r - TU Freiberg

15. Vielteilchensysteme (Bosonen und Fermionen)
bisher: 1 Teilchen sei im Zustand ψ
• um den Ort des Teilchens zu messen, Detektor bei r
• wenn Detektor das Volumen dV besitzt
Wahrscheinlichkeit, dass Teilchen den Detektor aktiviert: dW = |ψ(r)|2 dV
15.1 unterscheidbare Teilchen
• zwei verschiedene Teilchen A, B (z. B. Elektron + Neutron)
• zum Nachweis benötigen wir zwei Detektoren, die bei rA und rB stehen sollen.
Wahrscheinlichkeit, dass beide Zähler gleichzeitig ansprechen
dW = |ψ(rA, rB)|2 dVA dVB
Wahrscheinlichkeit, ein A-Teilchen bei rA zu finden
dWA = dVA ∫|ψ(rA, rB)|d3 rB
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Summation über alle möglichen Orte rB für Teilchen B, da Teilchen B irgendwo sein kann
Analog: Wahrscheinlichkeit, nur ein B-Teilchen im Volumen VB zu detektieren:
dWB = dVB ∫|ψ(rA, rB)| d3 rA
mit Spin sehr ähnlich
ψ(rA, rB) -> ψ(rA,sA, rB,sB)
2T :   ,   ,   ,  
dW A = dV A
∑ ∑ ∫∣ rA , s A , rB , s B ∣ d 3 rB
sA
sB
Soweit begrifflich einfach = unsere klassische Vorstellung
130
15.2 Zwei identische Teilchen (Elektronen)
statt A, B nummeriere ich die Elektronen mit 1 und 2
• bei r1 steht Detektor 1 mit dV1
• bei r2 steht Detektor 2 mit dV2
Wenn beide Detektoren ansprechen, wurde sowohl bei r1 und bei r2 ein Elektron
nachgewiesen.
Hat nun das erste Elektron den Zähler bei r1 und das zweite bei r2 ausgelöst oder
umgekehrt?
Diese Frage kann man prinzipiell nicht beantworten, da Elektronen wirklich identisch
sind.
Das Problem besteht darin, dass die Werte ψ(r1, r2) und ψ(r2, r1) verschieden sein
können.
ψ(r1, r2):
ψ(r2, r1):
erstes Elektron bei r1
erstes Elektron bei r2
131
Auf Grund des Experiment fordern wir:
2
2
∣ r1 , r2 ∣ = ∣ r2 , r1 ∣
eine Möglichkeit, um die Forderung zu erfüllen:
A) Symmetrische Wellenfunktionen
ψ(r1, r2) = ψ(r2, r1)
(Symmetrische Funktionen bleiben symmetrisch, wenn man sie addiert und mit
Skalaren multipliziert.)
Diese Lösung wird in der Natur durch Teilchen mit ganzem Spindrehimpuls
(0, 1, 2, ...) realisiert. (z. B. Pion, Heliumatom, Photonen, . . . = Bosonen)
Insbesondere ein Zustand
der ein Produkt von Einteilchenzuständen darstellt, ist erlaubt.
 r1 r2  =  r1   r2 
Bosonen können einen Einteilchenzustand mehrfach besetzen
(z.B. Bose-Einstein-Kondensate: Nobelpreis 2001)
132
B) eine andere Lösungsmöglichkeit sind antisymmetrische Wellenfunktionen
Teilchen mit halbzahligem Spin (s = ½, 3/2, . . . )
z.B. Elektron, Proton, Myon, Neutrino, . . .
= Fermionen
also der Spinzustand ist wichtig
ψ(r1, s1, r2, s2 ) = -ψ(r2, s2, r1, s1)
Dass die Wellenfunktion für Fermionen unter Vertauschung antisymmetrisch ist, wird
auch als Pauliprinzip bezeichnet.
Einen Zustand der Form kann es nicht geben
 r1 s1 , r2 s2  =  r1 , s1   r2 , s2 
 r2 s2 , r1 s1  =  r2 , s 2   r1 , s1 
=  r1 , s1   r2 , s2 
1 = -1
Φ=0
!
Fermionen können nicht den gleichen Einteilchenzustand mehrfach besetzen. |ψ|2=0
Aufbau des Periodischen Systems
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Wasserstoffwellenfunktionen n, l, m, s
He: 1s  
+
+
+
+
da
n, l, m sind gleich, aber s ist unterschiedlich
erlaubt
verboten
erlaubt
a
1 r −
+
erlaubt,
a
a
 und 2  r  
2
2
von anderen Argumenten abhängen
134
15.3. Verallgemeinerung auf viele Teilchen
Abk.: r1, s1 = 1
r2, s2 = 2
usw.
Definition des Transpositionsoperators Π (vertauscht zwei Teilchen)
Π12ψ(1, 2, . . ., N) = ψ(2, 1, . . . ., N)
(Π83 vertauscht Teilchen 8 mit 3)
Π12Π12 ψ(1, 2, . . . ,N) = Π2 ψ(1, 2, . . . ,N) = ψ(1, 2, . . . ,N)
Eigenwerte von Π gesucht:
Πψ = λψ
Π²ψ = Πλψ = λ²ψ = ψ (siehe oben)
λ² = 1
λ = ±1
Π = Π*
Operator Π ist selbstadjungiert und unitär
(Π2 = 1
Π = Π-1
Π* = Π-1 )
Eigenwert von Π unterscheidet also symmetrische und antisymmetrische
Wellenfunktionen.
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Bosonen: Jedes Teilchen ist mit jedem vertauschbar!
 B 1,2 ,3=[ 1,2 ,31,3 ,23,2,1 2,1,33,1,22,3 ,1 ]
Die bosonische Wellenfunktion ψB muss noch normiert werden.
Allgemein lässt sich eine bosonische Vielteilchenwellenfunktion immer
durch die Vertauschung (Permutation) aller Koordinaten bilden.
 B= ∑  

