Kapitel 4 Vielteilchentheorie

Kapitel 4
Vielteilchentheorie
4.1
4.1.1
Erzeugungsoperatoren und Vernichtungsoperatoren
Fockraum
Läßt man im Hilbertraum eine beliebige Anzahl von (hier: identischen) Teilchen zu so
nennt man diesen (Produkt-) Raum den Fockraum. Man kann nun “Absteige-” und “Aufsteigeoperatoren” zwischen Segmenten des Fockraums mit verschiedenen Teilchenzahlen
definieren. Diese Operatoren erzeugen und vernichten als Teilchen, man nehnt sie demzufolge die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren. Sie spielen eine zentrale Rolle bei
allen ernsthaften Rechnungen innerhalb der Quantenmechanik.
Vakuum
Das Segment des Fockraumes ohne ein einziges Teilchen nennt man das Vakuum, wir
bezeichnen es mit
|0i
: Vakuum .
Die (basisunabhängige) Notation für einen Zustand mit N Teilchen mit (vollständigen)
Quantenzahlen α1 , . . . , αN (z.B. (αi = ki , σi für Elektronen) bezeichnen wir mit
|α1 , . . . , αN i
: N-Teilchen Zustand .
Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren bezeichnen wir mit c†α und cα für Fermionen
und b†α und bα für Bosonen. Sie sind via
c†α |0i = |αi ,
b†α |0i = |αi ,
cα |αi = |0i
bα |αi = |0i
47
: Fermionen ,
: Bosonen
48
KAPITEL 4. VIELTEILCHENTHEORIE
definiert, diese Darstellung nennt man auch zweite Quantisierung. Für einen allgemeinen
N-Teilchenzustand gilt analog
c†α |α1 , . . . , αN i = |α, α1 , . . . , αN i ,
b†α |α1 , . . . , αN i = |α, α1 , . . . , αN i ,
Das Vakuum enthält keine Teilchen, also
4.1.2
cα |α, α1 , . . . , αN i = |α1 , . . . , αN i ,
bα |α, α1, . . . , αN i = |α1 , . . . , αN i .
cα |0i ≡ 0
.
Vertauschungsrelationen
Zentral ist nun die folgende Fragestellung (hier am Beispiel von 2-Fermionen): Sind die
Zustände
c†α c†β |0i
und
c†β c†α |0i
gleich oder unterscheiden sie sich durch eine Phase? Mehr als durch eine Phase können sie
sich nicht unterscheiden, denn c†α c†β |0i und c†β c†α |0i haben identische Quantenzahlen. Die
Anwort hierauft wird durch die Vertauschungsrelationen gegeben. Wir definieren denn
Kommutator [ , ]− und den Antikommutator [ , ]+ via
[A, B]− = A B − B A ,
[A, B]+ = A B + B A .
Bosonen
Für Bosonen und diskrete Quantenzahlen sind die Vertauschungsrelationen
[bα , bβ ]− = 0,
[b†α , b†β ]− = 0,
[bα , b†β ]− = δα,β .
Für kontinuierliche Quantenzahlen ersetzen wir δα,β → δ(α−β). Bosonen unterschiedlicher
Quantenzahlen vertauschen also.
Fermionen
Für Fermionen lauten die Vertauschungsrelationen
[cα , cβ ]+ = 0,
[c†α , c†β ]+ = 0,
[cα , c†β ]+ = δα,β .
Damit können wir die Eingangsfrage beantworten. Es gilt
|α, βi = b†α b†β |0i = b†β b†α |0i = |β, αi
für Bosonen und
|α, βi = c†α c†β |0i = −c†β c†α |0i = −|β, αi
für Fermionen. Insbesondere folgt hieraus für α = β, daß für Fermionen
|α, βi = −|β, αi = 0 .
4.1. ERZEUGUNGSOPERATOREN UND VERNICHTUNGSOPERATOREN
49
Also: Zwei Fermionen können nicht die gleichen Quantenzahlen haben.
Teilchenzahloperator
Aus den Vertauschungsrelationen folgt zudem, daß der Operator nα = c†α cα (für Bosonen:
nα = b†α bα ) der Teilchenzahloperator ist: Für Ferimonen gilt
nα |0i = c†α cα |0i = 0
nα |αi = c†α cα c†α |0i = c†α 1 − c†α cα |0i = |αi .
Für Bosonen gilt
nα b†α
N
|0i = N b†α
N
|0i ,
wie man leicht rekursive beweisen kann.
Basiswechsel
Gehen wir von einer Teilchenbasis |ii zu |ĩi über, also
c̃+
j |0i ≡ |j̃i =
X
i
|ii hi|j̃i =
X
i
c+
i |0i hi|j̃i ,
(4.1)
so gehen aus ci die Operatoren c̃j gemäß
c̃+
j =
X
i
hi|j̃i c+
i ,
X
c̃j =
i
hj̃|ii ci
(4.2)
hervor.
4.1.3
Operatoren in zweiter Quantisierung
Wir haben bisher eine diskrete ein-Teilchen-Basis |ii betrachtet. Wir wollen nun Feldoperatoren ψ(~x) über die ein-Teilchen-Zustände zum Ortsoperator und analog c~k zum
Impulsoperator definieren:
ψ(~x) =
X
~k
Mit
R
h~x|~kic~k ,
c~k = √
1
2π
3
Z
~
d3 x e−ik·~x ψ(~x) .
d3 x e−i~q·~x = (2π)3 δ (3) (~q) gilt
ψ(~x) = √
1
2π
3
Z
~
d3 k eik·~x c~k
(4.3)
50
KAPITEL 4. VIELTEILCHENTHEORIE
sowie
{ψ(x), ψ(y)}
=
{ψ + (x), ψ + (y)} = 0 ,
{ψ(x), ψ + (y)}
=
X
=
i,j
X
i
h~x|iihj|~y i {ci, c+
j }
h~x|iihi|~y i = h~x|~y i = δ 3 (~x − ~y )
(4.4)
und das analoge für c~k .
Bemerkung
Für Systeme mit endlichem Volumen V definiert man ψ(x) und ck wie oben, dabei variiert
3
.
