechnen Sie die Flussbreite x!
a
6.
Berechnen Sie die Höhe h des Turms!
9m
10 0 m
7.
5m
70 m
Einer geraden, quadratischen Pyramide wird ein Würfel einbeschrieben. Berechnen Sie die Kantenlänge k des Würfels, wenn eine Grundseite der Pyramide 4 m und deren Höhe 10 m misst.
Tip: Zeichnen Sie zuerst einen Längsschnitt!
Lösungen
1.
3.
4.
5.
a) x = 8.125, y = 5.54; b) x = 11.67, y = 9.33, z = 6.67, w = 4.17; c) x = 8.56, y = 6.75, z = 5.85, w = 12.65;
d) x = 6; e) x = 4, y = 8, z = 2.67.
h = 30 m.
rMond = 0.27·rErde.
6. h = 14.7 m.
x = 14.36 m.
7. k = 2.86 m.
Übungen
Trigonometrie 2: Rechtwinklige Dreiecke
1.
Berechnen Sie die fehlenden Seiten und Winkel
α
des rechtwinkligen Dreiecks ABC.
c
a) a = 6.0 cm, b = 2.5 cm
b
b) a = 280 m, b = 360 m
c) a = 24.8 m, b = 34.2 m
β
d) a = 47 m, β = 38°
a
e) b = 24.5 m, α = 62.5°
2.
f) a = 120 m, α = 41°
h) a = 15.8 m, c = 24.3 m
g) c = 6.4 km, α = 32°
i) b = 39.2 cm, c = 56.4 cm
Das Dreieck ABC ist gleichschenklig. Berechnen Sie die
fehlenden Seiten, Winkel und den Flächeninhalt.
a) b = 58.6 m, α = 62°
b
a
b) a = 45.2 m, γ = 98°
c) c = 124.8 m, β = 36°
d) c = 9.76 m, γ = 79.5°
3.
β
α
e) a = 65.4 m, c = 54.7 m
c
α
Berechnen Sie die Hypothenusenabschnitte p,
p
c
q und die Höhe h!
b
a) a = 6 cm, c = 10 cm
q
hc
b) b = 4.5 cm, α = 43.5°
c) a = 8 m, α = 28°
β
a
d) c = 14.5 m, β = 48.5°
c
4.
Welchen Flächeninhalt haben die Parallelogramme?
a) a = 8 cm, d = 10 cm, α = 60°
b) a = 12 m, b = 7.5 m, β = 125°
d
h
b
α
β
a
Lösungen
1.
a) c = 6.5 cm, α = 67.4°, β = 22.6°; b) c = 456.1 m, α = 37.9°, β = 52.1°; c) c = 42.2 m, α = 35.9°, β = 54.1°;
d) b = 36.7 m, c = 59.6 m, α = 52°; e) a = 47.1 m, c = 53.1 m, β = 27.5°; f) b = 138 m, c = 183 m, β = 49°;
g) a = 3.39 km, b = 5.43 km, β = 58°; h) b = 18.5 m, α = 40.6°, β = 49.4°; i) a = 40.6 cm, α =46.0°, β = 44.0°.
2.
a) c = 55.0 m, h = 51.7 m, A = 1’420 m2; b) α = β = 41°; c = 68.2 m, h = 29.7 m, A = 1’010 m2;
c) a = b = 77.1 m, h = 45.3 m, A = 2’830 m2; d) a = 7.63 m, α = 50.3°, h = 5.87 m, A = 28.6 m2;
3.
4.
e) α = 65.3°, h = 59.4 m, A = 1’630 m2.
a) p = 6.4 cm, q = 3.6 cm, h = 4.8 cm; b) p = 3.26 cm, q = 2.94 cm, h = 3.10 cm;
c) p = 13.3 m, q = 3.76 m, h = 7.07 m; d) p = 8.13 m, q = 6.37 m, h = 7.20 m.
a) 69.3 cm2; b) 73.7 m2.
Übungen
Trigonometrie 3: Rechtwinklige Dreiecke und angewandte Aufgaben
1.
Bestimmen Sie jeweils die Breite des Flusses!
9°
15 °
13 °
41 °
23 m
40 m
a)
2.
b)
c)
45 m
Bestimmen Sie jeweils die Turmhöhe!
39 °
24 °
5m
a)
3.
39 °
25 m
24 0 m
5m
17 °
b)
c)
36 °
15 m
45 °
Unter der Steigung einer Strasse versteht man den Tangens des Neigungswinkels gegenüber der
Horizontalen. Sie wird in Prozenten angegeben.
Beispiel: Die Steigung einer Strasse, die auf einer horizontalen Distanz von 100 m einen Höhenunterschied von 4 m überwindet, beträgt 4/100 = 0.04 = 4%.
Die Strasse von Dornach (338 m ü.M.) nach Gempen (676 m ü.M.) hat eine Länge von etwa 6.3 km.
Berechnen Sie die durchschnittliche Steigung der Strasse und den Winkel, den die Strasse
durchschnittlich mit der Horizontalen bildet.
