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Labor Physik und Photonik
Labor Technische Optik
Goniometer
© Prof. Dr. Alexander Hornberg, Dipl.-Phys. Hermann Bletzer
Abb. 1. Goniometer von Fa. Möller & Wedel
481341046
Stand: 07.04.2017
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© Prof. Dr. Alexander Hornberg, Dipl.-Phys. Hermann Bletzer
Inhalt
1. Grundlagen ..........................................................................................2
1.1 FRAUNHOFERsche Beugung am Gitter ..........................................2
1.2 Auflösungsvermögen des Gitters ..................................................3
1.3 Dispersion des Gitters ...................................................................4
2. Arbeitsprogramm ................................................................................5
2.1 Vorbereitung des Spektrometers ...................................................5
2.2 Messung der Gitterkonstanten ......................................................6
2.3 Untersuchung des Auflösungsvermögens .....................................6
2.4 Messung der effektiven Gitterkonstanten .....................................6
2.5 Messung der Wasserstofflinien .....................................................6
Literatur...................................................................................................6
Was Sie schon immer wissen wollten
Elementarwellen, HUYGENS-FRESNEL-Prinzip, FRAUNHOFER-Beugung, Beugungsgitter,
Gitterkonstante, Interferenzen, Auflösungsvermögen, RAYLEIGH-Kriterium, Gitterspektrometer,
Winkeldispersion, lineare Dispersion, Spektrallinien, BOHRsches Atommodell
1. Grundlagen
1.1 FRAUNHOFERsche Beugung am Gitter
Die Lichtbeugung kommt als Folge der Wellennatur des Lichtes zustande. Jeder Punkt, der von
einer Welle erfasst wird, ist Ausgangspunkt von neuen Elementarwellen (HUYGENSFRESNELsches Prinzip). Dadurch dringen die Wellen auch in den geometrischen Schattenraum
ein. Die geradlinige Ausbreitung des Lichts, wie man dies in der geometrischen Optik annimmt,
ist nur eine Näherung für den Fall, dass die Öffnungsweite b, durch die das Licht läuft, groß ist
gegenüber der Wellenlänge.


b

a
Abb. 2. Strahlenverlauf am gedrehten Gitter
Ein ebenes optisches Beugungsgitter ist eine Vielzahl von streng äquidistanten parallelen
Beugungsspalten (Strichgitter). Der Abstand der Beugungsspalte wird als Gitterkonstante a
bezeichnet
Goniometer
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Wird ein Gitter beleuchtet, so gehen von allen Beugungsspalten Elementarwellen aus, die an
den jeweiligen Beobachtungspunkten miteinander interferieren. Falls man mit parallelem Licht
beleuchtet (Lichtquelle im Unendlichen) und im Unendlichen beobachtet (Fernrohr), wird die
Beugungserscheinung des Gitters (FRAUNHOFERsche Beugung) besonders einfach und
übersichtlich. Die Maxima erfüllen die Gittergleichung
sin J - sin J 0 =
ml
a
, m Î Z
(1)
Steht das Gitter senkrecht zur Lichteinfallsrichtung J 0 = 0 und wird in Richtung J
beobachtet, dann erhält man Verstärkung durch Interferenz, wenn m l = a sin J ist, wobei m
eine ganze Zahl ist und als Beugungsordnung bezeichnet wird. Bei bekannter Gitterkonstante a
lässt sich also experimentell die Wellenlänge bestimmen und umgekehrt.
Für kleine Messwinkel J M = J - J 0 < < 1 folgt mit cos J M @ 1 aus (1)
sin( J 0 + J M ). - sin J 0 = cos J 0 sin J M =
ml
a
, m Î Z
oder mit der Abkürzung aeff  a cos 0
sin J M =
ml
, m Î Z
aeff
(2)
Die Größe aeff nennt man effektive Gitterkonstante.
1.2 Auflösungsvermögen des Gitters
Zwei Spektrallinien 1 und 2 sind bei sehr engem Beleuchtungsspalt des Kollimators noch
unterscheidbar (auflösbar), wenn das Beugungsmaximum der Linie 2 mit dem 1. Minimum der
Linie 1 zusammenfällt (RAYLEIGH-Kriterium).