~x kontinuierlich über V und ~k ist quantisiert mit zugehörigem Volumen d3 k = (2π)
V
~k~
1
i
x
Umtransformieren von ψ(x) auf ck mit hx|ki = √V e . Die (Anti) Kommutatorrelationen
(+)
gelten wie oben notiert, das δ-Symbol für Operatoren ck
wird zum Kronecker-Delta.
Hamilton-Operator
h̄2
Der Hamilton-Operator für ein System von Teilchen mit kinetischer Energie − 2m
∇2 und
Paarwechselwirkung V (x − y) ist in zweiter Quantisierung
H
!
h̄2 2
∇ ψ(x)
d x ψ (x) −
2m
Z
1
+
d3 x1 d3 x2 ψ + (x1 )ψ + (x2 ) V (x1 − x2 ) ψ(x2 )ψ(x1 ) .
2
Z
=
3
+
(4.5)
Unter Verwendung von (4.3) wird die Orstraum-Darstellung (4.5) des Hamilton-Operators
zur Impulsraum-Darstellung
H =
Z
d
3
k ǫ~k c~+
c
k ~k
+
Z
d3 k d3 p d3q c~+
c+
~−~
q Vq~ cp
~ c~k
k+~
q p
,
(4.6)
wobei ǫk = h̄2 k 2 /(2m) die Dispersionsrelation freier Elektronen ist und
1
Vq~ =
(2π)3
Z
d3 x e−i~q·~x V (~x) .
(4.7)
die Fourier-Transformierte des Wechselwirkungs-Potentials. Man beachte die Impulserhaltung
(~k + ~q) + (~p − ~q) = p~ + ~k
im Wechselwirkungs-Term von Gl. (4.6).
4.2
Lineare-Antwort-Theorie
Wir behandeln den Fall eines Systems beschrieben durch H0 mit kleiner Störung,
H(t) = H0 + H ′ (t),
H ′ (t) = A · F (t) ,
51
4.2. LINEARE-ANTWORT-THEORIE
wobei A ein Operator ist und F (t) eine reelle Funktion. Dieses ist die Form, welche fast
alle (experimentellen) Messungen beschreibt.
Adiabatische Störung
Für die theoretische Behandlung nehmen wir nun an, dass die Störung adiabatisch eingeschaltet werde. Darunter verstehen wir folgendes:
Vor der Störung (d.h. bei t = −∞) soll der Dichteoperator ρ0 sein (insbes. zeitunabhängig
bzgl. der Evolution unter H0 ). Nach dem Einschalten von H ′ (t) sollen sich (im Schrödingerbild) zwar die Zustände gemäß H(t) entwickeln, die statistischen Gewichte sollen sich
nicht ändern. Formal läßt sich dies durch eine Zeitabängigkeit
H ′ (t) ∼ eδ t ,
(t < 0)
(4.8)
erreichen.
1
0.5
0
0
t
Dichte-Matrix
Wir sind nun an dem Erwartungswert einer Observablen B zur Zeit t interessiert:
hBiρ(t) = Sp(Bρ(t)) ,
mit
ρ(t) = eiH t ρ e−iH t
(4.9)
(Heisenberg-Darstellung). Die Dichtematrix
ρ =
1 X −βEn
e
|nihn| ,
Z n
Z =
X
e−βEn ,
(4.10)
n
genügt der Bewegungsgleichung (von Neumann-Gleichung)
ρ̇(t) = i [H(t), ρ(t)] ,
mit
ρ(t = −∞) = ρ0 .
(4.11)
U̇ (t) = i H(t) U(t) .
(4.12)
Diese hat die Lösung
ρ(t) = U(t) ρ0 U −1 (t)
mit
Für H(t) ≡ H (zeitunabhängig) ist U(t) = ei Ht .
Wechselwirkungs-Bild
Wir gehen jetzt ins Wechselwirkungs-Bild, d.h. zum Operator X definieren wir
Xw (t) = U0−1 (t) X(t) U0 (t) ,
mit
U0 (t) = eiH0 t .
(4.13)
52
KAPITEL 4. VIELTEILCHENTHEORIE
Es gilt nun
ρw (t) = U0−1 (t) ρ(t) U0 (t) .
hBiρ(t) = Sp(Bw (t)ρw (t)) ,
(4.14)
Die Bewegungsgleichung lautet im Wechselwirkungs-Bild
ρ̇w (t)
=
U0−1 ρ̇(t) − i [H0 , ρ(t)] U0 = i U0−1 [H, ρ(t)] − [H0 , ρ(t)] U0
=
i U0−1 (t) [H ′ (t), ρ(t)] U0 (t) = i [Aw (t), ρw (t)] F (t) ,
(4.15)
mit der Anfangsbedingung ρw (t = −∞) = ρ0 . Das Anfangswertproblem für ρw (t) ist
äquivalent zur Picard’schen Integralgleichung
Z
ρw (t) = ρ0 + i
t
−∞
[Aw (t′ ), ρw (t′ )] F (t′ ) dt′
Iteration führt zur Lösung in 1. Ordnung in F (t)
ρw (t) = ρ0 + i
Z
t
−∞
[Aw (t′ ), ρ0 ] F (t′ ) dt′ + O(F 2) .
(4.16)
Verallgemeinerte Suszeptibilitäten
Der Mittelwert von B wird somit
hBiρ(t) = B0 + i
Z
t
−∞
h [Bw (t), Aw (t′ )] iρ0 F (t′ ) dt′ + O(F 2) ,
(4.17)
mit B0 = Sp(Bw (t)ρ0 ) und
Sp(Bw (t)[Aw (t′ ), ρ0 ]) = Sp [Bw (t), Aw (t′ )]ρ0
.
(4.18)
Wir sehen also, daß die Änderung in B auf die Störung A mit Stärke F in linearer Ordnung
gegeben ist durch
∆B(t) =
Z
∞
−∞
χB,A (t − t′ ) F (t′) dt′
(4.19)
gegeben ist, mit der Responsefunktion χ (verallgemeinerte Suszeptibilität):
χB,A (t − t′ ) = i Θ(t − t′ ) h [B(t), A(t′)] iρ0 .
(4.20)
Der Index w wurde fallengelassen und ab hier vorausgesetzt, daß die Zeitentwicklung zum
ungestörten Operator H0 gemeint ist.