4.
a) Ein Wagen mit einer Masse von 1'000 kg steht auf einer Strasse, die unter 4% (10%) ansteigt.
Welche Kraft ist nötig, um ihn am Wegrollen zu hindern?
b) Ein Maultier zieht vom Ufer eines Kanals aus ein Schiff. Das Verbindungsseil zwischen Schiff und
Maultier schliesst mit der Fahrtrichtung des Schiffs einen Winkel von 25° ein. Wie gross ist der
Kraftverlust des Maultiers durch das schräge Ziehen?
5.
Einem Kreis mit Radius 5 cm ist ein reguläres Zehneck
a) einbeschrieben, b) umbeschrieben.
Berechnen Sie die Kantenlänge, den Umfang und die Fläche!
c) Berechnen Sie eine Näherung für die Kreiszahl π, in dem Sie als Näherung für den Kreisumfang
den Mittelwert der beiden Zehnecksumfänge wählen.
Lösungen
1.
2.
3.
4.
5.
a) 20.2 m, b) 15.3 m, c) 26.1 m.
a) 111.9 m, b) 18.2 m, c) 39.9 m.
5.4% resp. 3.1°.
a) 392 N, b) 976 N.
a) k = 3.09 cm, U = 30.9 cm, A = 73.5 cm2; b) k = 3.25 cm, U = 32.5 cm, A = 81.2 cm2; c) π ≈ 3.17.
Übungen
Trigonometrie 3a: Vermessungsaufgaben
1. Bestimmen Sie Höhe der Türme!
27 °
23 °
18 m
44 °
27 m
a)
6m
b)
c)
41 °
20 m
64 °
2. Bestimmen Sie die Breite der Flüsse!
52 °
42 °
9°
7°
24 m
4°
24 m
5m
a)
40 m
27 °
b)
Lösungen
1a) 44.07 m; b) 12.87 m; c) 30.18 m. 2a) 14.0 m; b) 8.03 m; c) 8.97 m.
c)
Übungen
Trigonometrie 3b: Angewandte Aufgaben zum rechtwinkligen Dreieck
1.
Eine Spaziergängerin wandert auf einen Turm der Höhe 30 m zu.
a) Unter welchem Winkel erscheint ihr der Turm in 1 km, 500 m, 200 m, 100 m, 50 m, 10 m, 5 m,
1 m Abstand?
b) Zeichnen Sie die Resultate aus Aufgabe a) in ein Diagramm ein.
2.
Eine schnurgerade Strasse führt an einem 25 m hohen Turm vorbei. Der kürzeste Abstand vom Turm
zur Strasse beträgt 50 m.
a) Wie gross ist der maximale Winkel, unter dem ein Autofahrer den Turm sehen kann?
b) Wie gross ist der Winkel, unter dem ein Autofahrer den Turm sieht, wenn er 100 m von jener
Stelle weg ist, von der aus der Turm am höchsten erscheint?
c) Zeigen Sie in einem Diagramm auf, wie sich der Sichtwinkel verändert, unter dem von einem fahrenden Auto aus der Turm bei einer Vorbeifahrt erscheint.
3.
Am 21. März steht die Sonne am Mittag senkrecht über dem Äquator (0° Breite). Wie lang erscheint
der Schatten einer 175 cm grossen Person, die sich auf n Grad nördlicher Breite befindet?
a) Setzen Sie n = 0°, 23.5° (nördl. Wendekreis), 47.5° (Liestal), 66.5° (nördl. Polarkreis), 90°
(Nordpol).
b) Geben Sie eine allgemeine Formel für n Grad an, und zeichnen Sie den Verlauf für 0° ≤ n ≤ 90° in
ein Diagramm ein.
Lösungen
1a) 1.71°, …, 88.1°. 2a) 26.6°; b) 12.6°; c) α = arctan(25/√(d2+502)). 3a) 0 cm, 76 cm, 191 cm, 402 cm, ∞
Grafik zu 2c) (–300 m ≤ x ≤ 300 m, y ≤ 30°)
Grafik zu 3b) (0° ≤ x ≤ 90°, y ≤ 1000 cm)
Übungen
Trigonometrie 3c: Angewandte Aufgaben zu Karten
1.
a) Bestimmen Sie die wahre Länge der Sesselbahn von Schönried aufs Horneggli.
b) Welchen Winkel schliesst die Bahn mit der Horizontalen ein?
c) Die Bahn von Schönried auf den Rellerligrat ist zweiteilig. Bestimmen Sie die wahre Länge der beiden Teile und ihren Neigungswinkel. Zeichnen Sie dann die Bahn im Profil im Massstab 1:25'000.
2.
Welche mittlere Steigung hat die Strasse von Saanen (pt. 1014) nach Schönried (Pt. 1220)?
3.
Ist es möglich, von Saanen (Pt. 1014) aus folgende Bergspitzen zu sehen?
a) Hornflue
b) Hüenerspil
c) Saanerslochflue
Lösungen
1a) 1736 m; b) 18.1°; c) 1194 m, 15.5°, 868 m, 18.2°. 2) 5.5%. 3a) ja; b) nein; c) nein.
Grafik zu 1c)