(   ) min
I
1


Abb. 3. RAYLEIGH-Kriterium
Das Auflösungsvermögen A eines Spektralapparates ist umso größer, je kleiner der Abstand
l 1 - l 2 der Wellenlängen ist, die noch getrennt nachweisbar sind.
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Definition: Es seien 1 und 2 zwei benachbarte Wellenlängen, deren Beugungsmaxima
gleicher Ordnung gerade noch als zwei Beugungsmaxima erkannt werden. Dann heißt der
Quotient
A :=
min {l 1, l 2 }
l1 - l2
(3)
das Auflösungsvermögen des optischen Systems. Anstelle A schreibt man l / D l .
Für einen Gitterspektralapparat ergibt sich, falls der Spalt seines Kollimators beliebig klein ist,
él ù
=|m |N
ê ú
ëD l ûGitter
(4)
Dabei ist m die Beugungsordnung und N die Anzahl der beleuchteten Gitterstriche, deren
Beugungswellen sich am Beobachtungsort überlagern.
1.3 Dispersion des Gitters
Der Beugungswinkel  eines Beugungsmaximums  wächst mit der Wellenlänge des Lichtes.
Definition: Die Änderung des Beugungswinkels mit der Wellenlänge
DW =
dJ
dl
(5)
heißt Winkeldispersion.
Aus (1) folgt nach Differentiation
cos J
dJ
m
m
sin J - sin J 0
+ 0=
Û DW =
=
dl
a
a cos J
l cos J
Insbesondere für 0 = 0 gilt
DW =
t an J
J
@
l
l
für | J | < < 1
(6)
In der Regel wird das Beugungsbild mit einem ebenen Detektor (z. B. Mattscheibe,
fotographische Platte, Diodenarray, ...) aufgenommen.
Definition: Änderung des Ablenkung x mit der Wellenlänge
DL =
dx
dl
(7)
heißt lineare Dispersion.
Es sei P = (x, y, z) ein Punkt auf dem ebenen Detektor im (sehr großen) Abstand z > 0 vom
Gitter, dann ist
x
t an J =
Û x = z t an J @ z J , | J |< < 1
z
und mit (1) folgt
DL =
d(z tan J )
z
z sin J - sin J 0
=
DW =
2
dl
l
cos J
cos3 J
Insbesondere für J 0 = 0 gilt
Goniometer
DL =
z t an J
z
@ J
2
l cos J
l
,
5
| J |< < 1
Realisieren wir den sehr großen Abstand zwischen Gitter und Detektor durch eine Sammellinse,
in deren Brennebene sich der ebene Detektor befindet. Aus
t an J =
x
Û x = f ¢t an J @ f ¢×J
f¢
,
| J |< < 1
folgt mit (1)
DL =
f¢
f ¢ sin J 0 - sin J
DW =
2
l
cos J
cos3 J
Insbesondere für 0 = 0 gilt
DL =
f¢
f ¢ t an J
f¢
DW =
@ J
2
2
l cos J
l
cos J
,
| J |< < 1
(9)
2. Arbeitsprogramm
2.1 Vorbereitung des Spektrometers
a) Skizzieren Sie den prinzipiellen Aufbau eines Gitterspektrometers zur Beobachtung von
FRAUNHOFERschen Beugungserscheinungen.
b) Beim Justieren des Gerätes ist darauf zu achten, dass
1. die waagrechten Linien der Fadenkreuze im Okular der Kollimationsfernrohre parallel
zur Drehebene verlaufen.
Zunächst muß der Prismentisch mit einer 2-fachen Libelle mit Hilfe der 2 Justierschrauben zum Kippen des Prismentisches waagrecht ausgerichtet werden. Um das
Fadenkreuz parallel zur Drehachse auszurichten, wird ein auf dem Prismentisch
stehendes Prisma so ausgerichtet, dass die Planfläche der Optik das vom Autokollimator
erzeugte Fadenkreuz in den Doppelfaden des Okularfadenkreuzes zurückreflektiert.
Wenn das Fadenkreuz des Autokollimators nicht parallel zur Drehebene verläuft, erhält
man durch Drehen des Schwenkarmes eine Höhenverschiebung zwischen dem am
Prisma reflektierten Autokollimationsfadenkreuzes und dem Okulardoppelfadenkreuz.