Bemerkungen
53
4.3. GREEN-FUNKTIONEN
• Retardierte Green-Funktion
Die Responsefunktion ist eine sog. retardierte Green-Funktion
χB,A (t − t′ ) = −GrB,A (t − t′ )
(4.21)
wobei “retardiert” sich auf θ(t − t′ ) bezieht. Eine Störung zur Zeit t′ bewirkt eine
Änderung zur Zeit t, sofern t′ < t.
• Lineare Antwort vs. ungestörtes System
Die lineare Antwort ∆B ist allein durch Gleichgewichtsgrößen bestimmt, d.h. durch
die Eigenschaften des ungestörten Systems.
• Dynamische Dielektrizitätskonstante
~ r , t), Dipol-Kopplung an ein äußeres elektrisches Feld E(~
~ r, t).
Beispiel: H ′ (t) = e ~r ·E(~
′
Dann ist die Responsfunktion χ~r,~r′ (t − t ) die (nicht-lokale) dynamische Dielektrizitätskonstante.
4.3
4.3.1
Green-Funktionen
Definitionen
Wir haben im vorherigen Paragraphen den Nutzen der zeitabhängigen retardierten GreenFunktionen kennengelernt. Hier wollen wir verschiedene mathematische Eigenschaften
erläutern. Später wird dann zu besprechen sein, wie man Green-Funktionen konkret berechnen kann.
Wir wollen mit dem Symbol [., .]ǫ Kommutatoren (ǫ = −1) und Antikommutatoren (ǫ =
+1) bezeichnen, d.h.
[A, B]ǫ = AB + ǫBA ,
[A, B]−1 = AB − BA,
[A, B]+1 = AB + BA .
(4.22)
Typischerweise tritt der Kommutator mit ǫ = −1 häufig im Zusammenhang mit Bosonen
und ǫ = +1 bei Fermionen auf.
Zeitordnungs-Operator
Wir definieren zu Operatoren A, B die retardierte Green-Funktion, die avancierte GreenFunktion und die kausale Green-Funktion durch (vergl. Gl. (4.12))
GrA,B (t)
GaA,B (t)
GcA,B (t)
:=
:=
:=
−iΘ(+t)h [A(t), B]ǫ i ,
A(t) = eitH Ae−itH ,
+iΘ(−t)h [A(t), B]ǫ i ,
(4.23)
−iΘ(+t)h A(t)B i + iǫΘ(−t)h BA(t) i ≡ −i Tt h A(t)B i ,
wobei Tt in der letzten Gleichung der Zeitordnungs-Operator,
′
Tt A(t)B(t ) =
ist.
(
A(t)B(t′ )
ǫ B(t′ )A(t)
(t > t′ )
(t < t′ )
54
KAPITEL 4. VIELTEILCHENTHEORIE
• Wenn A und B zwei fermionische Operatoren sind, welche antikommutieren, so
wählt mann ǫ = 1 in (4.23), für den Fall von zwei kommutierenden Operatoren
ǫ = −1.
• Häufig werden diese Green-Funktionen “2-zeitig” genannt, obwohl bei uns nur eine
Zeitvariable t auftritt. Bei uns ist die Zeitvariable des Operators B gleich 0. Dies ist
jedoch keine Einschränkung, da z.B.
GrA,B (tA − tB ) = GrA,B (tA , tB ) = −iΘ(tA − tB )h [A(tA ), B(tB )]ǫ i .
Im Folgenden werden wir uns auf die retardierte Green-Funktion konzentrieren, die Eigenschaften der avancierten (und der kausalen) Green-Funktion folgen dann analog.
Spektraldarstellung
Bei der Berechnung der Erwartungswerte von Operatoren O in der thermodynamischen
Gesamtheit macht man häufig Gebrauch vom Einschieben von Darstellungen der Eins
P
1 = n |nihn| durch orthonormierte Eigenzustände zu H
hOi = Sp(ρO) =
1X
1
Sp(e−βH O) =
hn|O|nie−βEn .
Z
Z n
(4.24)
Da En durch die Grundzustandsenergie E0 nach unten beschränkt ist, ist (−βEn ) nach
oben beschränkt und die Reihe konvergent.
Analog analog erhalten wir mit
hA(t)Bi =
1 X
hn|A|mihm|B|niei(iβ+t)En −itEm
Z n,m
.
(4.25)
Diese Spektraldarstellung wird auch Lehmann-Darstellung genannt.
4.3.2
Frequenzdarstellung
Komplexe Zeiten
Im folgenden werden wir die Definitionen (4.23) für reelle t auf komplexe Zeiten erweitern.
Zu diesem Zwecke führen wir mit f (t)
f (t) := hA(t)Bi
=
hBA(t)i
=
1
Sp(ei(iβ+t)H Ae−itH B),
Z
1
Sp(ei(iβ−t)H Be+itH A),
Z
−β ≤ Im t ≤ 0
0 ≤ Im t ≤ +β
(4.26)
eine Hilfsfunktion ein, welche, für den Fall dass GrA,B eine Response-Funktion ist, auch
(dynamischer) Strukturfaktor genannt wird.
Wir sehen aus (4.26), daß f (t) auch für komplexe t definiert ist, sofern die Imaginärteile
in den angegebenen Intervallen liegen. Betrachten wir z.B. für die erste Gl. in (4.26) und
t = t′ + it′′ :
′′
′
′′
′
ei(iβ+t)H = e−(β+t )H eit H ,
e−itH = et H e−it H ,
55
4.3. GREEN-FUNKTIONEN
damm wird mit t′′ ∈ [−β, 0] gewährleiste, daß die Exponentialausdrücke von nach oben
beschränkten Operatoren genommen werden.
Ferner gilt
f (t − iβ) =
1
1
Sp(eitH Ae−i(t−iβ)H B) =
Sp(BeitH Ae−itH e−βH ) = hBA(t)i (4.27)
Z
Z
und somit
h
i
GrA,B (t) = −iΘ(+t) f (t) + ǫf (t − iβ) .
(4.28)
Frequenzdarstellung
Wichtig sind nicht die eigentliche Fouriertransformierten der avanzierten und der retardierten Green’s Funktionen sondern insbesondere die Frequenzdarstellungen,
Gr (z) =
Z
∞
0
dt Gr (t) eizt ,
Z
Ga (z) =
0
dt Ga (t) eizt ,
(4.29)
−∞
welche für all komplexe z definiert sind. Es gilt:
Gr (z) ist in der oberen komplexen Halbebene analytisch, denn für z = z ′ + iz ′′ und z ′′ > 0 konvergiert Gl. (4.29).