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Fermionen
 F = [ 1,2 ,3 − 1,3,2
− 2,1,3  2,3,1
 3,1 ,2 − 3,2 ,1]
(Π) = Charakter der Permutation
=
F =
+1
für gerade Anzahl von Vertauschungen
-1
für ungerade Anzahl von Vertauschungen
∑    

führt zu Determinanten, wenn Ψ als Produkt
von Einteilchenwellenfunktionen dargestellt
werden kann.
137
Falls
H =
∑ Hi
i
  = 1 1⋅ 2 2 
H i i = E i  i
N=2
1
 1 1  2  2 − 2 1 1  2
2
1
kommt von der Normierung der Fermionen1 1 1 1  2
=
 2 wellenfunktion, wenn die Einteilchenwellen 2  2 1  2  2
F =
∣
N=3
∣
∣
∣
funktionen normiert sind.
∣
∣
1 1  1 2 1 3
1
F =
2 1  2 2  2 3
3 !
 3 1 3 2 3 3
N
1 1  1  N 
1
F =
⋮
N
!
  1    N 
N
N
nennt man Slater-Determinanten.
138
z.B. 2 Elektronen (Heliumatom)
2
2
p1
p2
H =

 V  r1   V  r2   V ∣r1− r2∣
2
2
Coulomb-WW
angenommen, Hψ = Eψ sei bekannt:
 =  r1, s1 , r2 , s 2  = 1,2
Wir wollen zeigen, dass gilt
H   = E  
H 1,21,2 = E 1,2
1 <-> 2 vertauschen
H 2,1 2,1 = E  2,1 = E [  1,2 ]
da aber auch
H 1,2 = H 2,1
H 2,12,1 = H 1,2  2,1 = H 1,2  1,2
H  =E  = E 
−1 H  =E = H 
−1 H =H
H = H
von links mit  multiplizieren
−1
[ H ,  ] =0
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[ H ,  ]=0
Der Hamiltonoperator H und der Operator der Teilchenvertauschung
Π kommutieren, sie haben also gemeinsame Eigenfunktionen.
Die Eigenfunktionen sind entweder symmetrisch (Bosonen) oder
antisymmetrisch (Fermionen).
Ein Teilchen oder ein System von Teilchen hat entweder Fermionenoder Bosonencharakter, es gibt keine Mischungen von Fermionen und
Bosonen (Einschränkung des Superpositionsprinzips).
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