Dies lässt sich durch Bewegen des Schwenkarmes und durch entsprechendes Verdrehen
des Autokollimators in seiner Halterung korrigieren. Um nun noch das Fadenkreuz des
Kollimators parallel zur Drehachse auszurichten, lässt man einfach den beleuchteten
Kollimator in den Autokollmator hineinschauen und verdreht den Kollimator so in
seiner Halterung, dass die horizontalen Linien der beiden Fadenkreuze parallel
zueinander liegen.
2. Die Zielachse des Autokollimationsfernrohres parallel zur Drehebene verläuft. Damit
der Kollimator in seiner Zielachse auch parallel zur Drehebene liegt, ist er auszurichten
und an seiner Justierschraube zur Neigungsverstellung so einzustelllen, dass das
Fadenkreuz des Kollimators im Doppelfadenkreuz des Okulars vom Autokollimator
abgebildet wird.
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2.2 Messung der Gitterkonstanten
a) Messen Sie bei drei Gittern (Strichanzahl pro Längeneinheit) mit Hilfe der Natrium D-Linie
(Doppellinie mit 589.0 nm und 589.6 nm) die Gitterkonstante. Beobachten Sie auch
Doppellinien im grünen und roten Spektralbereich? Wie kommen diese zustande?
b) Führen Sie für die Messungen zwei verschiedene Fehlerbetrachtungen durch und ermitteln
Sie den mittleren Fehler des Mittelwerts und den Größtfehler der Gitterkonstanten
c) Welche Winkeldispersion ((d)/(d)) in der ersten Beugungsordnung (d. h.
Beugungswinkelzunahme für  = 1 nm) haben die drei Gitter bei  = 589 nm und gerader
Beleuchtung des Gitters?
2.3 Untersuchung des Auflösungsvermögens
a) Welche Winkeldispersion d / d
in der ersten Beugungsordnung (d. h.
Beugungswinkelzunahme für  = 1 nm) haben die drei Gitter bei  = 589 nm und bei
gerader Beleuchtung des Gitters ?
b) Ermitteln Sie für die drei Gitter bei der Beugungsordnung m=1 die lineare Dispersion
d / d des Gitterspektrometers, d.h. den Abstand Δx in der Brennebene des Fernrohrs für
die Wellenlängendifferenz  = 1 nm . Die Fernrohrbrennweite ist f’ = 300mm .
c) Schätzen Sie das Auflösungsvermögen mittels (3) für jedes der drei Gitter ab.
d) Mit welchem Gitter kann man die Doppellinie in der 1. Beugungsordnung noch als zwei
Einzellinien beobachten? Bestätigen Sie dies experimentell.
2.4 Messung der effektiven Gitterkonstanten
a) Welche effektive Gitterkonstante ist mit dem Ergebnis 1a) zu erwarten?
b) Welche effektive Gitterkonstante misst man beim Gitter mit der größeren Gitterkonstante,
wenn das Gitter um 0 = 30° gedreht wird, d.h. wenn die Gitterebene mit der Ebene
senkrecht zur Ausbreitungsrichtung den Winkel 30° einschließt?
2.5 Messung der Wasserstofflinien
1. Messen Sie die Wellenlängen des Wasserstoffspektrums im sichtbaren Bereich mit dem
Gitter mit höherem Auflösungsvermögen.
2. Nach dem BOHRschen Atommodell sind die Wellenlängen ( l = D E / c0h ) der
Spektrallinien des H-Atoms:
æ1
1
1 ö
÷
= R y çç 2 - 2 ÷
÷
çè n
l
n2 ÷
ø
1
mit RYDBERG-Konstante Ry = 109678cm-1 die Hauptquantenzahlen n1, n2 sind natürliche
Zahlen. Bestimmen Sie die Wellenlängen der im sichtbaren Bereich liegenden
Wasserstofflinien aus obiger Formel für n1 = 2 (BALMER-Serie) und vergleichen Sie diese mit
Ihren experimentell gemessenen Werten.
Literatur
1. F. Pedrotti, et. al., Optik für Ingenieure, Springer 2002, ISBN 3-540-67279-2, Kapitel
16 und 17.