Analog ist Ga (z) in der unteren komplexen Halbebene analytisch.
Frequenzdarstellung vs. Fourier-Transformation
Als nächstes wollen wir die Fourier-Transformierten aller Green-Funktionen auf die Fouriertransformierte,
f (t) =
Z
∞
−∞
dω
f (ω) e−iωt,
2π
Z
f (ω) =
∞
−∞
dt f (t) eiωt ,
von f (t) = hA(t)Bi zurückführen. Unter Benutzung von
Z
∞
0
dt ei(z−ω)t =
−1
i(z − ω)
(4.30)
für Im z > 0 und ω reell (obere komplexe Halbenene), folgt mit Gl. (4.27)
Z
∞
h
i
dt f (t) + ǫf (t − iβ) eizt
0
Z ∞
Z ∞
dω
−βω
= −i
f (ω)(1 + ǫe )
dt ei(z−ω)t
−∞ 2π
0
Z ∞
dω 1 + ǫe−βω
f (ω) .
=
z−ω
−∞ 2π
Gr (z) = −i
(4.31)
Wir halten hier die Asymptotik von Gr (z),
Gr (z) ≃
fest.
1
,
z
für z → ∞ ,
(4.32)
56
4.3.3
KAPITEL 4. VIELTEILCHENTHEORIE
Spektralfunktion
Wir definieren die Spektralfunktion als Sprung der Green-Funktion an der reellen Achse
1
A(ω) = − lim Im Gr (ω + iδ)
π δ→0
= −
i
1 h r
G (ω) − Ga (ω)
2πi
(4.33)
Mittels der Frequenzdarstellung (4.31) für Gr (z) folgt mit z = ω + iδ und
lim Im
δ→0
1
= −πδ(x)
x + iδ
der Zusammenhang
′
∞ dω ′ 1 + ǫe−βω
−1
A(ω) =
Im
f (ω ′)
π
−∞ 2π ω + iδ − ω ′
Z ∞
dω ′ ′
1 + ǫe−βω δ(ω ′ − ω) f (ω ′)
=
−∞ 2π
1 =
1 + ǫe−βω f (ω) .
2π
Z
(4.34)
Damit finden wir für die Funktion f (t), welche bisher nur implizit aufgetreten ist:
f (ω)
A(ω)
=
2π
1 + ǫe−βω
Z ∞
Z ∞
dω
A(ω)
−iωt
hA(t)Bi = f (t) =
dω
f (ω) e
=
e−iωt .
1 + ǫe−βω
−∞ 2π
−∞
(4.35)
(4.36)
Komplexe Ebene
Nun wollen wir noch die Green-Funktion G(z) auf der gesamten komplexen Ebene (ohne
reelle Achse) durch einen Integralausdruck mittels der Spektralfunktion schreiben. Aus
Gl. (4.28) und (4.36) sehen wir
h
i
GrA,B (t) = −iΘ(t) f (t) + ǫf (t − iβ) = −iΘ(t)
und mit Gr (z) =
R∞
0
Z
∞
−∞
dω A(ω) e−iωt
(4.37)
.
(4.38)
dt Gr (t) eizt folgt nun
r
G (z) =
Z
∞
−∞
dω
A(ω)
z−ω
Derselbe Ausdruck gilt auch für die avancierte Green-Funktion in der unteren komplexen
Halbenbene.
Ein “unabhängiger” Beweis für (4.38) verläuft so:
57
4.3. GREEN-FUNKTIONEN
(i) Die Funktionen auf der linken und der rechten Seite sind beide analytisch für z
oberhalb und unterhalb der reellen Achse;
(ii) Für z → ∞ verhalten sich beide Seiten wie ≃ 1/z;
(iii) An der reellen Achse liegt ein Sprung vor, der auf der linken Seite per definitionem
gleich A(ω) ist, und auf der rechten Seite nach Cauchy!
Normierung
Nach der Definition (4.23) gilt und Gl. (4.37) gilt
lim Gr (t)
t→0+ a,B
h [A, B]ǫ i =
= −ih[A, B]ǫ i,
Z
∞
−∞
dω A(ω) .
(4.39)
Die Spektralfunktion A(ω) ist also normiert. Für die Einteilchen-Greensfunktion, A = c~r
(Vernichter) und B = c~r+′ (Erzeuger) ist sowohl für Bosonen wie für Fermionen h[A, B]ǫ i =
1 und die dazugehörige Spektralfunktion ist auf eins normiert.
Symmetrie der Spektralfunkion
Wir betrachten nun den Fall B = A. Dieses ist häufig sinnvoll. Z.B. möchte mann wissen
wie gross die induzierte Magnetisierung M ist wenn ein äusseres Magnetfeld angelegt
wird, welche via −MB ankoppelt, die Response
In diesem Fall gilt
A(−ω) = ǫA(ω) .
Zum Beweis betrachten wir Gl. (4.26),
f (t) = hA(t)Ai =
1
Sp(ei(iβ+t)H Ae−itH A),
Z
1
Sp(ei(iβ−t)H Ae+itH A), = hAA(t)i ,
Z
für den Fall B = A. Zusammen mit der Beziehung (4.27), f (t − iβ) = hAA(t)i ergibt
dieses
f (−t) = hAA(t)i,
f (−t) = f (t − iβ) .
Damit folgt für die Fouriertransformierte
f (−ω) =
=
Z
∞
Z0∞
0
−iωt
dtf (t) e
=
iω(t̄+iβ)
dt̄f (t̄) e
Z
∞
iω t̃
dt̃f (−t̃) e
0
−βω
= e
=
Z
0
∞
dt̃f (t̃ − iβ) eiωt̃
f (ω) .
Nun folgt damit aus der Beziehung (4.34)
A(−ω) =
1 + ǫ eβω −βω
e−βω + ǫ
1 + ǫ eβω
f (−ω) =
e f (ω) =
f (ω) = ǫA(ω)
2π
2π
2π
(mit ǫ2 = 1), was zu beweisen war.
58
KAPITEL 4. VIELTEILCHENTHEORIE
4.3.4
Einteilchen-Green-Funktionen
Die am häufigsten betrachteten Green-Funktionen sind die “Propagatoren” von Teilchen
mit A = c~r (Vernichter) und B = c~r+′ (Erzeuger), da diese ein-Teilchen-Green-Funktionen
das Propagieren eines am Ort ~r′ zur Zeit 0 erzeugten Teilchens beschreiben zum Ort ~r
zur Zeit t, wo es dann vernichtet wird.
Freie Fermionen
Wir betrachten freie Elektronen mit der Dispersions-Relation ǫk , z.B. ǫk = h̄2 k 2 /(2m) und
dem Hamilton-Operator
H0 =
X
~k
1 X i~k·~r
c~k = √
e c~r ,
V ~r
ξ~k c~+
c ,
k ~k
ξ~k = ǫ~k − µ ,
(4.40)
wobei µ das chemische Potential ist. Die Zeitentwicklung der Operatoren ist
c~k (t) = eiH0 t c~k e−iH0 t = e−iξ~k t c~k ,
(4.41)
was mit c~k (0) = c~k aus der Bewegungsgleichung
d
c~k (t) = i eiH0 t [H0 , c~k ] e−iH0 t = iξ~k eiH0 t [c~+
c~k , c~k ] e−iH0 t
k
dt
−iH0 t
+
c
c
= iξ~k eiH0 t c~+
c
= (−i ξ~k ) c~c(t)
−
c
c
~
~
~
~
~
k e
k k
k k k
| {z }
=0
folgt.
| {z }
1−c~+ c~k
k
Retardierte Green-Funktion freier Fermionen
Die retardierte Einteilchen-Green-Funktion G~k (t) hat also (mit ǫ = +1 in (4.23)) die Form
G~k (t) = −i Θ(t)h {c~k (t), c~+
} i = −i e−iξ~k t Θ(t)h {c~k , c~+
} i = −i e−iξ~k t Θ(t) .
k
k
|
Aus der Frequenzdarstellung
Z
0
∞
dt G~k (t) eizt =
G~k (z) =
{z
=1
}
1
z − ξ~k
(4.42)
finden wir mit z = ω + iδ für das Spektralgewicht
1
− lim Im G~k (ω + iδ) =
π δ→0
A~k (ω) = δ(ω − (ǫk − µ))
.
(4.43)
Damit wird das Spektralgewicht auch seinem Namen gerecht, die normale Zustandsdichte
ρ(ω) ist dann durch
ρ(ω) =
Z
d3 k
δ(ω − ξ~k ) =
(2π)3
Z
d3 k
A~ (ω)
(2π)3 k
(4.44)
59
4.3. GREEN-FUNKTIONEN
gegeben.
Harmonischer Oszillator
Bevor wir uns der Green-Funktion freier Bosonen zuwenden rekapitulieren wir kurz den
harmonischen Oszillator
!
1 d2
h̄ω
β 2 x2 − 2 2 ,
H =
2
β x
β2 =
mω
,
h̄
welcher mittel der Auf-/Absteige-Operatoren a† und a diagonalisiert werden kann:
1
,
2
H = h̄ω a† a +
1 x = √ a + a† ,
β 2
d
β = √ a − a† .
dx
2
Die Auf-/Absteige-Operatoren erfüllen die bosonischen Kommutationsrelationen. Haben
wir viele harmonische Oszillationen, wie bei den Phononen, dann schreiben wir allg.
H =
X
h̄Ωq~
q~
aq†~ aq~
1
,
+
2
[aq~, a†vecq′ ] = δq~,~q′ ,
aq~ (t) = e−ih̄Ω~qt aq~ .
Photonen oder Phononen sind keine Elementarteilchen mit fester Anzahl, sie können
in beliebiger Anzahl erzeugt oder vernichtet werden, man bezeichnet sie als AustauschBosonen.
Es ist üblich den Impuls von Austausch-Bosonen mit ~q zu bezeichnen.
Freie Austausch-Bosonen
Da Austausch-Bosonen in der Regel in der Kombination a + a† auftreten, und da
(aq~)† = a†−~q
ist, definiert man die bosonische Greenfunktion Dq~(t) als
Dq~ (t) = −i Θ(t)h [aq~ + a†−~q, a−~q + aq†~] i
= −i Θ(t) e−ih̄Ω~q h [aq~, aq†~] i − i Θ(t) eih̄Ω−~q h [a†−~q, a−~q] i ,
| {z }
|
=1
wobei wir
{z
=−1
}
[a†−~q, aq†~] = 0
[aq~, a−~q] = 0,
verwendet haben. Damit erhalten wir
Z
0
∞
dt Dq~(t) eizt =
Dq~(z) =
1
1
−
z − h̄Ωq~
z + h̄Ω−~q
.
(4.45)
Im allgemeinen haben wir aufgrund einer Inversionssymmetrie Ωq~ = Ω−~q und somit
Dq~(z) =
z2
2h̄Ωq~
− (h̄Ωq~)2
60
KAPITEL 4. VIELTEILCHENTHEORIE
4.3.5
Kramers-Kronig-Relationen
Wir nutzen nun die Analytizität von Gr (z) in der oberen Halbebene für ein geeigentes
Kontour-Integral.
z
z
CR
−R
R
Aufgrund des Satze von Cauchy gilt mit z = ω + δ,
r ′
1
1
Gr (ω ′)
′ G (z )
′
G (z) =
=
obengeschl. dz
relle dω
2πi Halbkreis
z′ − z
2πi Achse
ω ′ − ω − iδ
Z
1 r
1
Gr (ω ′ )
=
G (z) +
dω ′ ′
2
2πi Hauptwert
ω −ω
Z
r
Z
(4.46)
für δ → 0. Die Umformungen sind die folgenden:
• Das Integral über den großen Halbkreis trägt nicht zum Kontour-Integral bei, aufgrund der Asymptotik Gr (Z) ∼ 1/z für z → ∞, siehe Gl. (4.32),
∼
1
R → 0,
R2
(R → ∞) .
• Das Integral über den kleinen Halbkreis berchnet sich zu
Z
Z
Z 2π
Gr (ω ′)
d(ηeiφ )
r
r
dω ′
≈ G (ω)
= iG (ω)
dφ = iπGr (ω) ,
ω −ω
ηeiφ
π
′
mit d(ηeiφ ) = ηeiφ i(dφ).
Im ω
Im ω
ω
ω
z
ω
ω−η
Re ω
ω+η
Re ω
Kramers-Kronig-Relationen
Wir benutzen jetzt z = ω + iδ und stellen um
1
G (ω) =
πi
r
Z
Hauptwert
dω ′
Gr (ω ′)
.
ω′ − ω
(4.47)
61
4.3. GREEN-FUNKTIONEN
Wenn wir nun Real- und Imaginär-Teile Gl. (4.47) nehmen erhalten wir die KramersKronig-Relationen
Im G(ω ′)
1Z
dω ′ ′
Re G(ω) =
π Hauptwert
ω −ω
Z
1
Re G(ω ′ )
Im G(ω) = −
dω ′ ′
π Hauptwert
ω −ω
(4.48)
wobei wir den Index r unterdrückt haben.
• Allein aus dem Realteil (oder Imaginärteil) kann die vollständige Funktion reproduzieren werden. Dazu muss man den Real-/Imaginärteil allerdings mit hoher Genauigkeit für alle Frequenzen kennen.
• Die Kramers-Kronig Relationen gelten für alle Funktionen welchen in der oberen
komplexen Halbebene analytisch sind, insbesondere für alle Responsfunktionen.
• Ein Beispiel ist die die dynamischen Dieletrizitätskonstante
ǫ(ω) = ǫ0 + i
σ(ω)
,
ω
welche nach Kap. 4.2 eine retardierte Green-Funktion ist. Experimentell kann man
nun den Realteil von ǫ(ω) durch Infrarot-Absorbtion messen und dann mittels
Kramers-Kronig die dyamische Leitfähigkeit σ(ω) gewinnen.
4.3.6
Bewegungsgleichungen
Mit
d
Θ(t) = δ(t)
dt
finden wir für die Zeitableitung der retardierte Green-Funktion im Heisenberg-Bild
Ȧ(t) = i[H, A(t)],
d r
G (t) = −i δ(t) h [A(t), B]ǫ i − i Θ(t) h [Ȧ(t), B]ǫ i
dt A,B
= −i δ(t) h [A, B]ǫ i + i Gr[H,A],B (t) .
(4.49)
Die Green-Funktion hat also i.A. einen Sprung bei t = 0. Tatsächlich gilt eine analoge
DGL auch für die kausale und die avancierte Green-Funktion, so daß wir zusammenfassen
i
d
GA,B (t) = δ(t) h [A, B]ǫ i + G[A,H],B (t) .
dt
(4.50)
Im allgemeinen ist der Operator [A, H] irgendetwas kompliziertes und die obigen DGL
verknüpfen zwei gleichermaßen schwer zugängliche Funktionen. Es mag jedoch sein, daß
[A, H] “vom Typ des Operators A” ist. Dann schließt die obige DGL. (Manchmal kann
ein Schließen nach mehrmaligem Differenzieren vorliegen.)
62
KAPITEL 4. VIELTEILCHENTHEORIE
Als Beispiel wollen wir zunächst ein Vielteilchensysteme ohne Wechselwirkung behandeln.
Anschaulich ist ja zu erwarten, daß eine Reduktion auf Einteilchenprobleme möglich sein
muß.
Freie Teilchen
Der Hamilton-Operator ist
Z
!
h̄2 2
d x ψ (x) −
∇ ψ(x),
2m
3
+
ψ(~x) = √
1
3
Z
~
d3 k eik·~x c~k ,
2π
siehe Gl. (4.3). Da der Hamilton-Operator im k-Raum diagnonal ist,
X
(h̄~k)2
ǫ~k c~†k c~k ,
ǫ~k =
H =
,
2m
~
k
wäre es eine triviale Aufgabestellung die Bewegungsgleichungen im Impulsraum zu lösen.
Wir wollen jedoch im Ortsraum bleiben, um zu motivieren woher der Name GreenFunktion kommt, insbesondere den Zusammenhang mit den Green-Funktionen welche
in der Lösungstheorie partieller Differentialgleichungen verwendet werden.
Green-Funktion im Ortsraum
Wir betrachten nun den Fall der ein-Teilchen-Green-Funktion im Ortsraum mit
B = ψ + (r ′ ) .
A = ψ(r),
(4.51)
Unter Verwendung der allgemeinen Beziehungen
sowie von
gilt nun
[ab, c] = a[b, c]ǫ − [c, a]ǫ b ,
[a, bc] = [a, b]ǫ c − b[c, a]ǫ ,
[A, B]ǫ = [ψ(r), ψ + (r ′)]ǫ = δ(r − r ′ )
[A, H] =
Z
=
Z
=
d
i Gr,r′ (t) −
dt
h
+
3
h
+
d x ψ(r), ψ (x)
2
−
Damit folgt
!
i
h̄2 2
∇ ψ(x)
d x ψ(r), ψ (x) −
2m
3
!
h̄
∇2 ψ(r) .
2m
i
ǫ
(4.52)
!
h̄2 2
−
∇ ψ(x)
2m
!
h̄2 2
−
∇r Gy,r′ (t) = δ(t)δ(r − r ′ )
2m
(4.53)
(4.54)
oder allg.
!
d
i − H Gr,r′ (t − t′ ) = δ(t − t′ )δ(r − r ′ ) ,
dt
wobei wir t → t − t′ ersetzt und für den Integraloperator, der auf den Ausdruck rechts als
Funktion von r wirkt, die Notation H eingeführt haben.
Die letzte DGL ist aus der Theorie der partiellen Differentialgleichungen bekannt. Die
Lösung dieser DGL wird Green-Funktion genannt und ist der Grund der Namensgebung
für die oben eingeführten Korrelationsfunktionen!
63
4.3. GREEN-FUNKTIONEN
4.3.7
Das Hubbard Atom
Wir betrachten ein isoliertes Atom/Ion mit nur einem relevanten Orbital, welche leer sein
kann oder einfach/doppelt besetzt. Die intra-atomare Coulomb-Abstossung zwischen den
Elektronen beschreiben wir durch den Parameter U:
H =
X
σ=↑,↓
(εσ − µ)nσ + Un↑ n↓ ,
(4.55)
wobei nσ = c†σ cσ die Anzahl der Elektronen mit Spin-σ mißt, µ das chemische Potential
ist und εσ die orbitale Ein-Teilchen-Energie. Ohne ein äusseres Magnetfeld ist εσ ≡ ε0 .
2ε+U
moment forms
Γ
µ
ε
Wir sind daran interesiert die retardierte Einteilchen-Greens-Funktion (4.23)
h
Gσ (t) = −iΘ(+t)h cσ (t), c†σ
i
+
i
(4.56)
auszurechnen. Hierzu verwenden wir die Bewegungsgleichungen (4.49)
i
h
i
h
d
Gσ (t) = −i δ(t) h cσ (0), c†σ i − i Θ(t) h ċσ (t), c†σ i ,
+
+
dt
|
{z
}
(4.57)
=1
mit ċσ = i[H, cσ ].
Kommutatoren
Wir berechnen zunächst eine Reihe von Kommutatoren:
[nσ′ , cσ ] = δσ,σ′ c†σ cσ cσ − cσ c†σ cσ
[n↑ n↓ , cσ ] = −n−σ cσ
[nσ′ , n−σ cσ ] = −δσ,σ′ n−σ cσ
[n↑ n↓ , n−σ cσ ] = −n−σ cσ
= −δσ,σ′ 1 − c†σ cσ cσ = −δσ,σ′ cσ
(4.58)
Die letzte Gleichung gilt das nσ nσ = nσ , für Fermionen. Wir finden daher
ċσ = i [H, cσ ] = −i (εσ − µ) cσ − iUn−σ cσ
d
(n−σ cσ ) = −i (εσ − µ) n−σ cσ − iUn−σ cσ .
dt
(4.59)
(4.60)
64
KAPITEL 4. VIELTEILCHENTHEORIE
Der Operator n−σ cσ ist daher ein Eigenoperator des Hamilton-Operators. Damit wird die
Bewegungsgleichung (4.57) zu
d
Gσ (t) = −i δ(t) − i (εσ − µ) Gσ (t) − iU G̃σ (t)
dt
wobei wir mit G̃σ (t) = −iΘ(+t)h
h
h
haben. Diese genügt mit n−σ cσ , c†σ
i
n−σ cσ (t), c†σ
+
i
+
,
(4.61)
i eine neue Greens-Funktion definiert
= n−σ der Bewegungsgleichung
"
d d
G̃σ (t) = −iδ(t)hn−σ i − iΘ(t)h
n−σ cσ (t), c†σ
dt
dt
#
+
i.
(4.62)
.
(4.63)
Mit Hilfe von (4.60) wird (4.62) zu
d
G̃σ (t) = −iδ(t)hn−σ i − i (εσ − µ + U) G̃σ (t)
dt
Die beiden Gleichungen (4.61) und (4.63) bilden ein geschlossenes System welches zu lösen
ist.
Frequenzdarstellung
Unter einer Fourrier-Transformation werden (4.61) und (4.63)
ω Gσ (ω) = 1 + (εσ − µ) Gσ (ω) + U G̃σ (ω)
ω G̃σ (ω) = hn−σ i + (εσ − µ + U) G̃σ (ω) ,
mit der Lösung
Gσ (ω) =
1 − hn−σ i
hn−σ i
+
ω − (εσ − µ)
ω − (εσ − µ + U)
.
(4.64)
Wir haben hier ein Beispiel eines echten Zweiteilchen-Effektes. Wenn z.B. kein ↑-Teilchen
vorhanden ist, dann hat die Greens-Funktion für das ↓-Elektron die bekannte Form 1/(ω−
(εσ − µ)) einer Ein-Teilchen-Greens-Funktion, vergleiche (4.42).
Wenn jedoch ein ↑-Teilchen vorhanden ist, dann muss eine zusätzliche Energie U bezahlt
werden um ein ↓-Elektron auf das Ion zu setzten, die Greens-Funktion hat dann die Form
1/(ω − (εσ − µ + U)).
65
4.4. STREUEXPERIMENTE IN BORN’SCHER NÄHERUNG
4.4
4.4.1
Streuexperimente in Born’scher Näherung
Einleitung
Wir wollen die Streuung von Teilchen (Neutronen, Photonen) am Kristall untersuchen. Im
Gegensatz zum bisher untersuchten idealen, starren Kristall, der nur Impulsübertrag auf
das Streuteilchen erlaubte, sind im realen Kristall Impuls- und Energie-Übertrag durch
Phononen und andere elementare Anregungen möglich.
Wir wollen in der weiteren Beschreibung Streuteilchen mit einer Energie-Impuls-Dispersion
ǫ(k) voraussetzen. Dabei denken wir insbesondere an Neutronen, welche einmal an den
Kernen durch Ankopplung an die Dichte streuen und zum anderen ein magnetisches Moment besitzen und somit an den magnetischen Momenten der Elektronen (Spin) in magnetischen Systemen streuen.
Da Neutronen nur schwach wechselwirken, dringen sie tief ein:
• Oberflächeneffekte spielen keine Rolle
• Thermische Neutronen (Reaktor) lassen grosse Energie- und Impuls-Bereiche zu:
2 2
ǫk = h̄2mk . Neutronen mit Wellenlänge 1 Angström besitzen eine Energie von 0.082eV ≃
950K (1eV = 11.000K)
Aufgrund der schwachen Wechselwirkung messen die Streuteilchen die Eigenschaften des
Systems aus ohne es zu modifizieren. Mehrfachstreuung spielt zudem keine Rolle und
damit ist die Born’sche Näherung zulässig
k’,ε ’
Streuteilchen
k, ε
Abstraktes Diagramm:
System
a
nicht beobachtet
b
q=k-k’
k, ε
h ω=ε−ε ’
k’,ε ’
Neutron
beobachtet
Was wird gemessen?
Man kennt das einfallende Teilchen (~k, ǫ) und man mißt das gestreute Teilchen (~k ′ , ǫ′ ).
Im System:
• im thermischen Gleichgewicht ist der Eigenzustand |ai des Systems mit dem Gewicht
e−βEa /Z zu versehen, es ist über alle |ai zu summieren.
• Man man mißt nicht den Endzustand |bi des Systems, d.h. alle Endzustände |bi
verträglich mit Energie- und Impulserhaltung sind grundsätzlich möglich.
66
4.4.2
KAPITEL 4. VIELTEILCHENTHEORIE
Born’sche Näherung
Das Wechselwirkungspotential sei
W (r) =
N
X
i=1
vi (r − ri ) ,
wobei r die Position des Neutrons und ri die des Atoms i kennzeichnet. Da die Neutronen
im Wesentlichen nur mit dem Atomkern in Wechselwirkung treten können wir Fermis
Pseudopotential
~i δ(r)
vi (r) = α + γ ~σ · S
~i des Atoms i.
benutzen, mit dem Spinoperator des Streuteilchens ~σ , und dem Kernspin S
Allerdings werden wir an dieser Stelle nicht die die magnetische Streuung am Kernspin
betrachten und setzen hier γ = 0.
Übergangswahrscheinlichkeiten
Die Übergangswahrscheinlichkeit vom Ausgangszustand |k, ai = |ki|ai in den Endzustand
|k ′ , bi = |k ′ i|bi ist in erster Born’scher Näherung (ǫ=E
ˆ k und ǫ′ =E
ˆ k′ )
w(k, a → k ′ , b) =
2
2π ′
hk , b|W |k, ai δ(Ek + Ea − Ek′ − Eb ) .
h̄
(4.65)
Der Detektor mißt nicht einen Zustand mit scharfem k ′ , sondern hat Auflösung mit Raumwinkel dΩ und Energie dω. Für relativistische Teilchen gilt
Ek2 = (M0 c2 )2 + (ch̄k)2
(4.66)
also
c2h̄k
h̄k
1 dE
=
=
(4.67)
h̄ dk
E
M
mit der impulsabhängigen Masse M = E/c2 und der Geschwindigkeit vk . Die Variation
der Energie des austretenden Neutrons ist
EdE = c2h̄2 kdk ,
h̄dω = dE ′ =
vk =
c2 h̄2 k ′ dk ′
h̄2 k ′ dk ′
=
.
E′
M′
Da die Energie des einfallenden Neutrons nicht variert wird, ist dω auch klein die Änderung der Energiedifferenz. Die Anzahl der Zustände kompatibel mit Raumwinkel dΩ und
Energiedifferenz h̄dω ist
V
M ′ h̄dω
V
′2
′
′
k
dΩ
dk
=
k
dΩ
# Endzustände =
(2π)3
(2π)3
h̄2
V
vk′ M ′2 dΩ dω .
=
(2π)3h̄2
!
(4.68)
Die Stromdichte des einfallenden Teilchens ist
Stromdichte =
v
.
V
(4.69)
67
4.4. STREUEXPERIMENTE IN BORN’SCHER NÄHERUNG
Der doppelt differentielle Streuquerschnitt berechnet sich zu
X e−βEa (4.65)(4.68)
d2 σ
=
dΩdω
Z (4.69) dΩdω
a,b
(4.70)
2
2πV 2 v ′ ′2 X e−βEa ′
hk
,
b|W
|k,
ai
δ(Ea − Eb + h̄ω)
M
3
(2πh̄) v
Z
a,b
=
Im Ortsraum
Mit dem Fourier-Integral der δ-Funktion
i
1 Z∞
δ(Ea − Eb + h̄ω) =
dt e
2πh̄ −∞
ω+ Eh̄a −
Eb
h̄
t
(4.71)
und der Fourier-Darstellung der Matrixelemente
hk|W |k ′i =
Z
′
d3 r V ei(k −k)r W (r) =
Z
d3 r V e−iqr W (r)
(4.72)
folgt direkt
d2 σ
M ′2 v ′ 1
=
dΩdω
h̄4 v (2π)3
·
Z
∞
dt eiωt
−∞
(4.73)
Z
d3 rd3 r ′ e−iqr eiqr
′
X
a,b
e−βEa
ha|W (r, t)|bihb|W (r ′, 0)|bi ,
Z
wobei wir die Heisenberg-Darstellung
H
H
W (r, t) = ei h̄ t W (r) e−i h̄ t
(4.74)
benutzt haben. Benutzen wir nun noch
X
b
X
a
|bihb| = 1
e−βEa
ha| . . . |ai = h. . .i ,
Z
(4.75)
so erhalten wir
Z
d2 σ
M ′2 v ′ 1 Z ∞
′
iωt
d3 rd3 r ′ e−iq(r−r ) hW (r, t)W (r ′, 0)i .
dt
e
=
4
3
dΩdω
h̄ v (2π) −∞
(4.76)
Dynamischer Strukturfaktor
Das Wechselwirkungspotential hat die Form
W =
N
X
i=1
v(r − ri ) =
Z
v(r − r̃)n(r̃)d3 r̃ ,
(4.77)
68
KAPITEL 4. VIELTEILCHENTHEORIE
wobei r und ri die Ortsoperatoren des Streuteilchens und des i-ten Atoms sind, v(r) das
Wechselwirkungspotential und n(r) der Dichteoperator. Damit wird (4.76) zu
M ′2 v ′ |vq |2
d2 σ
=
Sq (ω)
dΩ dω
h̄4 v (2π)3
(4.78)
wobei vq die Fourier-Transformierte von v(r). Der dynamische Strukturfaktor für DichteDichte-Fluktuationen ist Sq (ω), d.h. Sq (ω) ist die die Frequenz- und Impulsdarstellung
der Dichte-Dichte-Korrelationsfunktion
Sq (t) = hnq (t)n−q (0)i
=
Z
d3 rd3 r ′ −iq(r−r′ )
e
hn(r, t)n(r ′ , 0)i .
V2
(4.79)
Fluktuations-Dissipations-Theorem
Nach Gl. ((4.36)) (mit ǫ = −1 da die Dichte-Fluktuationen Bose-artige Operatoren sind)
hängt Sq (ω) (dort f genannt) mit der Spektralfunktion Anq n−q wie folgt
Anq n−q (ω)
Sq (ω)
=
2π
1 − e−βω
(4.80)
zusammen. Gl. (4.80) nennen wir auch Fluktuations-Dissipations-Theorem.
Die Dichte-Dichte Korrelationsfunktion Sq (ω) misste die Dichte-Fluktuationen, die Spektralfunktion Anq n−q (ω) ist ein Mass für die Dissipation, da diese ja proportional zum
Imaginärteil der retartdierten Green-Funktion ist.